2024-2025学年北京市通州区高三上册第一次月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年北京市通州区高三上学期第一次月考数学检测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.已知集合,则A. B. C. D.2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A. B. C. D.3.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.14.已知，，，则（）．A. B. C. D.5.在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则（）A. B. C. D.6.中，“”是“”的（）条件A.充分而不必要 B.必要而不充分C.充分且必要 D.既不充分也不必要7.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A.， B.，C.， D.，8.已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（）A. B.C. D.9.已知函数，当时，取得最小值，则m取值范围为（）A. B. C. D.10.“开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（）小时，才能开车?（精确到1小时）（参考数据：，）A.5 B.6 C.7 D.8二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.函数的定义域是_____________．12.记为等差数列an的前项和.已知，，则______.13.已知向量，．若存在实数，使得与方向相同，则的一个取值为__________．14.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，_________，_________.15.已知数列满足，，，.则集合中元素的个数为______.三、解答题，本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.16.已知函数．（1）求值；（2）求的最小正周期；（3）求在区间上的最大值和最小值．17.在中，角所对的边分别为已知.（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值.18.设函数，直线是曲线在点处的切线.（1）当时，求的单调区间.（2）求证：不经过点.19.已知函数的最小正周期为.（1）若，，求的值；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间.条件①：的最大值为2；条件②：图象关于点中心对称；条件③：图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.20.在中，．（1）求A；（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求三角形的面积.条件①：；条件②：a=2；条件③：．21.已知函数,其中．（1）当时,求曲线在点处的切线方程;（2）当时,判断的零点个数,并加以证明;（3）当时,证明:存在实数m,使恒成立．2024-2025学年北京市通州区高三上学期第一次月考数学检测试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.已知集合,则A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先解不等式得集合A，再求并集的结果.【详解】因为，所以，选D.本题考查一元二次不等式解集以及并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】A选项，，是R上的增函数，但不是奇函数，故A错误；B选项，，是奇函数，但不是增函数，故B错误；C选项，，，，是奇函数，又，，，所以不是增函数，故C错误；D选项，，画出其图像，可得既是奇函数又是增函数.故选：D.3.已知复数，则的虚部是（）A. B. C. D.1【正确答案】C【分析】化简复数，分子分母同时乘以，进而求得复数，再求出，由此得到虚部.【详解】，，所以的虚部为.故选：C本小题主要考查复数的乘法、除法运算，考查共轭复数的虚部，属于基础题.4.已知，，，则（）．A. B. C. D.【正确答案】C【详解】试题分析：因为所以选C．考点：比较大小5.在等腰梯形ABCD中，，M为BC的中点，则（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为在等腰梯形ABCD中，，所以,因为M为BC的中点，所以,故选:B.6.中，“”是“”的（）条件A.充分而不必要 B.必要而不充分C.充分且必要 D.既不充分也不必要【正确答案】A【分析】根据充分条件、必要条件及三角函数可得解.【详解】因为时，，而时，或.所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A7.函数的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A.， B.，C.， D.，【正确答案】D【分析】由图得到周期与单调递减区间即可.【详解】由图可知，在区间上单调递减，由图可知周期；故的单调递减区间为，.故选：D8.已知函数．甲同学将的图象向上平移个单位长度，得到图象；乙同学将的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得到图象．若与恰好重合，则下列给出的中符合题意的是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据函数平移和伸缩变换原则，依次验证选项中的函数变换后的解析式是否相同即可.【详解】对于A，，，A错误；对于B，，，B正确；对于C，，，C错误；对于D，，，D错误.故选：B.9.已知函数，当时，取得最小值，则m的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据二次函数和指数函数的性质，及分段函数的最值即可得求解．【详解】当时，单调递增，则；当时，开口向上，且对称轴为，又当时，取得最小值，所以，解得，所以m的取值范围为．故选：B．10.“开车不喝酒，喝酒不开车”.一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL，那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过（）小时，才能开车?（精确到1小时）（参考数据：，）A.5 B.6 C.7 D.8【正确答案】A【分析】根据题意建立不等式求解即可.【详解】由题得，在喝酒后，血液中酒精含量与时间的关系为，建立不等式，则，所以.故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.函数的定义域是_____________．【正确答案】【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：，所以该函数的定义域为，故12.记为等差数列an的前项和.已知，，则______.【正确答案】【分析】首先根据题意得到，再解方程组即可得到答案.【详解】由题知：，解得.所以故13.已知向量，．若存在实数，使得与的方向相同，则的一个取值为__________．【正确答案】（答案不唯一，小于的实数均可）【分析】由两向量同向可知，由此可构造方程组求得，由可求得满足题意的的范围，进而得到结果.【详解】与方向相同，，，，由得：，存在实数，，使得与方向相同.故（答案不唯一，小于的实数均可）.14.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，_________，_________.【正确答案】①.②.【分析】由三角函数定义求出，利用正弦和余弦二倍角公式，同角三角函数关系求出答案.【详解】由三角函数定义得，，则，又，则.故，15.已知数列满足，，，.则集合中元素的个数为______.【正确答案】24【分析】利用累加法得到，，即可得到，然后对分奇数和偶数两种情况讨论.【详解】由题意得，，所以，又，所以，，当为偶数时，令，解得，当为奇数时，令，因为函数的对称轴为，当时，，当时，，所以，综上可得集合中元素的个数为.故24三、解答题，本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.16.已知函数．（1）求的值；（2）求的最小正周期；（3）求在区间上的最大值和最小值．【正确答案】（1）-1；（2）；（3）最大值为，最小值为．【分析】（1）自变量直接代入求值；（2）应用倍角正余弦公式、辅助角公式化简函数式，由正弦型函数性质求最小正周期；（3）利用正弦型函数性质求区间最值即可.【小问1详解】．【小问2详解】由题设．所以的最小正周期为．【小问3详解】因为，所以，当，即时，取得最大值，所以在区间上的最大值为；当，即时，取得最小值，所以在区间上的最小值为．17.在中，角所对的边分别为已知.（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值.【正确答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由余弦定理求出，即可得出角C的大小；（2）由正弦定理即可求出答案；（3）求出，由二倍角公式求出，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（1）在中，由余弦定理及，有，又因为，所以.（2）在中，由正弦定理及.可得.（3）由及，可得，，，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，关键点是熟练掌握有关公式的运用，考查学生的数学运算能力.18.设函数，直线是曲线在点处的切线.（1）当时，求的单调区间.（2）求证：不经过点.【正确答案】（1）单调递増区间为，单调递减区间为（2）证明见解析.【分析】（1）先将参数代入函数方程，然后判断函数定义域，求导计算单调区间即可；（2）先求切线斜率，然后假设经过原点，所以切线斜率等于切点与原点连线斜率，得到该方程无解，故假设不成立，得到结论.【小问1详解】当时，，显然的定义域为，，显然，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递増；所以，单调递増区间为，单调递减区间为.【小问2详解】由题可知，，所以直线的斜率为，假设直线过原点，则有，因为，所以有，令，得，因为，所以，所以单调递增，所以，故无解，故假设直线过原点错误，所以直线不过原点.19.已知函数的最小正周期为.（1）若，，求的值；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间.条件①：的最大值为2；条件②：图象关于点中心对称；条件③：的图象经过点.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】（1）（2）；【分析】（1）根据条件，代入，即可求解；（2）根据三角函数的性质，选择条件，代入后，即可求解函数的解析式，然后代入函数单调递增区间，即可求解.【小问1详解】因为，，则，且，则；【小问2详解】因为函数的最小正周期为，则，若选①②，则，且，又，则，则，所以，所以，若选择①③，则，且，则，又，则，则，则，所以若选择②③，由②可知，，由③可知，，则，所以，令，得，所以函数的单调递增区间是20.在中，．（1）求A；（2）若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求三角形的面积.条件①：；条件②：a=2；条件③：．【正确答案】（1）或（2）答案见解析【分析】（1）运用正弦定理边角互化可解；（2）若选择①：运用正弦定理，结合面积公式可解；若选择②：运用正弦定理，结合面积公式可解；若选择③：运用正弦余弦定理，结合面积公式可解.【小问1详解】因为，则由正弦定理可得，，又因为，所以，又因为A为的内角，所以或；【小问2详解】若选择①：因为，且,所以，所以，又因为，所以，所以；若选择②：因为，所以，则，则.所以，则为等腰直角三角形，所以；若选择③：因为，所以，由余弦定理可得，，当时，，即，解得;当时，，即，解得；此时不唯一，不合题意．21.已知函数,其中．（1）当时,求曲线在点处的切线方程;（2）当时,判断的零点个数,并加以证明;（3）当时,证明:存在实数m,使恒成立．【正确答案】（1）（2）1个（3）证明见解析【分析】(1)根据代入解析式,求出,根据点斜式写出切线方程即可;(2)对函数求导求单调性,观察到,根据单调性分析零点个数即可;(3)先对函数求导,再通分,令再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析的正负,即的正负,进而求出的单调性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在实数m,使恒成立.【小问1详解】解:由题知,,,,故在点处的切线方程为,即;【小问2详解】由题,,,,,故在上单调递增,,故有1个零点;【小问3详解】由题,,,令