北师大版八年级数学常见题型专练：一次函数的应用（5种题型）（解析版）

第13讲一次函数的应用（5种题型）

O【知识梳理】

一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）。的自变量X的取值范围；

从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合.

（2）用画函数图象的方法解不等式fcc+6>0（或<0）

对应一次函数y=fcv+b,它与x轴交点为（-上，0）.

k

当上>0时，不等式履+6>0的解为：不等式fcc+b<0的解为：上；

kk

当％<0,不等式依+匕>0的解为：x<卫，不等式质+6<0的解为：x>卫.

kk

二.一次函数与二元一次方程（组）

（1）一次函数与一元一次方程的关系：由于任何一元一次方程都可以转化为亦+b=0Q,6为常数，aWO）

的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上

看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

（2）二元一次方程（组）与一次函数的关系

二元一次方科一次雨数

・表达式:ax+jby+c=O长达K：y二/、.女）

bD

图象上的坐标点）,4

方程的媒:x=m・y=n<m,n

Um为横坐标.n为总坐标

（m.n）表示平面内一个点

（3）一次函数和二元一次方程（组）的关系在实际问题中的应用：要准确的将条件转化为二元一次方程（组）,

注意自变量取值范围要符合实际意义.

三.两条直线相交或平行问题

直线y=fcc+b,鼠#0,且左，6为常数），当上相同，且6不相等，图象平行；当左不同，且6相等，图象相

交；当公。都相同时，两条线段重合.

（1）两条直线的交点问题

两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解.

（2）两条直线的平行问题

若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即左值相同.

例如：若直线与直线＞2=—+历平行，那么匕=心.

四.一次函数的应用

1、分段函数问题

分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符

合实际.

2、函数的多变量问题

解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻

求可以反映实际问题的函数.

3、概括整合

（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用.

（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键.

五.一次函数综合题

（1）一次函数与几何图形的面积问题

首先要根据题意画出草图，结合图形分析其中的几何图形，再求出面积.

（2）一次函数的优化问题

通常一次函数的最值问题首先由不等式找到x的取值范围，进而利用一次函数的增减性在前面范围内的前

提下求出最值.

（3）用函数图象解决实际问题

从已知函数图象中获取信息，求出函数值、函数表达式，并解答相应的问题.

心

【考点剖析】

一.一次函数与一元一次不等式

1.（2022秋•无为市校级月考）在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y=-1x+3的图象，并利用图象解

决下列问题：

（1）求方程得乂+3=0的解；

(2)求不等式_|>x+3<。的解集；

(3)若-2WxW4,求y的取值范围.

+3的图象为:

方程一^"x+3=0的解是x=2；

(2)不等式-|>x+3<0的解集是彳>2；

(3)从图象可知：当-2WxW4时，贝U-3WyW6.

2.(2022秋•亳州期末)如图，一次函数尸依+6的图象与无轴交于点8(2,0),与y轴交于点A(0,5),

与正比例函数的图象交于点C,且点C的横坐标为

(1)求一次函数y=kx+b和正比例函数的解析式；

(2)结合图象直接写出不等式0<fcr+6</nx的解集.

【解答】解：(1)将A(0,5),B(2,0)代入y=kr+b

得：（b=5

l2k+b=0

'b=5

解得：<5

1k=»

...一次函数的解析式为：y=-Sx+5

2

把x=,代入产--|-x+5

解得：产区

3

.•.点C的坐标为（4，$）

33

把C代入>=小得：m=-|-

正比例函数的解析式为：y=^-x

'4

（2）不等式0c的解集即为0<fct+6<$x的解集

4

由图可得：0<fcv+b<9r的解集为：A<X<2.

43

3.（2022秋•花山区期中）在平面直角坐标系中，直线y=-2x+l与y轴交于点C,直线y=x+左晨=0）与

y轴交于点A,与直线y=-2x+l交于点8,设点2的横坐标为-2.

（1）求点B的坐标及k的值；

（2）求直线y=-2x+l、直线y=x+左与y轴所围成的△ABC的面积；

（3）根据图象直接写出不等式-2x+l>x+k的解集.

【解答】解：(1)当了=-2时，y=-2X(-2)+1=5,则8(-2,5).

把8(-2,5)代入y=x+A得-2+左=5,解得左=7；

(2)当x=0时，y=-2x+l=l,则C(0,1)；

当x=0时，y—x+1—l,则A(0,7)

所以AC=7-1=6,

所以SAABC=—X6X2=6；

2

(3)x<-2.

二.一次函数与二元一次方程（组）

4.（2022秋•蚌埠期中）如图，Zi,/2分别表示两个一次函数的图象，它们相交于点尸,

（1）求出两条直线的函数关系式;

（2）点尸的坐标可看作是哪个二元一次方程组的解;

【解答】解：（1）设直线的解析式是已知人经过点（0,3）,（1,0）,

可得」b=3,解得（b=3,

lk+b=0lk=-3

则函数的解析式是y=-3x+3；

同理可得/2的解析式是：y=x-2.

（2）点p的坐标可看作是二元一次方程组［了=-3'+3的解.

ly=x-2

（3）易知：A（0,3）,B（0,-2）,P（$,一旦）；

44

SAAPB=•|0|=2义5X立=空.

2248

5.（2021秋•大观区校级期中）如图，直线yi=x+3与直线交于点M（-1,2）,与X轴分别交于

点A,B,与y轴分别交于C,D.

ypx+3

（1）根据图象写出方程组4的解是.

（2）根据函数图象写出不等式x+3Wmx+9的解集

3

(3)求直线AC,直线8。与x轴围成的的面积.

，VI=x+3._

方程组4的解是

y2=mx+y1丫=2

故答案为卜“1；

1y=2

(2)由图象可得不等式x+3Wmx+4的解集为：xW-1,

3

故答案为xW-1；

(3):直线y2=mx+,过点M(-1,2),

.*.2=-m+—,解得m=-―,

33

/.直线BD的解析式为y=-■|呜

.,.当y=0时，x—2,

：.B(2,0).

,/直线AC的解析式为y=x+3,

当y=0时，尤=-3,

AA(-3,0).

：.AB=5,

.".SAABM——'X5X'2.—5.

2

三.两条直线相交或平行问题

6.(2022秋•全椒县期中)已知一次函数y得x+6与y=-1x《的图象相交于点尸・

(1)求点P的坐标；

(2)已知一次函数y=|>x+6的图象与X轴交于点A，一次函数y=—/x玲的图象与X轴交于点8,若直

线/经过点尸和线段A8的中点C,求直线/的函数表达式.

（3

y=yx+6

【解答】解：（1）由题意得，，

33

解得卜一

ly=3

点尸坐标为（-2,3）；

⑵当y=°时，-^-x+6=0,

".x=-4,

.•.点A坐标为（-4,0）,

当y=0时，（x玲=0，

，x=2,

.•.点B坐标为（2,0）,

•••点C是的中点，

.•.点C坐标为（-1,0）,

设直线/的函数表达式为y=kx+b,

根据题意得［i+b=。，

-2k+b=3

解得,

Ib=-3

.•.直线/的函数表达式为y=-3尤-3.

7.（2022秋•霍邱县期中）直线y=fcc+b与直线y=/x+3的交点M的纵坐标为5,其与直线y=3x-9的交

点N的横坐标也为5.

（1）求匕6的值;

（2）求直线y=fcr+b与坐标轴围成的三角形面积.

【解答】解：（1）把y=5代入y=/x+3得0.5x+3=5,

解得冗=4,

即直线丁=丘+。与直线y=0.5x+3交点的坐标为（4,5）；

把x=5代入y=3x-9得y=15-9=6,

即直线＞=丘+。与直线y=3x-9交点的坐标为（5,6）；

把（4,5）和（5,6）代入产质+6得14k+0=5,

I5k+b=6

解得（k=l；

lb=l

（2）由（1）得y=x+l,

直线y=x+l与无轴的交点坐标为（7,0）,与y轴的交点坐标为（0,1）,

所以直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形面积=/*1X1=A.

8.（2022秋•无为市月考）如图，已知直线AB：yi=fcc+3分别与y轴，x轴交于A,8两点，直线CD：»二

依+b分别与无轴，y轴交于点C（-6,0）,点。，两直线的交点M为（-4,-1）.

（1）求匕a,6的值.

（2）连接。试说明角形BC肘+S三角能40B=S三角形DOM（S表示几何图形的面积）.

（3）若X轴上存在点尸，使得S三角形APM=LS三角形ADW（S表示几何图形的面积），求出此时点尸的坐标.

【解答】(1)解：将点用(-4,-1)代入yi=fcc+3,

得-44+3=-1,

解得k=l,

将点M(-4,-1)和C(-6,0)代入*=依+。，

得卜4a+b=]

I-6a+b=0

解赵“万

b=-3

k=1,a=」，b=-3；

2

(2)证明：当yi=x+3=0时，x=-3,

・,•点3坐标为(-3,0),

・・・O8=3,BC=6-3=3,

当x=0时，yi=%+3=3,

・・・点A坐标为（0,3）,

：.OA=3f

:*S-角形8cM+S三角能40B=*X3Xl+yX3X3=6,

当x=Q时，yi=-3=-3,

,2

...点。坐标为（0,-3）,

：.OD=3,

-：角形DOM=/x3X4=6，

••S三角形5cM+S三角能A08=S三角形DOM；

（3）解：存在满足条件的点尸，理由如下:

VA（0,3）,D（0,-3）,

.\AD=6,

；・S三角形X6X4=12，

■:S三角形APM=S三角形ABP+S三角形X3+yBPx1=2BP,

•二S三角形APM=2S三角形AOM，

2

：.2BP=6,

；・BP=3,

•・•点5坐标为（-3,0）,

・・・点尸坐标为（0,0）或（-6,0）.

9.（2022秋•迎江区校级期末）如图，一次函数y=->|x+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点A、B,

一次函数y=fcc-4的图象与直线AB交于点C（优，2）,且交于无轴于点D

（1）求机的值及点A、8的坐标；

（2）求△ACZ）的面积；

（3）若点尸是x轴上的一个动点，当SAPCDM/SAACD时，求出点2的坐标.

y

【解答】解：⑴一次函数尸-崇+4的图象经过点C(m,2),

得—-m+^—2,

3

解得m=—,

2

.一次函数y=-崇+4的图象分别与x轴，y轴的正半轴交于点A、B,

当y=0时，--1-x+4=0,

解得x=3,即A(3,0),

当尤=0时，＞=4,即B(0,4),

...杨=3，A(3,0),B(0,4)；

2

(2)把点C(当2)一次函数y=fcc-4,得2=当-4,解得仁4,

.\y=4x-4,

当y=0时，x=\,即。(1,0).

/.A£)=3-1=2,

/.5AACD=—X2X2=2；

2

(3)♦.•点尸是x轴上的一个动点，设P(x,0),

：.PD^\x-1|,

,•15APCD=1SAACD，

：.LX\X-1|X2=^X2,

22

.\x=2或0,

・・・点尸的坐标为(2,0)或(0,0).

四.一次函数的应用

10.（2022春•周村区期中）在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于

20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x

（元/千克）满足如表所示的一次函数关系.

售价X（元/千…•22.62425.226

克）

销售量y（千克）•34.83229.628

（1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量；

（2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元/千克?

【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,

将（22.6,34.8）、（24,32）代入y=kx+b得：

（22.6k+b=34.8

l24k+b=32

解得：

lb=80

.•・y=-2x+80,

当x=23.5时，y=-2X23.5+80=33,

答：当天该水果的销售量为33千克；

（2）根据题意得：（x-20）（-2x+80）=150,

解得：xi=35,X2=25.

；20WxW32,

：.x=25.

答：该天水果的售价为25元.

1L（2022春•大竹县校级期中）如图表示小华骑自行车离家的距离y（千米）与时间t（时）的关系.他9

时离开家，15时回家.请根据图象回答下列问题：

（1）小华到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

（2）他何时开始第一次休息？休息多长时间？

（3）第一次休息时，离家大约多远？

（4）11时到12时，他大约骑了多少千米？

（5）他可能在哪段时间休息，并吃午餐？

(6)返回时的平均速度是多少？

y(千米)

09101112131415t(时)

【解答】解：(])小华到达离家最远的地方是12时，离家30千米；

(2)他10.5时开始第一次休息，休息了0.5小时；

(3)第一次休息时，离家大约17千米；

(4)30-17=13(千米)，

/.II时到12时，他大约骑了13千米；

(5)他可能在12-13时休息，并吃午餐；

(6)30+(15-13)=15(千米/时)

返回时的平均速度是15千米/时.

12.(2021秋•扶风县期末)我国是一个严重缺水的国家，大家应该倍加珍惜水资源，节约用水.据测试，

拧不紧的水龙头每秒会滴下2滴水，每滴水约0.05mL.小明同学在洗手时，没有把水龙头拧紧，当小明

离开x小时后，水龙头滴了ym/水.

(1)试写出y与x之间的函数关系式？

(2)当滴了1620mL水时，小明离开水龙头几小时？

【解答】解：(1);,水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05毫升，

二离开x小时滴的水为3600X2X0.05X,

•*.y=360x(x20).

(2)当y=1620mL时，1620=360x,

解得x=4.5小时，

答：小明离开水龙头4.5小时.

13.(2021秋•任城区校级期末)某人因需要经常去复印资料，甲复印社直接按每次印的张数计费，乙复印

社可以加入会员，但需按月付一定的会员费.两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解

答下列问题：

(1)乙复印社要求客户每月支付的会员费是元；甲复印社每张收费是元；

（2）求出乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式，并说明一次项系数的实际意义;

（3）当每月复印多少页时，两复印社实际收费相同；

（4）如果每月复印200页时，应选择哪家复印社？

【解答】解：（1）由图可知，

乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元；

甲复印社每张收费是104-50=0.2（元）.

故答案为：18；0.2；

（2）设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为）/=/a+工

把（0,18）和（50,22）代入解析式得：

fb=18

l50k+b=22，

解得：（k=0,°8,

lb=18

乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y=0.08x+18,

一次项系数的实际意义为每张收费0.08元；

（3）由（1）知，甲复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y=0.2x,

令0.2x=0Q8x+18,

解得，x=150,

答：当每月复印150页时，两复印社实际收费相同；

（4）当x=200时，

甲复印社的费用为：0.2X200=40（元），

乙复印社的费用为：0.08X200+18=34（元），

V40>34,

.,.当x=200时，选择乙复印社.

五.一次函数综合题

14.(2021春•海淀区校级期末)如图，一次函数y=-3x+3的图象与x轴和y轴分别交于点A和点8,将

4

△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与X轴交于点C,与AB交于点D.

(1)求A,B两点的坐标；

(2)求OC的长；

(3)设P是X轴上一动点，若使△%B是等腰三角形，写出点P的坐标(不需计算过程)

【解答】解：(1)令y=0,则x=4；令x=0,则y=3,

故点八的坐标为(4,0),点8的坐标为(0,3).

(2)设OC=x,贝AC=CB=4-X,

：/BOA=90°,

OB2+OC2=CB2,

32+X2=(4-x)2,

解得x=1,

8

oc=—.

8

(3)设P点坐标为(x,0),

当力=PB时，yj(x-4)2=VX2+9'解得x=1；

当PA=AB时,N(x-4)2=>/42+32，解得x=9或x=-1；

当PB=AB时，｛x2+3242+32，解得x=-4.

；.P点坐标为(工，0),(-4,0),(-1,0),(9,0).

8

15.(2021•永嘉县校级模拟)如图，在平面直角坐标系中，点P(x,y)是第一象限直线y=-x+6上的点,

点A(5,0),。是坐标原点，的面积为S.

(1)求S与x的函数关系式，写出x的取值范围，并画出函数图象;

(2)当点P的横坐标为2时，△OAP的面积为多少？

(3)当△OAP的面积为5时，求点P的坐标;

(4)△OAP的面积能大于15吗？为什么？

【解答】解：(1)•点P(x,y)是第一象限直线y=-x+6上的点,

；.0<x<6,

•.•S=JiOA・y,

2

•.,点A(5,0),

；Q=5,

.*.5=—X5X(-x+6)=-—x+15,

22

即S与x的函数关系式为S=-Sx+15(0<x<6)；

2

22

所以当点P的横坐标为2时，△OAP的面积为10；

(3)把5=5代入S=-5x+15得，5=-—x+15,解得x=4,

22

...y=-x+6=-4+6=2,

.,.点P的坐标为(4,2)

(4)△OAP的面积不能大于15,因为点P(x,y)是第一象限的点，x的取值范围为0<x<6；

16.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB位于X轴，A(1,0),B(3,0),矩形的宽AD为

1,一条直线，=卜乂+2(kWO)与折线ABC交于点E.

(1)证明：直线y=kx+2始终经过一个定点，并写出该定点坐标；

(2)当直线y=kx+2与矩形A8CO有交点时，求k的取值范围；

(3)设△COE的面积为S,试求S与k的函数解析式.

【解答】解：(1)不论k取何值，当x=0时，y=2,则函数一定经过定点(0,2)；

(2)当直线经过点A时，把点(1,0)代入y=kx+2得：k+2=0,解得：k=-2；

当直线经过点C(3,1)时，代入y=kx+2得：3k+2=l,解得：k=--,

3

则k的取值范围是：-2WkW--；

3

(3)CD=3-1=2,

当直线经过点B时，把B的坐标(3,0),代入y=kx+2得：3k+2=0,解得：k=-―,

3

当-2WkW-Z时，E在AB上，则SACDE=」X2：X：L=1；

32

当-Z<kW-2■时，E在8c上，在)/=/0(+2中，令x=3,则y=3k+2,贝!JCE=1-(3k+2)=-3k-1

33

贝！1SACD£=--X2X(-3/c-1)=-3k-1.

2

即5=-3k-1.

17.(2022春•杨浦区校级期中)如图，直线AB经过点A(-3,0),B(0,2),经过点。(0,4)并且与y

轴垂直的直线CD与直线AB交于第一象限内点C.

(1)求直线的表达式；

(2)在X轴上有一点Q,若△AQC的面积为8,求点Q的坐标；

(3)在X轴的正半轴上是否存在一点P,使得AOCP为等腰三角形？若存在求出点P的坐标；若不存在，

请说明理由；

（4）在线段CA上有一动点E,联接0E,以0E为一边作正方形OEM/V,请直接写出正方形OEMN的最

小面积值是多少？

环

6-

5-

4-

3-

2-

1-

_|।____।।____।।____।।

-5-4-3-2-10123456

-1-

-2-

【解答】解：(1)设直线48解析式为丫=/^+4

把A(-3,0),B(0,2)代入得1-3k+b=0,

lb=2

fk=2

解得：K3,

b=2

则直线AB解析式为y="|x+2；

(2)设Q(q,0),过C作CH_LAQ,如图所示,

姝

对于直线A8解析式y=£x+2,把y=4代入得：x=3,即C（3,4）,

；.AQ=|q+3|,CH=4,

-'.S^AQC=—AQ'CH=2\q+3\=8,即|q+3|=4,

2

解得：q=l或q=-7,

则Q坐标为（1,0）或（-7,0）；

（3）在x轴的正半轴上存在一点P,使得△OCP为等腰三角形，

分三种情况考虑，如图所示：

若PC=P。时，此时P在线段0C垂直平分线上，

VC(3,4),

线段。C中点坐标为2）,

2

设直线。（:解析式为y=cx,把C坐标代入得：c=2,

3

即直线0C解析式为y=lx,

3

线段。c垂直平分线方程为y-2=-旦（x-旦），

42

令y=o,得到x=2^,此时P0）；

66

若。C=P。时，由勾股定理得：OC=5,即。P=5,

此时P坐标为（5,0）；

若CO=CP时，P坐标为（6,0）;

（4）当。E_LAC,垂足为点E时，以。E为一边作正方形。E/WN面积最小,

,：0（0,0）,直线47解析式为y=£x+2,即2x-3y+6=0,

722+（-3）213

此时正方形OEMN面积最小值为。乒=里1

【过关检测】

一、单选题

1.（2023春•河北邯郸•八年级校联考期末）如图，已知点4（-2,3）,3（2,1）,当直线、=依-左与线段AB有

交点时，上的取值范围是（）

A.k<-\B.-l<k<lC.k<-l^k>\D.k<-3^k>-

3

【答案】C

【分析】由已知得直线，=履-左恒过点尸(1,0),分别求出直线上4和直线PB的比例系数上即可求解.

【详解】解：y=kx-k=k(x-l),

团直线丁=履-左恒过点尸(1,0),

当直线刚好过点A时，将&(一2,3)代入>=履-左中得：3=-2k-k,

解得k=-\,

当直线刚好过点B时，将3(2,1)代入尸爪-左中得：l=2k—k,

解得左=1,

团当直线>=日-左与线段A3有交点时，上的取值范围为：ZW-1或上21,

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法

求出临界值是解题的关键.

2.(2023春・河南安阳•八年级统考期末)在平面直角坐标系中，一次函数〉=履+。的图象如图所示，则下

列判断正确的是()

A.k<0,b>0B.k>0,b<0C.k>0,b>0D.k<0,b<Q

【答案】A

【分析】根据一次函数图象进行判断即可.

【详解】解：国一次函数，=履+。的图象经过第一、二、四象限，交y轴于正半轴，从左至右倾斜向下

团左<0,b>0.

故选：A.

【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键.

3.（2023春•重庆忠县•八年级统考期末）如下图，四边形ABCD是矩形，有一动点P从点8出发，沿

A路线绕矩形的边匀速运动，当点尸到达点A时停止运动.在点P的运动过程中，.AB尸的

面积S随时间t变化的函数图象大致是（）

【答案】B

【分析】分析动点尸在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可.

【详解】解：由点尸的运动可知，当点尸在边上时尸的面积中底逐渐增大，高不变，

S=-AB-BP=\-AB-v\t

2〔2）

因为;A8"为常数，因此面积逐渐变大，且为一次函数.

由点P的运动可知，当点尸在8边上时，ABP的面积不变，

由点P的运动可知，当点尸在AD边上时,尸的面积逐渐减少，

故选：B.

【点睛】本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判

断.解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化.

4.（2023春•河北邢台•八年级统考期末）己知等腰三角形的周长为16,设底边长为x,腰长为九可得出

y关于尤的函数表达式为>=-^龙+8,对于自变量x的取值范围，小丽、小强给出不同的解答：

小丽：由于x是底边长，因此x>0

小强：由于三角形两边和大于第三边，因此2(-；x+q>x,解得x<8,对于两人的解法，正确的是

A.小丽对B.小强对C.小丽和小强合在一起对D.小丽和小强合在一起也不对

【答案】C

【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列不等式组计算即可

【详解】解：根据三角形三边关系知2y>x,x>0,

——x+8>x

所以2，解得0<x<8.

x>0

故选：C.

【点睛】本题考查了函数关系式，利用三角形三边的关系得出自变量的取值范围.

5.(2023春・江西宜春•八年级统考期末)如图，直线y=gx+6与x轴、y轴分别交于点A和点B,点C、

。分别为线段AB、的中点，点尸为。I上一动点，当尸C+PD的值最小时，点尸的坐标为()

C.(-3,0)D.(TO)

【答案】C

【分析】根据一次函数解析式求出点A、5的坐标，再由中点坐标公式求出点C、。的坐标，根据对称的

性质找出点〃的坐标，结合点C、加的坐标求出直线CD的解析式，令>=。即可求出x的值，从而得出

点尸的坐标.

【详解】解：作点。关于无轴的对称点。口连接CD交X轴于点P,此时PC+PD值最小，最小值为

CD，,如图.

令y=g%+6中％=0,贝!Jy=6,

.二点3的坐标为(0,6)；

令y=g%+6中y=0,贝1jgjr+6=0,解得：x=-12,

点A的坐标为(-12,0).

点C、。分别为线段A3、的中点,

.•.点C(-6,3),点。(0,3).

点0c和点。关于尤轴对称，

.••点N的坐标为(0,-3).

设直线CD'的解析式为1=履+。，

直线CD'过点C(-6,3),D'(0,-3),

-6k+b=3k=—l

,二，解得:

b=-3b=-3'

直线CD'的解析式为y=-无-3.

令y=0,贝|0=一无一3,解得：x=-3,

，点P的坐标为(-3,0).

故选：C.

【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问

题，解题的关键是求出直线CD的解析式.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐

标利用待定系数法求出函数解析式是关键.

6.(2023春•湖北武汉•八年级统考期末)如图，直线y=2无+4交x轴于点A,交>轴于点反。为线段AB

(端点除外)上一动点，点。与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交的延长线于点尸，则线

A.逑B.更C.275D.4

55

【答案】B

【分析】根据0。的最小值就是OC的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当OCLAB时，0C的值

最小，即。。有最小值，由此可知。尸有最小值，根据等面积法即可求出0C的长，由此即可求解.

【详解】解：如图，连接C2OC,

回点。是点C关于x轴的对称点，

团0D的最小值就是OC的最小值，根据点到直线的垂线段最短，可知当时，0C的值最小，即。。

有最小值，由此可知DF有最小值，

团CF〃彳轴，点C关于x轴的对称点是点。，

0CDXCF,即NDC5=90°,

国在RtaC"中，OC=OD,即△(%)£)是等腰三角形，ZCDO=ZOCD,

0ZCFD+Z.CDF=ZDCO+Z.OCF=90°,

SZOCF=ZOFC,

^CO=OF,

:.DF=2OC,

0OC1AB,直线y=2x+4交x轴于点A,交>轴于点8,

回A(-2,0),5(0,4),即OA=2,O3=4,

在RtZkAOB中，AB=Jo簿+OB?=］展+毕=2/，

0SAAOB=：0A.03=；AB.OC,

OA.QB2x446

EIOC=

AB26一5

2x4

团OC最小为

在+4。

:.DF最小值为殳5,

5

故选：B.

【点睛】本题主要考查一次函数与几何，对称最短路径的综合，掌握对称最短路径的计算方法，一次函数

图像的性质是解题的关键.

7.(2023春广东东莞•八年级统考期末)如图，已知点4(-2,3),3(2,1),当直线y=区-1与线段A3有交

A.k>\B.k<-2^k>lC.k<-2D.-2<k<l

【答案】B

【分析】由已知得直线>=辰-1恒过点尸(0,-1),分别求出直线上4和直线PB的比例系数鼠即可求解.

【详解】解：^y=kx-1,

当x=0时，y=T,

回直线y=履-1恒过点P(0,T),

当直线刚好过点A时，将4(-2,3)代入、=日-1中得：3=-2^-1,

解得人=-2,

当直线刚好过点8时，将3(2,1)代入>=区-1中得：\=2k-\,

解得4=1,

回当直线>=h-1与线段AB有交点时，上的取值范围为：kM-2或k”

故选：B.

【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法

求出临界值是解题的关键.

8.(2023春・湖北武汉•八年级统考期末)在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点叫作整点.直线

丁二爪+4（左＞0）与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有6个整点，则上的取值范围是（）

44,3371

A.一«左<1B.—V左V1C.—<k<1D.—<左<I

5544

【答案】C

【分析】先求出直线经过定点（0,4）,再根据整点的定义在坐标系中找到临界情况即可得到答案.

【详解】解：回直线解析式为y=^+4（左＞0）,

团该直线一定经过定点（0,4）,

如图所示，当直线恰好经过（T，l）时，贝UT左+4=1,解得k="

当直线恰好经过（-3,1）时，贝=3左+4=1,解得上=1,

回当直线y=^+4（左＞0）与坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）有且只有6个整点，则上的取值范围

3

是三Wk＜l,

4

【点睛】本题考查一次函数的图象与系数之间的关系，利用图象确定发的取值范围在两条直线的一次项系

数之间是解决问题的关键.

9.（2023春•湖北武汉•八年级统考期末）某电信公司推出两种不同的收费标准：A种方式是月租20元；B

种方式是月租0元.一个月本地网内打出电话费S（元）与打出时间，（分）的函数图象如图所示，当打出

150分钟时，这两种方式的电话费相差（）

A.5元B.10元C.15元D.20元

【答案】B

【分析】根据图象先求出两条直线的解析式，然后f=150时代入各自的解析式就可以求出各自的付费情况

从而求出结论.

【详解】解：设A种方式直线的解析式为：S1=k"a，B种方式直线的解析式为：S2=k2t,

30=100%+4

由图象可得:30=100自，

20=4

h=0.1

解得k=0.3,

4二202

•••这两个函数的解析式分别为：工=01+20,S2=0.3r,

当，=150时，

^=0.1x150+20=35,S2=0.3x150=45,

,两种方式的电话费相差：45-35=10,

故选B.

【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是读懂题意，求出函数解析式.

10.（2023春•湖北武汉•八年级统考期末）如图，矩形ABCD被直线OE分成面积相等的两部分，

BC=2CD,CD=UDE,若线段OBBC的长是正整数，则矩形A3CD面积的最小值是（）

121

D.121

【答案】A

【分析】连接AC、BD,两线相交于R设DE=a,OB=m,由题意可得点E、尸的坐标；由直线OE平

分矩形的面积，则它必过点F设直线OE的解析式为，=依，由点£厂在直线上，可得相与。的关系

式，根据关系式可求得。的值，从而求得矩形面积的最小值，确定答案.

【详解】解：连接AC、BD,两线相交于R如图，

设DE=a,OB=m,

⑦BC=2CD,CD=11DE,

团CD=11a,BC-22〃，

0CE=CD—DE=10a,

点E、F的坐标分别为(》i+22a,10a),+lla,学];

国直线OE平分矩形的面积，

回它必过点F,

设直线OE的解析式为y=履，

团点E、/在直线，=去上，

[?]k(m+22a)=10a,k(m+lla)-11^

2?

两式相比消去鼠得：m二拳,

团线段OB3C的长是正整数，

团当22i=9时，m=l最小，

9

即。=——，

22

团矩形的面积为：3cxe£>=22axlla=22xllx(21=q，

(22j2

【点睛】本题考查了矩形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，由矩形性质得到直线过产时平分矩形面

积是关键.

二、填空题

11.（2023春•广东汕头•八年级统考期末）一根蜡烛长25cm,点燃后每小时燃烧5cm,蜡烛燃烧时剩下的

高度力（厘米）与燃烧时间/（小时）（0W5）之间的关系是.

【答案】h=-5t+25

【分析】根据题意可得等量关系：燃烧的高度+剩余的高度=25cm,根据等量关系列出函数关系式即可.

【详解】解：由题意得：5t+h=25,

整理得：h=-5t+25,

故答案为：h=-5t+25.

【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一次函数解析式，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关

系.

12.（2023春•重庆沙坪坝•八年级重庆市南渝中学校校考期中）若直线/：>=履+》与直线y=x-4经过y轴

上同一点，且/与两坐标轴围成的三角形面积等于4,贝心=.

【答案】±2

【分析】根据直线/：>=辰+。与直线V=x-4经过y轴上同一点，得匕=7,求出直线/与两坐标的交点

坐标（0,-4）,根据/与两坐标轴围成的三角形面积等于4,4X|||X|=4,求出入即可.

【详解】回直线/：、=米+8与直线y=x-4经过y轴上同一点，

回/?=4

团直线/：丫=履+。与两坐标的交点坐标为：（O,T）,1,o],

国直线/与两坐标轴围成的三角形面积等于4,

回4*g=4,

解得：k=+2.

故答案为：±2.

【点睛】本题考查一次函数和几何问题的结合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，三角形的面

积，左的意义.

13.（2023春•山东荷泽•八年级校考阶段练习）拖拉机工作时，油箱中的余油量。（升）与工作时间,

（时）d关系式为。=40-5入当r=4时，。=升，从关系式可知道这台拖拉机最多可工作

_________小时.

【答案】208

【分析】根据题意，将r=4代入计算。即可得到答案，令。2