2024-2025学年黑龙江省大庆市高三上册10月月考数学阶段试卷（含解析）

2024-2025学年黑龙江省大庆市高三上学期10月月考数学阶段试卷说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内.2.满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题（本题型共8小题，第小题5分，共40分）1.设全集，则（）A. B.[1，2] C. D.2.复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.3.已知平面向量满足:，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.4.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.65.已知函数，对于任意实数a，b，则是的（）A必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知的定义域为，则关于的方程的实数根个数为（）A.3 B.4 C.5 D.68.已知数列的前项和为，满足，则（）A.1 B. C. D.二、多项选择题（本题型共3小题，每小题6分，共18分）9.关于函数，其中正确命题是（）A.是以为最小正周期周期函数B.的最大值为C.将函数的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合D.在区间上单调递减10.已知等差数列an的首项为，公差为，其前项和为，若，则下列说法正确的是（）AB当时，最大C.使得成立的最大自然数D.数列中的最小项为11.已知，则下列结论正确的是（）A.当时，若有三个零点，则的取值范围是B.当且时，C.对于任意满足D.若存在极值点，且，其中，则三、填空题（本题型共3小题，每小题5分，共15分）12.设等比数列的前项和为，则_______.13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.14.在锐角三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，若存在最大值，则的取值范围是___________.四、解答题（本题型共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列的前项和为，且满足.（1）求证:数列为等比数列;（2）已知，求数列的前2n项和.16.如图，在四棱锥中，，底面ABCD为正方形，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.17.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且离心率.（1）求双曲线的方程;（2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于M，N两点.探究:是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由.18.为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；（2）已知初赛中选手甲答对每道试题概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；（3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值．19.已知函数.（1）若，求函数的值域；（2）若.①判断函数的单调性，并求出其单调区间；②已知，且当，都有恒成立，求的所有可能取值.2024-2025学年黑龙江省大庆市高三上学期10月月考数学阶段试卷说明：1.请将答案填涂在答题卡的指定区域内.2.满分150分，考试时间120分钟.一、单项选择题（本题型共8小题，第小题5分，共40分）1.设全集，则（）A. B.[1，2] C. D.【正确答案】C【分析】求得的定义域，和值域，由交集运算即可求解.【详解】因为的定义域为0,3，的值域为2,4，所以.故选：C2.复数满足，则的虚部为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】利用复数的四则运算求出复数，利用共轭复数的概念可得出复数的虚部.【详解】由可得，即，所以，，所以，，所以，复数的虚部为.故选：D.3.已知平面向量满足:，且在上的投影向量为，则与的夹角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】由投影向量和向量夹角的计算公式求解即可；【详解】由题意可得，又，且，所以，所以与的夹角为.故选：B.4.已知一组数据：的平均数为6，则该组数据的分位数为（）A.4.5 B.5 C.5.5 D.6【正确答案】C【分析】由平均数及百分位数的定义求解即可.【详解】依题意，，解得，将数据从小到大排列可得：，又，则分位数为.故选：C.5.已知函数，对于任意实数a，b，则是的（）A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】C【分析】根据题意，推得为奇函数，且在上单调递增，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以为奇函数，函数与均为递增函数，所以在单调递增，因为函数为奇函数，所以在也为单调递增函数，又因为，所以函数在上单调递增，由，故fa>f−b故任意实数a，b，则是的充要条件.故选：C.6.函数在区间上恰有2个极值点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】表示出，再结合余弦函数图像计算即可；【详解】因为，所以，因为函数在区间上恰有2个极值点，结合余弦函数图像可得，解得，故选：D.7.已知的定义域为，则关于的方程的实数根个数为（）A.3 B.4 C.5 D.6【正确答案】B【分析】由，解得或，再对函数解析式分段讨论解方程即可．特别注意依据时函数的范围确定的范围.【详解】由，解得：或，又f(x)=1−若，当时，，即，所以，所以；当时，，而当时，此种情况无解；若，当时，或，即或；当时，当，则，满足题设；当，根据对称性及时知，，故此种情况无解；综上所述：的实数根个数为4个，分别是.故选：B．8.已知数列的前项和为，满足，则（）A.1 B. C. D.【正确答案】B【分析】由递推关系得到，再分别求出和时数列an的通项，最后结合等比数列的求和公式求解即可；【详解】由题意，且，所以，当时，，即数列an的奇数项是首项为1，公比为的等比数列，则，当时，，即数列an的偶数项是首项为，公比为的等比数列，则，所以，故选：B.二、多项选择题（本题型共3小题，每小题6分，共18分）9.关于函数，其中正确命题是（）A.是以为最小正周期的周期函数B.的最大值为C.将函数的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合D.在区间上单调递减【正确答案】ABD【分析】先化简函数，接着即可由函数性质直接得出函数的最小正周期和最值，进而可判断AB；对于C，由平移变换知识求得变换之后的解析式为即可判断；对于D，由得，进而结合正弦函数性质即可判断.【详解】由题得，对于A，函数最小正周期，故A正确；对于B，函数最大值为，故B正确；对于C，将函数的图象向左平移个单位可得到函数解析式为，所以该函数图象不会与已知函数的图象重合，故C错误；对于D，当，，因为正弦函数在区间上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故D正确.故选：ABD.10.已知等差数列an的首项为，公差为，其前项和为，若，则下列说法正确的是（）A.B.当时，最大C.使得成立的最大自然数D.数列中的最小项为【正确答案】BCD【分析】因为S10−S9【详解】等差数列an的前项和为，因为，则S因为所以，A选项错误；所以当时，最大，B选项正确；S17=17a1+由上面可知a所以或时，Snan当时,,且增大时，增大，减小,则减小，从而增大，综上可得数列中的最小项为，D选项正确.故选：BCD.11.已知，则下列结论正确的是（）A.当时，若有三个零点，则的取值范围是B.当且时，C.对于任意满足D.若存在极值点，且，其中，则【正确答案】ACD【分析】对于A,B,求导确定函数单调性，求得极值，构造不等式即可判断；对于C，代入解析式化简即可；对于D，由，得到代入化简即可.【详解】对于A:当时，，，由，可得或，由，可得，所以的增区间为和0,+∞，减区间为，所以在处取到极大值，在处取到极小值，若有三个零点，则解得，故正确；对于B：当，，，同时，结合A函数的单调性得，故错误；对于C：，故正确；对于D：若，由，得，则，其中代入，得，整理得，即，结合题设，故正确，故选:ACD三、填空题（本题型共3小题，每小题5分，共15分）12.设等比数列的前项和为，则_______.【正确答案】1【分析】利用等比数列的通项公式和性质可知为等比数列，由此列式求解即可.【详解】设等比数列an的公比为，由可知，因为，，所以，且，解得，故113.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________.【正确答案】【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.详解】由得，，故曲线在处的切线方程为；由得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，切线方程为，根据两切线重合,所以，解得.故14.在锐角三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，若存在最大值，则的取值范围是___________.【正确答案】【分析】利用正余弦定理化简易知可得，再根据二倍角公式和辅助角公式化简，由锐角三角形可得角范围，进而可得的范围.【详解】由余弦定理得整理得，由正弦定理得则，整理得，因为，所以，即，，因为为锐角三角形，所以，解得，因为存在最大值，所以，所以，所以.故四、解答题（本题型共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列前项和为，且满足.（1）求证:数列为等比数列;（2）已知，求数列的前2n项和.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）当n=1时代入求出，当时仿写作差即可；（2）将数列bn的前2n项和转化为，利用等比数列的求和公式求出，利用错位相减法求出即可；【小问1详解】当n=1时，，解得，当时，由，可得，两式相减得，所以，又因为，所以是首项为，公比为2的等比数列.【小问2详解】由（1）可知，所以，设数列bn的前项和为，所以，即，令，知，，，作差得，化简，所以16.如图，在四棱锥中，，底面ABCD为正方形，分别为的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）先证明两两垂直，再以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】因为分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面；【小问2详解】设，在中，由余弦定理得，，即，所以，则，同理可得，因为平面，所以平面，又平面，所以，同理，又平面，所以平面ABCD，又平面ABCD，所以，又，则以点为原点，以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，在Rt中，，则，所以，设平面法向量，则，取，得，因为平面，所以平面的法向量可取，则，所以平面MNC与平面PBC所成二面角的正弦值为.17.已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且离心率.（1）求双曲线的方程;（2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于M，N两点.探究:是否为定值，若是，求出该定值;若不是，请说明理由.【正确答案】（1）（2）是定值，1【分析】（1）根据条件，列出关于的方程，求的值，可得双曲线的方程.（2）对直线斜率是否为0分类讨论.当直线斜率部位0时，设其方程为：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理，表示出，，再表示出，化简即可.【小问1详解】设双曲线的焦距为，由题意得，，解得，故双曲线的方程为.【小问2详解】如图：由题意得，，当直线MN的斜率为零时，则当直线MN的斜率不为零时，设直线MN的方程为，点，联立，整理得，则m2−2≠0Δ=24m所以，所以，综上，，为定值.18.为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛．选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有5次答题机会，累计答对3道题则进入初赛，累计答错3道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取2道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得10分，对方选手得0分，选手抢到试题但没有回答正确得0分，对方选手得5分，2道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；（2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为，对手答对每道试题的概率为，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分的分布列与期望；（3）进入决赛后，每位选手回答4道试题，至少答对3道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前3道试题每道试题被答对的概率都为，若甲4道试题全对的概率为，求甲能胜出的概率的最小值．【正确答案】（1）（2）分布列见解析，（3）．【分析】（1）设为甲的答题数，则可能取3，4，5．求出概率即可；（2）可能取0，5，10，15，20．求出对应的概率，列出分布列求出期望；（3）甲能胜出的概率，即．求导数求出函数的单调性求解．【小问1详解】设为甲的答题数，则可能取3，4，5．；；．所以甲进入初赛的概率为．【小问2详解】可能取0，5，10，15，20．；；；；．的分布列为05101520所以．【小问3详解】因为甲4道试题全对的概率为，所以第4道试题答对的概率为，所以甲能胜出的概率，即．因为，所以在上单调