2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上册期中数学检测试卷合集2套（含解析）

2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期期中数学检测试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若A={x|x2<1}，B={x|y=ln(−A.(−1,2) B.[0,1) C.(0,1) D.(−1,0)2.若复数z满足z(1−i)=i，则z的共轭复数z−对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量a=(1,1)，b=(1,−1).若(aA.λ+μ=1 B.λ+μ=−1 C.λμ=1 D.λμ=−14.已知sin(α+β)=13，sin(α−β)=1A.15 B.−15 C.55.如图，在△ABC中，E是AB的中点，BD=2DC，FC=13AF，EF与AD交于点MA.314AB+37AC

B.36.若函数f(x)=−x+7,x≤42+loga(x−1),x>4(其中a>0，且A.13<a<1 B.13≤a<1 C.7.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧.若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60∘和20∘，且BC=100m，则该球体建筑物的高度约为( )(A.49.25m B.50.76m C.56.74m D.58.60m8.已知a>e2，b>0，c>0，当x≥0时，(ex−A.19 B.e327 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知x>y>0，且x+y=1，则(

)A.|x−1|+|y−1|=1 B.yx>y+1x+1

C.10.已知数列{anan+1}(n∈A.若{an}是等比数列，则公比为2

B.{a2n}是公比为2的等比数列

11.若函数f(x)=x3−3x2+ax+b，f(x)与x轴的三个交点依次为A(x1,0)，B(x2A.a>3

B.若a=−9，则f(−1,1)+f(3.09)<2b−22

C.若x1，x2，x3成等差数列，则a+b=2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知{an}是公差为2的等差数列，且a5+13.已知函数f(x)=sinωx−3cosωx(ω>0)，若存在x1，x14.定义在R上的函数f(x)，满足f(x+1)+f(x+3)=f(2024)，f(−x)=f(x+2)，且f(12)=14四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，CA⋅CB=21，且cosC=35.

(1)求△ABC的面积；

(2)若16.(本小题15分)

已知数列{an}满足a1=2，an+1=Aan+B(其中A≠1，B≠0).

(1)证明：数列{an−17.(本小题15分)

已知函数f(x)=x−(a+1)lnx−ax，a∈R.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当x≥1时，f(x)≥−2a−4恒成立，求18.(本小题17分)

已知数列{an}是公差不为零的等差数列，满足a1=1，a4+a5=a9，正项数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn=3n−1.

(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；

(2)在b1和b2之间插入1个数c11，使b1，c11，b2成等差数列；在b2和b3之间插入2个数c21，c22，使b2，c21，c2219.(本小题17分)

定义：如果函数f(x)在定义域内，存在极大值f(x1)和极小值f(x2)，且存在一个常数k，使f(x1)−f(x2)=k(x1−x2)成立，则称函数f(x)为极值可差比函数，常数k称为该函数的极值差比系数.已知函数f(x)=x−1x−alnx.

(1)当a=5答案和解析1.【正确答案】C

解：A={x|x2<1}={x|−1<x<1}，B={x|y=ln(−x2+2x)}={x|0<x<2}，

故A∩B=(0,1).

故选：C.2.【正确答案】C

解：由z(1−i)=i，得z=i1−i=i(1+i)(1−i)(1+i)=−12+12i，则z−=−13.【正确答案】D

解：∵a=(1,1)，b=(1,−1)，

∴a+λb=(λ+1,1−λ)，a+μb=(μ+1,1−μ)，

由(a+λb)⊥(a+μb)，得4.【正确答案】D

解：根据题意，由两角和与差的正弦公式，可得：

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=13，sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ=15.【正确答案】A

解：根据题意，BD=23BC=23(AC−AB)，则AF=34AC，

则AD=AB+BD=AB+23(AC−AB)=13AB+23AC，

M在AD上，设AM=kAD，则AM=k3AB+2k3AC，

又由E、M、6.【正确答案】D

解：由函数f(x)=−x+7,x≤42+loga(x−1),x>4(其中a>0，且a≠1)的最小值是3，

当x≤4时，函数f(x)=−x+7为单调递减函数，所以f(x)min=f(4)=3，

则当x>4时，函数f(x)=2+loga(x−1)为单调递增函数，则a>1，

且满足f(x)>f(4)=2+loga3≥3，即log7.【正确答案】B

解：如图，

设球的半径为R，则AB=3R，

∵BC=Rtan10∘−3R=100，

∴R=1001tan10∘−3=8.【正确答案】B

解：x=0时不等式显然成立，

x>0时，即(exx−a)(x2−bx+c)≥0恒成立，

设f(x)=exx−a，g(x)=x2−bx+c，

则f′(x)=ex(x−1)x2，

∴f(x)在(0,1)上单减，在(1,+∞)上单增，

且f(1)=e−a<0，x→0时，f(x)→+∞，x→+∞时，f(x)→+∞，

故f(x)在(0,+∞)上有两个零点，记为x1，x2(x1<x2)，

显然x<x1或x>x2时，f(x)>0，x1<x<x2时，f(x)<0，

要使f(x)⋅g(x)≥0恒成立，

则x1，x2也是g(x)的两个零点，

故b=x1+x2，c=x1x2，9.【正确答案】ACD

解：因为x>y>0，且x+y=1，

所以1>x>12>y>0，

所以|x−1|+|y−1|=1−x+1−y=2−(x+y)=1，A正确；

y+1x+1−yx=xy+x−xy−yx(x+1)=x−yx(x+1)>0，即y+1x+1>yx，B错误；

4x+4y≥24x⋅4y10.【正确答案】BCD

解：数列{anan+1}(n∈N∗)是公比为2的等比数列，且a1=1，

得an+1an+2anan+1=2，则an+2=2an，因为a1=1，则a3=2，且an≠0.

若{an}是等比数列，则a22=a1a3，故a2=±2，所以公比q=±2，A错误；

由an+2=2an，故a2n+2=2a2n，即a2(n+1)a2n=211.【正确答案】BCD

解：对于A，f′(x)=3x2−6x+a，因为f(x)有三个零点，所以f(x)至少有三个单调区间，

即f′(x)=0有两个不相等的实数根，

所以36−12a>0，解得a<3，故A错误；

对于B，a=−9时，f(x)=x3−3x2−9x+b，

f′(x)=3(x2−2x−3)=3(x−3)(x+1)，

由f′(x)>0=x<−1或x>3，由f′(x)<0=−1<x<3，

所以f(x)在(−∞,−1)，(3,+∞)上单调递增，在(−1,3)上单调递减，

所以f(x)在x=−1处取得极大值，在x=3处取得极小值，

又f(1+x)+f(1−x)=(1+x)3−3(1+x)2−9(1+x)+b+(1−x)3−3(1−x)2−9(1−x)+b=−22+2b，

所以函数f(x)的图象关于点(1,−11+b)中心对称，

所以f(−1.1)+f(3.1)=−22+b，

又f(x)在(3,+∞)上单调递增，所以f(3.09)<f(3.1)，

所以f(−1.1)+f(3.09)<−22+2b，故B正确；

对于C，f(x)=x3−3x2+ax+b=(x−x1)(x−x2)(x−x3)

=x3−(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x2x3)x−x1x2x3，

所以x1+x2+x3=3，x1x2+x1x3+x2x3=a.x12.【正确答案】24

解：∵{an}是公差为2的等差数列，

∴a5+a11=2a8=16，解得a8=8，

13.【正确答案】116解：f(x)=sinωx−3cosωx=2sin(ωx−π3)，

因为存在x1，x2∈[0,π]，使得f(x1)f(x2)=−4，

所以14.【正确答案】−506

解：因为f(x+1)+f(x+3)=f(2024)，

所以f(x)+f(x+2)=f(2024)，f(x+2)+f(x+4)=f(2024)，

所以f(x)=f(x+4)，所以函数f(x)的周期为4，

令x=2021，则f(2021+1)+f(2021+3)=f(2024)，

即f(2022)+f(2024)=f(2024)，

所以f(2022)=0，

因为函数f(x)的周期为4，f(2022)=f(4×505+2)=f(2)，

所以f(2)=0，

因为f(−x)=f(x+2)，令x=0，所以f(0)=f(2)=0，

所以f(2024)=f(4×506+0)=f(0)=0，

所以f(x)+f(x+2)=f(2024)=0，又f(−x)=f(x+2)，

所以f(x)+f(−x)=0，

所以函数f(x)为奇函数，

因为f(12)=14，所以f(−12)=−14，

因为函数f(x)的周期为4，所以f(72)=f(−12)=−14，

因为f(−x)=f(x+2)，所以f(32)=f(−12+2)=f(12)=14，15.【正确答案】解：(1)由已知可得CA⋅CB=abcosC=35ab=21，可得ab=35，

由cosC=35，可求得sinC=45，

所以S△ABC=12absinC=12×35×45=14；

(2)(1)由数量积的定义可得ab=35，由同角三角函数的基本公式求出sinC，再由面积公式即可得出答案；

(2)由余弦定理结合ab=35，可求出c，再由正弦定理求解即可．

16.【正确答案】(1)证明：由an+1=Aan+B(A≠0,且B1−A≠2)得，

an+1−B1−A=Aan+B−B1−A=Aan−BA1−A=A(an−B1−A)，

(1)推得an+1−B1−A=A(a17.【正确答案】解：(1)函数f(x)=x−(a+1)lnx−ax，定义域为(0,+∞)，

所以f′(x)=1−a+1x+ax2=(x−1)(x−a)x2，

①档a≤0时，x−a>0，令f′(x)=0，得x=1，

当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

②若0<a<1，令f′(x)=0，得x1=1，x2=a，

当x∈(0,a)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(a,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

③若a=1，f′(x)≥0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

④若a>1，令f′(x)=0，得x1=1，x2=a，

当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

当x∈(1,a)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，

当x∈(a,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；

综上所述，当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；

当0<a<1时，f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减；

当a=1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；

当a>1时，f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增，在(1,a)上单调递减．

(2)由(1)知，当a≤1时，f(x)在[1,+∞)上单调递增，故f(x)min=f(1)=1−a，

所以1−a≥−2a−4，解得a≥−5，即−5≤a≤1；

当a>1时，(1)求导f′(x)=(x−1)(x−a)x2，且x∈(0,+∞)，对实数a分情况讨论，得出单调性；

(2)将所求的转化为f(x18.【正确答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，

由题意知，a1+3d+a1+4d=a1+8d，因为a1=1，

所以1+3d+1+4d=1+8d，解得d=1，

所以an=1+(n−1)×1=n；

因为数列{bn}的前n项和为Sn，且满足Sn=3n−1，

所以当n=1时，b1=31−1=2，

当n≥2时，bn=Sn−Sn−1=3n−1−3n−1+1=2×3n−1，

验证，当n=1时，b1=2，满足上式，

故bn=2×3n−1；

(2)(ⅰ)在bn和bn+1之间插入n个数cn1，cn2本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，错位相减法求和，属于较难题．

(1)根据等差数列基本量的运算求得公差d，再由等差数列的通项公式可得an=n；利用bn=Sn−Sn−1(n≥2)求bn，即可，注意检验n=1的情形；

(2)(ⅰ)设等差数列bn，cn1，cn2，⋯，cnn，bn+119.【正确答案】解：(1)当a=52时，f(x)是极值可差比函数，理由如下：

当a=52时，f(x)=x−1x−52lnx(x>0)，

所以f′(x)=1+1x2−52x=(2x−1)(x−2)2x2，

当x∈(0,12)∪(2,+∞)时，f′(x)>0；当x∈(12,2)时，f′(x)<0，

所以f(x)在(0,12)和(2,+∞)上单调递增，在(12,2)上单调递减，

所以f(x)的极大值为f(12)=52ln2−32，极小值为f(2)=32−52ln2，

所以f(12)−f(2)=(2−103ln2)(12−2)，因此f(x)是极值可差比函数．

(2)f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1+1x2−ax，即f′(x)=x2−ax+1x2，

假设存在a，使得f(x)的极值差比系数为2−a，则x1，x2是方程x2−ax+1=0的两个不等正实根，

Δ=a2−4>0x1+x2=ax1x2=1，解得a>2，不妨设x1<x2，则x2>1，

由于f(x1)−f(x2)=x(1)利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数k的值，这样的值存在即可判断．

(2)反证法，假设存在这样的a，又“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可．

(3)由(2)得到参数a与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性即可得出函数取值范围．

本题主要考查函数的新定义问题，利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于难题．2024-2025学年辽宁省沈阳市高三上学期期中数学检测试卷（二）第I卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位，复数、在复平面内对应的点分别为、，则复数的共轭复数的虚部为()A. B. C. D.【正确答案】A【分析】根据复数的几何意义和复数的除法计算法则即可计算.【详解】由题可知，，，，则的共轭复数为：，其虚部为.故选：A﹒2.等比数列的公比为q，前n项和为，则以下结论正确的是（）A.“q0”是“为递增数列”的充分不必要条件B.“q1”是“为递增数列”的充分不必要条件C.“q0”是“为递增数列”的必要不充分条件D.“q1”是“为递增数列”的必要不充分条件【正确答案】C【分析】等比数列为递增数列，有两种情况，或，从而判断出答案.【详解】等比数列为递增数列，则，或，所以等比数列为递增数列，但时，等比数列不一定为递增数列所以“q0”是“为递增数列”的必要不充分条件.故选：C3.函数，则y=fx部分图象大致形状是（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据函数奇偶性以及时函数值的正负，通过排除法得答案.【详解】函数的定义域为，，即函数为偶函数，排除BD；当时，，排除C.故选：A.4.某制药企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系为：（其中，k是正常数）．已知经过，设备可以过速掉20%的污染物，则过滤一半的污染物需要的时间最接近（）（参考数据：）A.3h B.4h C.5h D.6h【正确答案】A【分析】由题意可得，进而利用指数与对数的关系可得，再用换底公式结合对数的运算性质求解即可【详解】由题意可知，所以，又因为，所以，所以，比较接近3，故选：A5.若，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】首先根据公式化解条件等式，再结合二倍角和两角差的正弦公式，即可化解求值.【详解】由条件等式可知，，整理为，则，又，，所以，，所以.故选：D6.已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（）A.1 B.2 C.3 D.【正确答案】C【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解.【详解】法一：设的重心为，则，点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，又，的最小值是.法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系，则，设，即，化简得，点的轨迹方程为，设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小，又，故得最小值为.故选：C.7.已知，，，则，，的大小关系是A. B. C. D.【正确答案】B【分析】若对数式的底相同，直接利用对数函数的性质判断即可，若底不同，则根据结构构造函数，利用函数的单调性判断大小．【详解】对于的大小：，，明显；对于的大小：构造函数，则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，即对于的大小：，，，故选B．将两两变成结构相同的对数形式，然后利用对数函数的性质判断，对于结构类似的，可以通过构造函数来来比较大小，此题是一道中等难度的题目．8.设函数（），若，则x的取值范围是（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】确定函数为奇函数，证明函数为增函数，构造函数，确定其单调性，而不等式化为，利用单调性解不等式．注意函数的定义域．【详解】函数，，定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，当时，，，则，，所以，即，所以函数单调递增，所以当时，函数单调递增，所以函数当单调递增所以令，，解得，令，则在上单调递增，原不等式可化为，而，所以，解得，则，即解集为．故选：A．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，下列不等式恒成立的是（）A. B.C. D.【正确答案】ACD分析】根据题意，利用基本不等式转化变形，然后对选项逐一判断，即可证明.【详解】对于A，由，利用基本不等式，可得，解得，又（当且仅当时，等号成立），而，所以，所以，故A正确；对于B，由，利用基本不等式，由得，则（当且仅当时，等号成立），解得，即，故B错误；对于C，，又，即，由B选项知，所以，故C正确；对于D，由配方得，则，，可解得，又因题设中，所以，故D正确，故选：ACD10.已知函数（）A.若在区间上单调，则B.将函数的图像向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，则的最小值为C.若函数在区间上恰有三个极值点，则D.关于x的方程在上有两个不同的解，则【正确答案】CD【分析】求出函数单调递增满足的关系可判断；通过三角函数的平移变换及三角函数为偶函数的条件求解即可判断；根据三角函数的图象及性质通过卡根求解即可判断.【详解】，，若在区间上单调，则，或于是，解得，或，解得，由，解得，故错误；函数y=fx的图像向左平移个单位得，则，且曲线C对应的函数为偶函数，则，即，由，可得的最小值为，故错误；x∈0,π，函数y=fx在区间0,，解得，故正确；，即，在0,π上有两个不同的解，即在0,π上有两个不同的解，则，则，故正确.故选.11.已知是定义在上连续的奇函数，其导函数为，，当时，，则（）A.为偶函数 B.的图象关于直线对称C.4为的周期 D.在处取得极小值【正确答案】ACD【分析】根据奇偶性的定义及导数的运算法则判断A，依题意可得，即可判断B，推导出即可判断C，结合单调性及奇偶性、周期性判断D.【详解】对于A，是定义在上连续的奇函数，则，两边求导可得，所以，因为为的导函数，所以有，即为偶函数，故A正确；对于B，若，则，则，所以的图象关于直线对称，故B错误；对于C，因为，所以，即，又为偶函数，所以，所以，所以，故为的周期，故C正确；对于D，当时，，则在区间上为增函数，由为偶函数，可得在区间上为减函数，由4为的周期，可得在区间上为增函数则在区间上为减函数，在上单调递增，故在处取得极小值，故D正确．故选：ACD．结论点睛：函数的对称性与周期性：（1）若，则函数关于中心对称；（2）若，则函数关于对称；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a.第II卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分.12.已知向量，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.【正确答案】【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式结合共线向量列出不等式组求解即得.【详解】由向量与的夹角为锐角，得，且不共线，因此1−2λ>0λ≠−2，解得且，所以实数取值范围是.故13.设实数x、y、z、t满足不等式，则的最小值为______.【正确答案】##0.2【分析】令，根据分母最大分子最小时分式的值最小可得，结合基本不等式和计算即可．【详解】因为，所以,所以，当且仅当即时等号成立，即的最小值为.故答案为.14.若存在正实数x，使得不等式成立，则a的最大值为______．【正确答案】【分析】利用同构法先把不等式化为，构造函数，利用函数单调性，转化为，再分离参数得，再求函数的最大值即可.【详解】由，又，所以.设，则，所以在0,+∞上单调递增.所以（）.设（），则，由；由.所以在上单调递增，在上单调递减.所以.因为存在正实数x，使得不等式成立，所以.即的最大值为.故方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.（1）求c；（2）若，，点M在线段BC上，，求的余弦值.【正确答案】（1）5；（2）.【分析】（1）根据已知有，由三角形内角性质结合正弦定理有，即可得.（2）由余弦定理求，根据已知有是等边三角形可求，再应用余弦定理求的余弦值.【1详解】依题意，，有，又，得，而，所以.【2详解】由，有，即，又，得，在中，由，，得是等边三角形，，，所以.16.已知函数．（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）设函数的极大值为，求证：．【正确答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义可得该点的斜率，代入直线的点斜式方程即可；（2）根据导数判断函数的单调性，即可确定极大值，再将不等式转化为函数，通过导数证明即可.【1详解】当时，，且即函数的导数：，所以函数在点的斜率，又，所以函数在点的切线方程为：，即．【2详解】由得函数的导数为：．所以当，f′x>0，当，f′x<0，所以函数的极大值为：．要证明，即证明，设，且.则导数为：，所以当x∈0,1，，单调递减，当x∈1,+∞，，单调递增，所以，即即，所以．17.已知函数，，.（1）讨论的单调性；（2）若对任意恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）答案见解析；（2）.【分析】（1）函数求导，根据参数进行分类，讨论函数的单调性即得.（2）由原不等式恒成立转化为恒成立，设，就参数分类讨论，找到使恒成立时的情况，即得的取值范围.【1详解】函数的定义域为0,+∞，求导得当时，由f′x<0，得x∈0,1；由f函数在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增；当时，x∈0,+∞，f′x≥0恒成立，函数当时，由f′x<0，得；由f′x函数在上单调递