2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上册10月月考数学检测试卷合集2套（含解析）

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期10月月考数学检测试卷（一）一、单选题（本大题共8小题）1．椭圆的焦点坐标为（

）A． B． C． D．2．已知直线的倾斜角为，则实数（

）A． B． C． D．13．已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（

）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（

）A． B． C． D．7．已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（

）A．12 B． C．6 D．二、多选题（本大题共3小题）9．已知是线段上的动点，则下列说法正确的是（

）A．直线的一个方向向量是B．若，则C．点关于直线对称点的坐标为2,1D．直线斜率取值范围是10．已知圆，点Px0,y0是圆上的点，直线，则（A．直线与圆相交弦长B．圆上恰有个点到直线的距离等于C．的最大值是D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为11．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过圆上的动点作椭圆的两条切线，交圆于两点，直线交椭圆于两点，则下列结论正确的是（

）A．椭圆的离心率为B．若点在椭圆上，将直线的斜率分别记为，则C．点到椭圆的左焦点的距离的最小值为D．面积的最大值为三、填空题（本大题共3小题）12．已知圆与圆的交点为，则直线方程为．13．已知点在圆外（其中为常数），则实数的取值范围14．古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知为上一动点，则的最小值为．

四、解答题（本大题共5小题）15．已知圆，点Ax0,y0为圆上任意一点，点B4,0，点(1)求点的轨迹方程；(2)点是轨迹上任一点，求的取值范围．16．已知在中，边上的高所在直线的方程为边上的中线所在直线的方程为．(1)求两点的坐标；(2)求的外接圆方程．17．已知圆和点．(1)过作圆的切线，求切线的方程；(2)过作直线交圆于点两个不同的点，且不过圆心，再过点分别作圆的切线，两条切线交于点，求的值．18．已知椭圆，点为椭圆上顶点，直线与椭圆相交于两点，(1)若为的中点，为坐标原点，，求实数的值；(2)若直线的斜率为，且，证明：直线过定点，并求定点坐标．19．已知是椭圆E:x2a2+(1)求椭圆的标准方程；(2)经过点的直线，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围．

答案1．【正确答案】A【详解】由椭圆方程知椭圆焦点在轴上，，，，焦点坐标为.故选：A.2．【正确答案】B【详解】直线的斜率，解得.故选：B.3．【正确答案】A【详解】，，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限故选：A4．【正确答案】C【详解】由椭圆定义得：，又因为，所以解得：，再由于，，结合勾股定理可得：，解得，所以椭圆的离心率为，故选：C.5．【正确答案】D【详解】

由，得，所以曲线的图像为如图所示的半圆，令直线与圆相切，则有圆心O0,0到直线的距离为半径，即，解得，如图，若直线与曲线有公共点，则取最大值时，直线与圆相切于第二象限，，取最小值时，直线过点1,0，此时，所以的取值范围是，.故选：D6．【正确答案】A【详解】由题可知，，即，由四边形的周长为12得，，即，所以，所以椭圆，则，设Ax1,y1所以四边形的面积为，故选：A．

7．【正确答案】B【详解】设以原点为圆心，以为半径作圆，则其方程为，则点A、B，点P在该圆上，当两圆用公共点时，圆上一定存在点，使得，由圆，则圆心，半径，，则，解得.故选：B.8．【正确答案】C【详解】根据已知有，圆心O0,0，半径，因为弦，所以圆心到所在直线的距离，又因为为的中点，所以有，所以的轨迹为圆心为O0,0，半径为的圆，的轨迹方程为；令直线为，则到直线的距离为，则，即，所以当最大时，也取得最大值，由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的2倍，设圆心O0,0到直线的距离为，则，所以，所以的最大值为6.故选：C9．【正确答案】ABC【详解】对于A，，故A正确；对于B，由题可知，，直线的方程为，设，则，由得，，解得，所以，故B正确；对于C，设点关于直线对称点的坐标为，则，解得，故，故C正确；对于D，，由图可知，直线斜率取值范围是，故D错误；故选：ABC．

10．【正确答案】AD【详解】

如图所示，由已知圆，则圆心O0,0，半径，A选项：圆心到直线的距离，则弦长为，A选项正确；B选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，B选项错误；C选项：可表示点Px0,y易知当直线与圆相切时，斜率取得最值，设斜率，则直线，即，则，解得，所以，其最大值为，C选项错误；D选项：由圆可知圆心，半径，由切线长可知，所以当取得最小值时，取最小值，又，即的最小值为，所以的最小值为，D选项正确；故选：AD.11．【正确答案】BCD【详解】对于A，依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，则这两条垂线的交点在圆上，

所以，得，所以椭圆的离心率，故A错误；对于D，因为点都在圆上，且，所以为圆的直径，则，所以面积的最大值为，故D正确；对于C，设，椭圆的左焦点为，连接，因为，即，所以，又，所以，所以则到的左焦点的距离的最小值为，故C正确；对于B，由直线经过坐标原点，易得点关于原点对称，设，则，又，所以，所以，所以，故B正确；故选：BCD.12．【正确答案】【详解】，两圆方程相减可得.故13．【正确答案】或【详解】根据题意圆，化为标准方程为：，方程表示圆，则，整理有，解得；又因为点在圆外，则有，解得或；以上两个集合取交集，得：或.故答案为；或.14．【正确答案】【详解】令，则，由题意可得圆是关于点的阿波罗尼斯圆，且，设，则，则，整理得又因为，所以，解得，所以点的坐标为，所以，因此当点在同一条直线上时，取等号，所以最小为.故答案为.15．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）设Mx,y，根据题意有，即，又因为点Ax0,y0整理得，即，所以点的轨迹为圆心为，半径为的圆.（2）令，则有，为直线的纵截距，由题意可知，直线与圆有交点的情况下，直线的纵截距越大，越大；直线的纵截距越小，越小.由图可知，令直线与圆相切，此时圆心到直线的距离为半径，由此可得，解得，所以的取值范围为.16．【正确答案】(1)，(2)【详解】（1）因为边上的高所在直线的方程为，所以，则直线的方程为，即，由得，，所以，设，则点中点为，所以，解得，即．（2）因为，，所以的中点坐标为，，所以线段的垂直平分线方程为，即，同理可得线段的垂直平分线方程为，由得，，所以的外接圆圆心为，所以的外接圆半径为，所以的外接圆方程为．17．【正确答案】(1)或(2)1【详解】（1）当斜率不存在时，显然与圆相切；当斜率存在时，设切线为：圆心到直线距离，解得：，则，整理得：综上所述：切线方程为：或（2）设，由，则，即即，又∵故，同理直线：，点在直线上，∴18．【正确答案】(1)(2)证明见解析；定点坐标【详解】（1）当时，，设，，消去可得，，，由中点坐标公式可得，，又，解得，符合题意；（2）当直线的斜率不存在时，设直线方程为，则，因为点为椭圆上顶点，所以，所以，则，所以，当直线的斜率存在时，直线方程为，联立椭圆方程，消去可得，，，则，将韦达定理代入上式并化简可得，即，舍，所以，所以直线，此时直线过定点，综合以上可知直线过定点.19．【正确答案】(1)(2)【详解】（1）由椭圆E:x2a2+即，整理可得，由椭圆过，则，整理可得，化简可得，由，则（舍去），所以，，椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，则直线与轴重合，，将代入椭圆方程，可得，解得，则，四边形的面积；易知当直线的斜率不存在时，四边形的面积；当两直线都存在时，设直线，直线，设Ax1,y1，则，，同理可得，四边形的面积，由，则，所以，，当且仅当时，等号成立，令，则，由，，，则；综上所述，四边形的面积的取值范围为.2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期10月月考数学检测试卷（二）一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（

）A． B． C． D．答案：C解：在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.故选：C.2．若向量是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：，我们把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标.设向量在基底下的斜坐标为，则向量在基底下的斜坐标为（

）A． B． C． D．答案：D解：由题意可得，设，即有即可得，解得，即即向量在基底下的斜坐标为.故选：D.3．已知两条直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A解：当时，，则，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4．已知平面的一个法向量，点在平面内，若点到的距离为，则（

）A．16 B． C．4或 D．或16答案：C解：由点在平面内，若点，可得，因为平面的一个法向量，且点到的距离为，可得，即，解得或.故选：C.5．已知点，，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：B解：解：记为点，直线的斜率，直线的斜率，因为直线l过点，且与线段相交，结合图象，可得直线的斜率的取值范围是．故选：B．6．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（

）A．9 B．12 C．18 D．24答案：B解：设直线：，，因为直线过点，所以，即，所以，解得，当且仅当，即，时等号成立，则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积.故选：B.7．如图，在平行六面体中，，，，则的长为（

）A． B．C． D．答案：A解：平行六面体中，，因为，，，，所以，所以，即的长为.故选：A.8．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（）A．2+2 B． C． D．答案：B解：如图，在正三棱柱中，延长AF与CC1的延长线交于M，连接EM交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面.过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，在中，，则，在中，，则，在中，，则，在中，，由余弦定理：，则，所以截面周长为.故选：B.9．下列命题中正确的是（

）A．若向量满足，则向量的夹角是钝角B．若是空间的一组基底，且，则四点共面C．若向量是空间的一个基底，若向量，则也是空间的一个基底D．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的余弦值为答案：BC解：对A：若，则向量的夹角是钝角或向量反向共线，故A错误；对B：，即有，故四点共面，故B正确；对C：假设不是空间中的一个基底，则存在实数，使，即，由向量是空间的一个基底，则向量不共面，故不存在这样的实数，即是空间的一个基底，故C正确；对D：设直线与平面所成角为，则，由题意可得，，则，故D错误.故选：BC.10．以下四个命题为真命题的是（）A．过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为B．直线的倾斜角的范围是C．直线与直线之间的距离是D．直线恒过定点答案：BD解：对于A，当直线过原点时，方程为，当直线不过原点时，设方程为，则，解得，所以直线方程为，综上，所求直线方程为或，故A错误；对于B，直线的斜率，所以倾斜角的范围是，故B正确；对于C，直线，即为，故直线与直线之间的距离为，故C错误；对于D，由，得，由，解得，所以定点为，故D正确.故选：BD.11．如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，分别是线段的中点，是线段上的一个动点（含端点），则下列说法正确的是（

）A．不存在点，使得B．存在点，使得异面直线与所成的角为C．三棱锥体积的最大值是D．当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大答案：CD解：以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，对于A，假设存在点，使得，由，，所以，解得，即点Q与D重合时，，A错误；对于B，假设存在点，使得异面直线NQ与SA所成的角为，由，，所以，方程无解；所以不存在点Q，使得异面直线NQ与SA所成的角为，B错误；对于C，连接；设，因为，所以当，即点Q与点D重合时，取得最大值2，又点N到平面AMQ的距离，所以，C正确；对于D，由上解题思路知：，，若是面QMN的法向量，则，令，则，得，因为，设直线DC与平面QMN所成的角为，，所以，当点Q自D向C处运动时，的值由0到2变大，此时也逐渐增大，因为在为增函数，所以也逐渐增大，故D正确.故选：CD.三、填空题12．已知，则向量在上的投影向量的坐标是．答案：解：因为，，所以，向量在上的投影向量是，其坐标为.故答案为.13．当点到直线l：距离的最大值时，直线l的一般式方程是．答案：解：解：∵直线l：，∴可将直线方程变形为，∴，解得，，由此可得直线l恒过点，所以P到直线l的最远距离为，此时直线垂直于PA．∵，∴直线l的斜率为，∴，∴，∴直线l的一般方程为．故．14．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体的一个顶点，定义多面体在点P处的离散曲率为，其中（，2，……，k，）为多面体的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体的所有以P为公共点的面.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，顶点S在底面的射影O为的中点.若该四棱锥在S处的离散曲率，则直线与平面所成角的正弦值为.

答案：解：由题意可知，四棱锥的四个侧面三角形全等，则，因为四棱锥在处的离散曲率，则，，设，则，又，则，而，所以，解得，作于，则为的中点，因为是正三角形，所以，作于，则，且，则，连接，由平面，平面，所以，，平面，所以平面，平面，所以平面平面，又平面平面，作于，则平面，所以即是直线与平面所成角，则.故答案为.

四、解答题15．已知直线，.(1)若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；(2)当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.答案：(1)或(2)或解：（1）设原点O到直线m的距离为，则，解得或；（2）由解得，即m与n的交点为.当直线l过原点时，此时直线斜率为，所以直线l的方程为；当直线l不过原点时，设l的方程为，将代入得，所以直线l的方程为.故满足条件的直线l的方程为或.16．已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为.(1)求直线的方程和点C的坐标；(2)求的面积．答案：(1)，，(2).解：（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上，于是，解得，即点，设关于直线的对称点为，则有，解得，即，显然点在直线上，直线的斜率为，因此直线的方程为，即，由，解得，则点，所以直线的方程为，点C的坐标为.

（2）由（1）得，点到直线的距离，所以的面积.17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．(1)求证：平面．(2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．答案：(1)证明见解析；(2)存在，的值为.解：(1)因为平面平面，且平面平面，，平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，所以平面.(2)假设在棱上是否存在点，使得平面，取中点，连接，，如下图：因为，，所以，，从而，故平面，又因为平面平面，且平面平面，所以平面，以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图：由题意可知，，，，，设，因为点在棱上，故，，所以，故，设平面的法向量为，故，令，则，，从而平面的法向量可以取，因为平面，所以，解得，，故假设