中考数学三轮冲刺培优训练专题21动态几何综合问题（原卷版）

专题21动态几何综合问题（最新模拟40题预测）一、解答题1．（2023春·吉林长春·九年级东北师大附中校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AB=25．动点P从点A出发，以每秒7个单位长度的速度沿折线AC﹣CB向终点B运动．当点P不与△ABC顶点重合时，作∠CPQ=135°，交边AB于点Q，以CP、PQ为边作▱CPQD．设点P的运动时间为t(1)求AC的长．(2)当点P在边AC上时，求点Q到边AC的距离（用含t的代数式表示）；(3)当▱CPQD的某条对角线与△ABC的直角边垂直时，求▱CPQD的面积；(4)以点P为直角顶点作等腰直角三角形EPQ，使点E与点C在PQ同侧，设EQ的中点为F，▱CPQD的对称中心为点O，连接OF．当OF∥PQ时，直接写出2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市萧红中学校考模拟预测）如图，直线l1：y=−x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=x与直线l1交于点C，平行于y轴的直线m从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，到C点时停止．直线m交线段BC、OC于点D、E，以DE为斜边向左侧作等腰Rt△DEF，设△DEF与(1)填空：OA=_______，∠OAB=______；(2)填空：动点E的坐标为（t，_____），DE=______（用含t的代数式表示）；(3)当点F落在y轴上时，求t的值．(4)求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围；3．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D是BC中点，点P从点C出发，沿CA向点A匀速运动，速度为2cm/s；同时点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为3cm/s；连接PD，QD，PQ，将△PQD绕点(1)当t为何值时，RT∥BC？(2)当t为何值时，四边形PQRT是菱形？(3)设四边形PQRT的面积为ycm2，求y与(4)是否存在某一时刻t，使得点T在△ABC的外接圆上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．4．（2023春·陕西延安·九年级专题练习）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE．将△CDE绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为α(1)问题发现①当α=0°时，AEBD=______；②当α=180°时，(2)拓展探究试判断：当0°≤α<360°时，AEBD(3)问题解决△CDE绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段BD的长______．5．（2023·全国·九年级专题练习）已知正方形ABCD，点P为直线AC上的一点，连接PB，过点P作射线PM⊥PB，交直线CD于点E，连接BE，取BE的中点F，连接PF(1)如图1，点P在线段AC的中点时，直接写出PB与CF的数量关系；(2)如图2，①点P在线段AC上时，试判断（1）中的结论是否成立，并说明理由；②若点P在直线AC上，AB=4，AP=14AC(3)设AB=4，若点P运动到某一位置时使△BCF为等边三角形，请直接写出AP的长．6．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E为边BC上一点(不与点B、C重合)，垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N．则DN、MB、EC之间的数量关系为．问题探究：在“问题情境”的基础上．1如图2，若垂足P恰好为AE的中点，连接BD，交MN于点Q，连接EQ，并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数；2如图3，当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时，连接AN，将△APN沿着AN翻折，点P落在点P'处，若正方形ABCD的边长为4，AD的中点为S，求P问题拓展：如图4，在边长为4的正方形ABCD中，点M、N分别为边AB、CD上的点，将正方形ABCD沿着MN翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，C'N交AD于点F.分别过点A、F作AG⊥MN，FH⊥MN，垂足分别为G、H7．（2023秋·四川德阳·八年级统考期末）（1）问题发现：如图①，△ABC和△EDC都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接AE．①∠AEC的度数为______；②线段AE、BD之间的数量关系为______；（2）拓展探究：如图②，△ABC和△EDC都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点B、D、E在同一条直线上，CM为△EDC中DE边上的高，连接AE，试求∠AEB的度数及判断线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，△ABC和△EDC都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE=36°，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出∠EAB+∠ECB的度数．8．（2023·全国·九年级专题练习）如图,在△ABC中,AC=BC=10，cosC=35，AD是BC边上的高，点O是AB的中点，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AD−DB向终点B运动，连结OP，作点A关于直线OP的对称点A'(1)线段AB的长为_______；(2)用含t的代数式表示点P到AB的距离ℎ；(3)连结A'D，当线段A'(4)当点O、A'、C9．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）已知：⊙O是△ABC的外接圆，且AB=BC，∠ABC=60°，D为(1)如图1，若点D是AB的中点，∠DBA等于多少？(2)过点B作直线AD的垂线，垂足为点E．①如图2，若点D在AB上，求证：CD=DE+AE．②若点D在AC上，当它从点A向点C运动且满足CD=DE+AE时，求∠ABD的最大值．10．（2023春·全国·八年级专题练习）如图所示，△ABC是一个边长为4的等边三角形，D是直线BC上一点，以AD为边作△ADE，使AE=AD，∠DAE=120°，并以AB、AE为边作平行四边形ABFE．(1)当点D在线段BC上时，AD交BF于点G，求证：△ABD≌△BCF；(2)求线段BF的最小值：．(3)当直线AE与△ABC的一边垂直时，请直接写出▱ABFE的面积．11．（2023·全国·九年级专题练习）如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，AC=8，点D为边AB的中点．动点P从点C出发，沿折线CB−BA向终点A运动，点P在CB边上以每秒3个单位长度的速度运动，在BA边上以每秒5个单位长度的速度运动，在点P运动的过程中，过点P作CD的平行线，过点D作PC的平行线，两条平行线相交于点C'．点P不与点C、点A重合．设点P的运动时间为t(1)用含t的代数式表示PB的长；(2)当四边形CPC'D(3)连接CC'，如图②，当CC'将△ABC的面积分成12．（2023春·八年级课时练习）如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA=6cm，点D从O点出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE(1)求证：△CDE是等边三角形；(2)如图2，当6<t<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由；(3)如图3，当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．13．（2023·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．点D为斜边AB的中点，ED⊥AB，交边BC于点E．点P为射线AC上的动点，点Q为边BC上的动点，且运动过程中始终保持PD⊥QD(1)求证：△ADP∽△EDQ；(2)设AP=x，BQ=y．求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；(3)联结PQ，交线段ED于点F，当△PDF为等腰三角形时，求线段AP的长．14．（2023·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标是(0，6)，连接AB．若动点P从点B出发沿着线段BA以5个单位每秒的速度向终点(1)求线段AB的长．(2)连接OP，当△OBP为等腰三角形时，过点P作线段AB的垂线与直线OB交于点M，求点M的坐标；(3)已知N点为AB的中点，连接ON，点P关于直线ON的对称点记为P'(如图2)，在整个运动过程中，若P'点恰好落在△AOB内部(不含边界)，请直接写出15．（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）如图①，在△ABC中，AC=BC=10，tanC=43，点P从点A出发沿折线AB−BC运动．点P在AB上的运动速度是每秒25个单位长度，在BC上的运动速度是每秒5个单位长度．当点P不与点A、B、C重合时，作PQ⊥AC于点Q，以线段PQ为边作矩形PQMN，使点B、M、N始终在线段(1)tanA=

(2)用含有t的代数式表示线段PQ的长．(3)当点N落在△ABC的边上时，求t的值．(4)如图②，点D、E分别是AC、PN的中点，作直线DE，直接写出直线DE与△ABC的一边垂直时16．（2023春·全国·八年级专题练习）在△ABC中，AB=AC，点P为△ABC边上的动点，速度为1cm/s．(1)如图1，点D为AB边上一点，AD=1cm，动点P从点D出发，在△ABC的边上沿D→B→C的路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设△APC的面积为S1（cm2），△BPC的面积为S2（cm2），点P运动的时间为t（s）．S1①在图1中，AB=cm，BC=cm；②在图2中，求EF和MN的交点H的坐标；(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在△ABC的边上沿A→B→C的路径匀速运动，点Q运动的速度为0.5cm/s，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，BP−BQ最大？最大值为多少？17．（2023·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对角线AC上一动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交DC于点E，已知AD=3，AC=5．设AP的长为x．(1)AB=___________；当x=1时，求PEPB(2)试探究：PEPB(3)当△PCE是等腰三角形时，请求出x的值．18．（2022秋·辽宁营口·九年级校联考期中）如图1，△ABC与△AEF都是等边三角形，边长分别为4和3，连接FC,AD为△ABC高，连接CE(1)求证：△ACF(2)将△AEF绕点A旋转，当点E在AD上时，如图2，EF与AC交于点G，连接NG，求线段NG(3)连接BN，在△AEF绕点A旋转过程中，求BN19．（2023·全国·九年级专题练习）综合与实践−−探究特殊三角形中的相关问题问题情境：某校学习小组在探究学习过程中，将两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC和AFE按如图1所示位置放置，且Rt△ABC的较短直角边AB为2，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转α0°<α<90°，如图2，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，(1)初步探究：勤思小组的同学提出：当旋转角α=时，△AMC是等腰三角形；(2)深入探究：敏学小组的同学提出在旋转过程中．如果连接AP，CE，那么AP所在的直线是线段CE的垂直平分线，请帮他们证明；(3)再探究：在旋转过程中，当旋转角α=30°时，求△ABC与△AFE重叠的面积；(4)拓展延伸：在旋转过程中，△CPN是否能成为直角三角形？若能，直接写出旋转角α的度数；若不能，说明理由．20．（2023·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，BC=53．点E从点A出发沿AC方向以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，同时点F从点B出发沿BA方向以每秒2个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(t>0)．过点F作FD⊥BC于点D，连接DE(1)求证：四边形AEDF是平行四边形；(2)当t为何值时，AD⊥EF；(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．21．（2023·全国·九年级专题练习）如图1．在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝DC＝16，AD＝12，点E是CD边的中点，连接AE(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求△CFD的面积；(3)如图2，连接AC交BD于点O，点P为EC上一动点，连接OE、OP．将△OPD沿OP折叠得到△OPM，PM交OC于点N，当△PCN为直角三角形时，求CP的长．22．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，延长BC到点E，使CE＝3，连接DE．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿折线BC－CD向终点D运动，设点P运动的时间为t秒．（t>0）(1)DE＝______；(2)连接AP，当四边形APED是菱形时，求菱形APED的周长；(3)连接BP、PD，设四边形ABPD的面积为S，求S与t之间的函数关系式；(4)直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值．23．（2023·全国·九年级专题练习）综合与实践问题情境：矩形ABCD中，AB＝2，∠ADB＝30°，将△BCD沿着对角线BD所在的直线平移，得到△B′C′D′，连接AB′，DC′．操作探究：(1)如图1，当△BCD沿射线BD的方向平移时，请判断AB′与DC′的长度有何关系？并说明理由；(2)如图2，当△BCD沿射线DB的方向平移时，四边形AB′C′D能成为菱形吗？若能，求出平移的距离；若不能，说明理由；(3)当△BCD平移距离为2时，请你在备用图中画出平移后的图形（除图2），并提出一个问题，直接写出结论．24．（2023·全国·九年级专题练习）如图，正比例函数y＝34x与一次函数y＝ax＋7的图像相交于点P（4，n），过点A（t，0）作x轴的垂线l，且0＜t＜4，交一次函数的图像于点B，交正比例函数的图像于点C，连接OB(1)求a值；(2)设△OBP的面积为s，求s与t之间的函数关系式；(3)当t=2时，在正比例函数y＝34x与一次函数y＝ax＋7的图像上分别有一动点M、N，是否存在点M、N，使△CMN是等腰直角三角形，且∠CNM=90º，若存在，请直接写出点M、N25．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒，0<t<8．(1)当t=2秒时，求PQ的长；(2)求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．（直接写答案）26．（2023·全国·九年级专题练习）如图，等边△ABC中，AB＝10cm，CD＝4cm．点M以3cm/s的速度运动．(1)如果点M在线段CB上由点C向点B运动，点N在线段BA上由点B向点A运动、它们同时出发，若点N的速度与点M的速度相等；①经过2s后，△BMN和△CDM是否全等？请说明理由．②当M，N两点的运动时间为多少秒时，△BMN恰好是一个直角三角形？(2)若点N的运动速度与点M的运动速度不相等，点N从点B出发，点M按原来的运动速度从点C同时出发，都顺时针沿△ABC三边运动，经过25s时，点M与点N第一次相遇，则点N的运动速度是

cm/s．（请直接写出答案）27．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，AB=33，∠CAB=30°，点P从点A出发，每秒3个单位长度的速度沿AB方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿对角线CA方向运动．已知点P、Q两点同时出发，当点Q到达点A时，P、Q两点同时停止运动，连接PQ，设运动时间为t(1)BC=_________，AC=_________；(2)当t为何值时，AP=AQ；(3)在运动过程中，是否存在一个时刻t，使所得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．(4)当点P关于点Q的对称点P'落在△ACD的内部（不包括边上）时，请直接写出t28．（2023·全国·九年级专题练习）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AD=4，AB=8，BC=10．点E为线段DC的中点，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线A→(1)点P在运动过程中，BP=_________________；（用含t的代数式表示）(2)点P在运动过程中，如果以D、P、E为顶点的三角形为等腰三角形，求t的值；(3)当点P运动到线段BC上时，过点P作直线L∥DC，与线段AB交于点Q，使四边形DQPE为直角梯形，求此时直角梯形DQPE与直角梯形ABCD面积之比．29．（2023·全国·九年级专题练习）如图，直线l1经过A92,0、B2,−5两点，直线l2:y=−x+3与直线l(1)求点C的坐标；(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；(3)把直线l1沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线l3与直线l2交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F30．（2023·全国·九年级专题练习）如图1，在平面直角坐标系xOy中，有长方形OABC，其中点C坐标为0,3，∠CAO=30°，点D是边OC的中点，点P是射线CA(1)若点P是线段AC的中点，直接写出PD=________．(2)如图2，过点P作PE⊥x轴，垂足是点E，若以C、D、E、P为顶点的四边形是平行四边形，求出点P的坐标．(3)连接BP，若△CPB是等腰三角形，求CP的长度．31．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC的顶点C在x轴的负半轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=a，AB=2a（a为常数，且a＞0）．动点P从点C出发，沿x轴向点O运动，速度为m个单位/秒；动点Q从点A出发，沿y轴向上运动，速度为n个单位/秒．两点同时出发，当点P到达点O时运动停止，设运动时间为ｔ秒．(1)用含a的式子表示点A，点B的坐标：A（，）；B（，）．(2)连接BQ，BP．已知无论t为何值，四边形BPOQ与四边形OABC的面积始终相等，求m：n的值．(3)在（2）的条件下，当点P运动到OC的中点时，①求此时点Q的坐标；（用含a的式子表示）②连接PQ，交边AB于点D．计算四边形BCPD与四边形DPOA的面积之比．32．（2023·全国·九年级专题练习）如图，▱ABCD中，∠B=2∠A，动点P、Q、M、N分别从点A、B、C、D同时出发，沿平行四边形的边，分别向点B、C、D、A匀速运动，运动时间记为t，当其中一个点到达终点时，其余各点均停止运动，连接PQ，QM，MN，NP．已知AB=6cm，BC=4.5cm，动点P、M的速度均是2cm/s，动点Q(1)AP=_______cm，CQ=_______cm（用含t的代数式表示）(2)在点P、Q、M、N的整个运动过程中，四边形PQMN一定会是一种特殊的四边形吗？如果是，指出并证明你的结论，如果不是，说明理由．(3)在点P、Q、M、N的运动过程中，四边形PQMN能成为菱形吗？如果能，求出t的值，如果不能，说明理由．33．（2022·浙江·九年级专题练习）在四边形ABCD中，AB=AD=5，BC=CD=10，∠B=90°．(1)如图1，①求证：∠D=90°；②求∠C的正切值；(2)如图2，动点M从点D出发，以1个单位每秒速度，沿折线DA−AB运动，同时，动点N从点B出发，以2个单位每秒速度，沿射线BC运动，当点M到达点B时，点M，N同时停止运动，设运动时间为t秒，以MN为斜边作Rt△MNP，使点P落在线段AB或AD上，在整个运动过程中，当不再连接其他线段，且图中存在与△MNP相似的三角形时，求t34．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在▱ABCD中，∠A=120°，AB=2BC=8，点M在BC边所在的直线上，CM=8，PQ=6，以PQ为直径的半圆O与BC相切于点P，点H为半圆弧PQ上一动点．探索：如图1，当点P与点M重合时，则BQ=______，线段CH的最小值为______．思考：若点H从Q开始绕圆心O逆时针旋转，速度为15度/秒，同时半圆O从M点出发沿MB做平移运动，速度为1个单位长度/秒，运动时间为t秒(0≤t≤12)．解决下列问题：（1）如图2，当PQ与D点在一条直线上时，求点O到CD的距离及扇形OHQ的面积；（2）当圆O与CD相切于点K时，求∠HOQ的度数：直接判断此时：弧HQ长______弦KQ长（填：＜、＞或＝）（3）当弧HQ（包括端点）与▱ABCD边有两个交点时，直接写出：运动时间t的取值范围．35．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣4，0），（0，8），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动．以CP，CO为邻边构造▱PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE＝AO，设点P运动的时间为t秒．(1)当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；(2)当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；(3)在线段PE上取点F，使PF＝3，过点F作MN⊥PE，截取FM＝3，FN＝1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．36．（2023春·河南省直辖县级单位·九年级专题练习）(1)观察猜想：如图①，在正方形ABCD中，点E、点F分别是边AB、BC的中点，四边形EBFG也是正方形，连接DG．则CF:DG=，直