2024−2025学年吉林省白城市高三上册10月期中考试数学试题合集2套（含解析）

2024−2025学年吉林省白城市高三上学期10月期中考试数学试题（一）一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．若，则复数的模为（

）A． B． C． D．3．已知，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．4．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．5．风车又称“风谷车”，相传是春秋时期鲁国人鲁班发明，由风车肚、摇手、漏斗、出风口等部件组成．风车的工作原理是摇动叶片形成恰当的风力，风吹谷子将谷壳与谷粒分离．已知某风车将谷壳和谷粒分离后，谷壳和谷粒体积的比例大概为1：5，项部梯形状的漏斗（谷子的入料仓，也称“盛斗”）可看作是正四棱台，如图2所示，该几何体上、下底面边长分别为，，若使用该风车将漏斗装满后，分离出的谷粒有，则漏斗的高为（

）A． B． C． D．6．已知的展开式中项的系数为160，则当，时，的最小值为（

）A．4 B． C．2 D．7．已知椭圆：的左右顶点分别为，，圆的方程为，动点在曲线上运动，动点在圆上运动，若的面积为，记的最大值和最小值分别为和，则的值为（

）A． B． C． D．8．设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（

）A． B．或1 C．1 D．或2多选题（共3小题，每小题6分，共18分）9．已知向量，则（

）A． B．C．若，则 D．10．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021年10月24日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如下．根据猫眼实时数据，该片的票房为53.1亿元，按照平均票价50元来计算，大约有1亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（

）A．m的值是32%B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星C．若以频率当作概率，记事件A为“评价是一星”，事件B为“评价不高于二星”，则D．若从已作评价的观众中随机抽出3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件11．设函数，则（

）A．存在a，b，使得为曲线的对称轴B．存在a，使得点为曲线的对称中心C．当时，是的极大值点D．当时，有三个零点填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．记为等差数列的前n项和，若，，则．13．若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则．14．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则．四、解答题（共77分）15．（本题13分）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(1)求；(2)若，求周长的取值范围．(本题15分）随着5G网络信号的不断完善，5G手机已经成为手机销售市场的明星．某地区手机专卖商场对已售出的1000部5G手机的价格数据进行解题思路得到如图所示的频率分布直方图：(1)求5G手机的价格75%分位数；(2)某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500～6500的手机各一部，商场工作人员应顾客的要求按照分层随机抽样的方式提供了9部手机让其从中购买，假定选择每部手机是等可能的，设这两人购买同一价位的手机的数量为X，求（本题15分）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．（本题17分）设各项非零的数列的前n项和记为，记，且满足，(1)求，的值，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．19．（本题17分）已知函数（）．(1)求的单调区间；(2)若函数，是函数的两个零点，证明：．数学试题答案一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．答案：D解：，或，所以或=.故选：D.2．若，则复数的模为（

）A． B． C． D．答案：C解：由可得，整理得，，故.故选：C.3．已知，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：D解：易知，即；而，所以，即；又，即；即可得.故选：D4．函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．答案：B解：令，其定义域为关于原点对称，，所以函数为奇函数，即图像关于原点对称，故排除AC，当时，，，，即，故排除D，故选：B.5．风车又称“风谷车”，相传是春秋时期鲁国人鲁班发明，由风车肚、摇手、漏斗、出风口等部件组成．风车的工作原理是摇动叶片形成恰当的风力，风吹谷子将谷壳与谷粒分离．已知某风车将谷壳和谷粒分离后，谷壳和谷粒体积的比例大概为1：5，项部梯形状的漏斗（谷子的入料仓，也称“盛斗”）可看作是正四棱台，如图2所示，该几何体上、下底面边长分别为，，若使用该风车将漏斗装满后，分离出的谷粒有，则漏斗的高为（

）A． B． C． D．答案：C解：设棱台的高为，由题设谷子有由棱台的体积公式可得，故，故选：C.6．已知的展开式中项的系数为160，则当，时，的最小值为（

）A．4 B． C．2 D．答案：B解：的展开式中项的系数为160，所以，令，解得所以，所以，∵，，，当且仅当时等号成立，∴的最小值为，故选：B.7．已知椭圆：的左右顶点分别为，，圆的方程为，动点在曲线上运动，动点在圆上运动，若的面积为，记的最大值和最小值分别为和，则的值为（

）A． B． C． D．答案：B解：椭圆：中，，设，因的面积为，则，解得或，当时，，当时，，即点或或或，圆圆心，半径，此时或或或，显然，又点在圆上运动，则有，此时点，，此时，即，所以.故选：B8．设函数，若方程有六个不等的实数根，则实数a可取的值可能是（

）A． B．或1 C．1 D．或2答案：B解：当时，，则，由得，即时，单调递减，由得，即时，单调递增，当时，取得极小值，，作出的图象如图：由图象可知当时，有三个不同的x与对应，设，方程有六个不等的实数根，所以在内有两个不等的实根，设，所以，则实数a可能是或1.故选：B．二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分）9．已知向量，则（

）A． B．C．若，则 D．答案：ABD解：由题意，对于A，，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，若，则，即，即，所以，故C错误；对于D，，所以，故D正确．故选：ABD．10．豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021年10月24日，共计有人参与评分，豆瓣评分表如下．根据猫眼实时数据，该片的票房为53.1亿元，按照平均票价50元来计算，大约有1亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（

）A．m的值是32%B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星C．若以频率当作概率，记事件A为“评价是一星”，事件B为“评价不高于二星”，则D．若从已作评价的观众中随机抽出3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件答案：AD解：对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则，所以，故A正确；对B选项，随机抽取100名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B错误；对C选项，由A选项，因为，则，故C错误；对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确；故选：AD11．设函数，则（

）A．存在a，b，使得为曲线的对称轴B．存在a，使得点为曲线的对称中心C．当时，是的极大值点D．当时，有三个零点答案：BCD解：对于选项A，假设存在这样的，使得为的对称轴，即存在这样的使得，即，因为等式右边展开式含有的项为，可知等式左右两边的系数不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的，使得为的对称轴，故A错误；对于选项B：因为，若存在，使得为的对称中心，则，且，可得，则，解得，所以存在使得是的对称中心，故B正确；对于选项C：因为，若，当时，，当时，，可知在内单调递减，在内单调递增，所有在处取到极大值，是的极大值点，C选项正确；对于选项D，由题意可知：的定义域为，且，因为，当时，；时，；可知在上单调递增，在上单调递减，则在处取到极大值，在处取到极小值，且，，，则在上各有一个零点，所以当时，有三个零点，故D正确；故选：BCD.三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．记为等差数列的前n项和，若，，则．答案：解：设等差数列的公差为，因为，可得，解得，则，所以.故答案为.13．若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则．答案：解：由得，所以曲线在原点处的切线为．由得，设切线与曲线相切的切点为．由两曲线有公切线得，解得，则切点为．因为切点在切线上，所以．故14．椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则．答案：解：因为是“黄金椭圆”，故，故，连接，因为为内心，故为角平分线，由角平分线性质，有，故，故，.四、解答题（共77分）15．（本题13分）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(1)求；(2)若，求周长的取值范围．解：（1）由正弦定理得，故，所以，因为，，所以，因为，所以；（2）由（1）可知，，，又，所以，由基本不等式得：，即，所以，当且仅当时，等号成立.又，即，又，所以，所以，即周长的取值范围是.16.(本题15分）随着5G网络信号的不断完善，5G手机已经成为手机销售市场的明星．某地区手机专卖商场对已售出的1000部5G手机的价格数据进行解题思路得到如图所示的频率分布直方图：(1)求5G手机的价格75%分位数；(2)某夫妻两人到该商场准备购买价位在4500～6500的手机各一部，商场工作人员应顾客的要求按照分层随机抽样的方式提供了9部手机让其从中购买，假定选择每部手机是等可能的，设这两人购买同一价位的手机的数量为X，求解：（1）由频率分布直方图可得，，解得.因5G手机的价格在百元的频率为，而价格在百元的频率为，故5G手机的价格75%分位数应该在元这一组，且75%分位数为元；（2）因购买价位在4500～5500和5500～6500的手机分别占的比率为和，故按照分层随机抽样的方式在4500～5500这一价位选取了6部，在5500～6500这一价位选取了3部，这两人购买同一价位的手机的数量的可能值有0、2.则，，的分布列为：02故.17.（本题15分）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，．(1)若为线段中点，求证：平面．(2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）取的中点为，接，则，而，故，故四边形为平行四边形，故，而平面，平面，所以平面.(2)因为，故，故，故四边形为平行四边形，故，所以平面，而平面，故，而，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，则设平面的法向量为，则由可得，取，设平面的法向量为，则由可得，取，故，故平面与平面夹角的余弦值为18.（本题17分）设各项非零的数列的前n项和记为，记，且满足，(1)求，的值，并求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和．解：（1）由题意可知，，且，解得：或（舍去）,又当时，，所以有,化简得：，则，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，所以.（2）由（1）及题设可知，.当时，，当时，..①当是奇数时，当时，当时，，当时，也适合上式，即：，且为奇数；②当是偶数时，.即：，且为偶数；综上所述；.19．（本题17分）已知函数（）．(1)求的单调区间；(2)若函数，是函数的两个零点，证明：．解：（1）函数的定义域为，，①当时，，则在上单调递增；②当时，若，则，若，则，则在上单调递增，在上单调递减．综上，当时，单调递增区间为，无递减区间；当时，单调递增区间为；单调递减区间为.（2）因为是的两个零点，所以，，将两式作差可得，又，所以，所以要证，只须证明，即证明，即证明，令，即证，，令，则，令，则在上恒成立，∴在上递减，又，∴在上递增，则，即，所以成立，即．2024−2025学年吉林省白城市高三上学期10月期中考试数学试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．函数则函数的零点个数是（）A． B． C． D．2．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．已知函数（），若时，在处取得最大值，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．4．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．5．已知函数则函数y=fx−3A．1 B．2C．3 D．46．设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=()A．-4 B．-2 C．2 D．47．若，（）试比较的大小关系（

）A．B．C．D．8．已知集合，，则（

）A． B．C． D．二、多选题（本大题共4小题）9．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．的解集为10．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，且对任意的，且，都有，则下列结论正确的是（

）A．是奇函数 B．C．的图象关于对称 D．11．已知偶函数的定义域为，对任意两个不相等的正数，都有，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．12．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．在定义域上是增函数B．的值域为C．D．若，，，则三、填空题（本大题共4小题）13．已知定义域为的函数满足：（c为常数），，则的单调递增区间是；若不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则a的取值范围是.14．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是.15．设函数存在最小值，则的取值范围是.16．已知是函数的一个零点，且，则的最大值为．四、解答题（本大题共6小题）17．已知函数对于任意的且都满足．(1)求，的值；(2)判断函数的奇偶性．18．已知函数为对数函数，并且它的图象经过点，，其中.（1）求函数的解析式；（2）求函数在区间上的最小值.19．已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值．20．已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．21．定义在上的函数，满足对任意x，，有，且.(1)求，的值；(2)判断的奇偶性，并证明你的结论；(3)当时，，解不等式.22．给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为.(1)若，判断集合是否为空集，并说明理由；(2)若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线；(3)若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围.

答案1．【正确答案】A【分析】通过对式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数．【详解】函数的零点即方程和的根，函数的图象如图所示：由图可得方程和共有个根，即函数有个零点,故选A.本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．2．【正确答案】B【详解】当时，的导数为，当时，的导数为，设，为该函数图象上的两点，且，当，或时，，故，当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为．两直线重合的充要条件是①，②，由①及，得，由①②，令，则，且，记，则其导数为，易知在0,1恒成立，则函数在0,1为减函数，∴，∴实数a的取值范围是．故选：B．3．【正确答案】A【详解】∵，令，∴，当时，此时在上单调递增；当时，此时在上单调递减.由，故可大致作出的图象如下，∴，∴当时，，f′x≥0，在R上单调递增，不成立；当时，，在0,2上单调递减，成立；当时，有两个根（），当时，，f′x>0当时，，f′x<0当时，，f′x>0∴在，上单调递增，在上单调递减，显然不成立.综上.故选：A．4．【正确答案】B【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.【详解】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.5．【正确答案】B【详解】当x＞0时，令lnx−3=0，∴lnx=±3，∴x=e3或e−3当x⩽0时，令−2x2−4x−3=0，即∵Δ=16−4×2×3＜0，∴方程没有实数根．综上，函数y＝f(x)−3的零点个数是2．6．【正确答案】B【详解】由x2-4≤0,解得-2≤x≤2,所以集合A=[-2,2].又2x+a≤0,解得x≤-a2,则集合B=−∞,−a2.又集合A∩B=[-2,1],则-a27．【正确答案】D【详解】由得，故，又，故，由常用数据得，下面说明，令，，当时，，单增，当时，，单减，则，则，则，，令，则，，，则，综上，.故选：D.8．【正确答案】D【详解】由题意可得.故选：D.9．【正确答案】ACD【详解】由不等式和解集的形式可知，，且方程的实数根为或，那么，所以，所以，且，故A、C正确，B错误；不等式，即，解得:,所以不等式的解集为，故D正确.故选：ACD10．【正确答案】BCD【详解】因为为奇函数，所以，即函数关于对称，故函数不是奇函数，故选项A错误，选项C正确；由函数关于对称知，又因为为偶函数，所以，即函数关于对称，则，所以，即，所以，所以是周期为4的周期函数，所以，又，所以，所以，所以，故选项B正确；对任意的，且，都有，所以函数在上单调递增，又，所以，所以，故选项D正确.故选：BCD11．【正确答案】BCD【分析】设，确定其单调性，再由偶函数定义把自变量是负数的函数值化为正数的函数值，然后由单调性得结论．【详解】对任意两个不相等的正数，都有，设，则，当时，，即，函数在上单调递减，函数为偶函数，，，，，在上单调递减，则，，，，由此可判断A错误，B，C，D正确，故选：BCD.12．【正确答案】BD【分析】确定函数定义域，结合导数判断其单调性，可判断A；作出函数图象，数形结合，判断B；结合函数解析式可得，即可判断C；将化简变形得到，结合函数单调性推出，即可判断D.【详解】对于A，函数的定义域为，，则在上均单调递增，由于函数图象在处不连续，故不能说在定义域上是增函数，A错误；对于B，结合函数的单调性，作出函数的大致图象，结合图象可知的值域为，B正确；对于C，由于，故，故，故，C错误；对于D，由题意知，又，即而，，故，结合在上单调递增，可得，D正确，故选BD.13．【正确答案】【详解】由题意，得，所以，，令f′x>0，，所以的单调递增区间是．令f′x<0，，所以的单调递减区间是．且当时，；设，可知该函数恒过点，画出，的大致图象，如图所示，

设过2,0的切线的切点为，则，故，而，不等式（其中）的解集中恰有两个整数，则这两个整数为0，或，所以，或即或，解得或故，.14．【正确答案】【详解】在上，开口向上且对称轴为，∴1、当时，在上无零点，此时上，递增，故最多有一个零点，不合题意；2、当时，，在上无零点；此时上，则上，递增，上，递减，且，；，，∴只需即可，则，符合题设；3、当时，，在上有一个零点；此时上，则上，递增，上，递减，且，；，，而，不合题设；4、当时，，在上有两个零点；此时只需即可，则，∴上恒成立.综上，的取值范围为15．【正确答案】【分析】根据题意分，，和四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值；②当时，，当时，，故函数存在最小值；③当时，，故函数在上单调递减，当时，；当时，.若，则不存在最小值，故，解得.此时满足题设；④当时，，故函数在上单调递减，当时，；当时，.因为，所以，因此不存在最小值.综上，的取值范围是.故关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.16．【正确答案】【详解】因为是函数的一个零点，所以，将看作直线上一个点的坐标，则为直线上的点到坐标原点的距离．设坐标原点到直线的距离为，则，所以．令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以当时，，所以，所以，故的最大值为．故317．【正确答案】(1)，；(2)偶函数.【详解】（1）因为对于任意的，且都满足，所以令，得到，所以，令，得到，所以.（2）由题意可知，函数的定义域为，关于原点对称，令，得，因为，所以，所以为偶函数．18．【正确答案】（1）；（2）.【详解】试题分析：（1）设，将点代入解析式有：，所以转化成指数式，所以，函数；（2）根据第（1）问求得的函数f(x)解析式可得，设，则，所以我们将问题转化为求二次函数在区间上的最小值，对配方得，然后分三种情况进行讨论，分别为，，，根据不同区间上的单调性，就可以求出函数的最小值，将最小值用分段函数表示出来即可.试题解析：（1）设（且）∵的图象经过点，∴，即∴，即∴.（2）设，∵，∴∴，即则，，对称轴为①当时，在上是增函数，②当时，在上是减函数，在上是增函数，③当时，在上是减函数，综上所述，.考点：1、对数函数；2、复合函数；3、二次函数动轴定区间问题.【方法点睛】本题以对数函数为切入点，考查学生对复合函数的掌握，对于复合函数，要求能准确的分清内层函数及外层函数，同时还要掌握换元法的思想在解题中的使用，换元过程中要准确的给定新元的取值范围.另外，本题还着重考查二次函数中动轴定区间的最值问题，考查学生的分类讨论能力，考查学生的数形结合思想.19