2025年外研版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、设则f[f（2）]=（）

A.2

B.3

C.9

D.18

2、如果点P（tanθ；cosθ）位于第二象限，那么角θ所在象限是（）

A.第一象限。

B.第二象限。

C.第三象限。

D.第四象限。

3、已知两点A（-2；0），B（0，4），则线段AB的垂直平分线方程是（）

A.2x+y=0

B.2x-y+4=0

C.x+2y-3=0

D.x-2y+5=0

4、数列{an}的前n项和为Sn，若则S5=（）

A.1

B.

C.

D.

5、【题文】已知幂函数的部分对应值如下表：

。x

1

f(x)

1

则不等式的解集是()．

A.{x|－4≤x≤4}B.{x|0≤x≤4}

C.{x|－≤x≤}D.{x|0}6、设集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）2=0}，则集合A中元素的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个7、如果数列{an}各项成周期性变化，那么称数列{an}为周期数列．若数列{bn}满足b1=2，bn=（n≥2），观察数列{bn}的周期性，b2015的值为（）A.2B.-1C.D.-28、正四面体ABCD（六条棱长都相等）的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（）A.B.C.D.（0，1）评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、函数的单调递增区间是____．10、在中，的对边分别为则____．11、集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的最大值为____12、如图，在△ABC中，∠C=Rt∠，以顶点C为圆心，BC为半径作圆．若求AB的长度为____；⊙C截AB所得弦BD的长为____．13、已知扇形的半径为1cm，圆心角为30°，则该扇形的面积为______．评卷人得分三、证明题(共7题，共14分)14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．16、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．17、已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．19、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．20、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．评卷人得分四、作图题(共2题，共10分)21、画出计算1++++的程序框图．22、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分五、解答题(共1题，共10分)23、（本小题满分12分）已知集合．（1）当时，求集合（2）若求实数m的取值范围．评卷人得分六、综合题(共3题，共12分)24、已知y=ax2+bx+c（a≠0）图象与直线y=kx+4相交于A（1；m），B（4，8）两点，与x轴交于原点及点C．

（1）求直线和抛物线解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上是否存在点D，使S△OCD=2S△OAB？如果存在，求出点D坐标，如果不存在，说明理由．25、已知抛物线y=x2+4ax+3a2（a＞0）

（1）求证：抛物线的顶点必在x轴的下方；

（2）设抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的右边），过A、B两点的圆M与y轴相切，且点M的纵坐标为；求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若抛物线的顶点为P，抛物线与y轴交于点C，求△CPA的面积．26、如图；Rt△ABC的两条直角边AC=3，BC=4，点P是边BC上的一动点（P不与B重合），以P为圆心作⊙P与BA相切于点M．设CP=x，⊙P的半径为y．

（1）求证：△BPM∽△BAC；

（2）求y与x的函数关系式；并确定当x在什么范围内取值时，⊙P与AC所在直线相离；

（3）当点P从点C向点B移动时；是否存在这样的⊙P，使得它与△ABC的外接圆相内切？若存在，求出x；y的值；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】

因为可得f（2）==1；1＜2；

f（1）=2e1-1=2；

∴f[f（2）]=2；

故选A；

【解析】【答案】根据分段函数的性质求出f（2）；再把f（2）作为一个整体代入f（x），进行求解；

2、D【分析】

∵点P（tanθ；cosθ）位于第二象限。

∴

∴θ所在的象限为第四象限。

故选：D

【解析】【答案】点P（tanθ，cosθ）位于第二象限可得，结合三角函数值的符合可判断。

3、C【分析】

两点A（-2，0），B（0，4），它的中点坐标为：（-1，2），直线AB的斜率为：AB垂线的斜率为：-

线段AB的垂直平分线方程是：y-2=-（x+1）；即：x+2y-3=0．

故选C

【解析】【答案】求出AB的中点坐标；直线AB的斜率，然后求出AB垂线的斜率，利用点斜式方程求出线段AB的垂直平分线方程．

4、D【分析】

∵=

∴S5=a1+a2+a3+a4+a5

=

=1-

=．

故选D．

【解析】【答案】由=利用裂项求和法能求出S5．

5、A【分析】【解析】

试题分析：由题表知即故．

考点：幂函数．【解析】【答案】A6、B【分析】【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）2=0；可得x=1，或x=2．

则集合A中元素的个数为：2．

故选：B．

【分析】求出方程的解，即可得到结合A中元素的个数．7、B【分析】解：数列{bn}满足b1=2，bn=（n≥2）；

∴=-1；

=

=2；

∴数列{bn}为以3为周期的周期数列；

又2015=671×3+2；

∴b2015=b2=-1．

故选：B．

由已知条件结合递推公式，利用递推思想依次求出数列的前4项，由此得到数列{bn}为以3为周期的周期数列，从而能求出b2015．

本题考查数列的第2015项的求法，是基础题，解题时要注意递推思想的合理运用，解题的关键是推导出数列{bn}为以3为周期的周期数列．【解析】【答案】B8、B【分析】解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大；此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形；

由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为×1×1=

当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时；此时投影面面积最小；

此时投影面是一个三角形；其底面边长为线段AB的投影，长度为1；

此三角形的高是AB；CD两线之间的距离；

取CD的中点为M，连接MA，MB可解得MA=MB=

再取AB中点N，连接MN，此线段长度即为AB，CD两线之间的距离，可解得MN=

此时投影面的面积是××1=

故投影面的取值范围是[]

故选：B

首先想象一下；当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．，投影面积最大应是线段AB相对的侧棱与投影面平行时取到，投影面的最小值应在正四面体的一面与投影面垂直时取到．

本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题．【解析】【答案】B二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】

∵f（x）的定义域为R；

令z=x2-3x，则原函数可以写为

∵为R上的减函数。

根据复合函数的性质得；

函数z=x2-3x在R上的减区间是函数的增区间．

∵函数z=x2-3x的减区间为：（-∞，]；

∴函数的单调递增区间是：（-∞，]；

故答案为：（-∞，]．

【解析】【答案】将原函数分解成两个简单函数z=x2-3x；再根据复合函数同增异减的性质即可求出．

10、略

【分析】【解析】试题分析：由三角形正弦定理得考点：解三角形【解析】【答案】11、2【分析】【解答】解：当a＞1时；A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣1，+∞），若A∪B=R，则a﹣1≤1；

∴1＜a≤2；

当a=1时；易得A=R，此时A∪B=R；

当a＜1时；A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣1，+∞）；

若A∪B=R；则a﹣1≤a，显然成立；

∴a＜1；

综上；a的取值范围是（﹣∞，2]．

则a的最大值为2；

故答案为．2．

【分析】当a＞1时，代入解集中的不等式中，确定出A，求出满足两集合的并集为R时的a的范围；当a=1时，易得A=R，符合题意；当a＜1时，同样求出集合A，列出关于a的不等式，求出不等式的解集得到a的范围．综上，得到满足题意的a范围，即可求出a的最大值．12、5|【分析】【解答】解：由题意可知：∠C=90，AC=4，tanA==∴BC=3；

∴在Rt△ACB中，AB==5；

过点C作AB垂线；垂足为E；

∵CE×AB=AC×BC；

∴CE=

∴BE===

BD=2BE=

故答案为：5，．

【分析】由题意可知：：∠C=90，AC=4，tanA==BC=3，利用勾股定理可知：AB==5，过点C作AB垂线，垂足为E，由三角面积相等可知：CE×AB=AC×BC，即可求得CE=利用勾股定理求得BE，由BD=2BE，即可求得BD．13、略

【分析】解：∵扇形的圆心角为30°；其半径为1；

∴S扇形==．

故答案为：．

直接根据扇形的面积公式进行计算即可．

本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键，属于基础题．【解析】三、证明题(共7题，共14分)14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．16、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=17、略

【分析】【分析】（1）在△FDC中；由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX；EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；

（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．【解析】【解答】证明：（1）连接AX；

由图知：∠FDC是△ACD的一个外角；

则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①

同理；得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②

∵四边形ABCD是圆的内接四边形；

∴∠FDC=∠ABC；

又∵∠ABC+∠EBC=180°；即：∠FDC+∠EBC=180°；③

①+②；得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB）；

由③；得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；

∵FX；EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线；

∴∠AFB=2∠AFX；∠AED=2∠AEX，代入上式得：

2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；

即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；

由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX；

故FXE=90°；即FX⊥EX．

（2）连接MF；FN；ME、NE；

∵∠FAC=∠FBD；∠DFB=∠CFA；

∴△FCA∽△FDB；

∴；

∵AC=2AM；BD=2BN；

∴；

又∵∠FAM=∠FBN；

∴△FAM∽△FBNA；得∠AFM=∠BFN；

又∵∠AFX=∠BFX；

∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN；即∠MFX=∠NFX；

同理可证得∠NEX=∠MEX；

故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．18、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．19、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．20、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．四、作图题(共2题，共10分)21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．22、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．五、解答题(共1题，共10分)23、略

【分析】试题分析：（1）当时,故可由定义求得和（2）若而故分或两种情况来解．当时，得当时，得即∴．试题解析：（1）当时，则（2）当时，有即当时，有综上，的取值范围：考点：集合的运算【解析】【答案】（1）（2）．六、综合题(共3题，共12分)24、略

【分析】【分析】（1）由直线y=kx+4过A（1，m），B（4，8）两点，列方程组求k、m的值，再把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式求a、b；c的值；

（2）存在．根据O、A、B三点坐标求△OAB的面积，再由S△OCD=2S△OAB=12，求D点纵坐标，代入抛物线解析式求D点纵坐标．【解析】【解答】解：（1）∵直线y=kx+4过A（1；m），B（4，8）两点；

∴，解得；∴y=x+4；

把O、A、B三点坐标代入抛物线解析式，得，；

∴y=-x2+6x；

（2）存在．设D点纵坐标为h（h＞0）；

由O（0，0），A（1，5）