2024-2025学年江苏省苏州市高三上册9月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省苏州市高三上学期9月月考数学检测试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1.已知集合，则（）A. B. C. D.2.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3若，则（）A. B. C. D.74.函数部分图象大致为（）A. B.C. D.5.为了得到函数的图象，只要将函数的图象（）A.向左平移1个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移1个单位长度 D.向右平移个单位长度6.已知，，则（）A. B. C.2 D.－27.已知函数，直线与的图象在轴右侧交点的横坐标依次为、、、、、，（其中），若，则（）A. B. C. D.8.定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”.若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．9.已知，，，下列结论正确的是（）A.的最小值为9 B.的最小值为C.的最小值为 D.的最小值为10.已知奇函数的最小正周期为π，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法中正确的有()A.函数的图象关于直线对称B.当时，函数的最小值是C.函数在区间上单调递增D.若函数有且仅有3个零点，则所有零点之和11关于函数有下述四个结论，则（）A.是偶函数 B.的最小值为C.在上有4个零点 D.在区间单调递增三、填空题：12.请写出一个函数___________，使之同时具有如下性质：①，，②，.13.已知定义在上函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为_________14.已知，，若存在最大值，则正数m的取值范围是______.四、解答题：15.已知向量，向量，记.（1）求表达式；（2）解关于x的不等式.16.已知函数.（1）若，判断并证明在上的单调性；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.17.已知函数在上单调递减.（1）求的最大值；（2）若的图象关于点中心对称，且在上的值域为，求m的取值范围.18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）证明：；（2）若，，求.19.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若有两个极值点，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.2024-2025学年江苏省苏州市高三上学期9月月考数学检测试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先求出集合N，再根据交集的定义即可求解.【详解】解：因为集合，所以，故选：C2.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】利用特殊值法，结合基本不等式及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】解：充分性：由于，，且，取，，则成立，但，所以充分性不成立.必要性：由于，，且，由基本不等式，当且仅当时取等号，所以，解得，即，所以由“”能推出“”，所以必要性成立.所以，当，时，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.若，则（）A. B. C. D.7【正确答案】D【分析】利用二倍角公式以及弦化切可求得所求代数式的值.【详解】因为，则，.故选：D.4.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】先根据奇偶性排除选项C，然后根据排除选项B，最后由时，即可得答案.【详解】解：因为，，所以，又定义域为R，所以为R上的偶函数，图象关于轴对称，故排除选项C；因为，所以排除选项B；又时，，故排除选项D；故选：A.5.为了得到函数的图象，只要将函数的图象（）A.向左平移1个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移1个单位长度 D.向右平移个单位长度【正确答案】B【分析】根据已知条件，结合平移“左加右减”准则，即可求解．【详解】解：，把函数的图形向左平移个单位可得到函数．故选：B．6.已知，，则（）A. B. C.2 D.－2【正确答案】B【分析】根据同角关系可得，由正切的二倍角公式以及诱导公式即可求解.【详解】因为所以由得，因此，由二倍角公式可得，故选：B7.已知函数，直线与的图象在轴右侧交点的横坐标依次为、、、、、，（其中），若，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】令，分析可知，由可得出，结合同角三角函数的基本关系可求得的值.【详解】由可得，，则.若，则，不合乎题意，所以，.令，，如下图所示：由图可知，，则，，所以，，所以，，所以，，整理可得，由题意可得，解得.故选：B.8.定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”.若函数，的“躺平点”分别为，，则，的大小关系为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】对求导，构造函数，研究其单调性和零点，利用零点存在性定理求出；同样方法求出，得到答案.【详解】定义域为0,+∞，，由题意得：，令，x∈0,+∞，则为函数的零点，，所以在x∈0,+∞上单调递增，又，，由零点存在性定理，.另外，，由题意得：，令，则为函数的零点，，令得：或，令得：，所以单调递增区间为−∞,0，，单调递减区间为，在处取得极大值，，在处取得极小值，故在上无零点，因为函数在上单调递增，且，，由零点存在性定理：所以.故选：D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分．9.已知，，，下列结论正确的是（）A.的最小值为9 B.的最小值为C.最小值为 D.的最小值为【正确答案】AD【分析】根据基本不等式、二次函数的性质和对数运算性质判断各选项即可.【详解】因为，，，所以，当且仅当，即时取等号，取得最小值9，故A正确；，根据二次函数的性质可知，当，时，取得最小值，故B错误；因为，即，当且仅当，即时取等号，所以，即最大值，故C错误；，当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，故D正确．故选：AD．10.已知奇函数的最小正周期为π，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则下列说法中正确的有()A.函数的图象关于直线对称B.当时，函数的最小值是C.函数在区间上单调递增D.若函数有且仅有3个零点，则所有零点之和为【正确答案】ABD【分析】用辅助角公式化简f(x)的解析式，根据其为奇函数和最小正周期分别求出和的值，再根据图象平移求出g(x)的解析式.验证是否为g(x)的最大值或最小值可判断A；根据，结合g(x)解析式和三角函数的性质可求其最小值，从而判断B；根据，结合g(x)解析式和三角函数的单调性即可判断C；令，将零点问题转化为函数图象交点问题，数形结合即可判断D．【详解】由已知，，∵函数为奇函数，∴，可得，又∵，∴，又∵函数的最小正周期为π，∴，解得，∴．将函数的图象向右平移个单位长度，得．∵，∴是g(x)的一条对称轴，故A正确；时，，，∴，故B正确；时，，故g(x)在不单调，故C错误；令，则函数化为，y＝2sin2t和y＝kt有且仅有三个交点，如图：则，，则，，即，∴，故D正确．故选：ABD．11.关于函数有下述四个结论，则（）A.是偶函数 B.的最小值为C.在上有4个零点 D.在区间单调递增【正确答案】ABC【分析】对A：根据偶函数的定义即可作出判断；对B：由有界性，，且时即可作出判断；对C：当时，，可得函数有两个零点，根据偶函数的对称性即可作出判断；对D：当时，，利用三角函数图象与性质即可作出判断.【详解】解：对A：因为，所以是偶函数，故选项A正确；对B：因为，，所以，而时，所以的最小值为，故选项B正确；对C：当时，，令，可得，，又由A知函数为偶函数，所以函数在区间上也有两个零点，，所以函数在区间上有4个零点，故选项C正确；对D：当时，，因为，所以，而在上单调递增，在上单调递减，故选项D错误.故选：ABC.三、填空题：12.请写出一个函数___________，使之同时具有如下性质：①，，②，.【正确答案】【分析】根据①②可知函数是周期函数且关于对称，即可求解.【详解】性质①②分别表示关于直线对称和以4为周期，答案不唯一，写出一个即可，例如，故13.已知定义在上的函数在上单调递增，且是偶函数，则满足的x的取值范围为_________【正确答案】.【分析】首先可得函数的图象关于直线对称，再根据函数的单调性及对称性得到，解得即可.【详解】由函数是偶函数，得函数的图象关于y轴对称，而函数的图象可由函数的图象向左平移2个单位而得，因此函数的图象关于直线对称，又函数在上单调递增，则不等式等价于，即，整理得，解得，所以所求x的取值范围为.故14.已知，，若存在最大值，则正数m的取值范围是______.【正确答案】【分析】由辅助角公式可得，其中，，又由，从而得，因为存在最大值，从而可得，最后根据，求解即可.【详解】因为，其中，又因为，所以，又因为m为正数，所以，，所以，又因为存在最大值，所以，又因为，从而可得，所以，解得.故四、解答题：15.已知向量，向量，记.（1）求表达式；（2）解关于x的不等式.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由向量的数量积运算以及三角恒等变换化简，得函数的表达式；（2）由正弦函数的性质，整体代换可得不等式的解集.【小问1详解】解：因为向量，向量，所以.所以.【小问2详解】解：由（1）得，所以，即，解得，所以的解集为.16.已知函数.（1）若，判断并证明在上的单调性；（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）在上单调递减，在上单调递增；证明见解析（2）【分析】（1）计算，考虑，和，两种情况，得到函数单调区间；（2）变换得到，设，计算函数的最大值得到答案.【小问1详解】，则，当时，在上单调递减，在上单调递增.证明：，且，，，故，，当，时，，所以，故，即，所以函数在上单调递减；当，时，，所以，故，即，所以函数在上单调递增.【小问2详解】，即，即，存在，使得成立.令，，.所以存在，成立.所以，又，所以当时，，所以，即.17.已知函数在上单调递减.（1）求的最大值；（2）若的图象关于点中心对称，且在上的值域为，求m的取值范围.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）将看作整体，再根据正弦型函数的单调性可求得结果；（2）根据正弦型函数的对称中心及第一问可得解析式，再利用正弦型函数的图象与性质可得结果.【小问1详解】由条件知则，由正弦函数的性质可知：又有，当时，符合题意；当时，不等式，舍去，所以的最大值为.【小问2详解】因为的图象关于点中心对称，所以.即，由（1）得：，所以，则，当时，，因为在上的值域为，所以，则，解得，所以m的取值范围是.18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）证明：；（2）若，，求.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）由正弦定理，半角公式，正弦和角公式得到，结合得到，由正弦定理得到答案；（2）化切为弦，结合余弦差角公式，得到，结合（1）中结论求出，由余弦定理得到，，利用同角三角函数关系得到答案.【小问1详解】由已知结合正弦定理，得，化简得，即，所以，又，所以，故由正弦定理得.【小问2详解】因为，所以，所以，所以，结合，可得，故，由（1）知，由余弦定理得，则，化简得，代入，整理得，所以，所以，故.19.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若有两个极值点，且不等式恒成立，求实数m的取值范围.【正确答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）确定定义域后，求得，分别在和两种情况下，根据的正负即可确定的单调性；（2）将恒成立的不等式转化为，由，可得，令，利用导数求得的单调性，可知，由此可得结果.【小问1详解】解：由题意知：定义域为0,+∞，，二次函数的判别式．①当，即当时，对任意的，，单调递增区间为0,+∞，无单调递减区间；②当，即当时，由得：或．当或时，，当时，，单调递增区间为，，单