数理统计课件：区间估计

区间估计4.1区间估计的基本概念4.2正态总体参数的置信区间

区间估计4.3非正态总体参数的置信区间4.1区间估计的基本概念可靠度：越大越好

估计你的年龄八成在21—28岁之间区间：越小越好被估参数可靠度范围、区间4.1.1参数的区间估计问题引例：在估计湖中鱼数的问题中，若根据一个实际样本，得到鱼数n

的极大似然估计为1000条.实际上，n

的真实值可能大于1000条，也可能小于1000条.为此，希望确定一个区间来估计参数n.a

使我们能以比较高的可靠程度相信它包含参数真值.湖中鱼数的真值[]这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的b

区间估计的精度要高.定义4.1.1：设是一个参数分布族，

其中Θ为参数空间，g(

)是定义在Θ上的一个已知函数，

X1,X2,…,Xn

是从分布族中的某总体f(x，

)中抽取的样本.

是定义在样本空间χ上的函数，且满足则称随机区间为g(

)的一个区间估计.令4.1.2区间估计的定义根据这个定义，从形式上看，任何一个满足条件既然一个未知参数的区间估计有很多种，如何从中挑选一个好的区间估计？的统计量和都可以构成g(

)的一个区间估计解决办法：就需要给出刻画区间估计优劣的准则和标准.评价标准：可靠度与精度(精确度).1可靠度要求g(

)以很大的可能被包含在区间内，就是说，概率要尽可能大.2精度估计的精度要尽可能的高.如:要求随机区间的平均长度越短越好.即要求估计尽量可靠.Neyman提出的妥协方案在保证可靠度的前提下，选择精度尽可能高的区间估计.如果在应用中要求可靠度和精度都很高，则必须加大样本容量，即多做一些实验，才可能实现.如何构造可靠度和精度尽可能高的区间估计？对于一个区间估计来说，当样本容量固定的时候，提高可靠度就要降低精度，提高精度就得降低可靠度.为该区间估计的置信水平或置信度.不失一般性，我们假设待估参数就是

本身，即g(

)

=

.定义4.1.2：设随机区间是参数

的一个区间估计，称包含

的概率(1)这个概率与

有关.(2)若对参数空间Θ中任一

，其置信水平都很大，

则这个区间估计就是一个好的区间估计.定义4.1.3：设随机区间是参数

的一个区间估计，置信水平在参数空间Θ上的下确界称为该区间估计的置信系数.一个区间估计的置信水平越大越好.为了计算置信水平和置信系数，需要利用统计量的精确分布或者渐近分布.精度的标准不止一个.只介绍最常见的，随机区间的平均长度越短越好这一标准，即下面的这个例子说明了精度，置信水平(置信度)及其它们的关系.越小越好用来构造参数μ的区间估计.试分析这个区间估计的置信水平和估计精度之间的关系.令=(μ,σ2)，上述区间估计的置信水平为解：为什么用这个区间？例4.1.1设X1,X2,…,Xn是来自正态总体N(μ,σ2)，其中-∞<μ<∞,σ2>0，

μ

和σ2的估计量分别是样本均值和样本方差.显然，k越大，置信水平越大，区间估计越可靠.下面考虑区间的平均长度其中其分布与参数

无关.因此，区间估计的置信水平为显然，k越大，区间平均长度越长，精度越低.k越大，区间的置信水平越大，区间越可靠.由于，因此区间估计的平均长度为由此例可以看出：在样本容量n给定后，为了提高置信水平，需要增加k值，从而增加了区间长度，降低了精度.置信水平与精度相互制约着.著名统计学家Neyman提出了妥协方案：保证置信水平达到指定要求的前提下，尽可能提高精度.由此引入置信区间的概念.通常置信区间也称为Neyman置信区间定义4.1.4：设随机区间是参数

的一个区间估计，对给定0<α<1，如果对任意

Θ，都有成立，则称是参数

的置信水平为1-α的置信区间.

称为相应的置信系数.1.对于样本(X1,X2

,…,Xn)

置信水平不小于1-α，但是在实际问题中我们常常要求取满足.随机区间的置信区间.说明：2.对于样本观察值(x1,x2

,…,xn)常数区间只有两个结果，包含θ

和不包含θ.此时，不能说：没有随机变量，自然不能谈概率说明：

和都是随机变量的函数，因而也是随机变量.但是给定样本观察值

就得到一个具体的闭区间，我们以1-α的概率保证未知参数在得到的100个区间中包含参数

真值的平均有95个左右，不包含参数

真值的平均有5个左右.如：取1−

=0.95.若重复抽样100次，样本观察值为对应的常数区间为3.区间估计有时用开区间或半开半闭区间，但从置信水平角度考虑，这几种区间估计没有本质的区别.说明：4.实际应用中，经常取α

为0.01,0.05,0.1等.在一些实际问题中，有时候感兴趣的仅仅是未知参数的置信上限或者置信下限.例如：一种新材料的强度，关心的是它最低不少于多少；一个工厂的废品率，关心它最高不超过多少.这些也是区间估计，称为置信上限或者置信下限.定义如下：定义4.1.5：设总体X的分布为f(x,θ)，其中θ为未知参数，θ∈Θ，Θ为参数空间，X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本，给定0<α<1，对于任意θ∈Θ,存在统计量

使得存在统计量

使得则称随机区间是θ的置信水平为1−α的单侧置信区间.称为置信水平为1−α的为单侧置信下限.则称随机区间是θ的置信水平为1−α的单侧置信区间.称为置信水平为1−α的为单侧置信上限.分别称为置信上限下限的置信系数越大，则置信下限的精度越高.

对置信上限而言，若越小，则置信上限的精度越高.单侧置信上、下限都是置信区间的特例.因此，寻求置信区间的方法可以用来求置信上、下限.单侧置信限与双侧置信区间之间存在一个简单的联系.对置信下限而言，若引理4.1.1设和分别是参数

的置信水平为1-α1和1-α2的单侧置信下限和单侧置信上限，且对任何样本X1,X2,…,Xn，都有则是参数

的置信水平为

1-(α1+α2)的置信区间.在引理的假定下，下列三个事件互不相容，“三个事件之并”为“必然事件”.证明:考虑因此引理4.1.1说明:在有了单侧置信上、下限后，不难求得置信区间.定义4.1.6：设有一个参数分布族，Θ是参数空间，其中.X1,X2,…,Xn是来自分布族中某总体f(x,

)的样本.若统计量S(X1,X2,…,Xn

)满足(1)对任一样本X1,X2,…,Xn

X,S(X1,X2,…,Xn

)是Θ的一个子集；(2)对给定的0<α<1，则称S(X1,X2,…,Xn

)是

的置信水平为1-α的置信域.称为置信系数.应用最广泛的区间估计的形式是：Neyman置信区间.1.枢轴变量法：基于点估计构造枢轴变量.2.利用假设检验构造置信区间.构造置信区间的方法：Neyman假设检验如何学：统计思想！！！作业：习题4.1：4，54.2正态总体参数的置信区间枢轴量法的基本要点:在参数点估计的基础上去构造参数的置信区间.主要思想是：点估计是基于样本获得的最可能接近参数真值的估计量，围绕点估计值构造的区间估计包含参数真实值的可能性会大一些.4.2.1枢轴量法求参数μ

的置信水平为1-

α的置信区间.例4.2.1设X1,X2,…,Xn

是来自正态总体N(μ,σ2)的样本，其中µ是未知参数，σ>0已知.下面通过一个例子来说明基于点估计构造置信区间的方法.解:~N(0,1)标准化选μ的一个良好的点估计(UMVUE)寻找一个待估参数μ和估计量的函数有了分布，就可以求出U取值于任意区间的概率.要求：其分布已知，且与待估参数μ

无关.对于给定的置信水平,根据U的分布，确定一个区间,使得U取值于该区间的概率为置信水平.对给定的置信水平1-

α使其中uα/2为标准正态分布的上α/2分位数.不等式等价变形得到因此，参数μ的置信水平为1-

α的置信区间为

枢轴量法构造置信区间的步骤如下第一步：找待估参数

的一个良好点估计T(X1,X2,…,Xn)

.上例中的点估计是第二步：构造T(X1,X2,…,Xn)

和

的函数

G(T，

)

，满足(1)表达式G(T，

)与待估参数

有关(2)

G(T，

)的分布与待估参数

无关上例中且U~N(0，1).第三步：对给定的0<

<1，确定两个常数a,b，使解括号中的不等式得到即步骤2中构造的函数G(T(X1,X2,…,Xn)

，

)

被称为枢轴量.上述构造置信区间的方法称为枢轴量法.因此是参数

的置信水平为1-

的置信区间.定义4.2.1：令G(X1,X2,…,Xn,

)

是样本X1,X2,…,Xn和参数

的一个可测函数，当且仅当G(X1,X2,…,Xn,

)

的分布不依赖于参数

时，G(X1,X2,…,Xn,

)被称为枢轴量.使用枢轴量法构造置信区间注意以下几点.1.枢轴量通常不是一个统计量，但是其分布已知.2.如果被估计量为参数

的函数g(

)

，g(

)是定义在参数空间

Θ上的单调增函数，假设已知参数

的置信区间为，

则

g(

)的置信区间为.如果

g(

)是定义在参数空间

Θ上的单调减函数，

则

g(

)的置信区间为.3.上述枢轴量方法中，最关键在于构造枢轴量.由于一个“好”

的点估计量落在被估计量附近处的概率比较大，尽量用好的

估计量构造置信区间，使得置信区间有更好的精度.4.经常选取a,b满足.这是一种习惯做法，此时，置信区间不一定是最短的.5.上面的方法对于置信上限和置信下限也适用.

选取常数a(或b)，使得由此可以构造参数

的函数g

(

)的置信上限或置信下限.4.2.2单个正态总体均值的置信区间正态分布

N(μ,σ2)是常用的分布.寻求它的两个参数

μ

和

σ2

的置信区间是实际中常遇到的问题,下面分几种情况加以讨论.设X1,X2,…,Xn

是来自正态总体

N(μ,σ2)

的样本.记分别为样本均值和样本方差.下面，我们分两种情况来讨论正态总体均值参数置信区间的构造方法.一σ2已知，求参数μ

的置信区间这个问题已经在例4.2.1进行了讨论.σ2已知情况下，参数μ

的置信水平为1-α的置信区间为置信区间的长度为说明：2.置信区间的中心是样本均值；1.ln越小，置信区间提供的信息越精确；3.样本容量n给定的情况下，

2

越大，则ln越大，精度越低.因为总体方差越大，随机影响越大，参数µ的估计变得不容易了.说明：5.样本容量n越大，置信区间越短，精度越高；4.

减小α

的值，标准正态分布的分位数uα/2增大，

区间的置信水平1−α增加，但是区间长度也随之

增加，区间精度降低.

因此，置信区间长度越长，精度越低.

6.给定置信水平置信水平1−α，可以利用上述关系来确定合适的样本容量.置信水平1−α固定，要使区间长度其中l0为给定的常数,则其中[x]表示实数x的整数部分.例4.2.2假设某流水线生产的某型号电容元器件的容量服从正态分布，N(μ,0.052),通过简单随机采样获得下面一组样本的观察值(单位：µF)0.993,0.877,1.043,1.057,1.073,0.875.试求参数μ的置信水平为95%的置信区间.如果希望获得的区间估计的长度不超过0.05，还应该增加多少样本观察值?解:由于1-α=0.95，σ=0.05，n=6查表得uα/2=u0.025(5)=1.96代入数据计算得到μ的置信水平为95％的置信区间为上述区间估计的长度为0.08>0.05.要达到区间长度不大于0.05的要求，就需要增加样本容量，即所以，如果让区间估计长度不超过0.05就需要再增加10个观察值.不是统计量二σ2未知，求参数μ

的置信区间方差σ2已知，均值μ

的置信区间为方差σ2未知想法：用样本标准差S代替总体标准差

.包含了未知参数

不能作为枢轴变量

由抽样分布定理知：由于T的表达式与μ

有关，而T的分布与μ无关，因此取T作为枢轴量.

对给定的置信水平1-α

,确定分位数tα/2(n-1)使即不等式等价变形得到其中

tα/2(n-1)

是自由度n-1的t分布的上𝛼/2分位数.μ

的置信水平为1-α的置信区间为解:由于1-α=0.95，n=6查表得tα/2(n-1)=t0.025(5)=2.571代入数据计算得到μ的置信水平为95％的置信区间为例4.2.3假设某流水线生产的某型号电容元器件的容量服从正态分布，N(μ,σ2),通过简单随机采样获得下面一组样本的观察值(单位：µF)0.993,0.877,1.043,1.057,1.073,0.875.试求参数μ的置信水平为95%的置信区间.例4.2.4根据长期经验知道某式枪弹底火壳二台高X服从正态分布N(

,

2)，现在随机抽取底火壳20个，测得二台高X的结果(单位：mm)为4.964.954.924.944.964.944.974.964.974.97

5.014.974.985.014.974.984.994.985.005.00(1)当

2=0.0172已知时，求底火壳二台高X的均值

的置信水平为95%的置信区间.(2)当

2未知时，求底火壳二台高X的均值

的置信水平为95%的置信区间.解：(1)因为

2已知，因此底火壳二台高X的均值

的置信区间为计算得易知

n=20代入上式得到

的置信区间为[4.964,4.979]这就是说，我们有95%的把握断定区间[4.968,4.979]包含底火壳二台高X的均值EX.查表得(2)当

2未知时，均值

的置信水平为95%的置信区间为查表得计算得代入上式得到

的置信区间为[4.96,4.983]说明：从上面两个例子可以看出，当σ2未知时，参数

的区间估计相对会变长，精度会降低.解：选方差σ2的一个良好的点估计为(UMVUE)且表达式与σ2有关，但其分布与σ2

无关，因此，取其作为枢轴量.一

μ

已知，求参数σ2

的置信区间设X1,X2,…,Xn

是来自正态总体

N(μ,σ2)

的样本，其中均值μ

已知，求方差σ2的置信水平为1-α的置信区间.4.2.3单个正态总体方差的置信区间对给定的置信水平1-α

,取c1和

c2满足满足上式的

c1和

c2

有无穷对，其中有一对c1和

c2

使得区间长度最短.但是这样一对

c1和

c2不易求得且表达式复杂，应用不方便.一般令c1和

c2满足其中从中解得即为参数σ2置信水平为1-α的一个置信区间.解：例4.2.5假设某流水线生产某品牌的罐装橙汁，按照要求罐装橙汁量的均值为350ml并且服从正态分布，为了评估该流水线生产的产品的一致性，通过简单随机抽样获得下面的观察值348.04,354.59,354.46,348.03,351.54,352.04,345.93,347.68,351.60,349.67.试求该流水线生产产品方差σ2的置信水平为95%的置信区间.由于n=10，μ=350查表得因此代入数据得到参数σ2的置信水平为95%的置信区间为：σ2的置信水平为1-α的一个置信区间.取枢轴量对给定的置信水平1-α

,确定分位数使从中解得二

μ

未知，求参数σ2

的置信区间

2的一个良好的点估计为S2(UMVUE).且知：选取两个常数均值μ

未知，标准差σ

的置信水平1-α

的置信区间为均值μ

未知，方差σ2

的置信水平1-α

的置信区间为解：例4.2.6假设某流水线生产某品牌的罐装橙汁，按照要求罐装橙汁量服从正态分布，但是均值未知，为了评估该流水线生产的产品的一致性，通过简单随机抽样获得下面的观察值348.04,354.59,354.46,348.03,351.54,352.04,345.93,347.68,351.60,349.67.试求该流水线生产产品方差σ2的置信水平为95%的置信区间.由于n=10，μ=350查表得因此代入数据得到参数σ2的置信水平为95%的置信区间为：σ2的置信水平为1-α的置信区间为待估参数其它参数枢轴量及分布置信区间μσ2已知σ2未知σ2μ未知μ已知单个正态总体未知参数的置信区间(置信水平为1-α)在实际应用中，我们经常会碰到对两个正态总体的均值或者方差进行比较的问题.比如比较工艺改进之后生产线的产量是否有提升(均值比较)比较两个流水线生产的产品质量波动大小(方差比较).我们分四种情况讨论均值差µ2-µ1的置信水平为1−α的置信区间.设X1,X2,…,Xm是来自正态总体N(μ1,σ12)的样本，Y1,Y2

,…,Yn是来自正态总体N(μ2,σ22)的样本，且两个样本相互独立分别表示两个样本的样本均值和样本方差4.2.4两个正态总体均值差的置信区间由正态分布的性质可得由于

2−

1一个良好的点估计为且有一

12,

22均已知，求μ2-μ1的置信区间取T作为枢轴量对于置信水平1−α，选择分位数为

uα/2，可得将其标准化后得：可将上式等价转化为均值差

2−

1的置信水平为1−α的单侧置信上、下限为因此，均值差

2−

1的置信水平为1−α的置信区间为易知由于σ2未知，可用样本方差S2代替.？相互独立二

12=

22=

2未知，求μ2-μ1的置信区间可得其中取T作为枢轴量对于置信水平1−α，选择分位数tα/2(m+n−2)，有枢轴量因此，均值差

2−

1的置信水平1−α的置信区间为均值差

2−

1的置信水平为1−α的单侧置信上、下限为令Zi=Yi

Xi，i=1,2,…,n，则且Z1,Z2,…,Zn独立同分布，故

Z1,Z2,…,Zn可视为从总体

中抽取的样本，令则三

12，

22

不相等且未知，但m=n，求μ2-μ1的置信区间作为枢轴量.类似于单正态总体时，均值的区间估计方法，得

2−

1的置信水平为1−α的置信区间为均值差

2−

1的一个置信水平为1−α的单侧置信上、下限为一般地，这个方法在m=n很大时使用，较小时不常用.四

12，

22

未知，且不相等，

m，n也不相等，求μ2-μ1的置信区间著名的Behrens-Fisher问题.这是Behrens在1929年从实际应用中提出的问题，它的几种特殊情况已经得到解决.但一般情况没有简单、精确的解法.Fisher首先研究了这个问题，并对一般情况给出近似的解法例4.2.7在某电子产品的试验过程中，工程师们需要了解两个路线上的电压差.因此，用相同精度的仪器对两个路线上的电压进行5次重复测量，获得的数据为仪器设备的测量方差为σ2=0.0225已知.试分析两个路线上的电压差的置信水平为95%的置信区间.第一条路线40.059,39.921,39.692,40.101,40.123第二条路线61.189,61.317,61.445,61.099,61.391解:首先，这个问题是一个方差已知的均值差置信区间的构造问题.两个样本的样本容量n=m=5.均值差

2−

1的置信水平1−α的置信区间为通过计算及查表可以获得令X1,X2,…,X5表示第一条路线的样本来自正态分布N(μ1,0.152)，Y1,Y2

,…,Y5

表示第二条路线的样本来自正态分布N(μ2,0.152)，代入数据计算得到例4.2.8在某电子产品的试验过程中，工程师们需要了解两个路线上的电压差.因此，用相同精度的仪器对两个路线上的电压进行5次重复测量，获得的数据为仪器设备的测量方差未知.试分析两个路线上的电压差的置信水平为95%的置信区间.第一条路线40.059,39.921,39.692,40.101,40.123第二条路线61.189,61.317,61.445,61.099,61.391解:首先，这个问题是一个方差未知但相等的均值差置信区间的构造问题.均值差

2−

1的置信水平为1−α的置信区间为通过计算及查表可以获得代入数据计算得到待估参数条件枢轴量及其分布置信区间

2−

1未知但m=n两个正态总体均值差的置信区间(置信水平为1-α)在实际中，我们也经常会碰到比较两个总体方差的问题.例如，流水线设备进行升级换代以后，生产的产品指标的一致性之间的差异比较问题.同样，在方差比置信区间的构造问题中，均值是讨厌参数，我们也需要分情况来进行讨论.我们分两种情况讨论方差比σ12/σ22的置信水平为1−α的置信区间.设X1,X2,…,Xm是来自正态总体N(μ1,σ12)的样本，Y1,Y2

,…,Yn是来自正态总体N(μ2,σ22)的样本，且两个样本相互独立分别表示两个样本的样本均值和样本方差4.2.5两个正态总体方差比的置信区间记和显然由于和相互独立，因此一

均值

1和

2均已知，求σ12/σ22

的置信区间.由于F的表达式与

12/

22有关，但是其分布与

12/

22无关.取F作为枢轴量.对于给定置信水平1-α,找c1和c2使得满足上式的c1和c2有无穷对，其中有一对c1和c2使得区间长度最短.但是这样一对c1和c2不易求得且表达式复杂，应用不方便.一般令c1和c2满足根据F分布上分位数得到c1=F1−α/2(m,n)和c2=Fα/2(m,n)利用不等式等价变形得到均值均已知情形下，方差比

12/

22的置信水平为1−α的置信区间为其中二

均值

1和

2均未知，求σ12/σ22

的置信区间.

12/

22一个良好的点估计为S12/S22,且有相互独立所以有枢轴量由于F的表达式与

12/

22有关，但是其分布与

12/

22无关.F作为枢轴量.对于给定置信水平1-α,找c1和c2使得满足上式的c1和c2有无穷对，其中有一对c1和c2使得区间长度最短.但是这样一对c1和c2不易求得且表达式复杂，应用不方便.一般令c1和c2满足均值均未知情形下，方差比

12/

22的置信水平为1−α的置信区间为根据F分布上分位数得到

利用不等式等价变形得到其中待估参数条件枢轴量及其分布置信区间

1，

2均已知

1,

2

均未知

方差比置信区间的含意1.若

12/

22的置信上限小于1，则说明总体N(μ1,σ12)的波动性较小.2.若

12/

22的置信下限大于1，则说明总体N(μ1,σ12)的波动性较大.3.当置信区间包含数1，则难以从这次试验中判定两个总体波动性

的大小.作业：习题4.2：1，4，5，9，11，14，1618，20，214.3非正态总体参数的置信区间枢轴量的分布有时容易求得，有时并不容易求得.当枢轴量的精确分布不容易获得的时候，就需要利用大样本理论来获得枢轴量的渐近分布，并基于渐近分布构造参数的置信区间.下面，我们来介绍非正态总体参数置信区间的构造方法：

一是小样本方法，即枢轴量的精确分布已知.二是大样本方法，即枢轴量的精确分布不容易获得.4.3.1小样本方法一指数分布参数的置信区间其中λ>0是未知参数设X1,X2,…,Xn是来自指数分布总体X

的样本，其密度函数为问题：构造参数λ

或者1/λ

的置信水平为1-α的置信区间.背景：指数分布参数的置信区间在实际工程和科学研究中，特别是在可靠性分析中有非常广泛的应用.解:1/λ的一个良好的点估计(且是UMVUE)，因此，取作为枢轴量.由于对给定置信水平1-α

(0<α<l)，只要取c1

和c2

满足如何确定c1

和c2，满足上式的c1

和c2有无穷对，其中有一对c1

和c2使得区间长度最短.但是这样一对c1

和c2不易求得且表达式复杂，应用不方便.通常采用下列方法，一般令c1

和c2满足其中这样找到的c1

和c2虽不能使置信区间的精度最高，但是表达式简单，可通过χ2分布的上α分位数表求得，应用上很方便.因此有利用不等式等价变形得λ的置信水平为l-α的置信区间为同理得到λ

的置信水平为1-α的置信下限和上限分别为1/λ

的置信水平为1-α的置信区间为例4.3.1

某工厂生产某种电子元器件，为了了解该电子元器件的寿命，工程师从生产的产品中随机抽取了10个样品进行测试并获得其寿命数据为(单位：千小时)：51.198，29.092，154.949，94.141，54.775，225.471，79.341，38.891，205.883，195.727已知这种电子元器件的寿命分布为指数分布E(λ)，试根据上述试验数据分析该电子元器件平均寿命1/λ的置信水平为95%的置信区间.解：则1/λ的置信水平为95%的置信区间为n=10，由样本算得，查表得二均匀分布参数的置信区间设X1,X

2,…，Xn

是来自均匀分布U[0,θ],θ>0,的样本，问题：构造参数θ的置信水平为1-α的置信区间.解：X(n)是θ

的极大似然估计又是充分统计量，的密度函数为因此取作为枢轴量对给定置信水平1-α(0<α<1)，只要取c1和c2满足而等价变形为考虑区间平均长度最短的要求得到因此，θ的置信水平为1-α的置信区间为即：4.3.2大样本方法背景：两点分布在实际应用和科学研究中的应用也比较广泛.比如，工程师经常用两点分布来描述生产线上产品的状态.问题：令X表示产品的状态，取值为{0(正品)，1(次品)}，则X的分布为两点分布.工程师关心