北师大版七年级数学上册专项复习：基本平面图形（知识归纳+题型突破）（解析版）

第四章基本图形

课标要求

1.通过丰富的实例，认识线段、射线、直线、角等简单平面图形.

2.能用符号表示角、线段;理解与多边形和圆有关的概念.

3.会进行线段或角的比较,能估计一个角的大小，认识度、分、秒，会进行角的单位换算.

4.初步培养学生的识图能力、语言表达能力及逻辑思维能力.

基础知识归纳

知识点1直线、射线与线段的概念

端点

类型图例表示方法书写规范

个数

直线直线43或直线

./.0个两个大写字母无顺序

A4或直线/

AB

两个大写字母中的第一个表

_/

射线・・射线。/或射线/1个

AB示端点

________1_______.线段AB或线段

线段2个两个大写字母无顺序

AB或线段/

注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能延

伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。

知识点2:基本事实

1.经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线

2.两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短

知识3：线段的性质

两点之间的线段中，线段最短，简称：两点间线段最短。

知识点4：基本概念

1.两点间的距离：两个端点之间的长度叫做两点间的距离。

2.线段的等分点：把一条线段平均分成两份的点，叫做这个线段的中点

知识5：双中点模型:

C为AB上任意一点，M、N分别为AC、BC中点，贝ljMN=-AB

2

知识点6：角的概念

1.角的定义：

(1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两

条边.如图1所示，角的顶点是点0,边是射线0A、0B.

(2)定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.如图2

所示，射线0A绕它的端点0旋转到0B的位置时，形成的图形叫做角，起始位置0A是角的始边，终止位置

0B是角的终边.

注意：

(1)两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关.

(2)平角与周角：如图1所示射线0A绕点0旋转，当终止位置0B和起始位置0A成一条直线时，所形成

的角叫做平角，如图2所示继续旋转，0B和0A重合时，所形成的角叫做周角.

BoA0A(B)

平角周角

图1图2

2•角的表示法：角的几何符号用表示，角的表示法通常有以下四种:

表示方法图示记法适用范围

乙AOB任何情况都适

(1)用三个大

或用，表示顶点的

写字母表示上

0B乙BOA字母写在中间

以某一点为顶点

(2)用一个大的角只有一个

40

写字母表示/时，可以用顶点

O

表示角

(3)用阿拉

41任何情况都适用

伯数字表示/

(4)用希腊字

Z.Q任何情况都适用

母表示

注意：

用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母.

3.角的画法

(1)用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角.

(2)用量角器可以画出任意给定度数的角.

(3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角.

知识点7：角度制及其换算

角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1。的角，1°的,为1分,

60

记作“1'”，1'的二-为1秒，记作“1〃这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.

60

1周角=360°,1平角=180°,1°=60',1'=60".

注意：

在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高

一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位.

知识点8：钟表上有关夹角问题

钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°,时针每小时转30°,

时针1分钟转0.5。，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.

知识点9：方位角

在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线0A的方向是北偏东60°；射线

0B的方向是南偏西30°.这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角.

(1)正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示.

(2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°”.

(3)在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的

正东、正西、正南、正北的方向.

(4)图中的点。是观测点，所有方向线(射线)都必须以。为端点.

知识点10：角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是/

A0B的角平分线，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,

ZAOC=ZBOC=-ZA0B.

2

/A

2

OB

注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样.

知识点11:角的运算

如图所示，/AOB是/I与/2的和，记作：ZAOB=Z1+Z2；/I是/AOB与/2的差，记作：Zl=

ZA0B-Z2.

注意：

（1）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；②重合（一边与刻度尺上的

零度线重合）；③读数（读出另一边所在线的度数）.

（2）利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°,75°,

105°,120°,135°，150°,165°的角.

知识点12：角的比较

角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种.

方法1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.

方法2：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.

如比较/AOB和/A，0，B'的大小：如下图，由图（1）可得NAOBC/A，（TB7；由图（2）可得/A0B=

/A'O'B'；由图（3）可得NAOB>/A'O'B'.

知识点13：多边形及正多边形

1.定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.其中，各边相等、

各角也相等的多边形叫做正多边形.如下图:

五边形正六边形

2.正多边形

1.各个角都相等,各条边都相等的多边形叫做正多边形

2.正多边形的每个内角（仁2）x180。

n

3.正多边形每个外角的度数：卫360-°

n

(3)平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖,叫做用多边形覆盖平面。

3.相关概念：

顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.

边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角(可简称为多边形的

一个n边形有n个内角.

外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.

对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.

多边形公式

l.n边形一个顶点的对角线数：n-3

2.n边形的对角线总数：n(n-3)

2

3.n边形的外角和：360°

4.补充拓展：n边形截去一个角后得到n/n-l/n-2边形

知识点14：圆及扇形

1.圆的定义

如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆,

固定的端点叫做圆心，线段0A叫做半径.

注意:

①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.

②圆是一条封闭曲线.

2.扇形

(1)圆弧：圆上任意两点A,B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作注3,读作“圆弧AB”或“弧AB”.如

下图:

B

（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA,0B所组成的图形叫做扇形.

注意：圆可以分割成若干个扇形.

（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.如上图，NAOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.

（4）扇形的弧长和面积

扇形：（1）弧长公式：/=竺的;（2）扇形面积公式：S=^-=-lR

1803602

n：圆心角R：扇形多对应的圆的半径/：扇形弧长S：扇形面积

重要题型

【题型1直线、射线与线段】

【典例1]（2022秋•辛集市期末）下列几何图形与相应语言描述相符的是（）

CAB

图1

A.如图1所示,延长线段m到点C

B.如图2所示,射线C3不经过点A

C.如图3所示,直线。和直线6相交于点A

D.如图4所示,射线CD和线段AB没有交点

【答案】C

【解答】解：4、点C在线段的延长线上，故A不符合题意;

B、射线不经过点4故3不符合题意;

C、直线。和直线。相交于点A,正确，故C符合题意;

D、射线CD和线段A3有交点，故。不符合题意，

故选：c.

【变式1-1］（2023春•泰安期中）下列说法中，正确的是（)

A.射线和射线表示同一条射线

B.射线有两个端点

C.线段A3和线段m表示同一条线段

D.射线A3和线段A3对应同一图形

【答案】C

【解答】解：4、射线和射线表示同一条射线错误，故本选项错误;

B、射线”尸有一个端点胆，故本选项错误；

C、线段A3和线段A4表示同一条线段正确，故本选项正确；

D、射线A3和线段对应同一图形错误；故本选项错误.

故选：C.

【变式1-2］（2023•任丘市校级模拟）下列各选项中的射线ER和直线A3能相交的是（）

【答案】B

【解答】解：射线跖和直线A3能相交的是选项3中的图形.

故选：B.

【变式1-3］（2023春•环翠区期中）如图，下列不正确的说法是（）

OAB

A.直线A3与直线A4是同一条直线

B.线段A3与线段痴是同一条线段

C.射线与射线A3是同一条射线

D.射线与射线是同一条射线

【答案】C

【解答】解：4、直线A3与直线A4是同一条直线，故本选项不符合题意；

B、线段A3和线段A4是同一条线段，故本选项不符合题意；

C、射线与射线不是同一条射线，故本选项符合题意；

。、射线与射线是同一条射线，故本选项不符合题意；

故选：C.

【题型2直线的性质】

【典例2】（2023•婺城区模拟）如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个

B.两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离

C.经过两点有且只有一条直线

D.两点之间，线段最短

【答案】C

【解答】解：因为“两点确定一条直线”，所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定.

故选：C.

【变式2-1］（2022秋•衡东县期末）平面上有不同的三个点，经过其中任意两点画直线，一共

可以画（）

A.1条B.2条C.3条D.1条或3条

【答案】D

【解答】解：如图，经过其中任意两点画直线可以画3条直线或1条直线，

故选：D.

【变式2-2］（2022秋•泸县期末）小红家分了一套住房，她想在自己的房间的墙上钉一根细木

条，挂上自己喜欢的装饰物，那么小红至少需要几根钉子使细木条固定（）

A.1根B.2根C.3根D.4根

【答案】B

【解答】解：根据直线的性质，小红至少需要2根钉子使细木条固定.只有3符合.

故选：B.

【变式2-3］（2022秋•莘县期末）如图，建筑工人在砌墙时，为了使砌的墙是直的，经常在两

个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的细线绳作参照线.这样做的依据是：两

点确定一条直线.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的

参照线，

这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线.

故答案为：两点确定一条直线.

【题型3线段的应用】

【典例3】（2023春•高青县期中）如图，A3是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点

表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（）

।।।।।

ABCDE

A.10B.11C.18D.20

【答案】D

【解答】解：图中线段有A3,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10条，单

程要10种车票，往返就是20种，即5X（5-1）=20,

故选：D.

【变式3-1］（2022秋•鄂城区校级期末）如图，在线段AD上有两点5,C,则图中共有

条线段，若在车站A,D之间的线路中再设两个站点B、C,则应该共印刷种车票.（）

I______I____________________I___________I

ABCD

A.3,3B.3,6C.6,6D.6,12

【答案】D

【解答】解：从A开始的线段有：AB,AC,AD；从3开始的线段有：BC,BD；从C开始

的线段有：CD,

・•.在线段AD上有两点3,C,则图中共有6条线段；

由于车票从A到B和从8到A是不同的，所以车票的数量是线段条数的2倍，故需要12

种车票，

故选：D.

【变式3-2］（2022秋•普宁市期末）由汕头开往广州东的D75H动车，运行途中须停靠的车站

依次是：汕头一潮汕一普宁一汕尾一深圳坪山一东莞一广州东.那么要为。75n动车制作

的车票一共有（）

A.6种B.7种C.21种D.42种

【答案】C

【解答】解：6+5+4+3+2+1=21（种）.

故要为D7511动车制作的车票一共有21种.

故选：C.

【变式3-3］（2022秋•婺城区期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每

两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）

A.20种B.15种C.10种D.5种

【答案】A

【解答】解：需要印制不同的火车票的种数是：2（1+2+3+4）=20（种）.

故选：A.

【题型4作图-直线射线和线段】

【典例4】（2022秋•沈丘县月考）如图，平面上有三个点A,B,C.

（1）根据下列语句画图：作出射线AC,CB,直线A&在射线C3上取一点。（不与点C

重合），使BD=BC；

（2）在（1）的条件下，回答问题：

①用适当的语句表述点。与直线A3的关系：点D在直线43外；

②若BD=3,则CD=6.

A•

•B

C

【答案】(1)见解答；

(2)①点。在直线A5外；②6.

【解答】解：(1)如图，射线AC,CB,直线A&射线上一点D；

(2)①点。与直线A3的关系：点。在直线A3外；

故答案为：点。在直线A3外；

②•：BD=BC,BD=3,

：.CD=2BD=2X3=6.

故答案为：6.

【变式4-1](2022秋•馆陶县期末)如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列

要求作图(不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后必须

使用黑色字迹的签字笔描黑)：

(1)作射线A&

(2)作直线AC与直线5。相交于点。；

(3)在射线A3上作线段AC,使线段AC'与线段AC相等.

.D

A,

B・*C

【答案】见试题解答内容

【解答】解:(1)作射线A3,如图所示；

(2)作直线AC与直线3。相交于点。，如图所示；

(3)作法：以A为圆心，线段的长为半径，在射线A3上画弧，交射线A3于。，

线段AC就是所求.

B,

【变式4-2］（2022秋•新丰县期末）已知平面上四点A、B、C、D,如图:

（1）画直线AD；

（2）画射线3C,与AD相交于。；

（3）连接AC、3。相交于点色

4

D

R9V

【答案】见试题解答内容

【解答】解：如图所示：

【题型5线段的性质】

【典例5】（2022秋•衡山县期末）某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），

发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）

A.两点确定一条直线

B.点动成线

C.直线是向两方无限延伸的

D.两点之间线段最短

【答案】D

【解答】解：某同学用剪刀沿直线将一片平整的银杏叶剪掉一部分（如图），发现剩下的银

杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是：两点之间所有连

线中，线段最短，

故选：D.

【变式5-11（2022秋•吉州区期末）曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了桥的长度，

也增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光，其中蕴含的数学道理是

（）

A.两点之间，线段最短

B.两点确定一条直线

C.经过一点可以作无数条直线

D.连接两点间线段的长度叫做两点间的距离

【答案】A

【解答】解：曲桥是我国古代经典建筑之一，它的修建增加了桥的长度，也增加了游人在

桥上行走的路程，有利于游人更好地观赏风光，其中蕴含的数学道理是两点之间，线段最

短，故A正确.

故选：A.

【变式5-2］（2023春•文山市期末）把一条弯曲的高速路改为直道，可以缩短路程，其道理用

几何知识解释应为（）

A.两点确定一条直线

B.两点之间，线段最短

C.垂线段最短

D.平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【答案】B

【解答】解：要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为两点间线段最

短.

故选：B.

【变式5-3］（2023•新华区模拟）如图，从A地到3地的四条路线中，路程最短的是（）

【答案】C

【解答】解：从A地到5地的四条路线中，3是一条线段，

路程最短的是3.

故选：C.

【题型6两点间距离】

【典例6】（2023秋•龙城区校级月考）如果A、3、C在同一直线上，线段A3=4c/n,BC=8cm,

那么A、C两点间的距离是（）

A.12cmB.8cmC.4cmD.4c机或12c/n

【答案】D

【解答】解：①点3在A、C之间时，

ABC

AC=AB+BC—4+S—12（cm）.

②点C在A4延长线上时，

CA'B

AC=BC-AC=8-4=4（cm）.

所以A、C两点间的距离是12cm或4c/n.

故选：D.

【变式6-1］（2022秋•新兴县期末）如图，点C是线段A3上的点，点。是线段3c的中点,

AB=10,AC=6,则线段CD的长是（）ACD%

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解答】解：*.•AB=10,AC=6,

：.BC=AB-AC=10-6=4,

又：点。是线段BC的中点，

：.CD=1BC=1X4=2.

22

故选：C.

【变式6-2］（2022秋•绥宁县期末）如图，AB=12,C为A3的中点，点。在线段AC上，且

AD：CB=1：3,则。3的长度为（）

।।______।___________।

ADCB

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【解答】解：已知AB=12,。为A3的中点，

.1

••AC=BC=jAB=6）

VAD：CB=1：3,

•1

••AD若加=2，

O

：.BD=AB-AD=12-2=10.

故选：D.

【变式6-3］（2022秋•交口县期末）直线上有A,B,C三点，已知AB=8cm,BC=2cm,则

AC的长是（）

A.10cmB.6cmC.10c机或6c机D.不能确定

【答案】C

【解答】解：根据题意可得，如图1,

|II

ABC

图1,

AC=AB+BC=8+2=10(cm)；

如图2,

图2,

AC-AB-BC=8-2=6（cm）.

所以AC的长是10cm或6cm.

故答案为：C.

【题型7比较线段长短】

【典例7］（2023•馆陶县校级模拟）如图，用圆规比较两条线段的大小，其中正确的是（）

Iy

NB'C

A.A'B'>A'CB.A'B'=A'CC.A'B'<A'CD.不能确定

【答案】C

【解答】解：如图用圆规比较两条线段的大小，A‘B'<A'C,

故选：C.

【变式7-1］（2022秋•肥东县期末）如图，若AB=CD,则AC与3。的大小关系为（）

•---•----•----•

ABCD

A.AOBDB.AC<BDC.AC=BDD.不能确定

【答案】C

【解答】解：根据题意和图示可知AB=CD,而为A3和CD共有线段，故AC=3D.

故选：C.

【变式7-2］（2022春•杨浦区校级期末）如图,比较线段A3与线段CD的大小（）

IIII

ACBD

A.AB=CDB.AB>CDC.AB<CDD.无法比较

【答案】B

【解答】解："：AB=AC+BC,CD=BD+BC,AOBD,

：.AB>CD.

故选：B.

【变式7-3］（2022秋•红桥区期末）如图，AB=CD,那么AC与3。的大小关系是（）

I______I____________I______I

ACRD

A.AC=BDB.AC<BDC.AOBDD.不能确定

【答案】A

【解答】解：根据题意和图示可知AB=CD,而直为AB和CD共有线段，故AC=3D.

故选：A.

【题型8线段的简单计算】

【典例8】（2022秋•湖北期末）如图，已知CB小AB,AC=^AD，如果C3=2CM,求线段CD的

33

长.

ABCD

【答案】见试题解答内容

【解答】解：CB［AB,AC=AB+BC，

O

CB-yAC（3分）

4

••1

•ACqAD，

o

,,•CB$AD，CDqAD（3分）

又,：CB=2cm,

：.AD=nBC=2^cm（3分）

•■•CD=24X^-=16CID（1分）

o

【变式8-1］（2022秋•济南期末）如图，BC-|AB，。为AC的中点，DC=2cm,求A3的长.

■■1I

ADRC

【答案】见试题解答内容

【解答】解：设长为尤，BC=1AB=2L,

22

。为AC的中点，DC=2cm,

解得：AC=4cm,

'：AC=AB+BC,

.*.4=x+A=Ax,

22

解得：x=&,

3

故AB的长为Bcvn.

3

【变式8-2］（2022秋•西岗区校级期末）如图，延长线段A3到C,使5c=3A3,点。是线段

3C的中点，如果CD=3c机，那么线段AC的长度是多少？

ARDC

【答案】见试题解答内容

【解答】解：,点。是线段5c的中点，CD=3cm,

・・BC6cin,

*：BC=3AB,

^.AB=2cm,

AC=AB+BC=6+2=8cm.

【变式8-3］（2022秋•南关区校级期末）如图，线段AC=6cm,线段3C=15cm,点M是AC

的中点，在底上取一点N,使得CN：NB=1：2,求MN的长.

I...,

AMCNB

【答案】见试题解答内容

【解答】解：•.•/是AC的中点，

：.MC=AM=lAC=lx6=3cm,

22

又,：CN：2VB=1：2

：.CN=1BC=1\15=5cm,

33

二.MN=MC+NC=3cm+5cm=8cm.

【变式8-4］（2022秋•通川区校级期末）已知，点C是线段A3上的一点，点M是线段AC的

中点，点N是线段的中点.

（1）如果A3=10cm,那么MN等于多少？

（2）如果AC：BC=3：2,NB=35cm,那么A3等于多少？

AMq可百

【答案】（1）5cm；（2）17.5cm.

【解答】解：（1）MN=CM+CN

=iAC4BC

=5cm；

(2),:NB=35cm,

:・BC=7cm,

.\AB=7.看

=17.5cm.

AMCNB

।।।■।

【题型9“双中点”模型】

【典例9】(2022秋•禹城市期末)如图，已知点C为线段A3上一点，AC=12cm,CB=Scm,

D、E分别是AC、A3的中点.求：

(1)求AD的长度；

(2)求DE的长度；

(3)若般在直线A3上，且M3=6cm,求AM的长度.

I_______________I_________II__________________I

ADECB

【答案】(1)6cm；

(2)4cm；

(3)26CTH或14cm.

【解答】解：(1)由线段中点的性质，AD=1AC=6(cm)；

2

(2)由线段的和差，得A3=AC+3C=12+8=20(cm),

由线段中点的性质，得AE=_1AB=10(cm),

由线段的和差，得DE=AE-AD=10-6=4(cm)；

(3)当/在点5的右侧时，AM^AB+MB=20+6^26(cm),

当M在点3的左侧时，AM=AB-MB=2Q-6=14(cm),

.'.AM的长度为26cm或14cm.

【变式9-1](2022秋•铁西区校级期末)如图，线段A3=8cm,C是线段A3上一点，M是A3

的中点，N是AC的中点.

(1)AC=3cm,求线段M0的长；

(2)若线段AC=机，线段BC=〃，求MN的长度(加＜72用含机，〃的代数式表示).

AVCWR

【答案】(1)2.5(cm)；

(2)—n.

2

【解答】解：(1),：AB=8cm,“是AB的中点，

AM=AAB=4cm,

2

"."AC—3cm,

CM=AM-AC=4-3=1(cm)；

'：AB=8cm,AC=3cm,/是A3的中点，N是AC的中点，

AM=AAB=4cm,AN=—AC=1.5cm,

22

.,.MN=AM-AN=4--1.5=2.5(cm)；

(2)'：AC=m,BC=n,

AB=AC+BC=m+n,

•.•航是A3的中点，N是AC的中点，

•*.AM=AAB=A(m+n),AN=^AC=—m,

2222

MN=AM-AN=—(m+/z)-Am=Lz.

222

【变式9-2](2022秋•南昌期末)如图，线段A3=8,点C是线段A3的中点，点。是线段

3C的中点.

(1)求线段AD的长；

(2)若在线段A3上有一点E,CE=1BC,求AE的长.

4

ACDB

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)VAB=8,。是AB的中点，

：.AC=BC=4,

•。是3c的中点，

：.CD=，BC=2,

2

：.AD=AC+CD=6；

（2）'：BC=4,CE=1BC,

4

.•.CE=1X4=1,

4

当E在。的左边时，AE=AC-CE=4-1=3；

当E在C的右边时，AE=AC+CE=4+1=5.

.•.AE的长为3或5.

【题型10度分秒换算】

【典例10]（2022秋•宁波期末）用度表示30°9'36"为30.16°.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：30°9'36"=30.16°,

故答案为：30.16°

【变式10-1】（2022秋•新抚区期末）计算：18°42,+42°58,=61°401.

【答案】61°40,.

【解答】解：18°42'+42°58'=60°100'=61°40'.

故答案为：61°40：

【变式10-2】（2022秋•盘山县期末）计算：57.32°=57度19分12秒.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：：0.32X60'=19.2',0.2X60"=12",

.•.57.32°=57°19'12”.

故答案为：57；19；12.

【变式10-3】（2022秋•惠城区期末）把18°21'36"可表示为18.36°.

【答案】18.36°.

【解答】解：=（需＞=0.6'，

•'•21'+0.6'=21.6'=（空3）°=0.36°，

60

.*.18°21'36"=18°+0.36°=18.36°.

故答案为：18.36°.

【变式10-4】（2023春•文登区期末）18.21°=18°12'36".

【答案】18；12；36.

【解答】解：18.21°

=18°+0.21X60z

=18°12.6'

=18°12'+0.6X60"

=18°12'36".

故答案为：18；12；36.

【题型11角的概念及表示】

【典例11】（2022秋•长寿区期末）下列四个图形中，能用Nl、ZAOB,N。三种方法表示同

【答案】A

【解答】解：能用Nl、ZAOB,N。三种方法表示同一个角的图形是A中的图，

B,C,。中的图都不能用Nl、NAOB、N。三种方法表示同一个角的图形，

故选：A.

【变式（2022秋•阜平县期末）下列图形中，能用Na,ZAOB,N。三种方法表示同一

个角的是（）

【答案】C

【解答】解：4、图中的NAOB不能用N。表示，故本选项错误;

B、图中的NAOB不能用N。表示，故本选项错误；

C、图中Na、ZAOB^N。表示同一个角，故本选项正确；

D、图中的NA03不能用Na表示，故本选项错误；

故选：C.

【变式11-2】（2022秋•宛城区期末）如图所示，能用NA05,N。，N1三种方法表示同一个

角的图形的是（）

【答案】D

【解答】解：A、以。为顶点的角不止一个，不能用N。表示，故A选项错误；

B、以。为顶点的角不止一个，不能用N。表示，故3选项错误；

C、以。为顶点的角不止一个，不能用N。表示，故C选项错误；

D、能用Nl,ZAOB,N。三种方法表示同一个角，故。选项正确.

故选：D.

【变式11-3]（2022秋•广平县期末）如图，下列对图中各个角的表示方法不正确的是（）

A.ZAB.Z1C.ZCD.ZABC

【答案】C

【解答】解：图中的角有NA、Nl、ZABC.ZACB,

即表示方法不正确的有NC，

故选：C.

【题型12作图-基本作图】

【典例12]（2023•绿园区一模）观察下列尺规作图的痕迹：

①②③④

其中，能够说明A3>AC的是（）

A.①②B.②③C.①③D.③④

【答案】C

【解答】解：如图①中，由作图可知，EB=EC,

'：EA+EC>AC,

：.EA+EB>AC,BPAB>AC.

如图③中，由作图可知，AT=AC,

•.•点T在线段A3上，

：.AB>AT,IPAB>AC.

故选：C.

【变式12-1】（2023秋•朝阳区校级月考）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,根据尺规作

图的痕迹，判断以下结论错误的是（）

A.ZBDE=ZBACB.ZBAD=ZBC.DE=DCD.AE=AC

【答案】B

【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，

•..DE可以理解成是平角NAEB的角平分线，

：.DE±AB,是NA4C的平分线，

VZC=90°,

：.DE=DC,ZB+ZBDE=ZB+ZBAC=90°,

/BDE=ABAC,

在RtAAED和RtAACD中，

[AD=AD,

lDE=DC?

RtAAED^RtAACD（HL）,

：.AE=AC,

：DE不是AB的垂直平分线，故不能证明NR4D=NB,

综上所述：A,C,。不符合题意，5符合题意，

故选：B.

【变式12-2]（2022秋•新华区校级期末）如图，用尺规作图作出N03R=NA03,则作图痕

迹弧MN是（）

A.以点3为圆心，以长为半径的弧

B.以点5为圆心，以DC长为半径的弧

C.以点E为圆心，以。。长为半径的弧

D.以点E为圆心，以DC长为半径的弧

【答案】D

【解答】解：作N0BR=N493的作法：

①以点。为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线于点C,D；

②以点3为圆心，以OC为半径画际，交射线3。于点E；

③以点E为圆心，以8为半径画诵，交M于点N,连接3N即可得出N03R

则/。3尸=ZAOB.

故选：D.

【变式12-3]（2023•松原模拟）1SAABC中，ZBAC=90°,AB>AC,N3W30。，用无刻

度的直尺和圆规在3C边上找一点。，使AD=3D,下列作法正确的是（）

【答案】D

【解答】解：若要在3C边上找一点。，使

则点D应该是线段AB垂直平分线与BC的交点，

故选：D.

【题型13钟面角】

【典例13]（2022秋•滕州市校级期末）在时刻10：18,时钟上时针与分针的夹角为（）

A.105°B.155°C.159°D.157°

【答案】C

【解答】解：..TO：18时，时针与分针之间n到3间隔度数为30°X4=120°,3分钟对

应角度为&X30。=18°，*分钟时针对应角度30。x（1-）=21°>

560

在时刻10：18,时钟上时针与分针的夹角为120°+18°+21°=159°.

故选：C.

【变式13-1】（2023春•泰山区期中）下午3：30时，时针和分针所夹锐角的度数是（）

A.67.5°B.70°C.75°D.80°

【答案】C

【解答】解：\•钟面上有12个大格，

.•.每一格的度数为360°4-12=30°,

•.•下午3：30时，时针和分针所夹锐角对应两个半大格，

下午3：30时，时针和分针所夹锐角的度数是30°义2.5=75°.

故选：c.

【变式13-2】（2022秋•永安市期末）下午3时30分，钟面上时针与分针的夹角为（）

C.75°D.65°

【答案】C

【解答】解：..今点30分，时针和分针中间相差2.5个大格，

•••钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°,

.•.3点30分，分针与时针的夹角是2.5X30°=75°.

故选：C.

【变式13-3】（2022秋•九龙坡区期末）当分针指向12,时针这时恰好与分针成60°的角，此

时是（）

A.9点钟B.10点钟

C.4点钟或8点钟D.2点钟或10点钟

【答案】D

【解答】解：:•钟表上每一个大格之间的夹角是30°,

•••当分针指向12,时针这时恰好与分针成60°的角时，距分针成60°的角时针应该有两种

情况，即距时针2个格，

・••只有2点钟或10点钟时符合要求.

故选：D.

【题型14方位角】

【典例14］（2022秋•汉阳区校级期末）如图，四条表示方向的射线中，表示北偏东30°的是

（）

A.

【解答】解：4、是南偏西60°,故此选项不合题意；

B、是北偏东60°,故此选项不合题意；

C、是北偏西30°,故此选项不合题意；

D、是北偏东60°,故此选项合题意.

故选：D.

【变式14-1】（2022秋•和平区校级期末）如图，在观测站。发现客轮A、货轮3分别在它北

偏西50°、西南方向，则NA03的度数是（）

A.80°B.85°C.90°D.95°

【答案】B

【解答】解：由题意得：

ZAOB=1SO°-（45°+50°）=85°,

故选：B.

【变式14-2】（2023•耿马县三模）如图，在海岛C测得船A在其南偏东70°的方向上，测得

灯塔3在其北偏东50°的方向上，则NACB=（）

/B

北/

A

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】B

【解答】解：.••船A在海岛。的南偏东70°的方向上，灯塔8在海岛C北偏东50°的方

向上，

AZACB=180°-50°-70°=60°.

故选：B.

【变式14-3】（2022秋•西丰县期末）如图，甲、乙两人同时从A地出发，沿图示方向分别步

行前进到3、C两地，现测得NR4c为100°,3地位于A地的北偏东50°方向，则C地

位于A地的（）

南

A.北偏西50°方向B.北偏西30°方向

C.南偏东50°方向D.南偏东30°方向

【答案】D

【解答】解：如图所示：由题意可得：ZBAD=50°,NA4C=100°,

则NC4E=180°-100°-50°=30°,

故乙位于A地的南偏东30°.

故选：D.

【题型15角平分线】

【典例151（2023春•东阿县期末）如图，ZBOC=50°,平分NAOC,则

的度数是（）

25°

【答案】B

【解答】解：'：ZAOB=90°,ZBOC=5Q°,

：.ZAOC=ZAOB+ZBOC=90°+50°=140°.

平分NAOC,

ZCOD=1ZAOC=1X140°=70°.

22

/.ZBOD=ZCOD-ZBOC=70°-50°=20°.

故选：B.

【变式15-1】（2022秋•防城港期末）如图，点。在直线AB上,射线OC平分NB。。，若N

BOC=34°,则NA。。等于（）

112°

【答案】D

【解答】解：••,射线OC平分NOOB,

：.ZBOD=2ZBOC=2X34°=68°.

ZAOD=180°-ZB（9D=180°-68°=112°.

故选：D.

【变式15-2］（2023春•淇滨区月考）如图所示，直线A3、CD,交于点。，射线0M平分N

AOC.若NAOM=36°,则NBOC等于（）

c

AB

A.36°B.72°C.108°D.54°

【答案】C

【解答】解：平分N49C,

AZAOC=2ZAOM=2X36°=7