中考数学三轮冲刺培优训练专题09锐角三角函数（解析版）

专题09锐角三角函数最新模拟押题预测40道（俯角仰角、方向角、坡度、解三角形）类型一、锐角三角函数的应用：俯角仰角问题1．（2023·河南安阳·统考一模）某校九年级数学项目化学习主题是“测量物体高度”．小明所在小组想测量中国文字博物馆门口字坊AB的高度．如图，在C处测得字坊顶端B的仰角为37°，然后沿CA方向前进6.3m到达点D处，测得字坊顶端B的仰角为45°，求字坊AB的高度．(结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈【答案】18.9【分析】根据题意可得：∠BAC=90°，CD=6.3m，设AB=xm，然后分别在Rt△ABC和Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AD【详解】解：由题意得：∠BAC=90°，CD=6.3设AB=xm在Rt△ABC中，∠∴AC=在Rt△ABD中，∠∴AD=∵AC−AD=CD，∴4解得：x=18.9，∴AB=18.9m∴字坊AB的高度约为18.9m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角函数的定义是解题的关键．2．（2023·山东菏泽·一模）某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士塔的高度．无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角为45°，烈士塔底部点C的俯角为61°，无人机与烈士塔的水平距离AD为10m，求烈士塔的高度．（结果保留整数．参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，【答案】烈士塔的高度为28米【分析】在Rt△ABD和Rt△ADC中，分别求出BD,CD的长，再利用【详解】解：由图可知：AD⊥BC，∠BAD=45°,∠CAD=61°，AD=10m在Rt△ABD中，∠BAD=45°，AD=10∴DB=AD=10m在Rt△ADC中，CD=AD⋅∴BC=BD+CD=28m答：烈士塔的高度为28米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．3．（2023·安徽合肥·合肥市庐阳中学校考一模）如图，为了测量校园内旗杆顶端到地面的高度AD，九年级数学应用实践小组了解到国旗的宽度AB=1.6m，小组同学在地面上的C处测旗杆上国旗A、B两点的仰角，测得∠ACD=48.5°，∠BCD=45.0°，求旗杆顶端到地面高度AD．（结果精确到0.1）参考数据：（sin48.5°=0.75，cos48.5°=0.66【答案】13.9【分析】根据正切的定义表示出CD=ADtan48.5°，CD=【详解】解：由题意可得：∠ADC=90°，∵∠ACD=48.5°，∠BCD=45.0°，∴tan∠ACD=ADCD∴CD=ADtan48.5°∴ADtan48.5°=∴ADtan解得：AD≈13.9，即旗杆顶端到地面高度为13.9m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，熟练掌握仰角俯角的概念和锐角三角函数定义是解题的关键．4．（2023·黑龙江绥化·校考一模）小王和小李负责某企业宣传片的制作，期间要使用无人机采集一组航拍的资料．在航拍时，小王在C处测得无人机A的仰角为45°，同时小李登上斜坡CF的D处测得无人机A的仰角为31°．若小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG=3米（点E，G，C，B在同一水平线上）．(1)小王和小李两人之间的距离CD；(2)此时无人机的高度AB．（sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60【答案】(1)310(2)21米【分析】（1）根据坡比的定义即可求解；（2）过点D作DH⊥AB于点H，解Rt△ADH【详解】（1）解：∵小李所在斜坡CF的坡比为1：3，铅垂高度DG=3米∴GC=3DG=9(米)，∴CD=G（2）解：设AB=x，如图所示，过点D作DH⊥AB于点H，∴DH=GB，BH=DG=3，则AH=AB−BH=x−3，∵∠ACB=45°，∴AB=BC=x，∴DH=GB=9+x，在Rt△ADH中，∠ADH=31°∴tan∠ADH=解得：x≈21，∴AB≈21米．答：无人机的高度约为21米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，坡比问题，仰角俯角问题，掌握三角函数关系是解题的关键．5．（2023·河南新乡·校联考一模）如图是人民英雄纪念碑，它位于北京天安门广场中心，是为了纪念在人民解放战争和人民革命中牺牲的人民英雄，碑体正面是毛泽东亲笔题词“人民英雄永垂不朽”八个鎏金大字．右图是纪念碑的示意图，小丽在A处测得碑顶D的仰角为30°，沿纪念碑方向前进37.1m后，在B处测得碑顶D的仰角为53°（点A，B，D，E，F在同一平面内，且点A，B，E，F在同一水平线上）求纪念碑的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：3≈1.73，sin53°≈45；cos53°≈35，tan53°≈【答案】37.9m【分析】过D作DH⊥AB于H，设DH=xm，得出BH的值，根据tanA=tan【详解】解：过D作DH⊥AB于H，如图所示：设DH=xm在Rt△DBH中，tan∴BH=x在Rt△AHD中，tan∴AH=3∴AB=AH−BH=3解得：x=37.9，答：纪念碑的高度约为37.9m．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，三角函数值的运算．6．（2023·陕西宝鸡·统考一模）如图，小刚同学从楼顶A处看楼下公园的湖边D处的俯角为65°，看另一边B处的俯角为25°，楼高AC为25米，求楼下公园的湖宽BD．（结果精确到1米，参考数据:sin25°≈0.42，tan25°≈0.47，sin65°≈0.91【答案】湖宽BD约为42米．【分析】在Rt△ADC求出CD，在Rt△ACB求出BC，那么【详解】解：由题意，得∠ADC=65°，∠ABC=25°．在Rt△ADC中，AC=25∴tan65°=∴CD=AC在Rt△ACB中，则BC≈53.19米，∴BD=BC−CD≈42（米）．答：湖宽BD约为42米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．7．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，西安市某居民楼南向的窗户用AB表示，其高度为2.5米（A，B，D三点共线），此地一年冬至正午时刻太阳光与地平面的最小夹角α为32.3°，一年夏至正午时刻太阳光与地平面的最大夹角β为79.2°，并且在冬至的正午时刻阳光刚好全部射入窗户，求遮阳棚中BD的高（结果精确到0.1m，参考数据：cos79.2°≈0.2，tan79.2°≈5.2，cos【答案】约为0.3米【分析】由AC∥DE可得出∠AED=79.2°，在Rt△ADE中，可得出AD≈5.2DE，在Rt△BDE中，可得出BD≈0.6DE，结合AD−BD=AB及AB=2.5米，可求出【详解】解：∵AC∥∴∠AED在Rt△ADE中，AD在Rt△BDE中，BD∵AD−BD=∴5.2DE−0.6DE=2.5∴DE=25∴BD≈0.6DE=0.6×25答：遮阳棚中BD的高约为0.3米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行线的性质，通过解直角三角形，用DE的长度表示出AD及BD的长是解题的关键．8．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为60°和35°，已知大桥BC的长度为100m，且与地面在同一水平面上．求热气球离地面的高度（结果保留整数，参考数据：sin35°≈712，cos35°≈【答案】119【分析】过点A作AD⊥CB交CB延长线于点D，利用三角函数表示出CD≈107AD，BD≈【详解】如图，过点A作AD⊥CB交CB延长线于点D，由题知，∠ACD=35°，∠ABD=60°，在Rt△ACD中，tan∴CD≈10在Rt△ABD中，tan∴BD≈10∴BC=CD−BD≈10∴107解得AD=119m∴热气球离地面的高约为119m【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形．9．（2023·广东深圳·校考模拟预测）消防车是救援火灾的主要装备，图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂AC（20米≤AC≤30米）是可伸缩的，且起重臂AC可绕点A在一定范围内上下转动张角∠CAE90°≤∠CAE≤150°，转动点A距离地面的高度AE(1)当起重臂AC的长度为24米，张角∠CAE=120°时，云梯消防车最高点C距离地面的高度CF的长为_____米．(2)某日一栋大楼突发火灾，着火点距离地面的高度为26米，该消防车在这栋楼下能否实施有效救援？请说明理由（参考数据：3≈1.7）（提示：当起重臂AC伸到最长且张角∠CAE最大时，云梯顶端C【答案】(1)16(2)能【分析】（1）过点A作AG⊥CF，在Rt△ACG中求出CG的长度，然后计算CF=CG+GF（2）当起重臂最长，转动张角最大时，同样求出CF的长度，与26米比较即可.【详解】（1）解：如图，过点A作AG⊥CF，由题意的：∠EAG=90°，GF=AE=4，∵∠CAE=120°，∴∠CAG=30°，在Rt△ACG∵AC=24，∴CG=AC⋅sin∴CF=CG+GF=12+4=16米．故答案为：16；（2）解：当起重臂最长，转动张角最大时，即：AC=30米，∠CAE=150°，∴∠CAG=60°，∴CG=AC⋅sin∴CF=CG+GF=25.5+4=29.5米．∵29.5>26，∴能实施有效救援．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，准确从图中提取数学模型是解题关键．10．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考一模）大雁塔是古城西安的标志性建筑（如图1）．某学习小组为测量大雁塔的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7:24的斜坡AE前行100米到达平台E处，测得此时楼顶D的仰角为60°，请同学们根据学习小组提供的数据求大雁塔的高度DC（结果保留根号）．【答案】大雁塔的高度DC为103+343【分析】根据锐角三角函数和勾股定理，可以得到EF=28米，AF=96米，然后根据题目中的数据，可以计算出DC的值．【详解】解：作BF⊥AB于F，由已知可得，tan∠EAF=EFAF=724，AE=100米，设EF=7a米，AF=24a米，∴7a2解得a=4，∴EF=28米，AF=96米，∵∠DAB=45°，∠B=90°，∴∠DAB=∠ABD=45°，∴AB=BD，设DC=x米，则DB=x+28米，CE=BF=x+28−96=∵∠DEC=60°，tan∠DEC=∴3x−68解得x=103+343答：大雁塔的高度DC为103+343【点睛】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．类型二：锐角三角函数的应用：方向角问题11．（2023·河南驻马店·统考一模）在某海域开展的“海上联合”反潜演习中，我方军舰要到达C岛完成任务．已知军舰位于B市的南偏东25°方向上的A处，且在C岛的北偏东58°方向上，B市在C岛的北偏东28°方向上，且距离C岛372km，此时，我方军舰沿着AC方向以30km/h的速度航行，问：我方军舰大约需要多长时间到达C岛？（参考数据：3≈1.73，sin【答案】我方军舰大约需要10小时到达C岛【分析】过点A作AD⊥BC于D，利用正切的定义表示出BD、CD，列出方程，解方程即可．【详解】解：过点A作AD⊥BC于D，由题意知，∠ABC=28°+25°=53°，∠ACB=58°−28°=30°，BC=372km设AD=xkm在Rt△ABD中，∵∠ABD=53°，∴BD=在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，∴CD=∵BD+CD=BC，34x+3∴AD≈150km，∴AC=2AD=300km，∴答：我方军舰大约需要10小时到达C岛．【点睛】本题考查解直角三角形的应用−方向角问题，正确标注方向角，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．12．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，一条高速公路在城市A的东偏北30°方向直线延伸，县城M在城市A东偏北60°方向上，测绘员从A沿高速公路前行4000米到达C，测得县城M位于C的北偏西60°方向上．现要设计一条从县城M进入高速公路的路线，请在高速公路上寻找连接点N，使修建到县城M的道路最短，试确定N点的位置并求出最短路线长？（结果取整数，3≈1.732【答案】点N在点M南偏西30°的10003米处，点N到A【分析】过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，根据方向角可以证得∠AMC=90°，根据三角函数即可求得MC，进而求得AN的长以及∠NPC．【详解】解：如图，过M作MN⊥AC交于N点，即MN最短，∵∠MAD=60°，∴∠CAM=30°，∠EAC=60°∴∠AMN=60°，又∵C处看M点为北偏西60°，∴∠FCM=60°，∴∠MCB=30°，∵∠CAD=30°，CB∥∴∠BCA=30°，∴∠MCA=∠MCB+∠BCA=60°，∴∠AMC=90°，∴在Rt△AMC中，∠AMC=90°，∠MAC=30°∴MC=∴NC=1∴MN=M∵MP∥∴∠AMP=∠MAB=30°,∴∠NMP=90°−30°−30°=30°，∴点N在点M南偏东30°的1732米处，∵AC=4000米，∴AN=AC−NC=4000−1000=3000（米）．答：点N在点M南偏东30°的1732米处，点N到A市最短路线3000米．【点睛】本题主要考查了方向角含义，正确作出高线，证明△AMC是直角三角形是解题的关键．13．（2023·福建厦门·厦门一中校考一模）如图，一艘海轮自西向东航行，在点B处时测得海岛A位于北偏东67°，航行12海里到达C点，又测得小岛A在北偏东45°方向上．已知位于海岛A的周围8海里内有暗礁，如果海轮不改变航线继续向东航行，那么它有没有触礁的危险？请说明理由．（参考数据：sin67°≈1213，cos【答案】没有触礁的危险，理由见解析【分析】过点A作AD⊥BC于点D，利用三角函数，求出AD的值，与8进行比较，即可得出结论．【详解】解：没有触礁的危险；理由如下：过点A作AD⊥BC于点D，则：∠ADC=∠ADB=90°，由题意，知：∠ABD=90°−67°=23°,∠ACD=45°,BC=12，设AD=x，在Rt△ADC中，∠ACD=45°∴CD=AD=x，∴BD=BC+CD=12+x，在Rt△ADB中，∠BAD=90°−∠ABD=67°∴tan∠BAD=解得：x≈60∵607∴没有触礁的危险．【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义，进行求解．14．（2023·山西晋中·统考一模）通过学习《解直角三角形》这一章，王凯同学勤学好问，在课外学习活动中，探究发现，三角形的面积、边、角之间存在一定的数量关系，下面是他的学习笔记．请仔细阅读下列材料并完成相应的任务．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a、b、c，△ABC的面积为S△ABC，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则在Rt∵sin∴AD=AB⋅∴S同理可得，S△ABC=即S△ABC由以上推理得结论：三角形的面积等于两边及其夹角正弦积的一半．又∵abc≠0∴将等式12bcsinA=∴asin由以上推理得结论：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等．理解应用：如图，甲船以302海里/时的速度向正北方向航行，当甲船位于A处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B处，且乙船从B处沿北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达D处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的C处，此时两船相距10(1)求：△ADC的面积；(2)求：乙船航行的速度（结果保留根号）．【答案】(1)50(2)203【分析】（1）结合题中条件可求出AD的长，再根据材料中的结论1：三角形的面积等于两边及其夹角正弦值的一半，即可求出答案．（2）根据第一问可知△ACD是等边三角形，结合题中条件求出∠ABC和∠BAC的大小，根据材料中的结论2：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，可求出BC的长，从而可求出答案．【详解】（1）解：由题意知：∠ADC=60°，DC=102，AD=30由结论①知，S=1所以△ADC的面积为503（2）解：由（1）知DC=AD，∠ADC=60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD=102又∠BAM=75°，∴∠BAC=180°−75°−60°=45°，由题意知∠NBC=15°，∠NBA=75°，∴∠ABC=75°−15°=60°，在△ABC中，由材料中结论②得ACsin∴BC=AC⋅∴乙船航行的速度为：203【点睛】本题考查的是方向角问题、等边三角形的判定，掌握方向角的概念、正确使用材料中的结论是解题的关键．15．（2023·安徽滁州·校考一模）在某张航海图上，标明了三个观测点的坐标为O0，0、B(12，0)、C(12，16)(1)求圆形区域的面积．(2)某时刻海面上出现一艘可疑船A，在观测点O测得A位于北偏东45°方向上，同时在观测点B测得A位于北偏东30°方向上，求观测点B到可疑船A的距离，结果保留根号；(3)当可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行时，是否会进入演习区？请通过计算解释．【答案】(1)100π(2)AB=12(3)当可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行时，不会进入演习区，理由见解析【分析】（1）如图所示，连接BC，OC，由O、B、C三点的坐标可得OB=12，BC=16，∠OBC=90°，即可得到（2）如图所示，连接OA，BA，过点A作AD⊥x轴于D，由题意得，∠AOD=45°，∠ABD=60°，设AB=x，解Rt△ABD得到AD=32x，（3）只需要判断出AD>20即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示，连接BC，∵O0，0、B(12，0)∴OB=12，BC=16，BC⊥x轴，即∴OC即为该圆形区域的直径，在Rt△OBC中，由勾股定理得OC=∴该圆形区域的面积为π×20（2）解：如图所示，连接OA，BA，过点A作AD⊥x轴于由题意得，∠AOD=45°，设AB=x，在Rt△ABD中，AD=AB⋅sin∠ABD=∴OD=OB+BD=12+1在Rt△AOD中，tan∴32解得x=123∴AB=123（3）解：当可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行时，不会进入演习区，理由如下：由（2）得AD=3∴点A的纵坐标大于该圆形区域的直径，∴当可疑船A由（2）中的位置向正西方向航行时，不会进入演习区．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，坐标与图形，勾股定理，90度的圆周角所对的弦是直径等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．16．（2023·广西河池·校考一模）如图，一艘渔船位于小岛B的北偏东30°方向，距离小岛40nmile的点A处，它沿着点A的南偏东15°的方向航行．(1)渔船航行多远距离小岛B最近（结果保留根号）？(2)渔船到达距离小岛B最近点后，按原航向继续航行206nmile到点C处时突然发生事故，渔船马上向小岛B上的救援队求救，问救援队从B处出发到达事故地点的最短航程BC【答案】(1)202(2)402【分析】（1）过B作BM⊥AC于M，求出AM的长，即为所求；（2）在Rt△BCM中，勾股定理求出BC【详解】（1）解：过B作BM⊥AC于M，由题意，可知：∠BAM=45°，则∠ABM=45°，在Rt△ABM中，∠BAM=45°，AB=40nmile∴△ABM是等腰直角三角形，∴BM=AM=2答：渔船航行202nmile距离小岛B（2）解：在Rt△BCM中，BM=202∴BC=B答：救援队从B处出发到达事故地点的最短航程是402nmile【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．17．（2023·湖南湘潭·湘潭县云龙中学校考一模）如图，AB是湘江段江北岸滨江路一段，长度为2km，C为南岸一渡口．为了解决两岸交通困难，在渡口C处架桥，CD⊥AB垂足为点D．经测量点C在A点的东偏南45°方向，在B点的西偏南60°方向．问：桥长CD为多少km？（结果精确到0.01，参考数据：2≈1.414，3【答案】1.27【分析】设CD=xkm，解Rt△ACD得到AD=xkm，解Rt△BCD得到BD=3【详解】解：设CD=xkm由题意得∠A=45°，在Rt△ACD中，AD=在Rt△BCD中，BD=CD⋅∵AB=AD+BD=2km∴x+3解得x=3−3∴CD≈3−1.732≈1.27km答：CD的长约为1.27km【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确计算是解题的关键．18．（2023·浙江嘉兴·校考一模）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15°方向上，他沿西北方向前进1003米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60°方向上，（点A、B、C、D(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）【答案】(1)点D与点A的距离为300米(2)隧道AB的长为(1502【分析】（1）根据方位角图，易知∠ACD=60°，∠ADC=90°，解Rt△ADC即可求解；（2）过点D作DE⊥AB于点E．分别解Rt△ADE，Rt△BDE求出AE和BE，即可求出隧道AB的长【详解】（1）由题意可知：∠ACD=15°+45°=60°，∠ADC=180°−45°−45°=90°在Rt△ADC中，∴AD=DC×tan答：点D与点A的距离为300米．（2）过点D作DE⊥AB于点E．∵AB是东西走向∴∠ADE=45°,∠BDE=60°在Rt△ADE中，∴DE=AE=AD×在Rt△BDE中，∴BE=DE×∴AB=AE+BE=1502答：隧道AB的长为(1502【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．19．（2023·新疆·统考一模）如图，B港口在A港口的南偏西25°方向上，距离A港口100海里处．一艘货轮航行到C处，发现A港口在货轮的北偏西25°方向，B港口在货轮的北偏西70°方向，求此时货轮与A港口的距离（结果取整数）．（参考数据：sin50°≈0.766,【答案】货轮距离A港口约141海里【分析】过点B作BH⊥AC于点H，分别解直角三角形求出AH、HC即可得到答案．【详解】解：过点B作BH⊥AC于点H，根据题意得，∠BAC=25°+25°=50°,∠BCA=70°−25°=45°，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∵AB=100,∠BAC=50°，sin∠BAH=∴BH=AB⋅sinAH=AB⋅cos在Rt△BHC中，∠BHC=90°∵∠BCH=45°,∴CH=BH∴AC=AH+CH=64.3+76.6≈141（海里）答：货轮距离A港口约141海里．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．20．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC=200米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，BD=100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．(1)求步道DE的长度（精确到个位）；(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？（参考数据：2≈1.414，3【答案】(1)283米(2)经过点B到达点D较近【分析】（1）过E作BC的垂线，垂足为H，可得四边形ACHE是矩形，从而得到EH=AC=200米，再证得△DEH为等腰直角三角形，即可求解；（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解．【详解】（1）解：过E作BC的垂线，垂足为H，∴∠CAE=∠C=∠CHE=90°，∴四边形ACHE是矩形，∴EH=AC=200米，根据题意得：∠D=45°，∴△DEH为等腰直角三角形，∴DH=EH=200米，∴DE=2（2）解：根据题意得：∠ABC=∠BAE=30°，在Rt△ABC中，∴AB=2AC=400米，∴经过点B到达点D，总路程为AB+BD=500米，∴BC=A∴AE=CH=BC+BD−DH=2003∴经过点E到达点D，总路程为2002∴经过点B到达点D较近．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．类型三：锐角三角函数的应用：坡度坡角问题21．（2023·天津武清·校考模拟预测）如图，某社区一建筑物上，悬挂“创文明小区，建和谐社会”的宣传条幅AB，小明站在位于建筑物正前方的台阶D点处测得条幅顶端A的仰角为36.5°，朝着条幅的方向走到台阶下的E点处，测得条幅顶端A的仰角为64°，已知台阶DE的坡度为1:2，DC=2米，则条幅AB的长度为多少米．（结果精确到0.1米，参考数据sin36.5°≈0.6，tan36.5°≈0.75，sin64°≈0.9【答案】AB≈7.8米【分析】要求AB的长，只要构造出直角三角形，利用锐角三角函数进行求解即可，过点D作DF⊥AB于点F，然后根据题目中的数量关系，可以表示出关于AB的等式，从而可以得到AB的值．【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图，由题意得DF=CB，∵台阶DE的坡度为1:2，DC=2米，∴CE=2CD=4米，∵∠AFD=90°,∠ADF=36.5°,CD=2米，tan∠ADF=∴tan36.5°=即DF=AB−2又∵∠ABE=90°,∠AEB=64°,CE=4米，CB=DF,tan∴BE=AB即DF−4=AB∴AB−2tan解得AB≈7.8米，∴条幅AB的长度为7.8米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，构造合适的直角三角形，利用锐角三角函数进行解答．22．（2023·山西忻州·统考一模）绵山是中国清明节（寒食节）的发源地，相传春秋时期晋国介子推携母隐居被焚在山上．绵山入口处有一座雄伟高大的介子推铜像，当地某校的综合与实践小组的同学们想要测出这座铜像有多高．他们先制订了测量方案，随后又进行了实地测量．如图，铜像MN建在坡比为1∶2.4的楼梯BM顶端，同学们在A处测得铜像顶点N的仰角为30°，然后沿着AC方向走了12m到达B处，此时在B处测得铜像顶点N的仰角为63.4°，其中点A，B，C，D，M，N均在同一平面内．请根据以上数据求出铜像MN的高度．（结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73，sin63.4°≈0.89，【答案】7.7【分析】延长NM交AB于点E，设BE=xm，在Rt△ANE中，根据正切得出tan∠NAE=NEAE，即33=NE12+x，根据正切得出tan∠NBE=NEBE，即【详解】解：延长NM交AB于点E，设BE=xm在Rt△ANE中，∠NAE=30°，∠AEN=90°∴tan∠NAE=NEAE在Rt△NBE中，∠NBE=63.4°，∠BEN=90°∴tan∠NBE=NEBE联合①②可求得x=1223∵铜像MN建在坡比为1∶2.4的楼梯BM顶端，∴MEBE∴ME=5∴MN=NE−ME=19答：铜像MN的高度约为7.7m【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，坡度坡角问题，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是解题关键．23．（2023·陕西榆林·校考一模）延安宝塔，是革命圣地延安的标志和象征，融历史文物和革命遗址为一脉，集人文景观和自然景观为一体．某数学兴趣小组在确保无安全隐患的情况下，开展了测量延安宝塔的高度的实践活动，具体过程如下：如图，CN是坡度i=3:4的斜坡，CN的长为15米，BC=32米．MN是测角仪，长为2米，从点M测得该塔顶部A处的仰角为37°，已知MN⊥BC，AB⊥BC，求该塔AB的高度．（参考数据：tan37°≈【答案】44米【分析】过M作ME⊥AB于点E，延长MN交BC于H，由坡度i=3:4，可设NH=3k，CH=4k，由勾股定理求得k=3，可得NH=9，CH=12，再在Rt△AEM中求得AE【详解】解：过M作ME⊥AB于点E，延长MN交BC于H，则BE=HM，EM=BH，由坡度i=3:4，可设NH=3k，CH=4k，则3k2解得k=3，∴NH=9，CH=12，∴BE=MH=MN+NH=2+9=11，EM=BH=BC+CH=32+12=44在Rt△AEM中，∵∠AME=37°∴AE=EM⋅tan∴AB=AE+BE=33+11=44．该塔AB的高度为44米【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建合适的直角三角形是解题的关键．24．（2023·陕西西安·校考三模）开封铁塔又名“开宝寺塔”，坐落在开封城东北隅铁塔公园内，因塔身全部以褐色琉璃瓦镶嵌，远看酷似铁色，故称为“铁塔”．在一次综合实践活动中，某数学小组对该铁塔进行测量．如图，他们在远处一山坡坡脚P处，测得铁塔顶端M的仰角为60°，沿山坡向上走35m到达D处，测得铁塔顶端M的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3:4，即tanθ=34【答案】约55米【分析】如图，过点D作DG⊥PE，垂足为G，过点D作DF⊥ME，垂足为F，根据题意可得：DG＝FE，DF＝GE，根据已知可设DG＝3x米，则GP＝4x米，从而在Rt△DGP中，利用勾股定理求出DP＝5x米，进而求出DG，GP的长，然后再设PE＝y米，在【详解】解：如图，过点D作DG⊥PE，垂足为G，过点D作DF⊥ME，垂足为F，由题意得：DG＝FE，在Rt△DGP中，tanθ=DG∴设DG＝3x米，则∴DP＝∵DP＝∴5x＝∴x＝∴DG＝FE＝设PE＝在Rt△MPE中，∠MPE＝∴ME＝∴DF=GE=GP+EP=28+y米，MF在Rt△MDF中，∠MDF＝∴tan30°＝解得：y=28+21经检验：y=28+21∴ME＝∴铁塔的高度ME约为55米．【点睛】本题考查了解直角三角形中仰角俯角问题，坡度问题，根据题意，结合图形画出正确的辅助线是解题的关键．25．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为8米，落在广告牌上的影子CD的长为5米，求铁塔AB的高．（AB、CD均与水平面垂直，结果保留根号）【答案】(43【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，分别求出DF、BF的长度，在Rt△ACE中，求出AE【详解】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BF⊥CD于F，在Rt△BFD中，∵∠DBF=30°,sin∵BD=8米，∴DF=4米，BF=43∵AB∥CD，∴四边形BFCE为矩形，∴BF=CE=43则BE=CF=CD−DF=5−4=1（米），在Rt△ACE中，∠ACE=45°∴AE=CE=43∴AB=AE+BE=(43答：铁塔AB的高为(43【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．26．（2023·河北衡水·校考二模）如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等．(1)求证：△ABC≅△DEF；(2)若滑梯的长度BC=10米，DE=8米，分别求出滑梯BC与EF的坡度；(3)在（2）的条件下，由于EF太陡，在保持EF长不变的情况下，现在将点E向下移动，点F随之向右移动．①若点E向下移动的距离为1米，求滑梯EF底端F向右移动的距离；②在移动的过程中，直接写出△DEF面积的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)滑梯BC的坡度为34．滑梯EF的坡度为(3)①底端F向右滑行的距离为51−6【分析】（1）根据直角三角形全等的判定直接证明即可；（2）利用全等三角形的性质及勾股定理得出DF=AC=6，再由坡度的定义求解即可；（3）①点E向下滑动的距离为1米，则此时DE=7米．结合勾股定理求解即可；②根据斜边不变，当三角形为等腰三角形时，面积最大求解即可．【详解】（1）在Rt△ABC与RtBC=EFAC=DF∴Rt△ABC≅（2）∵Rt△ABC≅∴AB=DE=8米．在Rt△ABC中，AC=∴DF=AC=6米，∴滑梯BC的坡度为ACAB滑梯EF的坡度为DEDF（3）①点E向下滑动的距离为1米，则此时DE=7米．在Rt△DEF中，DF=∴底端F向右滑行的距离为51−6②设点E向下滑动的距离为x米，则此时DE=8−x米在Rt△DEF中，DF=当DE=DF时，△DEF面积的最大，100−(8−x)解得：(8−x)2∴面积最大值为12【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形及坡度的定义，理解题意是解题关键．27．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，梯形ABCD是某水坝的横截面示意图，其中AB=CD，坝顶BC=2m，坝高CH=5m，迎水坡AB的坡度为(1)求坝底AD的长；(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽0.5m，背水坡坡角改为α=30°．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：π≈3.14,2≈1.41,【答案】(1)12(2)加固总长5千米的堤坝共需58125.0m【分析】（1）过点B作BM⊥AD于M，可得：CH=MB=5m,CB=HM=2m，利用坡比求出AM的长，易得△CHD为等腰直角三角形，进而求出DH（2）过点F作FG⊥AD于G，求出梯形CFED的面积，再乘以总长即可得出结果．【详解】（1）解：过点B作BM⊥AD于M，则四边形BCHM是矩形，∴CH=MB=5m∵i=1:1，∴tanA=∴∠A=45°，AM=BM=5∵AB=CD，∴四边形ABCD是等腰梯形∴∠CDH=∠A=45°∴△CHD是等腰直角三角形∴DH=CH=5m∴AD=DH+HM+AM=5+2+5=12m（2）解：过点F作FG⊥AD于G，则四边形FCHG是矩形，∴CF=GH=0.5m∵∠E=30°,∠FGE=90°，∴EG=FG∴DE=EG+GH−DH=5∴S梯形∴加固总长5千米的堤坝共需土方：252【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形．28．（2023·上海崇明·统考一模）如图，一根灯杆AB上有一盏路灯A，路灯A离水平地面的高度为9米，在距离路灯正下方B点15.5米处有一坡度为i=1:43的斜坡CD，如果高为3米的标尺EF竖立地面BC上，垂足为(1)当影子全在水平地面BC上（图1），求标尺与路灯间的距离；(2)当影子一部分在水平地面BC上，一部分在斜坡CD上（图2），求此时标尺与路灯间的距离为多少米？【答案】(1)标尺与路灯间的距离为8米；(2)此时标尺与路灯间的距离为14米．【分析】（1）由题意可知，AB⊥BC,EF⊥BC得到AB∥EF，则△EFG∽△ABG，把数值代入EFAB（2）连接AE交CD于点M，过点M作MN⊥BC交BC延长线于点N，过点M作MG⊥AB于点G，交EF于点H，设CM=x米，则FC=4−x米，可证明△AGM∽△GHM，得到AGEH=GMHM，求出AG=9−35x米，GM=【详解】（1）解：如图，由题意可知，AB⊥BC,EF⊥BC,∴AB∥EF，∴△EFG∽△ABG，∴EF由题意可知，EF=3,AB=9,FG=4，∴39解得BF=8,即标尺与路灯间的距离为8米；（2）如图，连接AE交CD于点M，过点M作MN⊥BC交BC延长线于点N，过点M作MG⊥AB于点G，交EF于点H，∵影子长为4米，∴FC+CM=4米，设CM=x米，∴FC=4−x∵BC=15.5米，∵AB⊥BC,EF⊥BC，∴AB∥EF，∴∠AGH=∠EHM，∠BAE=∠FEM，∴△AGM∽△EHM，∴AGEH∵CM=x米，MNCN∴CN=45x∴GB=3∴AG=9−35x米，GM=15.5+∴9−3∴9−35∴2x解得x1=−7（不合题意，舍去），经检验x=5∴FC=4−x=3∴BF=15.5−3∴此时标尺与路灯间的距离为14米．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、解分式方程、解直角三角形的坡度问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．29．（2023·海南儋州·统考一模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为i=1:2.4的斜坡AP攀行了26米到达点A，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．(1)求坡顶A到地面PQ的距离；(2)计算古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，【答案】(1)10米(2)约19米【分析】（1）过点A作AH⊥PQ于H，根据斜坡AP的坡度为i=1:2.4，得出AHPH=512，设AH=5k，则PH=12k，（2）延长BC交PQ于D，根据BC⊥AC，AC∥PQ可得BD⊥PO，从而得出四边形AHDC是矩形，再根据∠BPD=45°，得出PD=BD，利用Rt△ABC【详解】（1）解：过点A作AH⊥PQ于H，如图所示：∵斜坡AP的坡度为i=1:2.4，∴AHPH设AH=5k，则PH=12k，则AP=A∴13k=26，解得：k=2，∴AH=10，∴坡顶A到地面PQ的距离为10米．（2）解：延长BC交PQ于D，如图所示：∵BC⊥AC，AC∥∴BD⊥PQ，∴∠ACD=∠CDH=∠AHD=90°，∴四边形AHDC是矩形，CD=AH=10，AC=DH，∴∠BPD=45°，∴△BPD为等腰直角三角形，∴PD=BD，设BC=x，则x+10=24+DH，∴AC=DH=x−14，在Rt△ABC中，tan即xx−14≈4，解得：∴古塔BC的高度约19米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用、勾股定理、锐角三角函数、坡角与坡度、矩形的判定及性质，解题的关键根据题意作出辅助线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解．30．（2023·山东济南·一模）在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB的高度，如图，楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1∶3，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为45°，假山坡脚C与楼房水平距离BC=30米，与亭子距离CE=40米．(1)求点E距水平地面BC的高度；(2)求楼房AB的高．（结果精确到整数，参考数据2≈1.414，3【答案】(1)20米(2)85米【分析】（1）过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，求出CF=（2）过点E作EH⊥AB于点H．在Rt△AHE中，∠HAE=45°，结合（1）中结论得到CF的值，再根据AB=AH+BH，求出AB【详解】（1）解：过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，CE=40米，EF∴EF∵EF>0，∴EF=20（米）．答：点E距水平面BC的高度为20米．（2）过点E作EH⊥AB于点H．则HE=BF，BH=EF．在Rt△AHE中，∠HAE=45°∴AH=HE，由（1）得CF=3又∵BC=30米，∴HE=BC+CF=(30+203∴AB=AH+BH=30+203答：楼房AB的高约是85米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用−−仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．类型四、锐角三角函数与解直角三角形31．（2023·福建漳州·统考一模）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD交于点O，过点B作BE⊥AC于点E，作BF⊥BD交AC延长线于点F．(1)求证：△OBE∽△OFB；(2)求证：OC⋅CF=EC⋅OF．【答案】(1)见详解(2)见详解【分析】根据BF⊥BD，BE⊥AC可得∠BEO=∠OBF=90°，结合∠BOE=∠FOB即可得到证明；过点C作CH⊥BF交BF于点H，根据四边形ABCD是矩形，OB=OC可得，∠OCB=∠OBC，根据BE⊥AC，BF⊥BD可得∠CBF=∠CBE，得到EC=CH，在Rt△CHF与Rt【详解】（1）证明：∵BF⊥BD，BE⊥AC，∴∠BEO=∠OBF=90°，∵∠BOE=∠FOB，∵△OBE∽△OFB；（2）证明：过点C作CH⊥BF交BF于点H，在矩形ABCD中，OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∵BE⊥AC，BF⊥BD，∴∠BCE+∠CBE=90°，∠CBF+∠CBO=90°，∴∠CBF=∠CBE，∴EC=CH，在Rt△CHF中，sin在Rt△BOF中，sin∵OB=OC，∴sinF=∴ECCF即OC⋅CF=EC⋅OF．【点睛】本题考查三角形相似的判定与性质，三角函数，直角三角形两锐角互余，解题的关键是作出辅助线．32．（2023·河南安阳·统考一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB、CD是⊙O的直径，E是DA长线上一点，且∠CED=∠CAB．(1)判断CE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若DE=35，tanB=1【答案】(1)CE是⊙O的切线；见解析(2)3【分析】（1）根据直径所对的圆周角是90°，根据圆周角定理得出∠B=∠D，推出∠DCE=90°即可得出结论；（2）根据∠B=∠D，得到tan∠B=tan∠D，即可得CD=2CE【详解】（1）CE与⊙O相切，理由：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∵∠CED=∠CAB，∠B=∠D，∴∠CED+∠D=90°，∴∠DCE=∠ACB=90°，∴CD⊥CE，∵CD是⊙O的直径，即OC是⊙O半径，∴CE是⊙O的切线；（2）由（1）知，CD⊥CE，在Rt△ABC和Rt∵∠B=∠D，tanB=∴tan∠B=∴CD=2CE，在Rt△CDE中，CD2∴2CE2解得CE=3（负值舍去），即线段CE的长为3．【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，三角函数以及勾股定理等知识，掌握切线的判定是解答本题的关键．33．（2023·安徽安庆·统考一模）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14,AD=12,tan∠BAD=3【答案】5【分析】在Rt△ABD中，根据tan∠BAD=BDAD=34【详解】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ABD中，tan∴BD=AD·tan∴CD=BC−BD=14−9=5，∴AC=AD∴cosC=【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．34．（2023·浙江舟山·校联考一模）如图，在矩形ABCD中，点E为边AB上的一动点（点E不与点A，B重合），连接DE，过点C作CF⊥DE，垂足为F．(1)求证：△ADE∽(2)若AD=6,tan∠DCF=1【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）利用矩形的性质可得出∠A=∠ADC=90°，由CF⊥DE可得出∠CFD=90°=∠D，利用等角的余角相等可得出∠AED=∠FDC，进而可证出△ADE∽（2）利用相似三角形的性质可得出∠ADE=∠FCD，进而可得出tan∠ADE=tan∠FCD=13【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠ADC=90°．∵CF⊥DE，∴∠CFD=90°=∠A．∵∠AED+∠ADE=90°,∠ADE+∠FDC=∠ADC=90°，∴∠AED=∠FDC．∴△ADE∽（2）解：∵△ADE∽∴∠ADE=∠FCD，∴tan∠ADE=在Rt△ADE中，∠A=90°,AD=6∴AE=AD⋅tan即AE的长为2．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．35．（2023·上海静安·统考一模）如图，已知在△ABC中，∠B为锐角，AD是BC边上的高，cosB=513(1)求AC的长；(2)求∠BAC的正弦值．【答案】(1)AC长为20．(2)∠BAC的正弦6365【分析】（1）由∠B的余弦求出BD的长，得到DC长，由勾股定理即可解决问题．（2）过C作CH⊥AB于H，由三角形的面积公式求出CH的长即可解决问题．【详解】（1）∵∴BD=13×∴CD=BC−BD=21=5=16∵AD=∴AC=（2）作CH⊥AB于H∵△ABC的面积=∴13CH=21×12∴CH=∴∠BAC的正弦值是CH【点睛】本题考查的是解直角三角形，关键是作出恰当的辅助线．36．（2023·广东深圳·统考一模）(1)如图1，纸片▱ABCD中，AD＝10，S▱ABCD=60，过点A作AE⊥BC，垂足为E，沿AE剪下△ABE，将它平移至△DCE'的位置，拼成四边形AEE'DA．正方形

B．菱形

C．矩形(2)如图2，在（1）中的四边形纸片AEE'D中，在EE'上取一点F，使EF＝8，剪下△AEF，将它平移至△DE'F'的位置，拼成四边形①求证：四边形AFF'D是菱形；②连接DF，求sin∠ADF【答案】(1)C(2)①证明见详解；②310【分析】（1）根据▱ABCD可得AD∥EC，结合AE⊥BC可得，∠EAD=AEC=AEB=90°，再根据△ABE平移得到△DCE'，可得∠CE（2）①根据平移可得AF=DF'，AF∥DF'，即可得到四边形AFF'D是平行四边形，根据AE=60÷10=6，结合EF＝8根据勾股定理可得AF，即可得到证明；②根据ADAD∥EF可得∠FE【详解】（1）解：∵▱ABCD中，AD＝10，∴AE=60÷10=6，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥EC，∵AE⊥BC，∴∠EAD=AEC=AEB=90°，∵△ABE平移得到△DCE'，∴∠CE∴四边形AEE'D的形状为矩形，故选C；（2）①证明：∵△AEF平移得到△DE'F'，∴AF=DF'，∴四边形AFF∵AE=60÷10=6，EF＝∴AF=6∴AF=AD，∴四边形AFF'D是菱形；②∵AD＝10，∴FE∵AE=6，∴DF=6∵AD∥EF，∴∠FE∴sin∠ADF【点睛】本题考查平移的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角函数，平行四边形的性质，解题的关键是根据平移及平行四边形的性质得到相应的条件．37．（2023·广东梅州·校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=3，BC的延长线与AD的延长线交于点E．(1)若∠A=60°，求BC的长；(2)若sinE=35，求【答案】(1)BC=6(2)AD=6【分析】（1）利用三角函数值求出BE=3AB=63（2）先求出AE=10，再求出DE=4，即可解得．【详解】（1）∵tanA=AB=6∴BE=3∵∠A=60°，∴∠E=30°，∴sin30°=又∵CD=3，∴CE=2CD=6，∴BC=BE−CE=63（2）∵sinE=3AB=6，∴AE=10，tanE=又∵CD=3，∴DE=4，∴AD=AE−DE=6．【点睛】