北京市朝阳区2024-2025学年高三10月月考数学质量检测试卷（含解析）

北京市朝阳区2024-2025学年高三10月月考数学质量检测试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，（）A B. C. D.2.若，则向量与夹角为（）A B. C. D.3.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（）A.钝角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形，但不是等腰三角形4.已知，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.5.如图，在中，，，是三等分点，且，则错误的是（）A. B.C. D.6.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（）A. B. C. D.7.已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足,现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为（）A. B. C. D.9.若函数在其定义域上只有一个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.10.设函数，下列判断正确的是（）A.函数的一个周期为；B.函数的值域是；C.函数的图象上存在点，使得其到点的距离为；D.当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为___________.12.若为虚数单位，复数满足，则的虚部为______.13.已知数列满足，且，则______，______.14.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一动点，则双曲线的渐近线为______，最小值为______.15.已知函数给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则.其中，所有正确结论的序号为__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．17.如图，的内角、、的对边分别为、、，且.（1）求角B的大小；（2）若，.（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.18.某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；（2）求面积关于的函数解析式；（3）试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.19.已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．（1）求的解析式；（2）设，求函数在上的单调递增区间．条件①：；条件②：为偶函数；条件③：的最大值为1；条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．20.已知函数.（1）若，求f(x)在点处的切线方程；（2）若f(x)在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；（3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.21.已知，，，记，用表示有限集合元素个数.（I）若，，，求；（II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；（III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值.北京市朝阳区2024-2025学年高三10月月考数学质量检测试卷第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】解不等式化简集合A，求出函数定义域化简集合B，再利用交集的定义求解即得.【详解】由，得，则，由对数函数的定义域得，所以.故选：C2.若，则向量与的夹角为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据，得，结合数量积的运算律求出，再根据向量的夹角公式即可得解.【详解】因为，所以，即，所以，所以，又，所以向量与的夹角为.故选：B.3.已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则是（）A.钝角三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形，但不是等腰三角形【正确答案】B【分析】先由正弦定理得，进而得到，即可求解.【详解】由正弦定理得，则，又为三角形内角，则，则是等边三角形.故选：B.4.已知，则下列不等式正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】D【分析】A作差法比较大小；B特殊值法，令即可判断正误；C令，利用对数函数的性质判断即可；D根据指数函数的单调性判断大小关系.【详解】A：，又，则，，故，即，错误；B：当时，不成立，错误；C：由，即，当时有，错误；D：由，则，正确.故选：D.5.如图，在中，，，是三等分点，且，则错误的是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】由向量的线性运算即可判断A，B,取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，计算可得，进而得出，计算可判断选项C,由C可知，两边平方，化简计算可判断选项D.【详解】对于A，由题意得D为BE的中点，所以，故选项A正确；对于B，，故选项B不正确；对于C，取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且，所以，所以，，故选项C正确；对于D，由G是BC的中点得，两边平方得，所以，故选项D正确.故选：B.6.已知函数有两个极值点，则实数的取值范围（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数和有两个交点，然后利用导数求的单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围.【详解】因，∴，由已知函数f(x)有两个极值点可得有两个解即和有两个交点，，∴当时，，在上单调递增，当时，，在1,+∞上单调递减，故，而时，，时，；大致图象如下：若和有两个交点只需.故选：A.极值点个数问题，一般转化为方程解的问题，再通过适当的变量分离转化为对应函数值域问题.7.已知无穷数列{an}满足an+1＝an+t（t为常数），Sn为{an}的前n项和，则“t≥0”是“{an}和{Sn}都有最小项”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和的公式，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】∵an+1＝an+t，∴数列{an}为等差数列，且公差为t，①当t≥0时，若t＝0，a1＝﹣2时，数列{an}为常数列，且an＝﹣2，∴Sn＝﹣2n为减函数，无最小项，∴充分性不成立，②当{an}和{Sn}都有最小项，∵an＝a1+(n﹣1)t＝tn+(a1﹣t)，Sn＝na1tn2+(a1)n，则或t＞0，∴t≥0，∴必要性成立，∴t≥0是{an}和{Sn}都有最小项的必要不充分条件，故选：B．8.已知，两点是函数与轴的两个交点，且满足,现将函数的图像向左平移个单位，得到的新函数图像关于轴对称，则的可能取值为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据，即可求得，再根据平移后函数为偶函数，即可求得.【详解】令，解得，因为，故令，并取，则，即可求得.此时，向左平移个单位得到，若其为偶函数，则，解得.当时，.故选：A.本题考查由三角函数的性质求参数值，属综合中档题.9.若函数在其定义域上只有一个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】当时，利用单调性结合零点存在性定理可得在内存在唯一零点，当时，利用导数判断单调性得在上单调递减，在上单调递增，可得．【详解】当时，则在上单调递增，且∴在内存在唯一零点则当时，无零点，令，则或（舍去）∴在上单调递减，在上单调递增则，即故选：C．10.设函数，下列判断正确的是（）A.函数的一个周期为；B.函数的值域是；C.函数图象上存在点，使得其到点的距离为；D.当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点.【正确答案】D【分析】利用函数的周期性定义结合余弦函数的周期性可判断A；采用三角代换，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解函数值域，判断B；利用，结合两点间距离公式可判断C；结合解，根据解的情况判断D，即得答案.【详解】对于A，，，故不是函数的一个周期，A错误；对于B，，需满足，即，令，，则即为，当时，在上单调递增，则；当时，，（，故）此时在上单调递减，则，综上，的值域是，B错误；对于C，由B知，，当时，,满足此条件下的图象上的点到的距离；当时，,满足此条件下的图象上的点到的距离，当且仅当且时等号成立，而时，或，满足此条件的x与矛盾，即等号取不到，故函数的图象上不存在点Px,y，使得其到点1,0的距离为，C错误；对于D，由B的分析可知，则，即，又，故当且仅当时，，即当时，函数的图象与直线有且仅有一个公共点，D正确．故选：D难点点睛：本题综合考查了函数知识的应用问题，涉及余弦函数的周期，值域以及最值和函数图象的交点问题，综合性强，难度较大，解答时要结合余弦函数的性质以及函数的单调性，综合求解.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数的定义域为___________.【正确答案】【分析】函数的定义域满足，解得答案.【详解】函数的定义域满足：，解得.故答案为.12.若为虚数单位，复数满足，则的虚部为______.【正确答案】##2.5【分析】根据复数的除法运算可得，进而即得.【详解】因为，所以，所以复数z的虚部为.故答案为.13.已知数列满足，且，则______，______.【正确答案】①.24②.【分析】先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再结合等比数列定义求对应通项公式，注意验证起始项是否满足，不满足需用分段函数表示.【详解】因为，所以当时，，所以，即，所以当时，an是以2为公比的等比数列，当时，，所以当时，因此，所以，发现也满足，故14.已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一动点，则双曲线的渐近线为______，最小值为______.【正确答案】①.②.【分析】根据双曲线的渐近线方程公式可直接得该双曲线的渐近线方程；设，利用数量积公式化简，结合双曲线方程以及二次函数的性质即可得最小值.【详解】根据题意双曲线，所以双曲线的渐近线方程为；设，则，所以，由双曲线性质可知，或，结合二次函数性质可得当时，取得最小值为，故答案为.15.已知函数给出下列四个结论：①若有最小值，则的取值范围是；②当时，若无实根，则的取值范围是；③当时，不等式的解集为；④当时，若存在，满足，则.其中，所有正确结论的序号为__________.【正确答案】②③④【分析】对①，利用函数的单调性与最值的关系结合函数图象求解；对②，利用函数图象，数形结合求解；对③，利用函数的单调性解不等式；对④，利用函数的切线与导函数的关系，以及图形的对称关系，数形结合求解.【详解】当时，，当时，，若，则当时，，则此时函数无最小值；若，则当时，，时，，则函数有最小值为满足题意；若，则当时，，时，，要使函数有最小值，则，解得；综上，的取值范围是，①错误；当时，函数在单调递增，单调递减，单调递减，作图如下，因为无实根，所以或，②正确；当时，因为，所以函数在单调递减，又因为所以由可得，，即，解得，所以，所以不等式的解集为，③正确；函数在点处的切线斜率为，所以切线方程为，则由图象可知，时，，设，记直线与函数，，的交点的横坐标为，因为经过点，所以由对称性可知，当时，，又因为，所以，④正确；故答案为:②③④.关键点点睛：本题的②③④小问都用数形结合的思想，数形结合的思想通常与函数的单调性、最值等有关联，根据单调性、最值，以及一些特殊的点准确作出函数图象是用数形结合来解决问题的关键.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知等差数列的公差为，前项和为，满足，，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据等比中项以及等差数列基本量的计算可求解公差，进而可求通项.（2）根据分组求和以及等差等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】，，成等比数列，故，化简得：因为，所以，因此【小问2详解】，因此17.如图，的内角、、的对边分别为、、，且.（1）求角B的大小；（2）若，.（i）求的值；（ii）求的角平分线的长.【正确答案】（1）（2）（i）；（ii）.【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）（i）利用三角形的面积公式求出的值，利用余弦定理求出的值，然后利用正弦定理可求得的值；（ii）由结合三角形的面积公式可求得的长.【小问1详解】解：，所以，，可得，又因为，故.【小问2详解】解：（i）因为，解得，由余弦定理可得，则，由正弦定理可得，所以，；（ii）因为，即，因此，.18.某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成.经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米.（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；（2）求面积关于的函数解析式；（3）试确定点的位置，使得游乐场的面积最大.【正确答案】（1）（2），.（3）点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大.【分析】（1）先以O为坐标原点，OA、OB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；（2）分别求出D在不同线段的解析式，然后计算面积；（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定D的位置.【小问1详解】以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设曲线所在的抛物线方程为，，点，在抛物线上，则，解得，，所以曲线段所在的抛物线方程为.【小问2详解】因为点在曲线段上，，，所以，∴，.【小问3详解】∵，，令，解得，当时，f′x>0，当时，f所以时，函数单调递增，时，函数单调递减，因此，当时，是极大值也是最大值，即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大.19.已知函数．从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．（1）求的解析式；（2）设，求函数在上的单调递增区间．条件①：；条件②：为偶函数；条件③：的最大值为1；条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．【正确答案】（1）；（2）【分析】（1）先由降幂公式得，故为奇函数，排除条件②，若选①③，不唯一，不合题意；若选①④由及周期解出即可；若选③④由最大值及周期解出即可；（2）先由倍角公式及辅助角公式求出，再令解出单调区间，最后写出在上的单调递增区间即可.【小问1详解】，易知为奇函数，故条件②不成立，舍去.若选①③，则且，故，，解得，故不唯一，不合题意；若选①④，且，故，解得，，存在且唯一，故；若选③④，则且，故，解得，，故，存在且唯一，故；【小问2详解】，令，解得，当时，，当时，，故函数在上的单调递增区间为.20.已知函数.（1）若，求f(x)在点处的切线方程；（2）若f(x)在上恰有一个极小值点，求实数的取值范围；（3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线斜率及方程；（2）求导，可得函数单调区间与极值点，再根据极值点范围可得参数范围；（3）由不等式恒成立可知恒成立，，即，求函数的最值即可.【小问1详解】当时，，，所以，，所以切线方程为.【小问2详解】由，得.令，得，.①若，则