2024-2025学年四川省达州市高二上册10月期中数学检测试题合集2套（含解析）

2024-2025学年四川省达州市高二上学期10月期中数学检测试题（一）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设点在平面上的射影为，则等于（）A. B.5 C. D.【正确答案】D【分析】先得到，从而求出，计算出模长.【详解】点在平面上的射影为，，故，故选：D2.将10个数据按照从小到大的顺序排列如下：，若该组数据的分位数为22，则（）A.19 B.20 C.21 D.22【正确答案】C【分析】由题意，结合百分位数的定义即可求解.【详解】，又该组数据的分位数为22，则，解得.故选：C3.设，，，且∥，则（）A B. C.3 D.4【正确答案】C【分析】根据，可得，；再根据∥，可得，进而得，最后根据向量的坐标求模即可.【详解】解：因为，，且，所以，解得，所以，又因为，且∥，所以，所以，所以，所以.故选：C.4.对空中移动的目标连续射击两次，设两次都击中目标两次都没击中目标{恰有一次击中目标}，至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】根据事件关系，即可判断选项.【详解】A.事件包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以，故A正确；B.包含的事件为至少一次击中目标，为样本空间，所以B错误，C正确；D.事件与事件是对立事件，所以，故D正确.故选：B5.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷8次，得到的点数分别为，则这8个点数的中位数为4.5的概率为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据中位数的定义，将得到的点数从小到大排列，讨论不同情况，即可求解.【详解】由题意，这8个点数的中位数为4.5，只有三种情况：①将抛掷8次，得到的点数从小到大分别为，此时中位数为；②抛掷8次，得到的点数从小到大分别为，此时中位数为；③抛掷8次，得到的点数从小到大分别为，此时中位数为或；综上，x的点数只能为5，或者6，故概率为，故选：D.6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据，并求得其平均数为70，方差为75，现发现在收集这些数据时，其中得两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90，在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由平均数，方差计算公式可判断各选项正误.【详解】设其他48个数据依次为，则，因为，因此平均数不变，即；又由方差计算公式可知：，，注意到，则.故选：C.7.平行六面体的底面是边长为2的正方形，且，，为，的交点，则线段的长为（）A.3 B. C. D.【正确答案】C【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合数量积运算求模长.【详解】由题意可知：，则，所以.故选：C.8.如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）A.平面B.异面直线与所成角为C.直线与平面所成角为D.【正确答案】B【分析】连接，可得，A选项，利用线面平行的判定定理即可证明；B选项，异面直线与所成角即为直线与与所成角；C选项直线与平面所成角即直线与平面所成角；D选项，由线面垂直的性质可以得证.【详解】如图，连接，在正方形中，为的中点，则，即也为的中点，在中，分别为的中点，有，又平面，平面，所以平面，故A正确；由题可知，异面直线与所成角即为直线与与所成角，即，为，故B错误直线与平面所成角即直线与平面所成角，由平面，可知直线与平面所成角为，故C正确；正方体中，平面，平面，则有，由，得，故D正确；，故选：B.二､多项选择题（每空6分，共18分）9.在我们发布的各类统计数据中，同比和环比都是反映增长速度的核心数据指标．如图是某专业机构统计的2022年1-12月中国校车销量走势图，则下列结论正确的是（）A.8月校车销量的同比增长率与环比增长率都是全年最高B.1-12月校车销量的同比增长率的平均数小于环比增长率的平均数C.1-12月校车销量环比增长率的极差大于同比增长率的极差D.1-12月校车销量的环比增长率的方差大于同比增长率的方差【正确答案】BCD【分析】由统计图数据对选项逐一判断可得答案.【详解】2022年8月校车销量的同比增长率比9月的低，故A错误；由校车销量走势图知1-12月校车销量的同比增长率的平均数为负数，环比增长率的平均数是正数，故B正确；1-12月校车销量的环比增长率的极差为，同比增长率的极差为，所以环比增长率的极差大于同比增长率的极差，故C正确；由校车销量走势图知1-12月校车销量的环比增长率的波动大于同比增长率的，所以环比增长率的方差大于同比增长率的方差，故D正确．故选：BCD.10.给出下列命题，其中正确的是（）A.若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面yOz的对称点是C.若空间四个点P，A，B，C满足，则A，B，C三点共线D.平面的一个法向量为，平面的一个法向量为.若，则【正确答案】ACD【分析】根据三个向量是否共面判断A，由点关于坐标面的对称判断B，由向量的运算确定三点共线可判断C，根据向量共线求参数可判断D。【详解】对于A,不共面，则不共面，所以也是空间的一个基底，故正确；对于B,点关于坐标平面yOz的对称点是，故错误；对于C，由可得，即,所以A，B，C三点共线，故正确；对于D，由平面平行可得，所以，解得，故正确.故选：ACD11.已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（）A.若A与B相互独立，则 B.若，则事件A与相互独立C.若A与B互斥，则 D.若B发生时A一定发生，则【正确答案】ABD【分析】根据互斥事件和独立事件的概率公式逐项判断.【详解】对于A，若A与B相互独立，则，所以，故A对；对于B，因为，，则，因为，所以事件与相互独立，故B对；对于C，若A与B互斥，则，故C错；对于D，若B发生时A一定发生，则，则，故D对．故选：ABD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过点，点的直线的一个方向向量是______.【正确答案】(时，均可)【分析】求出向量符合题意，所有与共线非零向量均可.【详解】点，点在直线上，则直线的一个方向向量为，时，也都是直线的方向向量.故（时，均可）13.某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为__________万辆.【正确答案】53【分析】根据中位数和平均数公式，结合题意，即可求解.【详解】设2020年的销量为，2021年的销量为，，由题意可知，中位数为，平均数为，由，得，所以这四年的总销量为万量.故5314.已知是空间单位向量，.若空间向量满足，且对于任意，，则__________，__________.【正确答案】①.2②.【分析】问题转化为当且仅当时取到最小值，利用数量积求向量的模，且当模最小时，求出相关的数值.【详解】，由于，所以，问题等价于当且仅当时取到最小值，.则，解得，，.故2；.方法点睛：涉及向量的模，通常用到求解.四､解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.柜子里有3双不同的鞋，分别用，；，；，表示6只鞋，其中，，表示每双鞋的左脚，，，表示每双鞋的右脚.如果从中随机地取出2只，那么（1）写出试验的样本空间；（2）求下列事件的概率：①取出的鞋都是一只脚的；②取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋.（3）求取出的鞋不成双的概率.【正确答案】（1）见解析（2）（3）【分析】（1）通过列举法写出试验的样本空间；（2）（3）结合（1）所求的样本空间，利用古典概型的概率公式逐一求解即可．【小问1详解】该试验的样本空间可表示为,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,，,；【小问2详解】记：“取出的鞋都是一只脚的”,，,，,，,，,，,，，；记“取出的鞋子是一只左脚一只右脚的，但不是一双鞋”，,,,，,，,，,，，，【小问3详解】记“取出的鞋不成双”，由（1）得，，,，,，，，；16.2023年是中国共产党建党102周年，为了使全体党员进一步坚定理想信念，传承红色基因，市教育局以“学党史､悟思想､办实事､开新局”为主题进行“党史”教育，并举办由全体党员参加的“学党史”知识竞赛.竞赛共设100个小题，每个小题1分，共100分.现随机抽取1000名党员的成绩进行统计，并将成绩分成以下七组：并绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，求这1000名党员成绩的众数，中位数；（2）用分层随机抽样的方法从低于80分的党员中抽取5人，若在这5人中任选2人进行问卷调查，求这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.【正确答案】（1），（2）【分析】（1）利用频率分布直方图估计众数和中位数.（2）根据分层抽样的方法，确定样本中人员的构成，再列出人选2人的所有可能，利用古典概型的公式求相应的概率.【小问1详解】由频率分布直方图可得，1000名学员成绩众数为，成绩在的频率为，成绩在的频率为，故中位数位于之间，中位数是【小问2详解】∵与的党员人数的比值为，采用分层随机抽样方法抽取5人，则在中抽取2人，中抽3人，设抽取人的编号为，，抽取人的编号为，，，则从5人中任选2人进行问卷调查对应的样本空间为：，，，，，，，，，，共10个样本点，这2人中至少有1人成绩低于76分的有：，，，，，，，共7个样本点，故这2人中至少有1人成绩低于76分的概率.17.在四棱锥中．底面为矩形，且平面．为中点．（1）求点到直线的距离；（2）求异面直线所成角的余弦值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出、，利用空间向量法求出，从而求出，再由点到直线的距离计算可得；（2）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】因为为矩形，所以，又因为平面平面，所以，所以分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，所以，则有，所以，所以点到直线的距离．【小问2详解】因为，所以，所以异面直线所成角的余弦值．18.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.（1）求证：平面；（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证；（2）利用空间向量法求点到面的距离；（3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域.【小问1详解】连接，因为为等边三角形，为中点，则，由题意可知平面平面，平面平面，平面，所以平面，则平面，可得，由题设知四边形为菱形，则，因为，分别为，中点，则，可得，且，，平面，所以平面.【小问2详解】在平面内的射影为，所以平面，由题设知四边形为菱形，是线段的中点，所以为正三角形，由平面，平面，可得，，又因为为等边三角形，为中点，所以，则以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，，可得，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，可得，所以点到平面的距离为.【小问3详解】因为，设，，则，可得，，，即，可得，由（2）知：平面的一个法向量设平面的法向量，则，令，则，，可得；则，令，则，可得，因为，则，可得，所以锐二面角的余弦值的取值范围为19.在空间直角坐标系中，定义：过点，且方向向量为的直线的点方向式方程为；过点，且法向量为的平面的点法向式方程为，将其整理为一般式方程为，其中．（1）求经过的直线的点方向式方程；（2）已知平面，平面，平面，若，证明：；（3）已知斜三棱柱中，侧面所在平面经过三点，，侧面所在平面的一般式方程为，侧面所在平面的一般式方程为，求平面与平面的夹角大小．【正确答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）先求直线的方向向量，结合题意即可得直线方程；（2）根据题意可得平面、、的法向量，进而可求交线的方向向量，利用空间向量判断线面关系；（3）根据题意可得平面、的法向量，进而可求交线的方向向量，根据线面关系可得，利用空间向量求面面夹角.【小问1详解】由得，直线的方向向量为，故直线的点方向式方程为．【小问2详解】由平面可知，平面的法向量为，由平面可知，平面的法向量为，设交线的方向向量为，则，令，则，可得，由平面可知，平面的法向量为，因为，即，且，所以．【小问3详解】因平面经过三点，可得，设侧面所在平面的法向量，则，令，解得，可得，由平面可知，平面法向量为，设平面与平面的交线的方向向量为，则，令，则，可得，由平面可知，平面的法向量为，因为，解得，即，则，故平面与平面夹角的大小为．2024-2025学年四川省达州市高二上学期10月期中数学检测试题（二）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列说法中正确的是（）A.三点确定一个平面 B.四边形一定是平面图形C.梯形一定是平面图形 D.两个互异平面和有三个不共线的交点【正确答案】C【分析】根据点、线、面的位置关系依次判断各个选项即可.【详解】对于A，共线的三点无法确定一个平面，A错误；对于B，空间四边形不平面图形，B错误；对于C，梯形有一组对边互相平行，则四个顶点必然处于同一平面内，即梯形一定是平面图形，C正确；对于D，两个互异平面若有交点，则所有交点必在同一条直线上，D错误.故选：C.2.已知，，则线段AB中点的坐标是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用中点坐标公式直接计算即可.【详解】由中点坐标公式得线段AB中点的坐标为，即.故选：A3.如图，在平行六面体中，是的中点，设，，，则等于（）A. B.C D.【正确答案】A【分析】根据空间向量的基本定理求解即可.【详解】因为在平行六面体中，是的中点，所以.故选：A.4.已知是一平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（）A. B.1 C. D.【正确答案】D【分析】由给定的直观图画出原平面图形，再求出面积作答.【详解】根据斜二测画法的规则，所给的直观图对应的原平面图形，如图，其中，，所以这个平面图形的面积为.故选：D5.设两条直线，，两个平面，，则下列条件能推出的是（）A.，，且 B.，，且C.，，且 D.，，且，【正确答案】A【分析】利用线面垂直的性质推理判断A；举例说明判断BCD.【详解】对于A，由，，得，而，所以；对于B，若，，且，此时，可能相交，如下图所示：当，，，都与平行时，，相交，B错误；对于C，若，，且，此时，可能相交，如下图所示：当，都与平行时，，相交，C错误；对于D，若，，且，，此时，可能相交，如下图所示：当，都与平行时，，相交，D错误.故选：A6.《黄帝内经》中十二时辰养生法认为：子时的睡眠对一天至关重要（子时是指23点到次日凌晨1点）．相关数据表明，入睡时间越晚，沉睡时间越少，睡眠指数也就越低．根据某次的抽样数据，对早睡群体和晚睡群体的睡眠指数统计如图，则下列说法正确的是（）A.在睡眠指数的人群中，早睡人数多于晚睡人数B.早睡人群睡眠指数主要集中在80,90C.早睡人群睡眠指数的极差比晚睡人群睡眠指数的极差小D.晚睡人群睡眠指数主要集中在【正确答案】B【分析】根据统计图中的数据分析及极差的概念作出判断.【详解】A选项，由于不知抽样数据中早睡和晚睡的人数，从而无法确定在睡眠指数的人群中，早睡人数和晚睡人数，A错误；B选项，由统计图可看出早睡人群睡眠指数主要集中在内，B正确；C选项，在统计图中无法确定早睡人群睡眠指数和晚睡人群睡眠指数的极差，C错误.D选项，晚睡人群睡眠指数主要集中在内，D错误.故选：B7.已知正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的体积为（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据正六棱柱的性质结合球的性质得，其外接球的球心为上下面外接圆圆心连线中点，利用勾股定理计算半径，代入球的体积公式求解即可.【详解】如图，设正六棱柱下底面的中心为，其外接球的圆心为点，则，为等边三角形，故，即为其外接球的半径，所以，所以该正六棱柱的外接球的体积为.故选：C.8.设是定义域为R的奇函数，且．如果，那么（）A. B.C. D.【正确答案】B【分析】确定出函数的周期性，然后由周期性和奇偶性求值．【详解】是奇函数，则，又，所以，所以，是周期为2的周期函数，，故选：B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分.9.下列命题中正确的是（）A.若，，，是空间任意四点，则有B.若向量，，满足，则C.空间中任意三个非零向量都可以构成空间一个基底D.对空间任意一点与不共线的三点，，，若（其中，且），则，，，四点共面【正确答案】AD【分析】利用空间向量运算判断A；利用相等向量的意义判断B；利用空间的一个基底的意义判断C；利用空间共面向量定理判断D.【详解】对于A，，A正确；对于B，当时，，，，四点可能一条直线上，B错误；对于C，空间的三个非零向量有共面与不共面两种可能，当它们共面时，不能作为空间的一个基底，C错误；对于D，若，则，化简得，因此，，，四点共面，D正确.故选：AD10.已知函数，若把函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于原点对称，则（）A.B.函数的图象关于点对称C.函数在区间上单调递减D.函数在上有3个零点【正确答案】BC【分析】先求出平移后的函数解析式，再结合条件求，由此可得函数的解析式，再由正弦型函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】由已知可得因为函数的图像关于原点对称，则，解得，又，则时，，所以，故A错误；因为，所以的图像关于点对称，故B正确；当时，则，且函数在单调递减，所以函数在区间上单调递减，故C正确；令，即，解得，又，则，共两个零点，故D错误；故选：BC.11.在三棱锥中，两两垂直，平面于点，设的面积分别为，下列命题中正确的是（）A.可能为直角三角形 B.点为的垂心C. D.【正确答案】BCD【分析】假设，，，求出，，，根据长度和三角形形状的关系判断A选项，根据垂心的定义判断B选项，根据海伦公式求出判断C选项，求出和、、的关系判断D选项.【详解】假设，，，所以，，，因为任何两边的平方和大于第三边的平方，所以是锐角三角形，故A选项错误；由两两垂直易证平面，所以，因为，所以易证平面，所以，同理可得，，所以点为的垂心，故B选项正确；设的面积为，因为四面体体积为，所以，等式两边平方可得，由海伦公式可得，其中，所以，所以代回可得，故C选项正确；，，，，因为，所以，所以，因为，，，所以，故D选项正确.故选：BCD.关键点点睛：本题关键在于根据海伦公式求出判断C选项，求出和、、的关系判断D选项.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时方差是______.【正确答案】【分析】利用平均数和方差的定义直接求解即可.【详解】设这个样本容量为7的样本数据分别为则，所以，，所以.当加入新数据5后，平均数，方差.故13.已知点关于坐标平面的对称点为，点关于坐标平面的对称点为，点关于轴的对称点为，则______．【正确答案】【分析】依次写出，，，利用空间两点间距离公式求出答案.【详解】由题意得，，，故.故14.如图，边长为的正三角形的中线与中位线交于点G．已知是绕旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是______．（1）三棱锥的体积有最大值（2）异面直线与不可能互相垂直（3）恒有平面平面（4）动点在平面上的射影在线段上【正确答案】（1）（3）（4）【分析】通过底和高来确定体积、证明线面垂直、异面直线所成角、面面垂直的性质等逐个判断即可.【详解】对于（1）：三棱锥的底面的面积是定值，高是点到平面的距离，当平面时距离（即高）最大，三棱柱的体积最大，故（1）正确；对于（2）：由得是异面直线与所成的角（或其补角），因为正三角形的边长为，所以的长度的取值范围是，当时，，所以，此时直线与互相垂直，故（2）错误；对于（3）：在正三角形中，为中线，为中位线，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故（3）正确；对于（4）：过作，垂足为，则平面，，又平面平面，平面平面，所以平面，则动点在平面上的射影在线段上，故（4）正确；故（1）（3）（4）.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．（1）求证：平面；（2）三棱锥的体积大小．【正确答案】（1）证明见解析；（2）1.【分析】（1）连接，取的中点为，利用平行公理及线面平行的判断推理即得.（2）由（1）的结论，利用等体积法转化求出体积.【小问1详解】在正方体中，连接，取的中点，连接，有M为中点，则，又E为BC的中点，于是，则四边形是平行四边形，，又F为CD的中点，则有，即四边形是平行四边形，，因此，又平面，平面，所以平面.【小问2详解】由（1）知，平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，而正方体的棱长为1，平面，则点到平面的距离为到平面的距离1，所以三棱锥的体积.16.已知空间中三点．（1）若，且，求向量的坐标；（2）求的面积．【正确答案】（1）或（2）【分析】（1）可求由已知可设，通过模长公式计算可得，即可得出结果；（2）通过数量积公式求得，利用三角形面积公式计算即可得出结果.【小问1详解】空间中三点，，且，设，或．【小问2详解】∵，，，，．17.某保险公司在2023年度给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段，，，，分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示．（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元．年龄保费306090120150（1）用样本的频率分布估计总体的概率分布，判断该公司本年度是亏本还是盈利？（2）经调查，年龄在之间的中年人对该疾病的防范意识还比较弱，