2024-2025学年湖南省衡阳市高三上册第二次月考（10月）数学检测试题（含解析）

2024-2025学年湖南省衡阳市高三上学期第二次月考（10月）数学检测试题一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合，则（

）A． B． C． D．2．设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，则（

）A．0或 B． C． D．4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则//D．若，则5．已知圆C:过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为，则的最小值为（

）A．2 B．4 C． D．36．函数的大致图象是（

）A．B．C．D．7．已知平行四边形中，，，分别为边BC，CD的中点，若，则四边形面积的最大值为（

）A． B． C．4 D．28．已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（）A．B． C． D．10．函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数y=gx的图象，且y=gx在上单调递减，则下列说正确的是（

A．B．为图象的一条对称轴C．t可以等于5D．t的最小值为211．已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（

）A．为上的单调递增函数B．为奇函数C．若函数为正比例函数，则函数只有一个非负零点D．若函数为正比例函数，则函数在处取极小值三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若，则_________13．已知体积为的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为.则该正四棱锥体积是___________.14．已知an是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中元素的个数，若时，规定.（1）若，则___________；（2）若数列bn是等差数列，则数列an的前50项之和为四．解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.15．（13分）设为数列的前n项和，满足.(1)求数列的通项公式；(2)记，求.16．（15分）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求；(2)若，则面积为，求的值.D17．（15分）如图所示，三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，，点D，E，F分别是所在棱的中点.D（1）在线段上找一点使得平面∥平面，给出点的位置并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.18．（17分）已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线的方程；(2)设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为，①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程．19．（17分）设函数．(1)若曲线在点处的切线方程为，求a的值；(2)当时恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：．数学试题答案1．D【详解】∵，∴，∴，又∵，∴，，∴，即，∴.2．A【详解】因为，所以．令，解得或，故“”是“”的充分不必要条件．故选：A3．B【详解】成等差数列，，又，，整理可得：，，解得：（舍）或.故选：B.4．C【详解】对A：若，则的位置关系不确定，故A错误；对B：若，则的位置关系不确定，故B错误；对C：若，则//，故C正确；对D：若，则的位置关系不确定，故D错误.故选：C.5．C【详解】如图所示：连接，则，当最小时，最小，，故的最小值为.6．B【详解】函数的定义域为，当时，，当时，，当时，，当时，，且，，因为，所以，所以只有B符合.7．A【详解】以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设，则，所以，所以，从而，即，等号成立当且仅当，四边形面积的表达式为，从而，等号成立当且仅当，所以四边形面积的最大值为.故选：A.8．C（自己看着办）9．AC【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线斜率为2，有，则.依题意有或，当时，，即，解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合；当时，，即，解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合.故选：AC10．BD【详解】由函数图象，可得，所以，所以，解得，又由函数的图象过点，且，当时，可得，所以，解得，因为，可得；当时，可得，所以，解得，因为，不存在，舍去，综上可得，，，所以，所以A不正确.易知B正确；将函数的图象向右平移个单位后，得到，因为在上单调递减，则满足．解得，当时，，而，故不可能等于5，所以C错误．当时，，又因为，所以，所以D正确．故选：BD.11．ABC【详解】对于选项A，设，且，，，即，故单调递增，选项A正确；对于选项B，是定义在R上的函数，取，则，取，则，即f−x=−fx故是奇函数，选项B正确；对于选项C、D，设，代入，得，其中D选项，，，当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，函数在处取极大值，无极小值,选项C错误；其中C选项，函数，其中，，，，由零点存在性定理可知，函数分别在区间，和上各至少存在一个零点，选项C正确；12．1．13．【详解】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，由体积为得，连接，平面，球心在上，，取的中点，连接，设点在侧面上的投影为点，则点在上，且，，球心到四棱锥顶点的距离为，所以，，解得，所以.14.【正确答案】3210【详解】（1）由题可知，，又因为，所以，；（2）由题可知，所以，所以.若，则，，所以，，与是等差数列矛盾.所以.设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以.假设存在使得.设，由得.由，得，，与为等差数列矛盾.所以对任意都有.所以数列是等差数列，.所以.故答案为:3.21015．(1)(2)【详解】（1）解：因为数列的前n项和，满足，当时，可得，两式相减得，即，所以，令，可得，解得，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以的图象公式为.（2）解：由（1）知，可得，所以，则.16【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由正弦定理得，，又，，，，，，，.（2）面积为，，，，，由得，即，.17．（1）点与点重合，证明见解析，（2）.【详解】（1）点与点重合，证明如下：连接，.因为分别是和的中点，所以.因为平面，平面，所以平面.因为分别是和的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以.因为平面，平面，所以平面.又因为，所以平面平面.（2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）可得二面角即.则，，.所以，.因为平面平面，所以平面的法向量即平面的法向量，设为，则.令，则.因为，，.所以，.设平面的一个法向量为.则，令，则.则.由图易知二面角的平面角是锐角，所以余弦值为.18．(1)(2)①证明见解析；②【详解】（1）依题意可得圆心到定点的距离等于到定直线的距离相等，所以的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，又到直线的距离为，所心抛物线的方程为；（2）①设直线的方程为，，则的中点，由（1）可知，，联立方程组x=my+1y2=4x，消去可得所以，，所以，又，所以，所以；②由①可得，代入，可得中点的横坐标为，所以，又线段的垂直平分线的斜率为，所以线段的垂直平分线方程为，令，可得，所以，所以，所以，又的面积为4，所以，所以，解得，所以直线的主程为，即.19.【详解】（1），由题意曲线在点处的切线方程为，则，解得；（