北师大版七年级数学上学期期末复习（压轴题50题）（原卷版）

期末复习（压轴题50题）

一、单选题

1.观察下面三行数：

—2,4,—8116…①

0,6,-6,18…②

—1,2,—4)8…③

设小y、z分别为第①②③行的第10个数，则2x-y-2z的值为（）

A.0B.-2C.-29+1D.-28+1

2.我国很多经典古籍中记载了“河图洛书”，它是中国重要的文化遗产.其中洛书（如图1）可以用三阶幻

方表示（如图2）,就是将已知9个数填入3x3的方格中，使每一行、每一竖列以及两条斜对角线上的

数字之和都相等.在图3的幻方中也有与图2相同的数字之和的规律，给定a、b、c、d中一个字母的值

不能补全图3的是（）

492a-2

3574c

816bd

图1图2图3

A.aB.bC.cD.d

3.在数列Q],2,…。〃中，%=2,即=4,且任意相邻的三个数的乘积都相等，若前〃个

。4

数的乘积等于64,则n可能是（）

A.16B.17C.18D.19

4.如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的

魅力.一个小组尝试将数字-1,2,-3,4,-5,6,-7,8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及

内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算

出a+b的值为（）

A.一6或一3B.一8或1C.-1或一4D.1或一1

5.若abc大0,则回+3+回+空的值为（）

a\b\cabc

A.±1或。B.±2或。C.±1或±4D.±4或。

6.一只小虫在数轴上从/点出发，第1次向正方向爬行1个单位后，第2次向负方向爬行2个单位，第3

次又向正方向爬行3个单位……按上述规律，它第2023次刚好爬到数轴上的原点处，小虫爬行过程中

经过数轴上-50这个数的次数是（）

A.99B.100C.101D.102

7.已知有理数a41.我们把士称为a的差倒数，如2的差倒数是吉=一1,一2的差倒数是+=*若刖=

-1,也是的差倒数，。3是。2的差倒数，。4是。3的差倒数，…，依次类推，那么+。2+03+…+a2020+

。2021的和是（）

A.1008B.1009C.1010D.1011

8.设有理数〃，6在数轴上的位置如图，化简a+b-|句的结果为（）

_______________________1।1

a0b

A.2.CL+bB.-2a+bC.-bD.b

9.数轴上点4、5分别表示数字a、b,且（a+5猿+|7-9=0若动点P以每秒2个单位长度的速度从/

点出发向5匀速运动，动点。以每秒1个单位长度的速度从5点出发向/做匀速运动，当运动时间为

（）秒时，P,。相距3个单位长度.

A.3B.5C.3或5D.无法确定

10.如图，L.AOB=^COD=^EOF=90°,则41,Z2,乙3之间的数量关系为（）

A.zl+z2+Z3=90°B.zl+z2-z3=90°

C.Z2+z3-Z1=90°D.zl-Z2+Z3=90°

11.若关于久的多项式2%2一%％+2%—3中不含有汽的一次项，贝此的值是（）

A.0B.—2C.2D.3

12.有两根木条，一根力B长为80cm,另一根CD长为130cm,在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆

孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的

小圆孔之间的距离MN是（）

MN

A.105cmB.25cm

C.105cm或25cmD.以上都不对

13.如图，将一根绳子对折以后用线段力B表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为

12cm,若AP:PB=1:3,则这根绳子原来的长度为（）

III

APB

A.16cmB.28cmC.16cm或32cmD.16cm或28cm

二、填空题

14.幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方一九宫格.将9个数填入幻方的空

格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方.图

（2）是一个未完成的幻方，贝k—y为.

492610X

357y2

816

⑴⑵

15.如图，将从1开始的自然数按以下规律排列，例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第10行、第

46列的数是

16151413…

・・・•••・・・・・・

16.若|a|=4,\b\=2,且a-b<0,贝Ua+6的值等于.

17.如图所示，数轴上。，/两点的距离为8,一动点尸从点/出发，按以下规律跳动：第1次跳动到4。

的中点4处，第2次从41点跳动到&。的中点4处，第3次从色点跳动到42。的中点&处，按照这样的

规律继续跳动到点44，人5，46，…，Al（几23,"是整数）处，问经过这样2023次跳动后的点与

的中点的距离是

p

O444N

18.如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“•”的个数

为由，第2幅图形中“•”的个数为。2,第3幅图形中“•”的个数为。3,…，以此类推，贝必10的值为.

>冷•电〉底》;e…

第1幅图第2幅图第3幅图第4幅图

19.如果记y=±7=/(')，并且/(1)表示当％=1时，>的值，即/(1)=/乒=1|，同理表示当汽=；

时y的值，即/弓)=臬=(,…那么

1+6)

/⑴+1(2)+/0+/⑶+fG)+…+7(2024)+f岛)=---

20.如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，

部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推，:+；+《+…+焉的值为

Z4oL

21.如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为100,我们发现第一次输出的结果为50,第二次输出的

结果为25,第三次输出的结果为28,…，则第2024次输出的结果为.

22.如图，①2条直线相交，最多1个交点；②3条直线相交最多有3个交点；③4条直线相交最多有6

个交点，那么10条直线相交最多有个交点.

图①图②图③

三、解答题

23.定义：若线段上的一个点把这条线段分成1:2的两条线段，则称这个点是这条线段的三等分点.

AMB

图1图2

(1)如图1,点河是线段4B的一个三等分点，满足BM=24M,若=9cm,贝1JAM=cm；

(2)如图2,已知48=9cm,点。从点/出发，点。从点3出发，两点同时出发，都以每秒,cm的速

度沿射线力B方向运动/秒.

①当t为何值时，点C是线段力。的三等分点

②在点C,点。开始出发的同时，点£也从点3出发，以某一速度沿射线B力方向运动，在运动过程中,

当点C是线段AE的三等分点时，点£也是线段2D的三等分点，请直接写此时出线段E8的长度.

24.如图，点O是直线4B上的一点，从点。引出一条射线。C,使N4OC=60。，射线04、0B同时绕点O

旋转.

备用图

⑴若两条射线。力、。8旋转方向相反，在两射线均旋转一周之内，射线04、0B同时与射线0C重合，则

射线。力与。8旋转的速度之比为一；

(2)若两条射线04、0B同时绕点。顺时针旋转，射线。4每秒旋转1。，射线0B每秒旋转5。，设旋转时

间为t秒，0<t<180,当乙4OC=/8OC时，求，的值.

25.点。为直线上一点，在直线同侧作射线。C,射线。。，使得NC。。=90。.

AoB

备用图

⑴如图1,过点。作射线。£使OE为N40D的平分线，若NCOE=25。时.求N40C的度数；

(2)如图2,过点。作射线。E,使。E恰好为NAOC的平分线，另作射线。尸，使。尸平分N80D,

①若乙4。。=50。，求NEOF的度数；

②若乙AOC=a(0°<a<90°),贝此EOF的度数是」

⑶过点。作射线。E,使0C恰好为N40E的平分线，另作射线。F,使得。F平分NCOD,当NEOF=10。时,

直接写出NAOC的度数.

26.如图，在数轴上点N表示数°,点3表示数6,且(a+6了+g一15|=0.

AB

—1---------------------1——►

(1)填空：a=，b=；

(2)若点A与点C之间的距离表示为AC,点B与点C之间的距离表示为BC,已知点C为数轴上一动点,

且满足力C+BC=25,求出点C表示的数；

(3)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点

。从原点开始以每秒加个单位长度运动，运动时间为1秒，运动过程中，点。始终在42两点之间上,

且-2力。的值始终是一个定值，求m的值及该定值.

27.如图，将一条数轴在原点。和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点力表示-6,点B表示8,点

C表示16,我们称点A和点C在数轴上相距22个单位长度.动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速

度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点。运动到点B期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速；同

时，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，从点B运动到点。期间速度

变为原来的一半，之后也立刻恢复原速.设运动的时间为t秒.

(1)动点P从点力运动至点C需要多少秒？

(2)P、Q两点相遇时，求相遇点M在“折线数轴”上所对应的数是多少？

(3)求当t为何值时，。、P两点在数轴上相距的距离与B、Q两点在数轴上相距的距离相等.

28.观察下列按一定规律排列的三行数：

—2,4,—8,16,-32,64,…；

1,7,-5,19,-29,67,...；

1,—5,7,—17,31,—65,…；

解答下列问题：

(1)第一组的第八个数是.

(2)分别写出第二组和第三组的第九个数,.

(3)取每行数的第a个数，是否存在ni的值，使这三个数的和等于514?若存在，求出a的值？若不存在,

请说明理由.

29.已知点C在线段上，AC=2BC,线段DE在直线ZB上移动(点0,E不与点4B重合)

ADCEB

।।।

ACB

备用图1

III

ACB

备用图2

(1)若48=24,求力C和BC的长；

(2)若AB=15,DE=6,线段DE在线段4B上移动，且点。在点E的左侧，

①如图，当点E为BC中点时，求力。的长；

②点F(不与点4B,C重合)在线段力B上，AF=3AD,CF=3,求力E的长.

30.如图，已知数轴上原点为。，点B表示的数为-2,点力在点B的右边.且力与B之间的距离是6,动点P

从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点力出发，以每秒4个单位长

度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，设运动时间为t(t>0)秒.

----------•----------------------•---------------------------------------•-----------------------A

BOA

(1)写出数轴上点力表示的数与点4的距离为3的点表示的数是

(2)点P表示的数_(用含珀勺代数式表示)，点Q表示的数_(用含t的代数式表示).

(3)当运动时间t为几秒时，点P与点Q到原点。的距离相等？

31.已知4B,C三点在数轴上的位置如图1所示，对应的数分别为a,b,c,点。为原点.

AOCB

I111>AB'\PB

折’痕

图1图3

X

AOCMBDN

IIIIII]>AB'\PB

剪切处

图2图4

⑴若|a+10|=10,。点对应的数为5,点C为4B中点，则a=,b=.

（2）如图2所示，线段MN位于数轴正半轴，点C在0M之间并满足。C:CM=1:2,点。在NB之间并满足

BD-.DN=1:2,若OB=b,MN=x,请用含b,光的式子表示线段CD.

⑶在（1）条件下，点48开始在数轴上运动，若点A以每秒2个单位长度的速度向左运动，点B以每

秒3个单位长度的速度向右运动，运动时间为t秒.在运动过程中，若剪下线段4B,并将端点B沿着线

段上的点P向左折叠，得到B'（如图3）,然后在重叠部分的某处剪一刀得到三条线段（如图4）,若这

三条线段的长度之比为1:2:2,请直接写出折痕处对应的点P在数轴上表示的数（用含t的代数式表示）.

32.观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发现规律，进而解决问题，请你仔

细观察，开动脑筋，解答下列问题

（1）按以上规律，第④个等式为:;第九个等式为:（用含八的式子表示，门为正整数）;

（2）按此规律,计算土+白+焉+嬴+1的值;

10x12

11

（3）探究计算:+“•+康的值.

11x15+焉+15x19

33.数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”数轴帮助我们把数和点对应起来，体现了数形结

合的思想，借助它可以解决我们数学中的许多问题，数轴是“数形结合”的基础.某数学小组在一张白纸

上制作一条数轴，如图,

-5-4-3-2-1012345

［探究］操作一:

（1）折叠纸面,使表示1的点与表示的点重合，则表示-2的点与表示的点重合

操作二:

（2）折叠纸面,若使表示1的点与表示3的点重合，回答以下问题:

①表示-3的点与表示.的点重合;

②若数轴上N、8两点之间距离为9（力在B的左侧），且8两点经折叠后重合，则N、8两点表示的

数分别是

操作三:

（3）长方形纸片上有一数轴，剪下10个单位长度（从-3到7）的一条线段，并把这条线段沿某点折

叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）.若这三条钱段的长度之比为1：2：2,则

折痕处对应的点所表示的数可能是

X

折痕剪断处

34.为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，该市自来水收

费标准（按月结算）如表所示:

每月用水量单价

2元

不超出6m3的部分

/m3

4元

超出6m3不超出lOn?的部分

/m3

8元

超出10m3的部分

/m3

例如：若某户居民1月份用水8m3,则应收水费：2x6+4x（8-6）=20（元）.

⑴若该户居民2月份用水12.5m3,则应收水费____元.

(2)若该户居民3月份用水an?(其中6m3<a<10m3),则应收水费多少元？(用含a的整式表示，并

化简)

(3)若该户居民4月份用水久n?,4、5两个月共用水15m3,且5月份用水超过4月份，请用含x的整式

表示4、5两个月共交的水费多少元？

35.如图，将一条数轴在原点0和点8处各折一下，得到一条“折线数轴”.图中点N表示-8,点5表示10,

点C表示20,我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位.动点P从点A出发，以1单位/秒的速

度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点0运动到点8期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；

同时，动点0从点C出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点2运动到点。期间速度

变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为/秒.问：

⑴动点P从点A运动至。点需要多少时间？

⑵点P、。在M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少；

(3)求当f为何值时，尸、。两点在数轴上相距的长度与。、2两点在数轴上相距的长度相等.

36.阅读下列材料，我们知道，5尤+3%—4久=(5+3—4次=4久，类似的，我们把(a+b)看成一个整体，

则5(a+b)+3(a+b)-4(a+6)=(5+3-4)(a+b)=4(a+6),“整体思想”是中学教学解题中的一

种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛，尝试应用：

⑴把(a-6)2看成一个整体，合并3(a-b)2+5(a-bf-4(a-b,的结果；

(2)若已知一a2=4+2,求a2+a+2024的值；

(3)拓展探索：已知a-3b=5,3b—c-4,c—d-7,求(a-c)+(36-d)-(36-c)的值.

37.两个形状、大小完全相同的含有30。和60。的三角板如图1放置，P4PB与直线MN重合，且三角板P4C,

(1)如图1,乙DPC='

(2)如图2,若三角板P8D保持不动.三角板PHC绕点P逆时针旋转一定角度后，PF平分乙4PD,PE平分

乙CPD,求NEPF的度数.

(3)如图3,在图1的基础上，若三角板P4C开始绕点P逆时针旋转，转速为3。/秒，同时三角板PBD绕点

P逆时针旋转，转速为2。/秒，当PC旋转到与PM第一次重合时，两三角板都停止转动.在旋转过程中，

喘是否为定值?若是，请直接写出此定值.

Z-tirN,•

38.材料1：

已知数轴上N两点对应的数分别为n,则点M和点N之间的距离表示为MN=—

材料2：

已知数轴上4B两点对应的数分别表示为a,b,则线段4B的中点G表示的数为等.

知识运用：

(1)|久+4|可理解为数轴上的数比到_____的距离；

(2)若数轴上表示3和-1的两点分别为A和B,贝以18的中点表示的数为；

深入探究：

(3)在数轴上，点P表示的数为X,则|x+3|+|%-1|的最小值是,|久+3|-氏-9|的最大值是

(4)如图，在数轴上点4表示的数为-3,点B表示的数为1,点C表示的数为9,若点4点B和点C分

别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度同时在数轴上向左运动.t秒后，点4,点

8,点C三点中，其中一点恰是连接另外两点所成线段的中点，求t的值.

ABC

39.如图，将一根木棒(阴影部分)放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点2重合，右端与点B重合.

0~~2AB~~8~

(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上对应的数为8；若将

木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点4时，它的左端在数轴上对应的数为2,由此可得到

图中点2表示的数是，点B表示的数是；

(2)体会(1)的探究过程，借助数轴这个工具，解决下面的问题：一天，瀚瀚问妈妈，爷爷的年龄是多

少，妈妈说：“爷爷若是你现在这么大，你还要45年才出生；你若到了爷爷现在的年龄，爷爷就是120

岁的老寿星了，哈哈！”求瀚瀚现在的年龄.

40.已知，有7个完全相同的边长为相、n的小长方形(如图1)和两个阴影部分的长方形拼成1个宽为10

的大长方形(如图2),小明把这7个小长方形按如图所示放置在大长方形中.

n

图1图2

(1)请用含血，n的代数式表示下面的问题:

①大长方形的长：；②阴影4的面积：

(2)请说明阴影4与阴影B的周长的和与根的取值无关.

41.某高校为了丰富学生的学习生活，利用课后辅导时间开设了很多学生喜欢的社团.其中网球社团正式

开课之前打算采购网球拍40支，网球x筒（x〉40）,经市场调查了解到该品牌网球拍定价100元/支,

网球25元/筒.现有甲、乙两家体育用品商店有如下优惠方案：

甲商店：买一支网球拍送一筒网球；

乙商店：网球拍与网球均按90%付款.

（1）请用含x的式子表示到甲商店购买需要支付元，到乙商店购买需要支付

________________元；

（2）若x=100,请通过计算说明学校到甲、乙两家中的哪一家购买更优惠；

（3）若两家的优惠方案相差400元，求x的值

42.【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合.研究数轴我们

发现了很多重要的规律.如数轴上点/、2在数轴上分别表示有理数a、b,则/、2两点之间的距离表

示为AB—\a-b\.

【综合运用一】如图，数轴上点E表示为-3,点尸表示为2.

EF

-5-4-3-2-1012345

（1）线段EF的长度是.

（2）若x表示任意一个有理数.利用数轴回答下列问题：

①当|x+3|+设一2|=7,贝卜=.

式子|x+3|+|久-2|是否存在最小值？若不存在，请说明理由；若存在，请直接说出x的取值范围，

并化简求出最小值？

【综合运用二】已知点4、8、C为数轴上三个点，表示的数分别是a,b,c,满足（c-7）2+-1引=0,

且。为-七的倒数.

（Da=,b=______,c=；

（2）若动点尸从点/出发沿数轴正方向运动，动点。同时从点8出发也沿数轴正方向运动，点尸的

速度是每秒3个单位长度，点。的速度是每秒2个单位长度.设运动的时间为/秒（t>0）.

①用含f的式子表示：/秒后，点尸表示的数为，点0表示的数为；

②当PO=6时，求/的值.

（3）在（2）的条件下，P、。出发的同时，动点M从点。出发沿数轴正方向运动，速度为每秒5个

单位长度,点M追上点。后立即返回沿数轴负方向运动.求点M追上点。后再经过几秒,MQ=2MP?

43.外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周的送餐情况，规定标准送

餐量为50单，送餐量超过50单(送一•次外卖称为一单)的部分记为“+”，低于50单的部分记为

如表是该外卖小哥一周的送餐量：

星期一二三四五六日

送餐量(单位：单)-3+4-5+14-8+7+12

(1)①该外卖小哥这一周送餐量最多的一天送了单；最少的一天送了单；

②求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单？

(2)外卖小哥每天的工资由底薪60元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过50

单的部分，每单补贴2元；超过50单的部分，每单补贴5元.求该外卖小哥这一周工资收入多少元？

44.如图，已知数轴上48两点分别位于原点。两侧，点3对应的数为2,且力B=12.

MPNQ

______1I11111>

AOB

(1)点A对应的数是；

(2)动点尸，。分别同时从4,8出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动，M为

4P的中点，N点在BQ上，且BN=初,设运动时间为t(t>0).

①当点M,N重合时，求1的值；

②在尸，。运动的过程中，探究詈浮的值是否发生变化？若不会变化，请求出它的值；若会变化，请

说明理由.

45.先阅读，并探究相关的问题：

【阅读】

|a—”的几何意义是数轴上。，6两数所对的点4,2之间的距离，记作AB=|a—可，如|2—5］的几何

意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离：|6+3|可以看作|6-(-3)|,几何意义可理

解为6与-3两数在数轴上对应的两点之间的距离.

AB

a6b-**

(1)数轴上表示x和-2的两点4和8之间的距离可表示为；如果AB=3,求出x的值：

(2)若氏+4|+引一3|=2027,求x的值;

(3)探究|x+16|-|久-14|是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由

46.在一条光滑的轨道上，滑块P,Q可在轨道上进行无摩擦的滑动，P,Q分别从点A,B同时出发，以相同

的速度相向运动.沿着轨道建立数轴，规定向右为正方向，A,B两点表示的数分别为a,b,且a,6满

足(a+5)2+\b-251=0.

Pf一。

______□口.

AB

(1则=,b=；

(2)若P,Q的速度均为3个单位/秒，运动时间为t(秒).P,Q滑块碰撞后会相互弹开，并分别以原来

速度的，咛原路返回，问：经过多长时间，两滑块在轨道上相距10个单位长度？(不考虑滑块的尺寸

大小)

(3)拓展应用：

已知数轴上两点4B对应的数分别是6,-8,M,N,P为数轴上三个动点，点M从4点出发速度为每

秒2个单位，点N从点B出发速度为M点的3倍，点P从原点出发速度为每秒1个单位.若点M,N,P

同时都向右运动，求多长时间点P到点M,N的距离相等？

47.已知多项式%1°一3%5yi4+4xy29-20的常数项是°,次数是6,a、b在数轴上分别表示的点是N、B

(如图)，点/与点2之间的距离记作4B.

AOB

—J---------------------1------------------------------1->

a0b

(1)求a,6的值；

(2)若数轴上有一点C