2024-2025学年湖南省衡阳市高三上册第二次月考(10月)数学检测试题(含解析)_第1页
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文档简介

2024-2025学年湖南省衡阳市高三上学期第二次月考(10月)数学检测试题一.选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若集合,则(

)A. B. C. D.2.设,其中i为虚数单位.则“”是“”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知等比数列的公比为,若,且成等差数列,则(

)A.0或 B. C. D.4.已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是(

)A.若,则B.若,则C.若,则//D.若,则5.已知圆C:过直线上的动点作圆C的一条切线,切点为,则的最小值为(

)A.2 B.4 C. D.36.函数的大致图象是(

)A.B.C.D.7.已知平行四边形中,,,分别为边BC,CD的中点,若,则四边形面积的最大值为(

)A. B. C.4 D.28.已知函数,若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解,则实数的取值范围是(

)A. B.C. D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对得部分分,有选错的得0分.9.已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中,且AC:,则直线AB的方程可能为()A.B. C. D.10.函数的部分图象如图所示,其中,图象向右平移个单位后得到函数y=gx的图象,且y=gx在上单调递减,则下列说正确的是(

A.B.为图象的一条对称轴C.t可以等于5D.t的最小值为211.已知定义在上的函数,对任意有,其中;当时,,则(

)A.为上的单调递增函数B.为奇函数C.若函数为正比例函数,则函数只有一个非负零点D.若函数为正比例函数,则函数在处取极小值三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若,则_________13.已知体积为的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切,已知正四棱锥的底面边长为.则该正四棱锥体积是___________.14.已知an是各项均为正整数的无穷递增数列,对于,定义集合,设为集合中元素的个数,若时,规定.(1)若,则___________;(2)若数列bn是等差数列,则数列an的前50项之和为四.解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.15.(13分)设为数列的前n项和,满足.(1)求数列的通项公式;(2)记,求.16.(15分)已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.(1)求;(2)若,则面积为,求的值.D17.(15分)如图所示,三棱柱的侧棱垂直于底面,且底面是边长为2的正三角形,,点D,E,F分别是所在棱的中点.D(1)在线段上找一点使得平面∥平面,给出点的位置并证明你的结论;(2)在(1)的条件下,求二面角的余弦值.18.(17分)已知动圆经过点且与直线相切,记圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)设过点且斜率为正的直线交曲线于两点(点在点的上方),的中点为,①过作直线的垂线,垂足分别为,试证明:;②设线段的垂直平分线交轴于点,若的面积为4,求直线的方程.19.(17分)设函数.(1)若曲线在点处的切线方程为,求a的值;(2)当时恒成立,求实数a的取值范围;(3)证明:.数学试题答案1.D【详解】∵,∴,∴,又∵,∴,,∴,即,∴.2.A【详解】因为,所以.令,解得或,故“”是“”的充分不必要条件.故选:A3.B【详解】成等差数列,,又,,整理可得:,,解得:(舍)或.故选:B.4.C【详解】对A:若,则的位置关系不确定,故A错误;对B:若,则的位置关系不确定,故B错误;对C:若,则//,故C正确;对D:若,则的位置关系不确定,故D错误.故选:C.5.C【详解】如图所示:连接,则,当最小时,最小,,故的最小值为.6.B【详解】函数的定义域为,当时,,当时,,当时,,当时,,且,,因为,所以,所以只有B符合.7.A【详解】以点为原点,所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系,

设,则,所以,所以,从而,即,等号成立当且仅当,四边形面积的表达式为,从而,等号成立当且仅当,所以四边形面积的最大值为.故选:A.8.C(自己看着办)9.AC【详解】设直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,直线斜率为2,有,则.依题意有或,当时,,即,解得,即直线的斜率为-3,C选项中的直线斜率符合;当时,,即,解得,即直线的斜率为,B选项中的直线斜率符合.故选:AC10.BD【详解】由函数图象,可得,所以,所以,解得,又由函数的图象过点,且,当时,可得,所以,解得,因为,可得;当时,可得,所以,解得,因为,不存在,舍去,综上可得,,,所以,所以A不正确.易知B正确;将函数的图象向右平移个单位后,得到,因为在上单调递减,则满足.解得,当时,,而,故不可能等于5,所以C错误.当时,,又因为,所以,所以D正确.故选:BD.11.ABC【详解】对于选项A,设,且,,,即,故单调递增,选项A正确;对于选项B,是定义在R上的函数,取,则,取,则,即f−x=−fx故是奇函数,选项B正确;对于选项C、D,设,代入,得,其中D选项,,,当时,,在区间上单调递增,当时,,在区间上单调递减,函数在处取极大值,无极小值,选项C错误;其中C选项,函数,其中,,,,由零点存在性定理可知,函数分别在区间,和上各至少存在一个零点,选项C正确;12.1.13.【详解】设正四棱锥的内切球的半径为,为底面中心,由体积为得,连接,平面,球心在上,,取的中点,连接,设点在侧面上的投影为点,则点在上,且,,球心到四棱锥顶点的距离为,所以,,解得,所以.14.【正确答案】3210【详解】(1)由题可知,,又因为,所以,;(2)由题可知,所以,所以.若,则,,所以,,与是等差数列矛盾.所以.设,因为是各项均为正整数的递增数列,所以.假设存在使得.设,由得.由,得,,与为等差数列矛盾.所以对任意都有.所以数列是等差数列,.所以.故答案为:3.21015.(1)(2)【详解】(1)解:因为数列的前n项和,满足,当时,可得,两式相减得,即,所以,令,可得,解得,所以数列构成首项为,公比为的等比数列,所以的图象公式为.(2)解:由(1)知,可得,所以,则.16【正确答案】(1)(2)【详解】(1)由正弦定理得,,又,,,,,,,.(2)面积为,,,,,由得,即,.17.(1)点与点重合,证明见解析,(2).【详解】(1)点与点重合,证明如下:连接,.因为分别是和的中点,所以.因为平面,平面,所以平面.因为分别是和的中点,所以,且,所以四边形是平行四边形,所以.因为平面,平面,所以平面.又因为,所以平面平面.(2)以点为坐标原点,分别以所在直线为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系.由(1)可得二面角即.则,,.所以,.因为平面平面,所以平面的法向量即平面的法向量,设为,则.令,则.因为,,.所以,.设平面的一个法向量为.则,令,则.则.由图易知二面角的平面角是锐角,所以余弦值为.18.(1)(2)①证明见解析;②【详解】(1)依题意可得圆心到定点的距离等于到定直线的距离相等,所以的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,又到直线的距离为,所心抛物线的方程为;(2)①设直线的方程为,,则的中点,由(1)可知,,联立方程组x=my+1y2=4x,消去可得所以,,所以,又,所以,所以;②由①可得,代入,可得中点的横坐标为,所以,又线段的垂直平分线的斜率为,所以线段的垂直平分线方程为,令,可得,所以,所以,所以,又的面积为4,所以,所以,解得,所以直线的主程为,即.19.【详解】(1),由题意曲线在点处的切线方程为,则,解得;(

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