初中数学 四边形知识点总结

四边形知识点:

关系结构图:

两组对边分别平行

平行四边形正方形

一组对边平行，

梯形

另一组对边不平行

一个角是直角直角梯形

二、知识点讲解：

1.平行四边形的性质（重点）:

(1)两组对边分别平行;

(2)两组对边分别相等;

ABCD是平行四边形n(3)两组对角分别相等;

(4)对角线互相平分；

(5)邻角互补.

2.平行四边形的判定（难点）:

一.两组对边分别平行

1C

从边看J一组对边平行且相等

一三.两组时边分别相等a的四边形是平行四边形，

从角看----四.两组对角分别相等

AB

从时角线看一一五.时角线互相平分一

3.矩形的性质：

X1)具有平行四边形的所有通性；\:::

因为ABCD是矩形n<(2)四个角都是直角；

(3)对角线相等.____________

ABAB

(4)是轴对称图形，它有两条对称轴.

4矩形的判定：

矩形的判定方法：(D有一个角是直角的平行四边形；

(2)有三个角是直角的四边形

(3)对角线相等的平行四边形；

(4)对角线相等且互相平分的四边形.n四边形ABCD是矩形.

5.菱形的性质：D

[(1)具有平行四边形的所有通性；

因为ABCD是菱形(2)四个边都相等；

(3)对角线垂直且平分对角.

B

6.菱形的判定：

D

①平行四边形+一组邻边等'

n四边形四边形ABCD是菱形./\

(2)四个边都相等

A3c

(3)对角线垂直的平行四边形

B

7.正方形的性质：

D□______________CD囚____________,C

-Q)具有平行四边形的所有通性；

ABCD是正方形n(2)四个边都相等，四个角都是直角；

(3)对角线相等垂直且平分对角.

ABAB

8.正方形的判定：

(1)平行四边形+一组邻边等+一个直角'

(2)菱形+一个直角>=>四边形ABCD是正方形.

(3)矩形+一组邻边等

名

定义性质判定面积

称

两组对边分①对边平行；①定义；S=ah（a为一边长，

别平行的四②对边相等；②两组对边分别相等的四边h为这条边上的

平

边形叫做平③对角相等；形；高）

行

行四边形。④邻角互补；③一组对边平行且相等的四

四

⑤对角线互相平分；边形；

边

⑥是中心对称图形④两组对角分别相等的四边

形

形；

⑤对角线互相平分的四边形。

有一个角是除具有平行四边形的性质外，还有：①有三个角是直角的四边形S=ab（a为一边长,

矩直角的平行①四个角都是直角；②对角线相等；是矩形；②对角线相等的平行b为另一边长）

形四边形叫做③既是中心对称图形又是轴对称图四边形是矩形；③定义。

矩形形。

有一组邻边除具有平行四边形的性质外，还有①①四条边相等的四边形是菱①S二ah（a为一边

相等的平行四边形相等；②对角线互相垂直，且形；②对角线垂直的平行四边长，h为这条边上

四边形叫做每一条对角线平分一组对角；③既是形是菱形；③定义。的高）;

菱

菱形。中心对称图形又是轴对称图形。

形S=~rbc

②2（b、c

为两条对角线的

长）

有一组邻边具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①有一组邻边相等的矩形是/（a为边

相等且有一①四个角是直角，四条边相等；②对正方形；②有一个角是直角的

正长）；

个角是直角角线相等，互相垂直平分，每一条对菱形是正方形；③定义。

方$=为

的平行四边角线平分一组对角；③既是中心对称

形②2（b为

形叫做正方图形又是轴对称图形。

形对角线长）

三.精典例题解答:

1.己知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF„

求证：（1）AADF^ACBE；（2）EB〃DF。

证明：（1）：AE=CF；.AE+EF=CF+FE即AF=CE

又ABCD是平行四边形，，AD=CB,AD〃BC；.ZDAF=ZBCE

在4ADF与4CBE中

'AF=CE

，AD=CB

ZDAF=GCRAADF^ACBE(SAS)

(2),/AADF^ACBEZDFA=ZBECDF/7EB

例1图例2图

C2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0,E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF,求

证：四边形BFDE是平行四边形。

证明：；四边形ABCD是平行四边形

0A=0C,0B=0D

又,:AE=CF

0A+AE=0C+CF即0E=0F

四边形BFDE是平行四边形

C3.如图，在梯形纸片ABCD中，AD〃BC,AD>CD,将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD

上的点C'处，折痕DE交BC于点E,连结UE。

求证：四边形CDC'E是菱形。

证明：根据题意可知^CDE^C'DE

则CD=C'D,ZC(DE=iCDE,CE=C«R

AD〃BC-C-S£=^CED：.ZCDE=ZCED

CD=CE/.CD=C,D=C,E=CE四边形CDCE为菱形

例3图

.把正方形ABCD绕着点A,按顺时针方向旋转得到正方形AEFG,边FG与BC父于点H（如图）。

试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。

解：HG=HBo

证法1：连结AH,

四边形ABCD,AEFG都是正方形

ZB=ZG=90°

由题意知AG=AB,又AH=AH

RtAAGH^RtAABH(HL)

HG=HB

证法2：连结GB

四边形ABCD,AEFG都是正方形

ZABC=ZAGF=90°

由题意知AB=AG（第4题）

ZAGB=ZABG

ZABC-ZABG=ZAGF-ZAGB即/HBG=NHGB

HG=HB

C5.如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n。后得到正方形AEFG,边EF与CD交于点0。

（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段

交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；

CM

（2）若正方形的边长为2cm,重叠部分（四边形AE0D）的面积为二,求旋转的角度n。

解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是—A0—和—DE—o

理由如下：

,/在RtZkADO与RtZkAEO中，AD=AE,A0=A0,

RtAADO^RtAAEO

ZDA0=Z0AE（即AO平分/DAE）

AO±DE（等腰三角形的三线合一）

注：其它的结论也成立如GDLBE。

（2）•••四边形AEOD的面积为3

ADxDO2s

/.三角形ADO的面积=

VAD=2

如缜

3

JZDA0=30°

ZEAB=30°即旋转的角度是30。

例5图例6图

6.四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG„

(1)求证：AE=CG；

(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。

证明：(1)如图，

,/AD=CD,DE=DG,ZADC=ZGDE=90°

又ZCDG=90°+ZADG=ZADE

/.AADE^ACDG

AE=CG

(2)猜想:AEXCGo

证明：如图，设AE与CG交点为M,AD与CG交点为N

,/AADE^ACDG

ZDAE=ZDCG

又：ZANM=ZCND

AAMN^ACDN

ZAMN=ZADC=90°

AE±CG

.已知：如图,在△知C中,AB=AC,AD±BC,垂足为点D,AN是AABC外角/CAM的平分线,

CE±AN,垂足为点E,

(1)求证：四边形ADCE为矩形；

(2)当AABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。

证明：(1)在AABC中，AB=AC,AD±BC

ZBAD=ZDAC

AN是AABC外角ZCAM的平分线

ZMAE=ZCAE

ZZ)Aff=ZD^CT+ZC4£=^xl80*=90,

2

又：AD±BC,CE±AN

ZADC=ZCEA=90°

/.四边形ADCE为矩形

AD=\BC

(2)当2时(答案不唯一)，四边形ADCE是正方形。

证明：,/AB=AC,AD_LBC于D

DC=-BC

2

AD=-BC

又

，DC=AD

由（1）四边形ADCE为矩形

，矩形ADCE是正方形

（笫7题）

Cg.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到二“处，折痕为EF。

（1）求证：△ABE0ZXAD'F；

（2）连接CF,判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。

证明：（1）由折叠可知：ZD=ZZ/,CD=AD),

,/四边形ABCD是平行四边形

ZB=ZD,AB=CD,ZC=ZBAD

ZB=ZDZ,AB=AD,

ZD'AE=ZBAD,即Nl+/2=/2+/3

Z1=Z3

△ABE^AAD,F

(2)四边形AECF是菱形。

由折叠可知：AE=EC,Z4=Z5

•・•四边形ABCD是平行四边形

・•・AD〃BC

JZ5=Z6

・•・Z4=Z6

JAF=AE

AE=EC

AF=EC

又•:AF〃EC

・・・四边形AECF是平行四边形

AF=AE.・・四边形AECF是菱形。

.如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PELBC于点E,PF±CD

于点F.

(1)求证：BP=DP；

(2)若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP?若是，请给予证明；

若不

是，请用反例加以说明；

(3)试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四

边

形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论.

思路分析：(1)解法一：在4ABP与4ADP中，利用全等可得BP=DP.

解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.

(2)不是总成立.当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，

DP>DOBP,此时BP=DP不成立.

说明：未用举反例的方法说理的不得分.

(3)连接BE、DF,则BE与DF始终相等.

在图中，可证四边形PECF为正方形，

在△BEC与△DFC中，可证△BECg△DFC.

从而有BE=DF

C10.为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案.图

案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对

称图形.种植花草部分用阴影表示.请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案.

提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种.

1.如图，等腰梯形ABCD中，AB=15,AD=20,/C=30°。点M、N同时以相同速度分别从点A、

点D开始在AB、AD(包括端点)上运动。

(1)设ND的长为x,用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围。

(2)设用t表示AAMN的面积。

(3)求△AMN的面积的最大值，并判断取最大值时△AMN的形状。

解：(1)过点N作BA的垂线NP,交BA的延长线于点P。

由已知：AM-X,AN=20-Xo

'：四边形ABCD是等腰梯形，AB〃CD,ZD=ZC=30°,

ZPAN=ZD=30°o

py=l(2o-x)

在RtAAPN中，2.

i(20-x)

即点N到AB的距离为

...点N在AD上，0WxW20,点M在AB上，O<x<l5,

X的取值范围是OSxW15。

—=WP=lx(20-x)=l(10-O(10+/)=l(l00-?)