北师大版九年级数学上册压轴题攻略：相似三角形的五种基本模型（解析版）（北师大版）

专题09相似三角形的五种基本模型

类型一、A字型（双A字型）

反，理

例L如图，已知。是BC的中点，M是的中点.求4V:NC的值.

【分析】过点C作AD的平行线交的延长线于点X,构造"A"型和"8"型，得出ABOWs3cH和

AAMNsMHN,再结合相似三角形的性质和中点的定义即可得出答案;

【详解】如图，过点C作AD的平行线交的延长线于点X.

所以些=也

CHBC

因为。为2C的中点，所以券=BD1

CHBC2

因为M为A。的中点，所以=所以g=1.

Crz2

因为DM//CH,所以△AMNs/\CHN,所以学二绊■=：.

CNCH2

例2.（培优）如图，中，点。在AC边上，MZBDC=90o+1zABr）.

（2）点E在8C边上，连接AE交3。于点R且NA7Z>=/ABC,BE=CD,求NACB的度数.

（3）在（2）的条件下，若8C=16,歹的周长等于30,求AF的长.

【答案】（1）见解析；（2）/ACB=60。；（3）AF=11

【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出NA=N3/M,证得=

（2）作CH=BE,连接DH,根据角的数量关系证得/E4C=/C,再由三角形全等判定得回BDH幽ABE,最后

推出EIDCH为等边三角形，即可得出—ACB=60。；

（3）借助辅助线AC0CE,构造直角三角形，并结合平行线构造国BFE酿BDH,建立相应的等量关系式，完成

等式变形和求值，即可得出AF的值.

【详解】（1）证明：幽BDC=90°+；EIABD,0BDC=0ABD+0A,

EEA=9O--1-0ABD.

aBBDC+EIBDA=：L80°,

D3BDA=180°—EIBDC=90°—；EIABD.

0回A=I3BDA=9O°一1回ABD.

0DB=AB.

解：（2）如图1,作CH=BE,连接DH,

00AFD=0ABC,0AFD=0ABD+[2BAE,0ABC=EABD+I2DBC,

团团BAE=[UDBC.

回由(1)知，0BAD=0BDA,

又团团EAC=[3BAD—B1BAE,回C=R1ADB—R1DBC,

丽CAE=M.

团AE=CE.

回BE=CH,

回BE+EH=CH+EH.

即BH=CE=AE.

团AB=BD,

团团BDHR01ABE.

回BE=DH.

回BE=CD,

团CH=DH=CD.

00DCH为等边三角形.

团团ACB=60°.

(3)如图2,过点A作AO团CE,垂足为O.

回团CAE=囱CDH=60°,国AEC=t3DHC=60°.

瓯ACE是等边三角形.

设AC=CE=AE=x,贝1BE=16—x,

团DH团AE,

回回BFE回回BDH.

BFBEEF_16-x

团----=-----

BDBH~DH~x

16-x16-x

^\BF=BD=AB,

xx

EEABF的周长等于30,

即AB+BF+AF=AB+AB+x~^16~^=30,

ATIXl=tX

解得AB=16—7r.

在RtHACO中，AC=-，A0=

22

X

团B0=16——

2

在RtmABO中，AO2+BO2=AB2,

即—鼻]=[16—I：.解得玉=0（舍去）％=学.

256

0AC=——.0AF=11.

21

【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，

解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力，.

【变式训练1】一块直角三角形木板的面积为L5n?,一条直角边AB为1.5m,怎样才能把它加工成一个面

积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合

要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）.

【答案】乙木匠的加工方法符合要求.说明见解析.

【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合

要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得

到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角

形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求.

【详解】解：作3加4c于"，交DE于M,如图

团Sfc'AHBC

回5C=22=2

1.5

0AC=VAB2+BC2=V1.52+22=-

2

^S/\ABC=~ACBH

[2BH=|

又国0KMe

DEBM

团---=----

ACBH

6_

x5x々刀,曰30

回5=工,解得工=万

25

设正方形的边长为x米，如图乙

团。的钻

DECD

团----二

ABCB

x2-x,解得x=T

回一=

1.52

630

团一〉一

737

回乙木匠的加工方法符合要求.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立

数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键.

【变式训练2】在平面直角坐标系中，已知A(-3,4),£>(-1,0),点C是y轴正半轴上一动点，以AC为直

角边构造直角AABC,另一直角边交x轴负半轴于点8,E为线段3c的中点，则OE的最小值为.

【答案】葛19

【分析】根据AC为直角边可分EICAB=90。和E1ACB=9O。两种情况进行讨论.

【详解】回AABC为直角三角形，AC为直角边，

①当NC4B=90。时，

0ZA=9O°,又NCO3=90°,

回A、C、。、8四点共圆，且BC为直径，

回E为8C中点，则E为圆心，连接AO,则A0为圆的一条弦，

团圆心一定在A0的垂直平分线上，

取40中点尸，过P做直线用，49,则E的运动轨迹为直线

回当时，OE取得最小值，

回A(-3,4),

4

回A0的解析式为y=-§x,

又回产为A0中点，

心|,21

0OF=-,

2

0FH±A(9,

3

回FH的解析式可设为y=-x+b,

代入得：2=T+6,b=?,

\JOO

325

团FH的解析式为y=：■龙+:7，

48

25

令y=0,得了=_一，

6

回旧卜葺,。］,

0OM=—,

6

又团OD=L

0MD=—,

6

回DELFH,

DEUFO,

团Z\MDEs/\MOF,

DEND

团---=----,

FOMO

团亏OE噎T，

26

“19519

团DE=—x—=—.

25210

②当NACB=90。时，

19

8点交于无轴原点处不符合题意，故DE的最小值为3,

【点睛】本题考查一次函数与几何问题的综合应用，灵活运用一次函数的图象和性质以及相似三角形、四

边形和圆的有关性质求解是解题关键.

类型二、X字型

A

反X字型（不平行）

例1.如图在平行四边形A8C。中,E是C。的中点，厂是AE的中点，CF交8E于点G,若BE=8,则GE=_.

【分析】延长CRBA交于根据已知条件得出EF=AF,CE=^DC,根据平行四边形的性质得出。548,

DC=AB,根据全等三角形的判定得出回CEflfflMAE根据全等三角形的性质得出CE=4M,求出BM=3CE,

根据相似三角形的判定得出回CEG0NWBG,根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可.

【详解】解：延长CF、交于

0EF=AF,CE=』DC,

回四边形ABCD是平行四边形,

EDC12L4B,DC=AB,

SCE—^AB,0£CF=0M,

在EICEf'和EMAF中

ZEFC=ZAMF

ZECF=ZM

EF=AF

WCEF^\MAF(A4S),

^\CE=AM,

团3M=3CE,

0DO2L4B,

^\CEG^\MBG9

CEEG1

回---=---=一

BMBG3

回36=8,

解得：GE=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和

判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

例2.(培优)矩形ABC。中，48=8,AD=12.将矩形折叠，使点A落在点尸处，折痕为OE.

Ap

(1)如图①，若点尸恰好在边8C上，连接AP,求黑的值；

(2)如图②，若E是A2的中点，EP的延长线交BC于点孔求的长.

【分析】(1)如图①中，取DE的中点M,连接PM.证明团POM团回DCP,利用相似三角形的性质求解即可.

(2)如图②中，过点P作GHE1BC交AB于G,交CD于H.设EG=x,贝!]BG=4-x.证明EIEGPEHPHD,推出

EGPGEP1

——=——=—=-,推出PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,在RtlBPHD中，PH2+DH2=PD2,可得(3x)2+(4+x)

PHDHPD3

2=122,求出x,再证明团EGP酿EBF,利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：(1)如图①中，取DE的中点M,连接PM.

回四边形ABCD是矩形，

RH1BAD=E]C=9O°,

由翻折可矢口，AO=OP,APR1DE,02=03,0DAE=E1DPE=9OO,

在Rt团EPD中，回EM=MD,

团PM=EM=DM,

团团3=ISMPD,

RO11=R]3+R1MPD=2回3,

回团ADP=2回3,

团团1=[EADP,

团AD团BC,

团团ADP=R1DPC,

团团1=13DPC,

团回MOP=IEC=90°,

团团POM瓯DCP,

POCD82

QPM~PD~12~39

(2)如图②中，过点P作GH团BC交AB于G,交CD于H.则四边形AGHD是矩形，设EG=x,则BG=4

团团A=[2EPD=9O°,团EGP=[2DHP=9O°,

团团EPG+团DPH=90°,回DPH+回PDH=90°,

团团EPG=E)PDH,

团团EGP酿PHD,

EGPGEP41

QPH~DH~PD~12~39

团PG=2EG=3x,DH=AG=4+x,

在Rt回PHD中，[?]PH2+DH2=PD2,

团(3x)2+(4+x)2=122,

解得：x=y(负值已经舍弃)，0BG=4-y=

在Rt回EGP中，GP=>jEP2-EG2=y,

0GH0BC,H3EGPEHEBF,

EGGP——

0------------,团55，RIBF=3.

EBBF丁曲

【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似

三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.

【变式训练1】如图，在4钻C中，点。在BC上，BD=2CD=2,连接AD,ZADC=2ZBAC=60°,则

线段的长为.

【答案】2+76

【分析】过A作AE_LBC,交8c的延长线于E,过B作M_LAD,交4)的延长线于P，可求2尸=6，DF=1,

AFBF

设AD=%，可证△A^sA4CE,由——二—即可求解.

AECE

【详解】解：如图，过A作AE_L3C,交5c的延长线于E,过8作交AD的延长线于下，

F

:.ZAEB=ZBFD=90°,

•••ZADC=2ZBAC=60°,

:.ZDAE=ZBAC=30°,

ZBDF=ZADC=60°,

/.ZZ)BF=30°,

•・•BD=2CD=2,

.*.CD=1,DF=-BD=l

2f

BF=y/BD2-DF2=V3，

11

设AZ)=x,则£>£1=—%,CE=-x-l,

22

AF=x+l,

AE=ylAD2-DE2=—X,

2

・.・NBAD+ZACD=30。,

ZACD+ZCAE=30°f

:.ZBAD=ZCAE,

.'.^,ABFs^\CE,

AFBF

,~AE~~CE'

整理得：x2-4尤-2=0,

解得：玉=2+&，々=2-卡（舍去），

AD=2+-\/6,

故答案：2+巫.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性

质，并会根据题意作出辅助线是解题的关键.

【变式训练3】（1）某学校"学习落实"数学兴趣小组遇到这样一个题目

如图，在EL48C中，点。在线段8C上，0BAO=3O°,E1OAC=75。，AO=6，BO：CO=2：1,求AB的长

经过数学小组成员讨论发现，过点2作BZMAC,交A。的延长线于点，通过构造M2。就可以解决问题（如

图2）

AA

请回答：0ADB=°,AB=

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3在四边形ABC。中对角线AC与8D相交于点。，ACSAD,A0=+,EL4BC=a4CB=75°,BO：OD

=2：1,求。C的长

A

图3

【答案】（1）75,36；（2）。。=半

【分析】（1）根据平行线的性质可得出0AOB=I3OAC=75。，结合回3。。=回（7。4可得出EIBO£）a3COA,利用相似

三角形的性质可求出。。的值，进而可得出的值，由三角形内角和定理可得出&42。=75。=M。2,由等

角对等边可得出AB^AD即可求解；

（2）过点2作2砸AD交AC于点E,同（1）可得出AE=3#，在火顺旗中，利用勾股定理可求出8E的

长度，再在M0C4D中，利用勾股定理即可求出。C的长.

【详解】解：（1）如图2中，过点8作BZM4C,交AO的延长线于点D,

0BDE1AC,EBA£)B=EIOAC=75°.

团团30。=团COA,回团30。团回COA,回一=一=2,.

OA0C

又0Ao=石，团。。=24。=2指，

BAD=AO+OD=3y/3.

团团34。=30°,MZ)5=75°,

团M3D=180°-^BAD-^\ADB=75°=^ADBf

^\AB=AD=3^；

故答案为：75,3^/3.

(2)如图3中，过点5作8砸AO交AC于点E.

朋。3A。，BE^AD,

瓯ZMC=I33EA=9O°.

团她0。=团E03,

^\AOD^\EOB,

BOEOBE

回==-2.

ODAOAD

回30：OD=1：3,

0Ao=退，回石。=2财£=3指.

^\ABC=^ACB=75°f

酿3AC=30°,AB=AC,^AB=2BE.

在Rt团4口中，BE2+AE2=AB2,即(4BE2)2+Be=(2BE)2,

3

解得：BE=3,^AB=AC=6,AD=-

2

在RffilCA。中，AC2+AD2=CD2,即6?+(-)2=CD2,解得：CD=^~(负根已经舍弃).

22

【点睛】本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，掌握平

行线的性质、相似三角形的性质以及判定定理、勾股定理是解题的关键.

类型三、母子型

例1.如图，AABC中，点。在A3上，/B=2/BCD,若BD=2,BC=5,则线段CO的长为

C

【答案】V14

【分析】延长CB到E,使BE=BD,连接DE,可得等腰ABED和等腰ACED,CD=ED,再证明

△EDB~AECD,利用相似三角形对应边成比例即可求出ED.

【详解】解：如图所示，延长CB到£,使BE=BD,连接。£,

ME=NEDB

国NDBC=2NBCD,NDBC=NE+NEDB,

ME=NDCB=NEDB,

团小EDB~AECD,CD=ED

EDEBED2

回—=—,BanP-----=—，

ECED2+5ED

解得：ED=CD=y/i^,

故答案为：A/14.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰

△BED和②构造等腰ACED是解题关键.

例2.（培优）已知：如图，“1BC中，AD平分/BAC,AD的垂直平分线交于点E,交AZ）于点

交AC于点G,交BC的延长线于点尸，求证：DF2=CFBF.

A

【答案】见解析

【分析】连接AF,先利用垂直平分定义以及角平分线性质，求证所以=/，所

以DF2=CFBF

【详解】证明：如图所示，连AF,回阻垂直平分AD,

^\FA=FD,ZFAD=/FDA,

E1AD平分/3AC,0ZC4Z>=ZB4£>,ZFAD-ZCAD=ZFDA-ZBAD,

^\ZB=ZFDA-ZBAD,^ZFAC=ZB,又ZA/C公共，

AFCF

^\AFC~NBFA,0——=——，^\AF2=CFBF,

BFAF

回DF2=CFBF.

【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，能够灵活运用三角形判定定理是解题关键

【变式训练1】如图，在RSASC中，44。3=90。,4。=3。=6,。是43上一点，点£在3。上，连接。0,AE

交于点F,若NCFE=453BD=2AD,则CE=.

【分析】过。作。H垂直AC于4点，过。作DG〃AE交BC于G点，先利用解直角三角形求出CO的长，

其次利用△CDGSACBD,求出CG的长，得出5G的长，最后利用ABDGSAWE求出BE的长，最后得出答

案.

【详解】解：如图：过。作。/垂直AC于X点，过。作£>G〃A£交3c于G点,

团在RtAABC中，AC=3C=6,

0AB=7AC2+BC2=672-

又国BD=2AD,

回AD=2应，

团在等腰直角三角形AHD中，AH=DH=2,

0CH=6—2=4,

在及△C〃£＞中，CD7cH2+DH2=26，

0DG//AE,

团NCFE=NCDG=45。，4=45。，

团NCDG=N5,

又0/DCG=/BCD,

0ACDG1^ACBD,

CDCG

团-------

CBCD

0CD2=CGCB,

即20=6CG,

0CG=T

1°Q

⑦BG=BC—CG=6——=-,

33

又回OG〃AE,0ABZX;^ABAE,

「BDBG2

又团BD=2AD,回一=

BABE3

o3

又BG=（团3石=3Gx—=4,团CE=6—4=2,故答案为：2.

32

【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做

出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案.

【变式训练2】如图，在AABC中，ZABC=45°,AB=20，AD=AE,NDAE=90。，CE=#,贝UCD

的长为.

【分析】在CD上取点F,使NDEF=-ADB,证明AADBSQEF,求解DF=4,再证明ACEF,•ACDE,

利用相似三角形的性质求解CP即可得到答案.

【详解】解：在CD上取点F,使NDEF=NADB,

由｛AD。+AE?=[DE?，

DE=V2AD=V2AE，

•.•/ABC=45。，/ADE=45。，

且/ADC=/ADE+^EDC=ZABD+ABAD,

.-.^BAD=^EDC,

4DA=^DEF,/.AADB0ADEF,

DFr）Fr-

=V2,ZEFD=ZABD=45°,

ABAD

:AB=2近，.-.DF=4,

XZAED=45°=^CDE+ZQ.,NEFD=NCEF+NC=45。,NCEF=/CDE,

•••NC=NC,.-.ACEF0ACDE,=

.・音=，CF=1或CF=5（舍去）,

XvDF=4,CE=^

CF75

经检验：CP=1符合题意，；.CD=CF+4=5.故答案为：5.

本题考查的是等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，分式方程与一元二次方程的解法，相似三角形的

判定与性质，掌握以上知识是解题的关键.

类型四、旋转相似模型

例.在AABC中，CA^CB,ZACB=a,点P是平面内不与点A,C重合的任意一点，连接AP,将线段AP

绕点尸逆时针旋转a得到线段DP,连接4£),BD,CP.

⑴观察猜想

如图①，当£=60。时，器的值是,直线8。与直线CP相交所成的较小角的度数是.

(2)类比探究

如图②，当。=90。时，请写出黑的值及直线3。与直线CP相交所成的较小角的度数，并就图②的情形

说明理由.

【答案】⑴1,60°；

(2)0,45°,理由见解析

【分析】⑴首先根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质，即可证得“PC丝AADWSAS),如图①中,

设直线PC与直线交于点/,再利用全等三角形的性质及角的关系，即可求得结果；

AKAr)

⑵首先根据等腰直角三角形的性质，可证得--=—^^ZDAB=ZPAC即可证得

ACAPf

如图②中，设直线3。交CP于G,AC交BD于点H,再利用相似三角形的性质及角的关系，即可求得结

果.

【详解】(1)解：,.46=60。，ZAPD=60°,CA=CB,AP=DP,

.-.△ACB与4APD都是等边三角形，

:.ZCAB=ZPAD=60°,AC=AB,AP=AD,

:.ZCAP=ZCAB-ZPAB=ZPAD-ZPAB=ZBAD,

在△APC与△AD5中，

AC=AB

ZCAP=ZBAD

AP=AD

/.△APC^AADB(SAS),

:.BD=CP,ZACP=ZABD,

21;

CP

设CP与BD的延长线交于点/,如图①,

图①

ZCIB=180°-ZPCB-ZCBD=180°-(60°-ZACP)-(60°+ZABD)=60°+ZACP-ZABD=60°,

团直线3。与直线CP相交所成的较小角的度数为60°；

(2)解：器=忘，直线与直线CP相交所成的较小角的度数为45。，

理由如下：

ZACB=90°,CA=CB,

ABrr

.-.ZG4B=45°,——=，2,

AC

Ar\/—

同理可得：440=45。，——=V2,

AP

ABAD

,•就一

•/ZCAB=ZPAD.

ZCAB+ZDAC=ZPAD+ZDAC,

即NZMB=NB4C,

/.△DAB,

BD.ABp-

ZDBA=ZPCA,

cF一AC一，

设3D交CP于点G,BD交CA于点、H,如图②,

图②

■：ABHA=Z.CHG,

:.ZCGH=ZBAH=45°,

回直线3D与直线CP相交所成的较小角的度数为45。.

【点睛】本题考查的是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，

全等三角形和相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形和相似三角形解决问题.

【变式训练11某校数学活动小组探究了如下数学问题：

①问题发现：如图1,44BC中，ZSAC=90°,AB=AC.点P是底边8C上一点，连接AP,以AP为腰

作等腰Rt4APQ,且/以。=90。，连接CQ、则3尸和CQ的数量关系是；

⑵变式探究：如图2,AA5c中，ZSAC=90°,AB=AC.点P是腰A8上一点，连接CP,以“为底边

作等腰RSCP。，连接A0,判断和AQ的数量关系，并说明理由；

⑶问题解决：如图3,在正方形ABC。中，点P是边BC上一点，以。P为边作正方形。PEF,点。是正方

形OPEF两条对角线的交点，连接CQ.若正方形DPEF的边长为加，CQ=后,求正方形ABCD的边长.

【答案】(1)BP=C。

(2)BP=y/2AQ

(3)3

【分析】(1)根据已知条件利用边角边证明AABP/AACQ,再利用全等三角形的性质即可得到8尸和C。

的数量关系；

(2)根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明

△CBPs^CAQ,之后再由相似三角形对应边成比例即可得到8P和AQ的数量关系；

(3)连接3D,如图(见详解)，先由正方形的性质判断出△BCD和△PQD都是等腰直角三角形，再利用

与第二问同样的方法证出由对应边成比例，依据相似比求出线段的长，接着设正方形

ABCD的边长为无，运用勾股定理列出方程即可求得答案.

【详解】(1)解：回△APQ是等腰直角三角形，ZPAQ=90°,

在AABC中，ABAC=9Q°,AB=AC,

^\AP=AQ,ZBAP+APAC=ZCAQ+APAC,

^ZBAP=ZCAQ.

AB=AC

在AABP和AAC。中，,NBAP=ZCAQ,

AP=AQ

0AABP^AACg(SAS),

^BP=CQ.

(2)解：判断8P=0A。，理由如下：

国ACP。是等腰直角三角形，中，/斜C=90。，AB^AC,

国如=江=变，ZACB=ZQCP=45°.

PCBC2

ENBCP+ZACP=ZACQ+ZACP=45°,

SZBCP=ZACQ,

回△CBPs"AQ,

问QCACAQ72

PCBCBP2

0BP=屈AQ；

（3）解：连接3D,如图所示，

回四边形ABC。与四边形Z3PEF是正方形，DE与PF交于点Q,

0ABCD和APQD都是等腰直角三角形，

回空=生=变，ZBDC=ZPDQ=45°.

PDBD2

0ZBDP+ZPDC=ZCDQ+ZPDC=45°,

^\ZBDP=ZCDQ,

B^BDP^CDQ,

^.QDCD_CQy/2

而=而=标

BCQ=y/2,

SBP=y/2CQ=2.

在Rt△尸CD中，CD1+CP2=DP-,设CD=x,贝i」CP=x-2,

又回正方形Z2P£F的边长为,

^DP=y/lQ,

0X2+(X-2)2=(^/1O)2,

解得无i=T(舍去)，x2=3.

回正方形ABCD的边长为3.

【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角

形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键.

【变式训练2】在0ABe中，AB=AC,SBAC=a，点尸为线段CA延长线上一动点，连接将线段尸3绕

点P逆时针旋转，旋转角为a,得到线段PD,连接。8,DC.

(1)如图1,当a=60。时，求证：PA=DC；

(2)如图2,当a=120。时，猜想和。C的数量关系并说明理由.

(3)当a=120。时，若A8=6,BP=屈,请直接写出点。到”的距离.

【答案】(1)见解析；(2)CD=^3PA;(3)乎或孝

【分析】(1)当a=60。时，0ABe和团尸2。为等边三角形，根据三角形全等即可求证；

(2)过点A作求得丝=且，根据题意可得可得W=丝，再根据

BC3ABBC

ZPBA=ZDBC,判定△PBAS/OBC,得至|］以_=d=正，即可求解；

CDBC3

(3)过点8作班，AC于点E,过点。作OP1AC于点尸，分两种情况进行讨论，当P在线段AE或当尸

在线段AE延长线上时，设尸尸=x根据勾股定理求解即可.

【详解】解：(1)当a=60。时，^AB=AC

MABC为等边三角形，

0AB=BC,ZABC=60°

由旋转的性质可得：ZBPD=60°,PB=PD

幽PBO为等边三角形

BPB=BD,/PBD=60。

0ZPBA=ZPBD-ZABD=ZABC-ZABD=ZDBC

在IBP和△C3D中

PB=BD

<ZPBA=ZDBC

AB=BC

团AABP^ACBD(SAS)

国AP=CD

(2)过点A作AEJ_5C,如下图：

回当a=120°时，AB=AC

0ZABC=1(180°-120°)=30°,BC=2BE

BAB=2AE

22

由勾股定理得BE=4AB-AE=61AE

©BC=2BE=2^>AE

0BC=A/3AB

由旋转的性质可得：NBPD=120。,PB=PD

1ARAr

0ZPBD=-(180°-120°)=30°,——二—

2PBPD

又团/BPD=120°=ABAC

BPBD

团---=---

ABBC

又回ZPBA=NPBD+NDBA,ZDBC=ZABC+ZDBA

^\ZDBC=ZPBA

回△PBAS/DBC

PABA

LLI------=-------=------

CDBC3

0CD=V3PA

(3)过点B作班，AC于点E,过点。作DF1AC于点尸，则点。到CP的距离就是。尸的长度

当尸在线段AE上时，如下图:

由题意可得：AB=AC=6

0a=12O°,

EZE4B=60°

在RjABE中，AB=6,ZEAB=60°S\AE=3,BE=3/

在RtABPE中，BE=34,BP=而,回EP=2

^\AP=AE-EP=1,PC=AC+AP=7

由(2)得CD=6

由旋转的性质可得：PD=BP=®

设尸尸=x,则CP=7—x

由勾股定理可得：DF-=PD2-PF2=CD2-CF-

即31-尤2=3-(7-X)2,解得X=U

贝DF=一尸〃2=立

2

当P在线段AE延长线上，如下图：

则PA=AE+PE=5,PC=AC+PA=U

由（2）得，CD=5《

设尸尸=x,贝UCF=ll—x

由勾股定理可得：DF-=PD2-PF2=CD2-CF-

即31_/=(56)2_(11_劝2,解得x=J,则DF=[PD。-PF)=更

22

综上所述：点。到CP的距离为辿或正

22

【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性

质以及勾股定理，综合性比较强，熟练掌握相关基本性质是解题的关键.

【变式训练3】如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,在斜边AB上取一点过点。作DE〃8C,

交AC于点E.现将VADE绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置(点。在"RC的内部)，使得

ZABD+ZACD=90°.

（1）①求证：AABD-AACE；②若C£>=1,BD=y[6,求AD的长;

（2）如图3,将原题中的条件〃AC=3C〃去掉，其它条件不变，丁7===左设，若8=1，BD=3,AD=4,

ABAD

求左的值；

（3）如图4,将原题中的条件〃NAC5=90°〃去掉，其它条件不变，若去=啜AF=彳?，设CD=机，

ABAD3

BD=n,AD=p,试探究“n,P三者之间满足的等量关系.（直接写出结果，不必写出解答过程）

【答案】（1）①见解析；②2拉；⑵笈=半；（3）4p2=9m2+4n2.

【分析】⑴①先利用平行线分线段成比例定理得若=喘，进而得出结论；

ACAD

②利用①得出的比例式求出CE,再判断出回DCE=90。，利用勾股定理即可得出结论；

（2）同（1）的方法判断出△ABDH3ACE,即可得出AE=4k,CE=3k,同（1）的方法得出I3DCE=9O。，利用勾股

定理得出DE的平方，用DE的平方建立方程求解即可；

（3）同（2）的方法得出。£2=加+§4〃2,。£=隹=:?。即可得出结论；

【详解】解：（1）①EIDEIBBC,

AEAD

团m--=---,

ACAB

由旋转知，回EAC二团DAB,

REABD回团ACE,

②在RSABC中，AC=BC,

团A5=0AC，

由①知，ZkABD团团ACE,

团团ABD二团ACE,

团团ACD+团ABD=90°,

团回ACE+团ACD=90°,

团回DCE=90°,

团团ABD回团ACE,

.ABADBD

*AC-AE-CE-'

团AO=@石，BD=CCE

团BD=s/6

回CE=百

在RtZkCDE中，CD=l,CE=yf^

根据勾股定理得，DE=2,

在RSADE中，AE=DE,

^AD=42DE=2y/2

(2)由旋转知，团EAC二团DAB,

ACAE

回团ABD回回ACE,

~AB~~AD?

ACAECE7

-----=k..

AB-而一BD

团AD=4,BD=3,团AE=kAD=4k,CE=kBD=3k,

酿ABD团回ACE,

团团ABD二团ACE,

回回ACD+团ABD=90°,

团团ACE+团ACD=90°,

团团DCE=90°,

在RSCDE中，DE2=CD2+CE2=l+9k2,

在RSADE中，DE2=AD2-AE2=16-16k2,

[?]l+9k2=16-16k2,

回人=巫或k=一姮(舍)，

55

(3)由旋转知，团EAC二团DAB,

ACAE

,/——=——，团团ABD回回ACE,

ABAD

ACAECE2

,AD~BD~3

2222

团AD=p,BD=n,0AE=—AD=—p,CE=—BD=^n9

R01ABD团团ACE,团团ABD二团ACE,

团团ACD+回ABD=90°,团团ACE+团ACD=90°,fflDCE=90°,

在RtACDE中，DE1=CD2+CE1=in2+^n2,

244

0DE=AE=~^p,；.gp。,04p2=：9m2+4n2.

【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角

三角形的判定，解本题的关键是得出回DCE=9O。和利用两边对应成比例夹角相等来判断两三角形相似的方法

应用.

类型五、K字模型

例1.(1)问题发现：如图1,ZABC=a,将边AC绕点C顺时针旋转a得到线段CE,在射线BC上取点

D,使得NCDE=cr.请求出线段与DE的数量关系；

(2)类比探究：如图2,若a=90。，作NACE=90。，MCE=|AC,其他条件不变，则线段BC与DE的

数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；

(3)拓展延伸：如图3,正方形ABCD的边长为6,点E是边AD上一点，且AE=2,把线段CE逆时针旋

转90。得到线段E户，连接所，直接写出线段跳■的长.

【答案】(1)BC=DE；(2)发生变化，BC=2DE,证明见解析；(3)2国

【分析】(1)结合“一线三等角”推出△ABC会从而证得结论即可；

(2)利用条件证明△ABCSACDE,然后根据相似三角形的性质证明即可；

(3)作延长线于“点，过E点作交BC于G点、,交切于T点，结合“一线三垂直”证

明AFTE冬AEGC,从而利用全等三角形的性质求出和小，最后利用勾股定理计算即可.

【详解】(1)解：SZABC=ZCDE^ZACE^a,

BZA=ZECD.

在AABC和ACOE中，

ZABC=NCDE

<ZA=ZDCE

AC=CE

0AABC公△CDE（AAS）,

0BC=DE.

(2)发生变化，BC=2DE.

证明：由（1）得，ZA=NECD,ZABC=ZCDE,

BCACc

0—=—=2,

DECE

国BC=2DE.

（3）如图所示，作FHL54延长线于H点，过E点作GTL切，交BC于G点，交EH于T点,

贝Um=3G=AE=2,EG=AB=6,AH=TE,

由（工）同理可证，AFZE^AEGC（AAS）,

国FT=EG=6,AH=TE=GC=6—2=4,

BFH=FT+TH=6+2=8,BH=BA+AH=6+4=10,

回=\IFH2+BH2=782+102=2标.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，准确证明三角形全等或相似，

并熟练运用其性质是解题关键.

例2.（培优）如图，在矩形A8CZ）中，BC=6,AB=2,RtABEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且I38EF

=90°,EF=3BE,DF^JlQ,则BE=.

【答案】3⑻

【分析】过F作FG团CD,交CD的延长线于G,依据相似三角形的性质，即可得到FG=gEC,GE=2=CD；

设EC=x,则DG=x,FG=；x,再根据勾股定理，即可得到CE2=9,最后依据勾股定理进行计算，即可得

出BE的长.

【详解】如图所示，过尸作FG0C。，交CO的延长线于G,贝岫G=90。,

B

一

团四边形A8CD是矩形，

团团。=90°,AB=CD=2,

又加BE/=90°,

团团/EG+团3EC=90°=团EBC+回BEC,

mFEG=^\EBC,

又团团C=I3G=9O°,

团团5CE0团EG/，

FGGEEFFGGE1

团——=——=—,nn即一=——=一,

ECCBBEEC63

0FG=-£C,GE=2=CD,

3

0DG=EC,

设EC=x,则。G=x,FG=；x,

回RtMDG中，FG2+DG2=DF2,

0（；X）2+X2~（Vlo）2,

解得N=9,

即CE2=9,

回RtSBCE中，BE=7C£2+BC2=J9+36=3君，

故答案为：3行.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注

意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方

法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形.

【变式训练1】【感知】如图①，在四边形ABC。中，点P在边AB上（点P不与点A、8重合），

ZA=ZB=ZDPC=90°.易证△DAPs△尸5c.（不需要证明）

【探究】如图②，在四边形ABC。中，点P在边AB上（点尸不与点48重合），ZA=NB=NDPC.若PD=4,

PC=8,BC=6,求A尸的长.

【拓展】如图③，在AABC中，AC=BC=8,筋=12,点P在边AB上（点尸不与点A、B重合），连结

CP,作NCPE=NA,PE与边BC交于点、E,当是等腰三角形时，直接写出AP的长.

【答案】【探究】3；【拓展】4或号.

【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可;

拓展：证明"CPHaBPE,分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可.

【详解】探究：证明：国/。P3是443。的外角,

0ZDPB=ZA+ZPZM,

即ZDPC+ZCPB=ZA+/PDA,

QZA^ZDPC,

^ZPDA=ZCPB,

又E1NA=ZB,

HAZMP^APBC,

PDAP

团---=---,

PCBC

回BD=4,PC=8,BC=6,

4AP

团一二---,

86

解得：AP=3；

拓展：0AC=BC,

团&4=回8,

E0CP8是A4PC的外角，

fflCPB=EL4+0PCA,BP0CPE+E£PB=EIA+EPC4,

aa4=iscPE,

0EIACP=0BP£,

能L4=勖，^\ACP^\BPE,

当。尸二CE时，国CPE案CEP,

团团。石尸〉团3,团CPE二团A二团3,回C尸二CE不成立;

当尸C=PE时，AACP^BPE,贝!JPB=AO8,

^AP=AB-PB=12-8=^；

当石OE尸时，0CPE=0ECP,

团团3二团CPE,团团EC尸二团3,^\PC=PB,

ACAPPC

回她CPfflBPE,回----=----

BPBEEP

12-PBPB

A=，解得：PB=3,

PBBE8—BE

^\AP=AB-PB=12-----=——

33

综上所述：回。