2024-2024学年山东省青岛市高二上册期中数学学情检测试题合集2套（含解析）

2024-2024学年山东省青岛市高二上学期期中数学学情检测试题（一）说明：本试卷满分150分，分为和两部分，第I卷为第1页至第3页，第II卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟.第I卷（共60分）一､单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.已知椭圆的焦点在轴上，焦距为4，则等于（）A8 B.7 C.6 D.5【正确答案】A【分析】根据方程表示椭圆，及焦点的位置得不等关系，从而得出结论．【详解】解：椭圆的焦点在轴上，，即，且，，，又焦距为4，，得．故选：．2.“”是“直线与直线相互垂直”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线与直线相互垂直，所以，所以.所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.故选：A方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法.要根据已知条件灵活选择方法求解.3.点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是A.B.C.D.【正确答案】A【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程.【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.4.已知、，若A与B到直线l的距离都为2，则满足条件的直线l有（）A.1条 B.2条 C.3条 D.4条【正确答案】D【分析】首先求出斜率与中点坐标，再分两种情况讨论，直线过的中点与直线与平行，分别设出直线方程，利用距离公式得到方程，解得即可；【详解】解：，，所以，且的中点为，若直线过的中点，显然直线的斜率存在，设直线为，即，则到直线的距离，即，解得或；所以直线为或；若直线与平行，设直线为，则到直线的距离，解得或，所以直线为或；综上可得满足条件的直线有4条；故选：D5.在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则面积最大的圆的标准方程为（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】据题意分析可知直线经过定点；圆的圆心到直线距离的最大时，圆的半径最大，即可得到面积最大的圆的标准方程.【详解】直线方程为：可化为，直线经过定点,易知：圆的半径最大时，圆的面积最大，圆心到直线的距离最大时圆的面积最大，又动圆,圆心为，半径为，当与已知直线垂直时圆的半径最大，，面积最大的圆的标准方程为.故选：B6.已知椭圆两焦点，P为椭圆上一点，若，则的的内切圆半径为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由余弦定理得，得到，可求得面积，再由可得答案.【详解】，，由题意得，，由余弦定理得，得，，设内切圆的半径为，则，所以.故选：B.椭圆的焦点三角形常常考查椭圆定义，三角形中的正余弦定理，内角和定理，面积公式等等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别是面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点.7.如图：正三棱锥中，分别在棱上，，且，则的余弦值为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】用向量表示、表示向量、，然后利用数量积运算及夹角公式计算即可【详解】设，则，因为，所以，所以，所以，化简得，所以，所以，即的余弦值为.故选：C.8.双曲线的左焦点关于直线的对称点在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】先利用对称性得到M是线段FQ中点，且，再计算焦点到准线的距离，结合中位线和定义构建关系，得到a，b的关系，即求得离心率.【详解】如图所示，双曲线中，设是双曲线右焦点，连接，依题意设直线FQ交直线于M，则M是线段FQ的中点，且，因为焦点关于直线即的距离，故，由双曲线定义知，，又因为O是的中点，故中是中位线，故，故中，结合，化简得，故离心率.故选：B.求双曲线离心率常见方法：（1）直接法：由a，c直接计算离心率；（2）构建齐次式：利用已知条件和双曲线的几何关系构建关于a，b，c的方程和不等式，利用和转化成关于的方程和不等式，通过解方程和不等式即求得离心率的值或取值范围.二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9.已知平面过点，其法向量，则下列点在平面内的是（）A. B. C. D.【正确答案】AD【分析】根据条件，求出平面方程，在判断点是否在平面上.【详解】方法一：根据题意，平面的方程为：，即.对A：因为，所以点在平面内，故A正确；对B：因为，所以点不在平面内，故B错误；对C：因为，所以点不在平面内，故C错误；对D：因为，所以点在平面内，故D正确.方法二：对A：设，则，因为，所以在平面内，故A正确；对B：设，则，因为，所以点不在平面内，故B错误；对C：设，则，因为，所以点不在平面内，故C错误；对D：设，则，因为，所以点在平面内，故D正确.故选：AD10.若圆：与圆：的交点为，则（

）A.公共弦所在直线方程为B.线段中垂线方程为C.公共弦的长为D.在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆【正确答案】AD【分析】根据题意，依次分析选项：对于A，联立两个圆的方程，分析可得公共弦所在直线方程，可判断A，对于B，由两个圆的方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线的方程，即可得线段中垂线方程，可判断B，对于C，分析圆的圆心和半径，分析可得圆心在公共弦上，即可得公共弦的长为圆的直径，可判断C，对于D，由于圆心在公共弦上，在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，即可判断D．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，即两圆相交，将两个圆的方程相减可得，即公共弦所在直线方程为，A正确；对于B，由A的分析可知，两圆相交，故的中垂线即为两圆圆心的连线，圆，其圆心为，圆，其圆心为，故直线的斜率为，其方程为，即线段中垂线方程为，B错误，对于C，圆，即，其圆心为，半径，圆心满足，即点在公共弦上，则公共弦的长即为圆的直径，即的长为，C错误；对于D，圆心在公共弦上，在过两点的所有圆中，面积最小的圆是圆，D正确,故选：AD.11.已知椭圆的左、右两个焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一动点，M，则下列结论正确的有（）A.的周长为6 B.的最大面积为C.存在点P使得 D.最大值为5【正确答案】ABD【分析】对选项A，利用椭圆定义即可判断A正确；对选项B，根据，即可判断B正确；对选项C，根据以为圆心，的圆与椭圆不相交，即可判断C错误；对选项D，根据，即可判断D正确.【详解】椭圆，，，，对选项A，的周长，故A正确.对选项B，，故B正确；对选项C，若存在点P使得，则，即存在以为圆心，的圆与椭圆相交.因为，即圆与椭圆不相交，所以不存在点P使得，故C错误；对选项D，，故D正确.故选：ABD12.如图，棱长为的正方体的顶点在平面内，其余各顶点均在平面的同侧，已知顶点到平面的距离分别是和.下列说法正确的有（）A.点到平面的距离是B.点到平面的距离是C.正方体底面与平面夹角的余弦值是D.在平面内射影与所成角的余弦值为【正确答案】ACD【分析】以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设平面的法向量，利用点到平面的距离可构造方程组，解得法向量，由点到平面距离的向量求法可求得AB正误；由面面角的向量求法可求得C正确；首先确定投影对应的向量，利用线线角的向量求法可知D正确.【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，，设平面的法向量，则，即，令，解得：，，；对于A，点到平面的距离为，A正确；对于B，点到平面的距离为，B错误；对于C，轴平面，平面的一个法向量，，即平面与平面夹角的余弦值为，C正确；对于D，在平面内的投影对应的向量，，即在平面内射影与所成角的余弦值为，D正确.故选：ACD.第II卷（非选择题，共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.在空间直角坐标系中，已知，则点到直线的距离为__________.【正确答案】【分析】先求在的射影，再利用勾股定理求点到直线的距离.【详解】由题意，，所以在的射影为.所以点到直线的距离为.故114.若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为__________.【正确答案】##【分析】由离心率公式可得，根据双曲线的渐近线方程及斜率公式即可求解.【详解】由题意，即，可得，所以渐近线的斜率为，所以两条渐近线的倾斜角为和，所以双曲线的两条渐近线所成的锐角为.故答案为.15.把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________．【正确答案】##【分析】根据空间向量的夹角公式，结合数量积的运算即可求解.【详解】由于,所以,不妨设正方形的边长为2，则,,,所以,故,所以故16.如图，椭圆，圆，椭圆的左右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，若，则的值为___________．【正确答案】【分析】先利用圆的弦长问题将转化为求，再利用平面向量的模长、椭圆的定义、焦点三角形的余弦定理进行求解.【详解】设圆的半径为，由已知，得：，则，所以.故6.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知，，，.（1）求实数的值；（2）若，求实数的值.【正确答案】（1）2（2）【分析】（1）向量坐标化，根据向量平行的坐标表示得到使得，列式得结果即可；（2）向量坐标化，根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.【小问1详解】，，使得列式得到【小问2详解】若，由向量垂直的坐标表示得到：解得.18.已知圆的圆心在轴上，且经过点.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）或【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案；（2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.【详解】解：（1）设的中点为，则，由圆的性质得，所以，得，所以线段的垂直平分线方程是，设圆的标准方程为，其中，半径为，由圆的性质，圆心在直线上，化简得，所以圆心，，所以圆的标准方程为；（2）由（1）设为中点，则，得，圆心到直线的距离，当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；当直线的斜率存在时，设的方程，即，由题意得，解得；故直线的方程为，即；综上直线的方程为或.本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.19.已知圆：，直线.（1）若直线与圆相切，求的值；（2）若，过直线上一点作圆的切线，，切点为，，求四边形面积的最小值及此时点的坐标，【正确答案】（1）或（2），【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可，（2）当时，直线的方程为，而四边形的面积，由圆的性质可得当最小时，切线长最短，此时，求出直线的方程，联立两直线方程可得点的坐标.【小问1详解】由已知，圆心到直线：的距离等于半径，即.解得：或.【小问2详解】当时，直线的方程为，四边形的面积∵为直角三角形，当最小时，切线长最短，显然当时，∴四边形的面积最小值为.此时，，，∴直线：，即.由，解得，即.20.已知椭圆：的离心率为，短轴长为4.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知过点作弦且弦被平分，则此弦所在的直线方程.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用椭圆离心率及求解即可；（2）设过点作直线，与椭圆的交点为，，代入椭圆方程作差求斜率，再利用点斜式写出此弦所在的直线方程即可.【小问1详解】由题意可知①，②，又椭圆中③，所以联立①②③解得，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】设过点作直线，与椭圆的交点为，，则，两式相减得，所以，又因为是中点，所以，，即，，由椭圆的对称性可得直线的斜率一定存在，所以直线的斜率，所以此弦所在的直线方程为，整理得.21.如图，四棱锥的底面ABCD是梯形，平面ABCD，，，，，为线段PB上一个动点．（1）若E为线段PB的中点，求E到平面PDC的距离；（2）求直线PC与平面EAD所成角的正弦值的最大值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）连，利用余弦定理求出，以为正交基底建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的距离的向量求法可得答案；（2）设，求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可得答案.【小问1详解】连，因为，，，所以，即有，所以，以为正交基底建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，因为为的中点，所以，，设平面的一个法向量为，则，取得，，所以点到平面的距离为：；【小问2详解】设，，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，所以，当时，取最大值.22.已知椭圆的右焦点为，且经过点.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|·|ON|=2，求证：直线l经过定点.【正确答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【分析】(Ⅰ)由题意确定a,b的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM,ON的表达式，结合韦达定理确定t的值即可证明直线恒过定点.【详解】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为，所以；因为椭圆经过点,所以，所以，故椭圆的方程为.（Ⅱ）设联立得，，，.直线，令得，即；同理可得.因为,所以；，解之得，所以直线方程为，所以直线恒过定点.解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．2024-2024学年山东省青岛市高二上学期期中数学学情检测试题（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线关于x轴对称的直线方程为（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】根据两直线斜率之间的关系，以及所求直线过已知直线与x轴交于点可得.【详解】直线的斜率为2，与x轴交于点，则与关于x轴对称的直线斜率为，并过点，所以，所求方程为，即.故选：D2.两条平行直线：与：之间的距离是（）A.0 B.2 C.1 D.【正确答案】D【分析】根据平行直线间的距离公式求解即可.【详解】直线：即，故与：的距离为.故选：D3.若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（）A.4 B. C. D.2【正确答案】D【分析】根据长轴端点确定焦点，再根据的关系可求得的值.【详解】椭圆的长轴端点为，所以双曲线的焦点为，故.故选：D.4.已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由，则，解得，所以双曲线的一条渐近线不妨取，则圆心到渐近线的距离，所以弦长.故选：D5.如果直线与曲线有两个不同的公共点，那么实数的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用数形结合求出直线与半圆相切时的值，以及直线与半圆有两个交点的临界位置时的的值，进而可以求解．【详解】由可得：，，则该曲线为以原点为圆心，以1为半径的轴上方的半圆，直线和曲线的图象如图所示：当直线与圆相切于点时满足：，解得，当直线与半圆相交于两点时，把代入直线方程可得：，则由数形结合可得直线与曲线有两个不同的交点时，的取值范围为：，故选：B6.已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为A.＋＝1 B.＋＝1C.＋＝1 D.＋＝1【正确答案】D【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.7已知直线与抛物线相交于A，B两点，若，则（）A.2 B. C. D.【正确答案】B【分析】根据焦半径公式，联立方程即可求解.【详解】由抛物线可得，所以，，，故,故，所以故选：B8.已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.【正确答案】A【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率．【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴知，，则,设内切圆半径为r，则，∴椭圆的离心率为．故选：A﹒二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知方程，则下列说法中正确的有（）A方程可表示圆B.当时，方程表示焦点在轴上的椭圆C.当时，方程表示焦点在轴上的双曲线D.当方程表示椭圆或双曲线时，焦距均为10【正确答案】BCD【分析】根据方程的形式，结合圆，椭圆和双曲线的形式，即可求解.【详解】对于A，当方程可表示圆时，，无解，故A错误;对于B，当时，，，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；;对于C，当时，，，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确;对于D，当方程表示双曲线时，得；由C可知，，焦距为10，当方程表示椭圆时，，，则，焦距为10，所以焦距均为10，故D正确.故选：BCD10.已知圆与圆，下列说法正确的是（）A.与的公切线恰有4条B.与相交弦的方程为C.与相交弦的弦长为D.若，分别是圆，上的动点，则【正确答案】BCD【分析】求出圆心距，判断两圆位置关系即可判断A；两圆方程相减消去二次项可判断B；利用点到直线的距离公式求到相交弦的距离，然后由弦长公式求弦长可判断C；观察图形可知，可判断D.【详解】由已知得圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，因为，，故两圆相交，所以与的公切线恰有2条，故A错误；两圆方程做差可得与相交弦的方程为，故B正确；由点到直线的距离公式得到相交弦的距离为，故相交弦的弦长为，C正确；.由图可知，，故D正确.故选：BCD11.已知双曲线左右顶点为，，左右焦点为，，直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则（）A.若，则的面积为B.直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则C.若的斜率的范围为，则的斜率的范围为D.存在直线的方程为，使得弦的中点坐标为【正确答案】ABC【分析】对于A：利用余弦定理及双曲线的定义求出，进而可得三角形的面积；对于B：设，与直线联立，发现均与无关，进一步分析可得；对于C：求出为定值，进而可得的斜率的范围；对于D：将直线方程和双曲线方程联立，通过判别式可得结果.【详解】在双曲线中，对于A：在双曲线的焦点三角形中，，可得所以，故A正确；对于B，不妨设，当时表示双曲线，当时表示该双曲线的两条渐近线.设直线，其与的交点为联立，可得，应满足且.由韦达定理可知，都与无关.所以线段的中点与线段的中点重合，不妨设为.由可知，故B正确；对于C，设，且，，所以若的斜率范围为，则的斜率的范围为，C正确；对于D，联立，消去可得，，故直线与双曲线无交点，所以不存在中点，D错误.故选：ABC.12.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点作直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，过点作抛物线的切线与准线交于点，连接，若，则（）A. B.C.为钝角 D.【正确答案】ABD【分析】根据给定条件，求出点的坐标，直线的方程，结合抛物线的切线求出点坐标，再逐项计算判断即得.【详解】依题意，，由，得，设，不妨令，过作轴的垂线分别交y轴于，则有，即，点，设直线的方程为，与方程联立消去x得：，则，，解得，因此点，直线，设抛物线在点处切线方程为，与方程联立消去x得：，显然，，解得，于是抛物线在点切线方程为，而抛物线的准线为，则，对于A，直线斜率，因此，A正确；对于B，由，得，，B正确；对于C，显然，即为直角，C错误；对于D，点O到直线的距离，点M到的距离，所以，D正确.故选：ABD结论点睛：抛物线在点处的切线斜率；抛物线在点处的切线斜率.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的准线方程为______.【正确答案】【分析】将抛物线方程化为标准方程即可得解.【详解】由题意抛物线的标准方程为，其准线方程为.故答案为.14.若直线与圆相交于，两点，且（其中为原点），则的值为______.【正确答案】【分析】直接利用垂径定理列式计算即可.【详解】由可得，则，解得.故答案为.15.一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为______.【正确答案】【分析】设动圆的圆心，半径为，根据两圆的位置关系列式整理可得动圆圆心的轨迹为椭圆，根据椭圆定义可得轨迹方程.【详解】设动圆的圆心，半径为，又由圆得，圆心，半径，由圆得，圆心，半径，由已知得，两式相加消去可得，根据椭圆定义可得动圆圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，设为其中，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.故答案为.16.如图，过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，为线段的中点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为________.【正确答案】【分析】利用中位线结合双曲线的性质,解得，解得，然后转化成，求得离心率.【详解】设双曲线的右焦点，连接，.则中，，，则，由直线与圆相切，可得.又双曲线中，，则，又，则，整理得，两边平方整理得，则双曲线离心率，故答案为.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知的三个顶点的坐标为，，，求（1）求的面积；（2）求的外接圆的标准方程.【正确答案】（1）20（2）【分析】（1）根据点点距离公式可判断三角形为等腰三角形，即可根据面积公式求解，（2）根据两点斜率公式结合垂直满足的关系可判断为直角三角形，进而根据直角三角形的性质确定外接圆圆心和半径，即可求解方程.【小问1详解】，，，由于,所以为以为斜边的等腰直角三角形，可得中点，所以，故的面积为20.【小问2详解】由（1）知.所以外接圆圆心恰好为中点，,所以三角形外接圆标准方程为.18.已知直线和圆，且直线和圆交于两点.（1）当为何值时，截得的弦长为4；（2）若，求的取值范围.【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）由题意可得，再由求解即可；（2）由，可得，则有，即，求解即可；【小问1详解】设直线与圆心距离为，则，所以有解得；【小问2详解】当时，，此时，因为，所以，有，即，解得.19.已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.（1）求的方程；（2）直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）设出动点坐标为，根据斜率之积为4列出等式，化简即可.（2）首先直线斜率存在且经过点，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可.【小问1详解】设点的坐标为，因为，，所以，化简得.所以的方程为.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；

设，，直线方程为，与联立得：，由且，解得且，由韦达定理得，因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，所以，解得或（舍去），所以直线为，所以，所以.20.已知动圆过定点，且截轴所得弦长为4.（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹交于A，两点，若为轨迹的焦点，且满足，求的值.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由题意，设动圆圆心，设圆截y轴所得弦为，分别讨论当不在y轴上和在y轴上这两种情况，进而即可求解；

（2）易知直线斜率存在，设出直线l的方程，将直线l的方程与轨迹T的方程联立，利用根与系数的关系以及斜率公式再进行求解即可．【小问1详解】如图，设动圆圆心，设圆截y轴所得弦为，则有，当不在y轴上时，过作交于，则是的中点，于是，化简得；当在y轴上时，动圆过定点，且在y轴上截得弦的长为4，则与原点重合，即点也满足方程，所以动圆圆心的轨迹的方程为.【小问2详解】显然直线斜率存在，不妨设直线，与联立可得，，得，韦达定理可知，已知，解得或1，因为，所以.所以.21.椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.（1）求椭圆的方程；（2）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.（i）证明：点B在以为直径的圆内；（ii）求四边形面积的最大值.【正确答案】（1）（2）（i）证明见解析；（ii）6【分析】（1）根据题意设出椭圆方程，用待定系数法求解即可得解；（2）（i）根据题意只要证