中考数学总复习提升专项知识二次函数的最值问题(2种命题预测+19种题型专题训练+10种解题方法)含答案及解析

第三章函数重难点03二次函数的最值问题（2种命题预测+19种题型汇总+专题训练+10种解题方法）【题型汇总】类型一代数最值题型01定轴定区间最值问题解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值.1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=−b2）若m≤−b2a≤n，n+b2a＞3)若m≤−b2a≤n，n+b2a＜4)若m≤x≤n＜−b2a时，如图④，当，当5)若−b2a＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3A．−2 B．−1 C．0 D．22．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数y=ax2−6ax+6a，若当2≤x≤5时，y的最大值是3，则a3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知二次函数y=ax−22+aa<0，当−4≤x≤1时，y的最小值为−74，则4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c（1）求抛物线解析式；（2）当−2<x<2时，求函数值y的范围；题型02利用对称轴与图像解决图系关系问题解题方法：开口方向不确定时，先讨论开口方向;1）开口向上时，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大;2）开口向下时，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。5．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数y=a（1）若a=−1,则函数y的最大值为．（2）若当−1≤x≤4时，y的最大值为5，则a的值为．6．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数y=a(x−2)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则aA．12或4 B．4或−12 C．−43或47．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型03定轴动区间最值问题（区间有一端不确定）解题方法：对于二次函数中含有参数，对称轴不确定，要求在定区间m≤x≤n条件下函数的最值，那么就需要分别讨论对称轴x=−b2a1）轴在区间左侧：如图①，当−b2）轴在区间中间：如图②③，当m≤−b2a≤n，对称轴在区间中间，那么在区间内，y值先随着x的增大而减小，又随着x的增大而增大，所以，当x=3）轴在区间右侧：如图④，当−b8．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=−1，且过点(0,1)．有以下四个结论：①abc>0，②a−b+c>1，③3a+c<0，④若顶点坐标为(−1,2)，当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为−2，此时m的取值范围是−3≤m≤−1A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数y=ax2+4ax−4(a>0)，当m<x≤0时，函数y值的最大值为−4，则m10．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数y=−x2−2x+3，当a⩽x⩽12时，函数值y11．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．题型04定轴动区间最值问题（区间有两端不确定）12．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数y=−x2−2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则mA．m≥−1 B．m≤2 C．−3≤m≤−1 D．0≤m≤213．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二次函数y=−x（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，m-n=3求t的值．14．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为1,−4，且图象经过点3,0，0,−3．(1)求二次函数的表达式(2)将二次函数的图象向右平移mm>0个单位，图象经过点1,−154(3)在由（2）平移后的图象上，当n−2≤x≤n+1时，函数的最小值为−3，求n的值．15．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线y=2a−3x2+4a+2(1)求抛物线的函数关系式；(2)记x在某个范围时，函数y的最大值为m，最小值为n，当t≤x≤t+3时，则m−n=3t，求t的值．题型05动轴定区间16．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数y=−x（1）当m=3时，该二次函数图象的顶点坐标为；（2）当−1≤x≤3时，函数有最小值m2，则m的值为17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=−x2+2ax−a2+2（a为常数，且a≠0），当A．－6 B．4 C．−6或0 D．0或−218．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数且b>0，c<0），当−5≤x≤0时，−11≤y≤5，则c题型06动轴动区间的最值问题19．（2024·云南昭通·二模）已知关于x的二次函数y=−x2+2mx+n（m(1)若m+n=1，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；(2)若m−1≤x≤m+k(k>0)时，函数的最大值为p，最小值为q，且p−q=3k，求k的值．20．（21-22九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=x2+mx+2m（m为常数，m<0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x题型07动轴动区间参数取值范围问题21．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系xOy中，点Px1,(1)当ℎ=1时，求抛物线的对称轴；(2)若对于0≤x1≤2，ℎ+4≤x222．（22-23九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−(1)求抛物线的顶点坐标（用含n的代数式表示）；(2)点Px1,y1，Q①若y1的最大值是2，求y②若对于x1，x2，都有y1类型二几何最值问题题型01二次函数中的线段最值问题平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下：①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标；②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围.注意：单线段最值求解时一定要保证线段是非负的.1）铅垂线段的求法-横坐标相同23．（2024·内蒙古乌海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B(1)求抛物线的解析式；(2)设该抛物线的顶点为点H，求△BCH的面积；(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2024·山西·二模）如图，抛物线y=−13x2+43x+4与x轴交于A，B两点（点A在点(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段BC所在直线的函数表达式；(2)点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N求线段PN长的最大值．25．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像经过原点和点A4,0．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．2）水平相等的求法-纵坐标相同26．（2024·江西九江·二模）已知一次函数y=−12x+m2(1)当m=0时，求两个函数图象的交点坐标．(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．(3)如图，当m=−1时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．①当PQ∥y轴时，求②当PQ∥x轴时，求PQ的最小值．27．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−3（a≠0）过点A−1,0、B3,0

(1)求抛物线的表达式：(2)点P为第四象限内抛物线上一动点，过点P作PE∥x轴交直线BC于E，F为直线BC上一点，且∠FPE=∠CAB，求EF的最大值及此时点(3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点M，使∠BMP的度数最大，若存在，请写出M点的坐标，并做详细解答．28．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B1,0（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P作x轴平行线交AC于点E，过点P作y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；(3)如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．3）斜线段的求法-化斜为直

29．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B，C(1)求a，(2)若点D在线段AB上，过点D作DE∥AC，交抛物线y=ax2+bx+3于点E(3)若点D在x轴上，点E在抛物线上，当A，D，30．（2024·山东日照·二模）如图，抛物线y=ax2+bx−4a≠0与x轴交于点A，B−1,0，与y轴交于点C，且OA=OC，点Dm,0是线段OA上一动点，过点D作DP⊥x轴交直线AC于点(1)求抛物线的解析式：(2)过点P作PQ⊥AC，垂足为Q，求出PQ的最大值；(3)试探究在点D的运动过程中，是否存在点P，使得△CPE为直角三角形，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．31．（2024·甘肃临夏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在请说明理由．(3)如图2，点M是直线BC上一动点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN=2，若线段MN与抛物线有交点，请直接写出点M的横坐标xM4）距离最值问题32．（2024·湖南娄底·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过A−2,0，B0,4两点，直线x=3与x(1)求抛物线的解析式；(2)在线段OC上是否存在点F，使得∠BFG是直角？若存在，求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．(3)点Pm,n为抛物线上的动点，0<m<3，过P作x轴的垂线交直线BC于点D，求当P点到直线BC的距离最大时m33．（2024·山西晋中·二模）综合与探究如图，直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c经过(1)求抛物线的解析式；(2)点P为第一象限抛物线上一动点，请你确定一点P，使点P到直线BC的距离最大，求出点P的坐标及点P到直线BC的距离最大值；(3)在（2）的结论下，此抛物线上是否存在点Q，使得以点Q、B、C为顶点的三角形与△PBC面积相等？若存在，请直接写出符合的点Q5）线段比最值问题34．（2022·江苏宿迁·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴分别交于A−2,0、B6,0两点，与y轴交于点C0,4，顶点为点G，连接AC、BC，点P为直线BC上方抛物线上一动点，连接(1)求抛物线的函数表达式及顶点G的坐标；(2)当PMAM的值最大时，求点P的坐标及PM(3)如图2，在（2）的条件下，EF是此抛物线对称轴上长为2的一条动线段（点E在点F上方），连接CE、AF，当四边形ACEF周长取最小值时，求点E的坐标；在此条件下，以点G、E、H、P为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点H的坐标．35．（2024·山东济宁·一模）已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于A−2,0，B(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，在对称轴上是否存在点D，使△BCD是以BC直角边的直角三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当PMAM最大时，请直接写出点P题型02二次函数线段和、差最值1）线段和最小问题图形条件如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.结论当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长.当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长.36．（2024·江苏扬州·二模）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A−1,0，C0,3两点，并交x轴于另一点B，点M(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是抛物线对称轴上一动点，分别连接AH、DH，求AH+DH的最小值．37．（2024·宁夏银川·一模）如图1，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B，C−2，(1)求该抛物线的表达式；(2)点Q是抛物线对称轴l上一点，当AQ+CQ的值最小时，求出点Q的坐标及AQ+CQ的最小值；(3)如图2，若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求12PK+PD的最大值及此时点38．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y

(1)求该抛物线的表达式；(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2）线段差最大问题图形条件如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值.如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点,求|AD-BD|的最大值.结论当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长39．（2024·安徽滁州·二模）已知，在平面直角坐标系内，抛物线y=ax²+2x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且A(−1，(1)求抛物线与直线AC的解析式；(2)点P在抛物线的对称轴上，且使得PA−PC的值最大，过对称轴上的另一点Q任作与x轴不平行的直线l，交抛物线于点M，N，若△PMN的内心始终在抛物线的对称轴上，求点Q的坐标；(3)在（2）的条件下，已知点D是线段AC上(不含端点A，C)的一个动点，过点D作直线DEAB，交直线l于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，求线段DF的最小值．40．（2023·内蒙古兴安盟·一模）如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+1与直线交于A、E两点，与x轴交于B、(1)求该抛物线的解析式；(2)动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使AM−CM的值最大，求点M的坐标．41．（2023·湖北恩施·二模）如图，已知直线y=−2x+4分别交x轴、y轴于点B．抛物线过A，B两点．P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．

(1)若抛物线的顶点M的坐标为12,92，其对称轴交①求抛物线的解析式．②在抛物线的对称轴上找一点Q，使AQ−BQ的值最大，试求出点Q的坐标．③是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在，求出此时点P的坐标．(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，直接写出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．题型03二次函数周长最值问题无论是线段和的最小值或是周长的最小值，还是两条线段差的最大值等，解决该类问题的最基本依据就是“两点之间，线段最短”,基本模型就是最短路径问题，即“将军饮马问题”.解题方法就是通过轴对称作出对称点加以解决，若需要三边和最小，则需过两定点(即已知定长线段的两顶点)分别作出关于x轴与y的对称点，从而将三边转化到同一条直线上.42．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1，0，(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使△PAC的周长最小，求△PAC的周长的最小值及此时点P的坐标；(3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB的面积的最大值及此时点M的坐标.43．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx与抛物线y=ax2+c交于A8,6，B两点，点(1)求直线AB和抛物线的解析式；(2)点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的平行线，与直线AB交于点C，连接PO，设点P的横坐标为m；①若点P在x轴上方，当m为何值时，△POC是等腰三角形；②若点P在x轴下方，设△POC的周长为p，求p关于m的函数关系式，当m为何值时，△POC的周长最大，最大值是多少？44．（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AB(1)求该抛物线的函数解析式；(2)如图①，若点H是抛物线的顶点，在x轴上存在一点G，使△AHG的周长最小，求此时点G的坐标．(3)如图②，点P为直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作PM⊥AB交AB于点M，过点P作y轴的平行线交x轴于点N，求2PM+PN的最大值及此时点P45．（2024·甘肃天水·二模）如图，已知抛物线y=−x2+px+q的对称轴为直线x=−3，与y轴交于点Q，过其顶点M的一条直线y=ax+t(1)求抛物线的解析式．(2)求△QMN的面积．(3)在x轴上确定一点P，使△PMN的周长最小，并求出此时△PMN的面积．题型04二次函数面积最值问题解题思路：1.设动点P的坐标为，过点P做辅助线；2.利用水平宽铅锤高、割补法等，写出面积表达式(一般为二次函数的形式)；3.写出表示面积的二次函数的顶点式,求出最值,即可得到三角形面积的最大值.46．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数y=−x+5的图像与二次函数y=x2+bx+c的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数y=x2+bx+c的图像上的动点，且位于直线(1)求b、c的值；(2)求△PAB的面积的最大值．47．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线y=−x2+bx+4经过点A−4,0、B1,0，交y(1)求该抛物线的函数表达式；(2)当点P的坐标为−2,6时，求四边形AOCP的面积；(3)当∠PBA=45°时，求点P的坐标；(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接AE、AF、EF，判断△AEF的形状，并说明理由．48．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为−1,0(1)求该二次函数的解析式；(2)点P是抛物线在第四象限图象上的任意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的高PN的值为______．49．（2022·天津滨海新·二模）已知：抛物线y=−13x2+bx+c（b，c为常数），经过点A（－2，0），C(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；(3)设点M，N是该抛物线对称轴上的两个动点，且MN=2，点M在点N下方，求四边形AMNC周长的最小值．题型05将军饮马最值问题图示如图，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值.如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值.如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值.解题策略做B点关于直线m的对称点B'，连接DB',根据轴对称的性质，可知DB'=DB，所以，AD+BD=AD+DB'≥AB'，当且仅当A、D、B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的距离.做点P关于m1，m2的对称点P',P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离.做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB.1）单对称50．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−12x2+2x+2的图象与x轴、y轴分别交于A、B、C三点，点D是其顶点，若点P是x

51．（2023·四川泸州·二模）如图，抛物线y=−x2−3x+4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若点D为抛物线上一点且横坐标为−3，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则DE+EF2）多对称52．（2023·陕西西安·三模）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为．53．（2021·黑龙江大庆·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于除原点O和点A，且其顶点B关于x（1）求抛物线的函数表达式；（2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线y=ax2+bx+c上的任意一点G到定点F的距离与点G①证明上述结论并求出点F的坐标；②过点F的直线l与抛物线y=ax2+bx+c交于M,N两点．证明：当直线l绕点F（3）点C3,m是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点P,Q，使四边形PQBC周长最小，直接写出P,Q3）将军遛马54．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2−4x+3与y轴交于点A，与x轴的一个交点为点B，点B在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，CD=2，则四边形ABCD55．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且OA=OC，点M、N是直线x=−1上的两个动点，且MN=2（点N在点M的上方），则四边形BM+CN

56．（2021·新疆乌鲁木齐·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点C(0,3)，与x轴交于点A(−1,0)和点B（点B在点A（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）如图1，点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；（3）如图2，点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．

第三章函数重难点03二次函数的最值问题（2种命题预测+19种题型汇总+专题训练+10种解题方法）【题型汇总】类型一代数最值题型01定轴定区间最值问题解题方法：对于二次函数在m≤x≤n上的最值问题(其中a、b、c、m和n均为定值，表示y的最大值，表示y的最小值.1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在x=−b2）若m≤−b2a≤n，n+b2a＞3)若m≤−b2a≤n，n+b2a＜4)若m≤x≤n＜−b2a时，如图④，当，当5)若−b2a＜m≤x≤n时，如图⑤，当，当1．（2023·辽宁大连·中考真题）已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3A．−2 B．−1 C．0 D．2【答案】D【分析】把抛物线y=x2−2x−1化为顶点式，得到对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为−2，再分别求出x=0【详解】解：∵y=x∴对称轴为x=1，当x=1时，函数的最小值为−2，当x=0时，y=x2−2x−1=−1，当x=3∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，故选：D【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2024·山东济宁·一模）已知二次函数y=ax2−6ax+6a，若当2≤x≤5时，y的最大值是3，则a【答案】3或−1/−1或3【分析】本题考查二次函数的最值问题，分a>0,a<0，两种情况，结合二次函数的性质，进行求解即可．【详解】解：∵y=ax∴对称轴为直线x=−−6a当a>0时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，∵2≤x≤5，∴当x=5时，函数值最大为：25a−30a+6a=3，∴a=3，当a<0时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，∵2≤x≤5，∴当x=3时，函数有最大值为：9a−18a+6a=3，∴a=−1；故答案为：3或−1．3．（2023·江苏宿迁·模拟预测）已知二次函数y=ax−22+aa<0，当−4≤x≤1时，y的最小值为−74，则【答案】−2【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，根据函数解析式得到二次函数开口向下，对称轴为直线x=2，则离对称轴越远函数值越小，即可得到当x=−4时，y=−74，据此代值计算即可得到答案．【详解】解：∵二次函数解析式为y=ax−2∴二次函数开口向下，对称轴为直线x=2，∴离对称轴越远函数值越小，∵当−4≤x≤1时，y的最小值为−74，∴当x=−4时，y=−74，∴a−4−2解得a=−2，故答案为：−2．4．（2020·浙江杭州·模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c（1）求抛物线解析式；（2）当−2<x<2时，求函数值y的范围；【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）-4≤y＜5【分析】（1）把三点的坐标代入函数的解析式，得出方程组，求出方程组的解即可；（2）先得出抛物线的开口方向，对称轴，再结合x的范围得到y的最值．【详解】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（-1，0），B（3，0），C（4，5）三点，∴0=a−b+c0=9a+3b+c5=16a+4b+c，解得：∴二次函数的解析式是y=x2-2x-3；（2）抛物线的对称轴为直线x=−−21＞0，则开口向上，又∵−2<x<2，∴当x=1时，y取最小值，即ymin=-4；当x=-2时，y取最大值，即ymax=5，∴y的范围是-4≤y＜5．【点睛】本题考查了二次函数的顶点，二次函数的性质和用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．题型02利用对称轴与图像解决图系关系问题解题方法：开口方向不确定时，先讨论开口方向;1）开口向上时，离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大;2）开口向下时，离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小。5．（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数y=a（1）若a=−1,则函数y的最大值为．（2）若当−1≤x≤4时，y的最大值为5，则a的值为．【答案】41或−【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．（1）由题意可知此时二次函数为y=−x（2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线x=1，再分类讨论当a>0时和当a<0时，结合二次函数的图象和性质求解即可．【详解】解：（1）当a=−1时，该二次函数为y=−x∵a=−1<0，∴当x=1时，y有最大值，最大值为4．故答案为：4；（2）∵y=ax∴该二次函数的对称轴为直线x=1．当a>0时，抛物线开口向上，∴当−1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1<x≤4时，y随x的增大而增大．∵x轴上x=4到x=1的距离比x=−1到x=1的距离大，∴当x=4时，y有最大值，∴5=a4−1解得：a=1；当a<0时，抛物线开口向下，∴当x=1时，y有最大值，最大值为−4a，∴5=−4a，解得：a=−5综上可知a的值为1或−5故答案为：1或−56．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数y=a(x−2)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则aA．12或4 B．4或−12 C．−43或4【答案】B【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据二次函数的性质，在指定的范围内准确求出函数的最小值是解题的关键．分两种情况讨论：当a>0时，−a=−4，解得a=4；当a<0时，在−1≤x≤4，9a−a=−4，解得a=−1【详解】解：y=a(x−2)2−a顶点坐标为(2,−a)，当a>0时，在−1≤x≤4，函数有最小值−a，∵y的最小值为−4，∴−a=−4，∴a=4；当a<0时，在−1≤x≤4，当x=−1时，函数有最小值，∴9a−a=−4，解得a=−1综上所述：a的值为4或−1故选：B．7．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．【详解】解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），∵1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．题型03定轴动区间最值问题（区间有一端不确定）解题方法：对于二次函数中含有参数，对称轴不确定，要求在定区间m≤x≤n条件下函数的最值，那么就需要分别讨论对称轴x=−b2a1）轴在区间左侧：如图①，当−b2）轴在区间中间：如图②③，当m≤−b2a≤n，对称轴在区间中间，那么在区间内，y值先随着x的增大而减小，又随着x的增大而增大，所以，当x=3）轴在区间右侧：如图④，当−b8．（2022·四川资阳·中考真题）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=−1，且过点(0,1)．有以下四个结论：①abc>0，②a−b+c>1，③3a+c<0，④若顶点坐标为(−1,2)，当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为−2，此时m的取值范围是−3≤m≤−1A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】①：根据二次函数的对称轴−b2a=−1，c=1②：结合图象发现，当x=−1时，函数值大于1，代入即可判断；③：结合图象发现，当x=1时，函数值小于0，代入即可判断；④：运用待定系数法求出二次函数解析式，再利用二次函数的对称性即可判断．【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=−1∴−b2a=−1∴ab＞0，∴从图中可以看出，当x=−1时，函数值大于1，因此将x=−1代入得，−12⋅a+−1∵−b2a=−1，∴b=2a∴a+b+c＜0，∴∵二次函数y=ax2+bx+c∴设二次函数的解析式为y=ax+12+2，将(0,1)解得a=−1，∴二次函数的解析式为y=−x+1∴当x=1时，y=−2；∴根据二次函数的对称性，得到−3≤m≤−1，故④正确；综上所述，①②③④均正确，故有4个正确结论，故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数解析式等，熟练掌握二次函数的图象和性质是本题的关键．9．（2023·吉林长春·模拟预测）已知二次函数y=ax2+4ax−4(a>0)，当m<x≤0时，函数y值的最大值为−4，则m【答案】−4≤m<0【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，先求出对称轴，再求出0,−4对称点−4,−4，根据二次函数的性质求出m的取值范围．【详解】解：二次函数的对称轴x=−4a令y=0，y=−4，∴点0,−4关于直线x=−2的对称点为−4,−4，如图：∵a>0，∴开口向上，∵当m<x≤0时，函数y值的最大值为−4，∴−4≤m<0，故答案为：−4≤m<0．10．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数y=−x2−2x+3，当a⩽x⩽12时，函数值y【答案】−1−3/【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若a≥−1；若a<−1，即可求解．【详解】解：y=−x∴当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，若a≥−1，当a⩽x⩽12时，y随此时当x=12时，函数值y最小，最小值为若a<−1，当x=a时，函数值y最小，最小值为1，∴−a解得：a=−1−3或−1+综上所述，a的值为−1−3故答案为：−1−【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．11．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．【答案】(1)b＝-6，c=-3(2)x＝－3时，y有最大值为6(3)m＝－2或−3−【分析】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．【详解】（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−xc=−3−36−6b+c=−3，解得：b=−6（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝−x2−6x−3∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），∵-1＜0∴抛物线开口向下，

又∵-4≤x≤0，∴当x＝-3时，y有最大值为6．（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，①当-3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为-3，当x＝m时，y有最大值为−m∴−m∴m＝-2或m＝-4（舍去）．②当m≤-3时，当x＝-3时，y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，∴y最小值为-4，∴−(m+3)∴m＝−3−10或m＝−3+综上所述，m＝-2或−3−10【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．题型04定轴动区间最值问题（区间有两端不确定）12．（2024·浙江温州·三模）已知二次函数y=−x2−2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则mA．m≥−1 B．m≤2 C．−3≤m≤−1 D．0≤m≤2【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由y=−x2−2x+2=−x+12+3，可得当x=−1时，y取最大值是3，又当m≤x≤m+2时，函数【详解】解：由题意，∵y=−x∴当x=−1时，y取最大值是3．又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，∴m≤−1≤m+2．∴−3≤m≤−1．故选：C．13．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知二次函数y=−x（1）求二次函数图象的顶点坐标；（2）当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？（3）当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n，m-n=3求t的值．【答案】（1）3,4；（2）函数的最大值为4，最小值为0；（3）t=3−3或3【分析】（1）把二次函数y=−x（2）利用二次函数的图象和性质确定函数的最大值和最小值．（3）分t＜0；0≤t<3；t≥3三种情况，根据二次函数的性质和m-n=3列出关于t的方程，解之即可．【详解】（1）∵y=−x2+6x−5=−（2）∵顶点坐标为3,4，∴当x=3时，y最大值∵当1≤x≤3时，y随着x的增大而增大，∴当x=1时，y最小值∵当3<x≤4时，y随着x的增大而减小，∴当x=4时，y最小值∴当1≤x≤4时，函数的最大值为4，最小值为0．（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论．①当t+3<3时，即，t<0，y随着x的增大而增大．当x=t时，n=−t∴m−n=−t∴−6t+9=3，解得t=1（不合题意，舍去）．②当0≤t<3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴m=4．i）当0≤t≤32时，在x=t时，∴m−n=4−−∴t2−6t+9=3，解得t1ii）当32<t<3时在x=t+3时，∴m−n=4−−∴t2=3，解得，t1③当t≥3时，y随着x的增大而减小，当x=t时，m=−t当x=t+3时，n=−t+3∴m−n=−∴6t−9=3，解得t=2（不合题意，舍去）．综上所述，t=3−3或3【点睛】本题是二次函数综合题，考查抛物线的性质以及最值问题，有难度，并学会利用参数解决问题是解题的关键，属于中考常考题型．14．（2024·贵州六盘水·二模）已知二次函数图象的顶点坐标为1,−4，且图象经过点3,0，0,−3．(1)求二次函数的表达式(2)将二次函数的图象向右平移mm>0个单位，图象经过点1,−154(3)在由（2）平移后的图象上，当n−2≤x≤n+1时，函数的最小值为−3，求n的值．【答案】(1)y=(2)m=(3)−12【分析】本题考查了二次函数图像性质，求二次函数解析式，二次函数图像平移性质，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．（1）根据题意设二次函数解析式为y=ax−12−4（2）根据二次函数图像平移性质“左加右减，上加下减”，可得平移后二次函数解析式，再将其图象经过的点代入即可求得m的值；（3）由（2）可得平移后二次函数解析式，先求出函数取值为−3时，x的值，根据二次函数图像性质，可知x的取值在x2=12左侧或在【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为1,−4，设二次函数解析式为：y=ax−1∵二次函数图象经过点3,0，0,−3，∴−3=a0−1解得：a=1，∴二次函数解析式为y=x−1（2）解：将二次函数的图象向右平移mm>0二次函数解析式为y=x−1−m∵平移后二次函数图象经过点1,−15∴−15解得：m1=1∴m的值为12（3）解：由（2）可知：平移后二次函数解析式为y=x−32当函数取值为−3时，则有−3=x−解得：x1=5∵当n−2≤x≤n+1时，函数的最小值为−3，∴x的取值为x2=1①当x的取值为x2则有n+1=1解得：n=−1②当x的取值为x1则有n−2=5解得：n=9∴n的值为−12或15．（2024·云南昆明·一模）已知抛物线y=2a−3x2+4a+2(1)求抛物线的函数关系式；(2)记x在某个范围时，函数y的最大值为m，最小值为n，当t≤x≤t+3时，则m−n=3t，求t的值．【答案】(1)y=−(2)t的值为9−35【分析】本题考查了求二次函数关系式，二次函数的增减性和最值，解题的关键是熟练掌握相关知识点，具有分类讨论的思想．（1）根据抛物线的对称轴为直线x=3，得出−4a+222a−3（2）根据抛物线的性质得出当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小，再进行分类讨论：①当t+3<3即t<0时，y随x的增大而增大，x=t时，y有最小值n，x=t+3时，y有最大值m，即可解答；②当t>3时，x=t时，y有最大值m，x=t+3时，y有最小值n，即可解答；③当0≤t≤3时，t≤3≤t+3≤6，x=3时，y有最大值为5，则n=5−3t，当0≤t≤32时：−t2+6t−4=5−3t【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线x=3，∴−4a+2解得：a=1，经检验，a=1是分式方程的解，∴抛物线的函数关系式为：y=−x（2）解：y=−x∴对称轴为x=3，∴当x<3时，y随x的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小，①当t+3<3即t<0时，y随x的增大而增大，x=t时，y有最小值n，x=t+3时，y有最大值m，∴−t又m−n=3t，整理得−t+3解得t=1，又t<0，∴不符合题意，舍去；②当t>3时，x=t时，y有最大值m，x=t+3时，y有最小值n，∴−t又m−n=3t，整理得−t+3解得t=3，又t>3，∴不符合题意，舍去；③当0≤t≤3时，t≤3≤t+3≤6，∴x=3时，y有最大值为5，∴m=5，又m−n=3t，∴n=5−3t，当0≤t≤32时：解得t1=9+3当32<t≤3解得：t3=0（舍去），∴t的值为9−35综上，t的值为9−35题型05动轴定区间16．（2024·安徽池州·模拟预测）已知关于x的函数y=−x（1）当m=3时，该二次函数图象的顶点坐标为；（2）当−1≤x≤3时，函数有最小值m2，则m的值为【答案】3,180或2【分析】（1）运用配方法得到二次函数的顶点式，写出顶点坐标；（2）由于开口向下，根据对称轴位置分三种情况确定最小值的情况，分别代入计算即可解题．本题考查二次函数的性质，掌握二次函数的配方法求顶点坐标和函数的最值求法是解题的关键．【详解】（1）当m=3时，y=−x2+6x+9=−（2）抛物线对称轴为直线x=−−2m①当m=1时，且在−1≤x≤3时有最小值，根据二次函数对称性，当x=−1或x=3时，函数有最小值，不妨当x=−1时，最小值为m2，即可得到：−1−2m+9=m2，解得：m=2②当m>1时，且在−1≤x≤3时有最小值，则x=−1时，最小值为m2即可得到：−1−2m+9=m2，解得：m=2或–4，所以③当m<1时，且在−1≤x≤3时有最小值，则x=3时，最小值为m2即可得到：−9+6m+9=m2，解得：m=0或6，所以综上所述：m的值为0或2．17．（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数y=−x2+2ax−a2+2（a为常数，且a≠0），当A．－6 B．4 C．−6或0 D．0或−2【答案】D【分析】根据题意可知二次函数y=−x2+2ax−a2本题考查了二次函数的图象与性质，准确了解当−3≤x≤1时，函数的最值会发生变化，从而结合方程解决问题是关键．【详解】解：二次函数y=−∴该函数的对称轴为直线x=a，函数的最大值为2，当a>1时，x=1时，函数有最大值y=−1−ax=−3时，函数有最小值y=−−3−a∵当−3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，∴−1−a解得：a=1当a<−3时，x=−3时，函数有最大值y=−−3−ax=1时，函数有最小值y=−1−a∵当−3≤x≤1时，函数的最大值与最小值的差为9，∴−−3−a解得：a=−17当−3≤a≤1时，x=−3时，函数有最小值y=−−3−a2+2∴2−−解得：a=0或−6(舍去)，当−3≤a≤1时，x=1时，函数有最小值y=−1−a2+2∴2−−解得a=−2或4(舍去)，∴a=0或−2，故选：D．18．（2024·浙江嘉兴·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数且b>0，c<0），当−5≤x≤0时，−11≤y≤5，则c【答案】−10【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．由题意可知，函数图象的对称轴为x=−b2<0，求出x=−5，x=0，x=−b2时函数值，分两种情况：当−b2≤−5<0时，此时，当−5≤x≤0时，y随x增大而增大；当−5<−b2<0时，即b<10，此时，当−5≤x≤−b2【详解】解：∵二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数且b>0∴函数图象的对称轴为：x=−b当x=−5时，y=25−5b+c，当x=0时，y=c，当x=−b2时，①当−b2≤−5<0时，此时，当−5≤x≤0时，y∴25−5b+c=−11c=5，与c<0②当−5<−b2<0此时，当−5≤x≤−b2时，y随x增大而减小，当−b2<x≤0∴c−b24或c−b24=−1125−5b+c=5，则c=5b−20解得：b=18或2，当b=18时，c=5b−20=70>0，不符合题意；当b=2时，c=5b−20=−10，符合题意；综上，c的值为−10，故答案为：−10．题型06动轴动区间的最值问题19．（2024·云南昭通·二模）已知关于x的二次函数y=−x2+2mx+n（m(1)若m+n=1，试说明该函数图象与x轴必有两个不同的交点；(2)若m−1≤x≤m+k(k>0)时，函数的最大值为p，最小值为q，且p−q=3k，求k的值．【答案】(1)证明见解析(2)k=13【分析】此题是二次函数的综合题，考查二次函数图象与x轴交点问题，二次函数的最值问题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．（1）由m+n=1得n=1−m，代入得函数解析式为y=−x（2）确定抛物线的对称轴为直线x=m，开口向下，最大值为m2+n，再分两种情况当0<k<1时，当k≥1时，求出【详解】（1）证明：∵m+n=1，∴n=1−m，∴y=−∵Δ∴该函数图像与x轴必有两个不同的交点；（2）∵二次函数y=−x2+2mx+n（m∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=−把x=m代入y=−x2+2mx+n∴抛物线的顶点坐标为m,m∴当m−1≤x≤m+k(k>0)时，函数的最大值为p=若0<k<1，则x=m−1时函数有最小值，且函数最小值，q=−(m−1)∴p−q=m2若k≥1，则x=m+k时函数有最小值，且函数最小值q=−∴p−q=m2+n−m2综上所述，k=13或20．（21-22九年级下·吉林长春·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=x2+mx+2m（m为常数，m<0），若对于任意的x满足m≤x≤m+2，且此时x【答案】−2−22/【分析】将二次函数解析式化为顶点式，由抛物线对称轴与开口方向分类讨论顶点为图象最低点或直线x=m+2与抛物线交点为最低点，进而求解．【详解】解：∵y=x∴抛物线开口向上，顶点坐标为−m当m<−m2<m+2−m当m+2≤−m2，即将x=m+2代入y=x2+mx+2m令2m解得m=−2+22（舍去）或m=−2−2故答案为：−2−22【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，能利用分类讨论思想解答．题型07动轴动区间参数取值范围问题21．（24-25九年级上·北京丰台·期中）在平面直角坐标系xOy中，点Px1,(1)当ℎ=1时，求抛物线的对称轴；(2)若对于0≤x1≤2，ℎ+4≤x2【答案】(1)直线x=1(2)当a>0时，ℎ的取值范围为ℎ≤−5或ℎ≥7；当a<0时，ℎ的取值范围为−2≤ℎ≤4【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和抛物线的对称轴，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．（1）将ℎ=1代入解析式，然后将二次函数的解析式化为顶点式求解即可得；（2）根据题意分两种情况讨论：a>0和a<0，利用二次函数的性质分别列出不等式（组）求解即可得．【详解】（1）解：当ℎ=1时，抛物线的表达式为y=ax∴y=ax−1∴抛物线的对称轴为直线x=1．（2）解：∵抛物线y=ax2−2aℎx+aℎ2+1=ax−ℎ∴点Qx2,y2一定在对称轴的右侧，x=ℎ−4时的函数值与x=ℎ+4由题意，分以下两种情况：①当a>0时，若点P在对称轴的右侧，要使对于0≤x1≤2，ℎ+4≤则ℎ+5≤0，解得ℎ≤−5；若点P在对称轴的左侧，要使对于0≤x1≤2，ℎ+4≤则ℎ−5≥2，解得ℎ≥7；②当a<0时，要使对于0≤x1≤2，ℎ+4≤则ℎ+4≥2ℎ−4≤0解得−2≤ℎ≤4，综上，当a>0时，ℎ的取值范围为ℎ≤−5或ℎ≥7；当a<0时，ℎ的取值范围为−2≤ℎ≤4．22．（22-23九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−(1)求抛物线的顶点坐标（用含n的代数式表示）；(2)点Px1,y1，Q①若y1的最大值是2，求y②若对于x1，x2，都有y1【答案】(1)(n,−n)(2)①y1的最小值是−2，②n≤1或者【分析】（1）y=−x2+2nx−（2）①y=−x2+2nx−n2−n=−(x−n)2−n，根据a=−1<0得抛物线开口向上，当n−2<n<n+1，当x1=2时，y1有最大值2，即可得n=−2，所以−4≤x1≤−1，此时，y=−(x+2)2

②y=−x2+2nx−n2−n=−(x−n)2−n的对称轴为x=n，即可得当x>n时，y随x的增大而减小，当n+1≤3−n时，y1≥y2，当x<n时，y随x【详解】（1）解：y=−x则抛物线的顶点坐标为(n,−n)；（2）解：①y=−x∵a=−1<0，∴抛物线开口向上，∵n−2<n<n+1，∴当x1=2时，2=−n，n=−2，∴−4≤x此时，y=−(x+2)2+2对称轴为x=−2，在x<−2时，y随x的增大而减小，∴当x1=−4时，y1有最小值：②∵y=−x2+2nx−∴当x>n时，y随x的增大而减小，当n+1≤3−n时，y1当x<n时，y随x的增大而增大，当n−2≥3−n时，y1即n+1≤3−n，解得，n≤1，n−2≥3−n，解得，n≥5综上，n的取值范围：n≤1或n≥5【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质．类型二几何最值问题题型01二次函数中的线段最值问题平行于坐标轴的线段的最值问题，常常用线段两端点的坐标差表示线段长对应的函数表达式，然后运用二次函数的性质求最值.解决这类问题的关键如下：①确定线段长对应的函数表达式，当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标；当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标；②确定函数的最值，注意函数自变量的取值范围.注意：单线段最值求解时一定要保证线段是非负的.1）铅垂线段的求法-横坐标相同23．（2024·内蒙古乌海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B(1)求抛物线的解析式；(2)设该抛物线的顶点为点H，求△BCH的面积；(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=(2)3(3)94，(4)存在，P10,0，P26−3【分析】（1）由直线y=−3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点C，得A(−1,0)、C(0,−3)，将A(−1,0)、C(0,−3)代入y=x2+bx+c，列方程组求b、c（2）设抛物线的对称轴交BC于点F，求直线BC的解析式及抛物线的顶点坐标，再求出点F的坐标，推导出S△BCH=1（3）设点E的横坐标为x，用含x的代数式表示点E、点M的坐标及线段ME的长，再根据二次函数的性质求出线段ME的最大值及点M的坐标；（4）在x轴上存在点P，使以点M、B、P为顶点的三角形是等腰三角形．由（3）得D32,0，M32,−32，由勾股定理求出OM=BM=322【详解】（1）解：∵直线y=−3x−3与x轴、y轴分别交于点A、C，∴A(−1,0)，C(0,−3)，∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(−1,0)∴1−b+c=0c=−3解得b=−2c=−3∴抛物线的解析式为y=x（2）解：设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G．设直线BC的解析式为y=kx−3，则3k−3=0，解得k=1，∴y=x−3；∵y=x∴抛物线的顶点H(1,−4)，当x=1时，y=1−3=−2，∴F(1,−2)，∴FH=−2−(−4)=2，∴S（3）解：设Ex,x2∴ME=x−3−(x∴当x=32时，ME（4）解：存在．如图3，由（2）得，当ME最大时，则D32,0∴DO=DB=DM=3∵∠BDM=90°，∴OM=BM=(点P1、P2、P3、P当点P1与原点O重合时，则P1M=BM=当BP2=BM=∴P当点P3与点D重合时，则P3M=当BP4=BM=∴P综上所述，P10,0，P26−3【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、等腰三角形的判定、用待定系数法求函数解析式、求抛物线的顶点坐标以及勾股定理、二次根式的化简等知识和方法，解最后一题时要注意分类讨论，求出所有符合条件的点P的坐标．24．（2024·山西·二模）如图，抛物线y=−13x2+43x+4与x轴交于A，B两点（点A在点(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出线段BC所在直线的函数表达式；(2)点P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交BC于点N求线段PN长的最大值．【答案】(1)A−2,0,B6,0,C(2)3【分析】（1）分别令x=0,y=0，解方程即可得到A，B，C三点的坐标，再利用待定系数法即可求出线段BC所在直线的函数表达式；（2）根据题意，结合（1）线段BC所在直线的函数表达式，设点P的坐标为m,−13m2+43【详解】（1）解：在y=−1令x=0，则y=4，∴点C的坐标为0,4，令y=0，则−1即x2解得：x=−2或x=6，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为−2,0，点B的坐标为6,0，设线段BC所在直线的函数表达式为y=kx+b，将点B6,0,C0,4代入y=kx+b解得：k=−2∴线段BC所在直线的函数表达式为y=−2（2）解：∵点P在抛物线y=−1∴设点P的坐标为m,−1∵PM⊥x轴交BC于点N，∴点N的坐标为m,−2∵点P在线段BC上方的抛物线上，∴0<m<6且PN=PM−NM=−1∵−13<0∴当m=3时，PN有最大值，线段PN长的最大值为3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和一次函数的性质进行解题．25．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图像经过原点和点A4,0．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m．①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=−x2(2)①当m=52时，PD有最大值为94；②当P的坐标为2,4或3,3时，△BPD【分析】（1）把0,0，A4,0，B1,3代入y=ax2+bx+ca≠0求解即可，利用待定系数法求出直线AB解析式，然后令（2）①根据P、D的坐标求出PD，然后根据二次函数的性质求解即可；②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出∠PDB=∠ACO=45°，然后分△PBD∽△OAC，△PBD∽△AOC两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可．【详解】（1）解：把0,0，A4,0，B1,3代入得c=016a+4b+c=0解得a=−1b=4∴二次函数的解析式为y=−x设直线AB解析式为y=mx+n，则4m+n=0m+n=3解得m=−1n=4∴直线AB解析式为y=−x+4，当x=0时，y=4，∴C0,4（2）解：①设Pm,−m2∴PD=−=−=−m−∴当m=52时，PD有最大值为②∵A4,0，C∴AO=CO=4，又∠AOC=90°，∴∠ACO=∠AOC=45°，又PD⊥x轴，∴PD∥∴∠PDB=∠ACO=45°，当△PBD∽△OAC时，如图，∴∠BPD=∠AOC=90°，∴BP∥∴P的纵坐标为3，把y=3代入y=−x2+4x解得x1=1，∴m=3，∴−m∴P的坐标为3,3；当△PBD∽△AOC时，如图，过B作BF⊥PD于F，则BF=m−1，∠PBD=∠AOC=90°，又∠BDP=45°，∴∠BPD=45°=∠BDP，∴BP=BD，∴PF=DF，∴BF=1∴m−1=1解得m1=2，∴−m∴P的坐标为2,4综上，当P的坐标为2,4或3,3时，△BPD与△AOC相似．【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键．2）水平相等的求法-纵坐标相同26．（2024·江西九江·二模）已知一次函数y=−12x+m2(1)当m=0时，求两个函数图象的交点坐标．(2)如果两个函数图象没有交点，求m的取值范围．(3)如图，当m=−1时，点P和点Q分别是两个函数图象上的任意一点．①当PQ∥y轴时，求②当PQ∥x轴时，求PQ的最小值．【答案】(1)(0,1)或1(2)m<−(3)①716；②【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点问题；（1）当m=0时，一次函数为y=−12x+1，（2）联立解析式，根据一元二次方程根的判别式的意义，即可求解；（3）当m=−1时，一次函数为y=−12①设Pa,−12②设Pa−1【详解】（1）解：（1）当m=0时，一次函数为y=−12联立方程组y=−解得x1=0，∴交点坐标为0,1或12（2）由y=−得x∵两个函数图象没有交点，∴Δ得m<−（3）当m=−1时，一次函数为y=−12x+2，①∵PQ∥y轴设Pa,∴PQ=∴当a=−34②设P∵PQ∥∴−∴a=2b²+4b+2．∴PQ=a−b=∴当b=−3427．（23-24九年级下·重庆·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−3（a≠0）过点A−1,0、B3,0

(1)求抛物线的表达式：(2)点P为第四象限内抛物线上一动点，过点P作PE∥x轴交直线BC于E，F为直线BC上一点，且∠FPE=∠CAB，求EF的最大值及此时点(3)在（2）问的前提下，在抛物线对称轴上是否存在点M，使∠BMP的度数最大，若存在，请写出M点的坐标，并做详细解答．【答案】(1)y=(2)EF的最大值为27216(3)M【分析】（1）用待定系数法，将点A，点B坐标代入y=ax（2）先证明△FHP≌△AOC，得出FHPH=COAO=3，设Pm,m2−2m−3，求出Em2（3）利用圆周角定理判断出当△BPM的外接圆与对称轴相切时，∠BMP的度数最大，然后设M1,n，O'x,y【详解】（1）解：将点A−1,0，点B3,0代入0=a⋅−12+b⋅故抛物线的解析式为：y=x（2）解：当x=0时，y=−3，∴C0,−3∴CO=3，∵A−1,0，∴AO=1，BO=3，设直线BC解析式为y=kx+b则3k+b'=0∴直线BC解析式为y=x−3，过点F作FH⊥EF于H，

∴∠FHP=∠AOC=90°，又∠FPE=∠CAB，∴△FHP≌△AOC，∴FHPH设Pm,∵PE∥∴点E的纵坐标为m2代入y=x−3，得m2−2m−3=x−3，解得∴Em∴PE=m−m∵BO=CO=3，∠BOC=90°，∴∠OBC=45°，∵PE∥∴∠BEP=∠OBC=45°，∴△EFH是等腰直角三角形，∴FH=EH，EF=2∴EHPH∴PH=1∵PE=PH+EH=1∴EH=3∴EF=2∴当m=32时，EF取最大值为此时m2∴EF的最大值为27216，（3）解：∵y=x∴对称轴为x=1，作△BPM的外接圆，记为⊙O

∵点M在对称轴上运动，∴对称轴与⊙O设⊙O'与对称轴相切于M，在对称轴上另取一点M'，连接BM'，PM'，BN，O则∠BMP=∠BNP，由∠BNP>∠BM∴∠BMP>∠BM∴当⊙O'与对称轴相切时，此时O'设M1,n，O'∵MO∴x−12整理得n2解得n1=−10−∴M【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是：（1）熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，（2）用含字母的式子表示点坐标和相关线段的长度，熟练掌握求二次函数最值，（3）利用圆周角定理找到符合已知条件的点M的位置．28．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的交点分别为A和B1,0（点A在点B的左侧），与y轴交于点C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P作x轴平行线交AC于点E，过点P作y轴平行线交x轴于点D，求PE+PD的最大值及点P的坐标；(3)如图2，设点M为抛物线对称轴上一动点，当点P，点M运动时，在坐标轴上确定点N，使四边形PMCN为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标．【答案】(1)y=−(2)PD+PE的最大值为498，点P的坐标为(3)符合条件的N点坐标为：N0,4或【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）先求得直线AC的解析式，设Pm,−m2−2m+3，则PE=−m（3）先求得抛物线的顶点P−1，4，对称轴为x=−1，分当点N在y轴上和点N在x轴负半轴上时，两种情况讨论，当点N在x轴负半轴上时，证明△CMG∽△NCO，求得CG=−13t，再证明△CMG≌△PNH，求得点【详解】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点B(1,0)，与−1+b+c=0解得b=−2抛物线的解析式为：y=−x（2）解：当y=0时，0=−x解得x1=−3，∴A(−3,0)，设直线AC的解析式为：y=kx+nk≠0把A−3,0，C0,3代入得：解得k=1∴直线AC的解析式为y=x+3，设Pm,−∵PE∥∴点E的纵坐标为−m又∵点E在直线AC上，∴−m2−2m+3=x+3∴E−∴PE=−m∵PD∥y轴，∴PD=−m∴PD+PE=−m∵−2<0，−3<m<0，∴当m=−54时，PD+PE有最大值，最大值为当m=−54时，∴点P的坐标为−5答：PD+PE的最大值为498，点P的坐标为−（3）解：y=−x则抛物线的顶点P−1，4情况一：当点N在y轴上时，P为抛物线的顶点，∵四边形PMCN为矩形，∴N与P纵坐标相同，∴N0,4情况二：当点N在x轴负半轴上时，四边形PMCN为矩形，过M作y轴的垂线，垂足为G，过P作x轴的垂线，垂足为H，设Nt,0，则ON=−t∴∠MCN=∠CNP=90°，CM=NP，∴∠MCG+∠OCN=90°，∵∠ONC+∠OCN=90°，∴∠MCG=∠ONC，又∵∠CGM=∠CON=90°，∴△CMG∽△NCO，∴CGON∵抛物线对称轴为x=−1，点M在对称轴上，C0,3∴MG=1，OC=3，∴CG−t=1∵∠MCG+∠CMG=90°，∠ONC+∠PNH=90°，∴∠CMG=∠PNH，∴△CMG≌△PNH，∴NH=MG=1，HP=CG=−1∴OH=ON+NH=−t+1，∴点P的坐标为t−1,−1∵点P在抛物线上，∴−1解得t1=1−∴N1−综上所述：符合条件的N点坐标为：N0,4或N【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，相似三角形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是方程思想的应用．3）斜线段的求法-化斜为直

29．（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于点A，B，C(1)求a，(2)若点D在线段AB上，过点D作DE∥AC，交抛物线y=ax2+bx+3于点E(3)若点D在x轴上，点E在抛物线上，当A，D，【答案】(1)a=−(2)DE的最大值为25(3)点D的坐标为−32【分析】（1）根据待定系数法求解析式即可；（2）过点E作EF⊥x轴，将EF的长度用二次函数表示，即可求出EF最大值，从而求得线段DE的最大值；（3）分两种情况进行讨论，求出点D的坐标．【详解】（1）解：由题意可得点A的坐标为−3,0，∴−b解得a=−2（2）解：过点E作EF⊥x轴于点F，当x=0时，y=3，∴点C的坐标为0,3，OC=3，当y=0时，x1=−3，∴点B的坐标为92∴OA=OC，∠CAO=45°，∵DE∥AC，∴∠EDB=45°，∴△DEF为等腰直角三角形，DE=2∵点E在抛物线y=−2∴设Em,−∴EF=−2∵−2∴当m=34时，EF的最大值为∴DE的最大值为258（3）解：设Em,−情况一：当CE∥AD时，过点E作EF⊥x轴于点F，AC=DE=32∵DE=2EF，∴2×解得m1=0（舍去），∴OF=32，∴DO=32，情况二：当CD∥AE时，过点E作EF⊥x轴于点F，AC=DE=32∵DE=2EF=2∴2×解得m1=−9∴F6,0，D综上所述，点D的坐标为−32,【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数最值问题，二次函数