2024-2025学年江苏省扬州市高三上册9月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年江苏省扬州市高三上学期9月月考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1若集合，，则（） B. C. D.2.已知复数满足，且为实数，则（）A.1 B.2 C. D.−23.已知函数为偶函数，则=（）A.2 B.1 C.0 D.4.设向量，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.与垂直5.已知函数是上的增函数，则a的取值范围是是（）A. B. C. D.6.若，，则的值为（）A. B.－ C. D.7.已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（）A B. C. D.8.2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图（1）所示．现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O，，，，，，为圆O上的点，如图（2）所示．，，，，，分别是以AB，BC，CD，DE，EF，FA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DE，EF，FA为折痕折起，，，，，，使，，，，，重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形ABCDEF的边长为（）A. B. C. D.5cm二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列函数中最小值为4的是（）A B.C. D.10.已知函数，下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.直线是图象的一条对称轴C.D.是图象的一个对称中心11.已知四面体平面，垂足为，垂足为，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则平面C.若，则D.若，则四面体体积最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若正数x，y满足，则的最大值是______.13.已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______.14.已知在边长为2的菱形ABCD中，，沿对角线BD将折起，使平面平面BCD，则四面体ABCD外接球的表面积为________；若P为AB的中点，过点P的平面截该四面体ABCD的外接球所得截面面积为S，则S的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分.15.已知函数且.（1）若在区间上的最大值为2，求实数的值；（2）若函数值域为，求不等式的实数的取值范围.16.平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．（1）当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．（2）记与的面积分别为和，请求出的最大值．17.如图，正四棱锥所有棱长为2，E，F分别为边AB，BC的中点，点M，Q分别在侧棱PB，PD上，为底面ABCD内一点，且平面.（1）证明：直线平面；（2）求直线与底面所成角的大小.18.已知函数.（1）判断和的单调性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.19.如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中.（1）已知，求的三角形式；（2）已知为定值，，将复数化为三角形式；（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数．2024-2025学年江苏省扬州市高三上学期9月月考数学检测试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.若集合，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】先化简集合与集合，再根据交集的定义即可求解.【详解】因为，，所以故选：C2.已知复数满足，且为实数，则（）A.1 B.2 C. D.−2【正确答案】C【分析】根据复数的除法及乘法运算得出，再结合复数的类型求参.【详解】由得，故为实数时，.故选：C.3.已知函数为偶函数，则=（）A.2 B.1 C.0 D.【正确答案】D【分析】根据偶函数定义列出方程求解即可.【详解】因为函数为偶函数，所以，所以，即恒成立，所以，故选：D4.设向量，则下列结论中正确的是（）A. B.C. D.与垂直【正确答案】D【分析】根据，求出模长判断A,根据数量积判断B,再应用平行向量坐标表示判断C,根据数量积的运算律计算判断D.【详解】因，所以，A选项错误；，B选项错误；因为，所以不平行，C选项错误；，D选项正确.故选：D.5.已知函数是上的增函数，则a的取值范围是是（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】两段函数都要增，在1附近也要增，列不等式组求解即可.【详解】是R上的增函数，则要满足：，解得.故选：B.6.若，，则的值为（）A. B.－ C. D.【正确答案】D【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果.【详解】已知，，

所以，即，

所以，

所以，

所以.

故选：D.7.已知函数的导函数，若函数有一极大值点为，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】先证明当恒成立时，为的极小值点，由此可得有两个不同的零点，利用导数判断函数单调性，进而求参数范围.【详解】由题意，令，若恒成立，则当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意，若函数的最小值为，则，当时，，函数fx在上单调递减，当时，，当且仅当时取等号，所以函数fx在上单调递增，所以为函数的极小值点，不合题意；故函数有两个不同零点．设函数的两个零点分别为，且，则，若，则当时，f′x<0，与为函数的极大值点矛盾，若，则当时，f′x>0，与为函数的极大值点矛盾，若，则当时，f′x<0，函数在上单调递减，当，f′x>0，函数在上单调递增，当时，f′x<0，函数在上单调递减，当时，f′x>0，函数在上单调递增，所以为函数的极大值点，满足要求，因为函数有两个不同零点，，所以，所以，所以实数的取值范围为．故选：D.结论点睛：可导函数y=fx在点处取得极值的充要条件是，且存在，使得当时f′x>0，当时f′x8.2022年12月3日，南昌市出土了东汉六棱锥体水晶珠灵摆吊坠，如图（1）所示．现在我们通过DIY手工制作一个六棱锥吊坠模型．准备一张圆形纸片，已知圆心为O，半径为，该纸片上的正六边形ABCDEF的中心为O，，，，，，为圆O上的点，如图（2）所示．，，，，，分别是以AB，BC，CD，DE，EF，FA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DE，EF，FA为折痕折起，，，，，，使，，，，，重合，得到六棱锥，则六棱锥的体积最大时，正六边形ABCDEF的边长为（）A. B. C. D.5cm【正确答案】C【分析】连接，交EF于点H，则．设，从而求得六棱锥的高，正六边形ABCDEF的面积，进而求得体积，令，利用导数判断单调性，从而可求得最小值时的值，进而可求解.【详解】连接，交EF于点H，则．设，则，．因为，所以六棱锥的高．正六边形ABCDEF的面积，则六棱锥的体积令函数，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，上单调递减，所以当时，正六棱锥的体积最大，此时正六边形ABCDEF的底面边长为．故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.9.下列函数中最小值为4的是（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】对于BCD：利用基本不等式运算求解注意取等条件成立条件是否成立；对于A：取特值代入检验.【详解】对于选项A：令，可得，所以4不是的最小值，故A错误；对于选项B：因为，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4，故B正确；对于选项C：因为sinx>0，则当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4，故C正确；对于选项D：因为，则，当且仅当，即时等号成立，但，所以的最小值不为4，故D错误；故选：BC.10.已知函数，下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.直线是图象的一条对称轴C.D.是图象的一个对称中心【正确答案】ABC【分析】先应用二倍角余弦公式及辅助角公式化简得到，先根据周期判断A；直接利用复合函数同增异减可以验证C；用代入法进行验证判断B,D.【详解】，对于A：函数的最小正周期为，故A正确；对于B：当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确；对于C：当时，，因为为增函数和在为增函数，所以函数在上为增函数，因为所以，故C正确；对于D：当时，，所以点不是函数图象的一个对称中心，故D错误.故选：ABC.11.已知四面体平面，垂足为，垂足为，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则平面C.若，则D.若，则四面体体积的最大值为【正确答案】BCD【分析】对于A与B：根据线面垂直的判定与性质可得平面，平面，平面，；对C：根据≌得；对D：在中，由可得，当且仅当时，有最大值.【详解】对于A与B：因为平面，平面，所以若又平面，所以平面，又因平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，即与不垂直，故A不正确，B正确；对C：，因为则≌则≌，，所以，故C正确；对于D，在中，，则，，所以，又当且仅当时，有最大值所以四面体体积的最大值为，故D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若正数x，y满足，则的最大值是______.【正确答案】##【分析】先换元设,再结合已知条件化简为,再根据判别式及根的分布列不等式得出最大值即可.【详解】令,所以,又因为，所以,x>0即得有正根，当有两个正根时Δ=25t2−4×7×当有一个正根一个非正根时Δ=25t2−4×7×t综上可得，当时经检验适合题意，所以的最大值为.故答案为.13.已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则的取值范围是______.【正确答案】【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数的大致图象，令gx=0可得，或，由条件结合图象可得的取值范围.【详解】当时，，所以，当时，f′x<0，函数在上单调递减，当时，f′x>0，函数在上单调递增，且，，，当时，，当时，，当时，与一次函数相比，函数增长速度更快，从而，当时，，所以，当时，f′x>0，函数在上单调递增，当时，f′x<0，函数在上单调递减，且，，当时，，当时，，当时，与对数函数相比，一次函数增长速度更快，从而，当，且时，，根据以上信息，可作出函数的大致图象如下：函数的零点个数与方程的解的个数一致，方程，可化为，所以或，由图象可得没有解，所以方程的解的个数与方程解的个数相等，而方程的解的个数与函数y=fx的图象与函数的图象的交点个数相等，由图可知：当时，函数y=fx的图象与函数的图象有3个交点.故答案为.方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.14.已知在边长为2的菱形ABCD中，，沿对角线BD将折起，使平面平面BCD，则四面体ABCD外接球的表面积为________；若P为AB的中点，过点P的平面截该四面体ABCD的外接球所得截面面积为S，则S的最小值为________．【正确答案】①.##②.【分析】先取中点，利用面面垂直推出线面垂直，再分别取和的外心，，利用等边三角形三心合一找到外接球球心，连接,,,,，利用勾股定理求出，最后利用外接球的表面积公式求解；由分析知当P为截面圆圆心时，S最小，设截面圆的半径为，，求出，代入即可得出答案.【详解】由已知可得和均为等边三角形，取中点，连接，，则，因为平面平面，平面平面，平面，则平面，分别取和的外心，，过，分别作对应面的垂线，相交于，如图，则为三棱锥的外接球的球心，由和均为边长为的等边三角形，可得，，，所以四面体的外接球的表面积为.P为AB的中点，且，又，所以为三等分点，取为的中点，，，，，过点P的平面截该四面体ABCD的外接球所得截面面积为S，当P为截面圆圆心时，S最小，设截面圆半径为，，则，所以.故；.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.已知函数且.（1）若在区间上的最大值为2，求实数的值；（2）若函数的值域为，求不等式的实数的取值范围.【正确答案】（1）或.（2）【分析】（1）分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，求的值；（2）由函数的值域为，求的值，利用单调性解对数不等式.【小问1详解】已知函数（且）在区间上的最大值是2．时，在区间上单调递减，时，在区间上单调递增，则有或a>1f16=loga16=2【小问2详解】函数的值域为，令，的最小值为2，单调递增，则的最小值为1，则当x=1，，所以a=2，即，得，解得，即不等式的解集为.16.平面多边形中，三角形具有稳定性，而四边形不具有这一性质．如图所示，四边形的顶点在同一平面上，已知．（1）当长度变化时，是否为一个定值？若是，求出这个定值；若否，说明理由．（2）记与的面积分别为和，请求出的最大值．【正确答案】（1）为定值，定值为1（2）14【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；法二：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，两式相减可得答案；（2）由面积公式可得，令转化为二次函数配方求最值即可．【小问1详解】法一：在中，由余弦定理，得，即①，同理，在中，，即②，①②得，所以当长度变化时，为定值，定值为1；法二：在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以，化简得，即，所以当长度变化时，为定值，定值为1；【小问2详解】，令，所以，所以，即时，有最大值为14．17.如图，正四棱锥所有棱长为2，E，F分别为边AB，BC的中点，点M，Q分别在侧棱PB，PD上，为底面ABCD内一点，且平面.（1）证明：直线平面；（2）求直线与底面所成角的大小.【正确答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）先建立空间直角坐标系，先求平面法向量，再应用空间向量法证明线面平行即可；（2）由已知得出,直线与底面所成角转化为与底面所成角,最后用线面角正弦向量法求解.【小问1详解】连接,正四棱锥，平面,以分别为轴，如图建立空间直角坐标系，,,所以,,因为，所以,,,，设平面的法向量为,所以,即可,令x=1,则,所以，因为,不在平面内，所以平面.【小问2详解】因为平面，所以,可取底面法向量为,设与底面所成角为,,所以.所以直线与底面所成角为.18.已知函数.（1）判断和的单调性；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【正确答案】（1）答案见解析（2）【分析】（1）求得，分和，两种情况讨论，结合导函数的符号，求得函数的单调区间；再求得，令，求得，得到的单调性与最大值，进而求得的单调性；（2）根据题意转化在(1,+∞)内恒成立，令，求得，再，利用导数求得的单调性，进而得到中各存唯一的使得，进而得出函数ℎx的单调区间，求得最小值，即可求解.【小问1详解】由函数，可得，若时，，在定义域上单调递减；若时，令，解得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增；又由函数的定义为，且，令，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，取得极大值，也为最大值，所以，所以在上单调递减.【小问2详解】由不等式，即在(1,+∞)内恒成立，即在(1,+∞)令，可得，令，可得，得,，所以在单调递增，，，所以在中存在唯一的使得，即有，因为φx在单调递增，