2024-2025学年江苏省镇江市高三第一册期初质量监测数学试题（含解析）

2024-2025学年江苏省镇江市高三第一学期期初质量监测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为A．6B．7C．8D．92．已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|2－x＞0，x∈N}，则A∩B＝A．{3，4}B．{0，1}C．{－1，0，1}D．{2，3，4}3．已知x＞0，y＞0，xy＝4，则x＋2y的最小值为A．4B．4eq\r(,2)C．6D．8eq\r(,2)4．由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为A．eq\f(2,3)B．eq\f(5,6)C．eq\f(3,4)D．eq\f(1,2)5．若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为A．3eq\r(,3)B．eq\f(\r(,2),12)C．eq\f(9\r(,2),4)D．eq\r(,6)6．随机变量X服从N(μ，σ2)，若P(X≥1)＝P(X≤3)，则下列选项一定正确的是A．P(X|≥3)＝1B．σ＝1C．μ＝2D．P(X≥3)＋P(X≤1)＝17．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点N为侧面四边形CDD1C1的中心，则四面体NCB1C1的外接球的体积为A．2πB．4πC．2eq\r(,2)πD．eq\f(8\r(,2)π,3)8．已知定义域为R的函数f(x)，满足f(1－x)f(1－y)＋f(x＋y)＝f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(－1)＝0，则以下选项错误的是A．f(1)＝0B．f(x)图象关于(2，0)对称C．f(x)图象关于(1，0)对称D．f(x)为偶函数二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列求导运算正确的是A．(e3x)′＝3exB．(eq\f(x\s(2),2x＋1))′＝xC．(2sinx－3)′＝2cosxD．(lneq\f(x,2－x))′＝eq\f(2,x(2－x）10．已知P(A)＝eq\f(3,5)，P(B)＝eq\f(4,5)，则下列说法正确的是A．P(AB)＝eq\f(12,25)B．P(A|B)＞eq\f(2,5)C．P(A＋B)＝eq\f(23,25)D．eq\f(2,3)≤(B|A)≤111．函数y＝f(x)的定义域为I，区间D⊆I，对于任意x1，x2∈D(x1≠x2)，恒满足f(EQ\F(x\S\DO(1)＋x\S\DO(2),2))≥EQ\F(f(x\S\DO(1）＋f(x\S\DO(2）,2)，则称函数f(x)在区间D上为“凸函数”．下列函数在定义域上为凸函数的是A．f(x)＝lnxB．f(x)＝exC．f(x)＝x2D．f(x)＝eq\r(,x)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格．若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为▲．13．已知二次函数f(x)从1到1＋x的平均变化率为2x＋3，请写出满足条件的一个二次函数的表达式f(x)＝▲．14．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触(如图)．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是▲．第14题(图)四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．(13分)某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．(1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；(2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望E(X)．16．(15分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝2eq\r(,3)，AD∥BC，AB＝BC＝2，AD⊥平面PAB，PD⊥AB，E，F分别是棱PB，PC的中点．(1)证明：DF∥平面ACE；(2)求二面角A－CE－B的正弦值．(第16题图)17．(15分)我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时，a2＋b2＝2ab等号成立．(1)证明“三元不等式”：a3＋b3＋c3≥3abc(a，b，c∈[0，＋∞）．(2)已知函数f(x)＝x2＋eq\f(2,x)．①解不等式f(x)≥5；②对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥m2＋2m恒成立，求实数m的取值范围．18．(17分)在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠BAD＝60°，AB＝1，AD＝2，AA1＝2eq\r(,2)．(1)求AC1的长度；(2)求二面角B－AA1－D的大小；(3)求平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积．(第18题图)19．(17分)已知函数f(x)＝eq\f(e\s(x)－1,e\s(2x）＋ax．(1)函数y＝f(x)是否具有奇偶性?为什么?(2)当a＝－1时，求f(x)的单调区间；(3)若f(x)有两个不同极值点x1，x2，证明：f(x1)＋f(x2)＜eq\f(7,8)．2024-2025学年江苏省镇江市高三第一学期期初质量监测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为（）A.6 B.7 C.8 D.9【正确答案】C借助百分位数定义计算即可得.【详解】由，故这组数据的中位数为.故选：C.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】B由题意可得，，则.故选：B.3.已知，，，则的最小值为（）．A.4 B. C.6 D.【正确答案】B由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为.故选：B4.由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】A将组成没有重复数字的三位数，共有种，而其中偶数有两种情况：①以为个位数的三位数，是，共有2种②以为个位数的三位数，是，共有2种所以，这个三位数是偶数的情况共有种，所以，这个三位数是偶数的概率为事件，则.故选：A.5.若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（）A.3 B. C. D.【正确答案】C如图，正三棱锥，，取中点，连接，取等边三角形的中心，连接，由正四面体的性质可知，顶点与底面中心连线垂直底面，∴平面即三棱锥的高为，∵，∴，∴，∴，∴.故选：C6.随机变量服从若则下列选项一定正确的是（）A B.C. D.【正确答案】C因为由正态分布的对称性，可得，正态分布方差无法判断，，，所以ABD错误.故选:：C7.已知正方体的棱长为，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的体积为（）A. B. C. D.【正确答案】D如图：取中点，连结，因为的棱长为的正方体，所以，且，所以四面体的外接球的球心为为，且外接球半径，所以四面体的外接球的体积.故选：D.8.已知定义域为R的函数，满足，且，则以下选项错误的是（）A. B.图象关于对称C.图象关于对称 D.为偶函数【正确答案】B对于A，令，则，所以f1=0，故A正确；对于B，令，则，即，解得：或，因为，所以，令，，所以，所以图象不关于2,0对称，故B错误；对于C，令，则有即，故图象关于1,0对称，故C正确.对于D，令，则有即，即，即，因为函数的定义域为R，所以为偶函数，故D正确.故选：B.公众号：高中试卷君二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】CD对于A选项，，A错误；对于B选项，，B错误；对于C选项，，C正确；对于D选项，，D正确.故选：CD.10.已知事件A与B发生的概率分别为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BD对于A，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，所以，不一定成立，故A错误；对于B，由于，则，则，故B正确；对于C，由于题目中没确定事件A与B是否相互独立，所以，也不一定成立，故C错误；对于D，，故，故D正确；故选：BD.11.函数y=fx的定义域为，区间，对于任意，，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（）A. B.C D.【正确答案】AD对A：，，，由在0,+∞上单调递增，故其等价于，化简可得，故满足题意，故A正确；对B：，，，取，，可得，，又，故此时不满足题意，故B错误；对C：，，，化简得恒成立，不满足题意，故C错误；对D：，，，左右平方后化简可得，故满足题意，故D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为______.【正确答案】解：某人参加考试，4道题目中，答对的题目数满足二项分布，所以故13.已知二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式_______．【正确答案】（答案不唯一）设fx则，由题意知，解之得，显然c的取值不改变结果，不妨取，则.故14.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）．勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是_______．【正确答案】勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切，即为勒洛四面体内切球，由对称性知，勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心，正外接圆半径，正四面体的高，设正四面体的外接球半径为，在中，，解得，因此，勒洛四面体内切球半径为.故．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．（1）求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；（2）若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望．【正确答案】（1）（2）答案见详解【小问1详解】从6张奖券中，任取2张奖券共有种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法，所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为.【小问2详解】的所有可能取值为80，85，90，，，，的分布列为：808590.16.如图，在四棱锥中，，，，，平面，，E，F分别是棱，的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【正确答案】（1）证明见详解（2）【小问1详解】如图，连接，因为分别为的中点，所以，，又，，所以，，所以四边形是平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，平面，所以，，又，是平面内两条相交直线，平面，又平面，，所以两两互相垂直，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．则A0,0,0，，，，，，，，，设平面的一个法向量为n1=则，即，令，得，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，，，设二面角的平面角为，，则.所以二面角的正弦值为.17.我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，等号成立．公众号：高中试卷君（1）证明“三元不等式”：．（2）已知函数．①解不等式；②对任意x∈0,+∞，恒成立，求实数的取值范围．【正确答案】（1）见解析（2）①；②.小问1详解】因为，则（当且仅当时取等），所