数学实验课件：线性代数实验

线性代数实验线性代数是代数学的一个分支，在数学、物理学、化学、医学和生产管理中有着广泛而重要的应用.

线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的.随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以被计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具.线性代数的计算方法也是计算数学里一个很重要的内容.本章主要通过利用MATLAB求解线性代数的相关问题，加深对线性代数基本概念、理论和方法的理解，并以简单的线性代数案例来了解线性代数的应用.6.1线性方程组6.1.1行列式的计算6.1.2矩阵阶梯化6.1.3矩阵的秩6.1.4逆矩阵contents6.2线性方程组求解6.3矩阵的相似对角化6.3.1向量组的线性相关性6.3.2特征值6.3.3方阵的相似对角化

6.1线性方程组

设有

n个未知数m个方程的线性方程组可以写成以向量x为未知元的向量方程

(6-1)

其中，

若b=0，则式（6.1）是齐次线性方程组；若b≠0，则式（6.1）是非齐次线性方程组.定理6.1

n元线性方程组（1）无解的充分必要条件是；（3）有无穷多解的充分必要条件是.

（2）有唯一解的充分必要条件是；

克拉默法则

若n元线性方程组

系数矩阵A是方阵，且

，则方程组有唯一解，且

,其中

是把系数矩阵A中第j列用方程组右端的常数项b代替后的矩阵.

在线性方程组求解的过程中，会用到行列式的介绍、方阵求逆、矩阵的秩和矩阵阶梯化等问题.这些问题都可由MATLAB进行处理.6.1.1行列式的计算

在MATLAB中，det(A)可以计算方阵A的行列式.

例6.1

计算方阵

的行列式

.解>>clear

>>A=[31-1;-513;201];

>>det(A)

运行结果如下：

ans=

16可得

=16.

例6.2计算矩阵

的行列式

.解>>clear;>>symsabc>>A=[abc;aa+ba+b+c;a2*a+b3*a+2*b+c];>>det(A)ans=a^3可得

.6.1.2矩阵阶梯化

在MATLAB中，rref(A)可以求矩阵A的行最简形.例6.3已知矩阵

，求A的行最简形．解>>formatrat>>A=[3102;1-12-1;13-44];>>rref(A)ans=101/21/401-3/25/40000可知矩阵A的行最简形是6.1.3矩阵的秩

在MATLAB中，可以用rank(A)直接求矩阵A的秩，也可以用rref(A)间接求矩阵A的秩.例6.4求例6.3中A的秩.解

方法1利用rank法>>A=[3102;1-12-1;13-44];>>rank(A)ans=2

方法2利用rref法

已知例6.3中行最简形B的非零行的行数是2，可知B的秩为2；因为A和B等价，可知A的秩也为2.6.1.4逆矩阵

在MATLAB中，可以用inv(A)直接求方阵A的逆矩阵，也可以用rref(A,E)求方阵A的逆矩阵，其中E是与A同阶的单位矩阵.例6.5求例6.1的逆矩阵.解方法1利用inv法>>formatrat>>A=[31-1;-513;201];>>inv(A)ans=1/16-1/161/411/165/16-1/4-1/81/81/2方法2利用rref法>>B=[A,eye(3)];>>rref(B)>>ans=1001/16-1/161/401011/165/16-1/4001-1/81/81/2

可知矩阵A的逆矩阵存在，且谢谢

6.2线性方程组求解

线性方程组包括齐次线性方程组和非齐次线性方程组.非齐次线性方程组的通解等于对应的齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解.

在MATLAB中，可以用null(A)得到齐次线性方程组

的基础解系；可以用inv、rank、null、左除(\)等命令求解非齐次线性方程组.例6.6

求解齐次线性方程组

.解方法1先求出系数矩阵A的行最简形矩阵，再求解.>>clear>>A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];>>formatrat>>B=rref(A)B=10-2-5/30124/30000即得与原方程组同解的方程组由此即得写出向量形式，得到通解方法2先求出齐次线性方程组的基础解系，再求解.>>clear>>A=[1221;21-2-2;1-1-4-3];>>null(A,'r')ans=25/3-2-4/31001即得方程组的基础解系得到方程组的通解例6.7

求解方程组.解首先计算系数矩阵和增广矩阵的秩，判断方程组解的结构，>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>r1=rank(a)%系数矩阵的秩2>>r2=rank([a,b])

%增广矩阵的秩2计算表明，系数矩阵和增广矩阵的秩都为2，小于变量的个数4，说明原方程组有无穷组解.有几种方法求原方程组的通解.方法1用rref命令化为行最简形式求解.>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>rref([a,b])ans=

1

-1

0

0

0

0

0

1

-1

1

0

0

0

0

0由上述行最简形式得到方程组

，即可知原方程组的通解为其中

为任意常数.

方法2

由于非齐次方程的通解等于齐次方程的通解加非齐次方程的一个特解，可以用null命令求对应的齐次方程组的一个基础解系.>>clear;>>a=[1-11-1;-111-1;2-2-11];b=[1;1;-1];>>x0=a\b

%非齐次方程的一个特解>>x1=null(a,’r’)

%齐次方程的通解结果为x0=

0

0

1

0x1=101001

01原方程组的通解为其中

为任意常数.例6.8

求解线性方程组

.

解该方程组的系数矩阵A是方阵，可以先计算|A|，>>A=[1-1-1;2-1-3;32-5]；>>D=det(A)D=3.0000

可得系数行列式|A|=3，由克拉默法则可知方程组由唯一解；也可利用逆矩阵求解.方法1克拉默法则法>>formatrat>>b=[2;1;1];>>A1=[b,A(:,[23])];%b代替A中第1列>>A2=[A(:,1),b,A(:,3)];%b代替A中第2列>>A3=[A(:,[12]),b];%b代替A中第3列>>x1=det(A1)/Dx1=17/3>>x2=det(A2)/Dx2=1/3>>x3=det(A3)/Dx3=10/3方法2逆矩阵法>>x=inv(A)*bx=17/31/310/3可知方程组的解为.6.3矩阵的相似对角化定义设A为n阶矩阵，如果存在n阶可逆矩阵P，使得P-1AP=D为对角矩阵，则称A可以相似对角化.6.3.1向量组的线性相关性

在MATLAB中，可以利用rank(A)判断线性相关性，利用rref(A)求一个极大无关组.例6.9设向量组

，（1）求向量组的秩，判断向量组的线性相关性；（2）求向量组的一个极大无关组，将向量组中其余向量用极大无关组线性表示.

解先将向量组构造出一个矩阵（1）>>A=[11221;0215-1;203-13;1104-1]

>>rank(A)

ans=

3因为向量组的秩=矩阵A的秩=3<5，所以向量组线性相关；（2）>>[B,j]=rref(A)B=100100103-1001-1100000j=123由

j

可知A中的第1、2和3列是一个极大无关组，即向量

是一个极大无关组.由B可知

，

.6.3.2特征值

工程技术中的一些问题，如振动问题和稳定性问题，常可归结为求一个方阵的特征值和特征向量的问题.

在MATLAB中，eig(A)可以计算方阵A的特征值.例6.10求

的特征值和特征向量.解>>A=[73-2;34-1;-2-13]A=73-234-1-2-13>>[V,D]=eig(A)V=0.5774-0.0988-0.8105-0.57740.6525-0.49080.57740.75130.3197D=2.00000002.39440009.6056可知A的特征值是λ1=2，λ2=2.3944，λ3=9.6056.对应于λ1,λ2,λ3的特征向量分别是:6.3.3方阵的相似对角化

定理6.2

n

阶矩阵

A

能相似对角化的充分必要条件时

A

有

n

个线性无关的特征向量.

推论

如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A能对角化.

根据定理和推论，判断方阵A是否可以相似对角化可以由A的特征向量来判断，在MATLAB中可以利用rank(A)和eig(A)进行判断.例6.11判断下列矩阵A是否可以相似对角化，若可以相似对角化，求出可逆矩阵P和对角矩阵D，使得P-1AP=D.解（1）>>A=[2-20;-21-2;0-20]

>>[V,D]=eig(A)

V=

-0.33330.6667-0.6667

-0.66670.33330.6667

-0.6667-0.6667-0.3333

D=

-2.000000

01.00000

004.0000

可知A有三个特征值互不相等，所以A能够相似对角化.

矩阵V可逆，取P=V，使得P-1AP=D.（2）>>A=[-110;-430;102]

>>[V,D]=eig(A)

V=

00.40820.4082

00.81650.8165

1.0000-0.4082-0.4082

D=

200

010

001

>>rank(V)

ans=

2得到V的秩为2，可知3阶矩阵A只有2个线性无关的特征向量，所以A不能相似对角化.

例6.12城市道路网中每条道路、每个交叉路口的车流量调查，是分析、评价及改善城市交通状况的基础.根据实际车流量信息可以设计流量控制方案，必要时设置单行线，以免大量车辆长时间拥堵.图6-1单行道4节点交通图图6-1是某城市的交通图.每一条道路都是单行道，图中数字表示某一个时段的机动车流量（单位：辆）.针对每一个十字路口，进入和离开的车辆数相等.（1）建立确定每条道路流量的线性方程；（2）为了唯一确定未知流量，还需要增添哪几条道路的流量统计？（3）当x4=150时，确定x1、x2、x3的值；请计算每两个相邻十字路口间路段上的交通流解根据已知条件，得到各节点的流通方程A：x1+360=x2+260B:x2+220=x3+292C:x3+320=x4+357D:x4+260=x1+251（1）整理得方程组为（2）在命令行窗口输入：>>A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];>>b=[-100;72;37;-9];>>B=rref([A,b])B=100-19010-1109001-13700000得到方程组得解为：为了唯一确定未知流量，只要增加x4统计的值即可.（3）当x4=150时，确定x1=159，x2=259、x3=187.

例6.13（人口迁徙问题）假设一个城市的总人口数固定不变，但人口的分布情况变化如下：每年都有5%的市区居民搬到郊区；而有15%的郊区居民搬到市区.若开始有700000人口居住在市区，300000人口居住在郊区.请分析：（1）10年后市区和郊区的人口各是多少？（2）30年后、50年后市区和郊区的人口各是多少？（3）分析（2）中数据的原因.解令人口变量其中xn为市区人口，yn为郊区人口.在第n+1年的人口分布状态为：用矩阵乘法表示为：其中

可以得到n年后市区和郊区的人口分布：（1）10