中考数学总复习提升专项知识函数的整点定点定值问题(2种命题预测+5种题型专题训练+3种解题方法)含答案及解析

第三章函数重难点06函数的整点，定点，定值问题（2种命题预测+5种题型汇总+专题训练+3种解题方法）【题型汇总】类型一函数的整点问题【命题预测】若平面直角坐标系内的P点满足横、纵坐标都是整数，我们把这样的点P称为“整点”例如点(4,1)、(3,-4)都是整点.在许多资料或考试中，有时也叫美点、好点或格点等.一般来说，“整点问题”难度较大，涉及图像、函数、方程、不等式、分类讨论、数形结合等知识和方法，解这类题的关键是掌握通法!题型01一次函数的整点问题函数已知，找整点个数根据整点情况求未知参数第一步寻找已知函数图像上的整点作为边界点(线)分类讨论，找临界状态时未知参数的取值第二步准确画图，确定区域画临界状态时的图像找整点，再根据情况画参数取值在临界状态两侧时的图像的大致范围，看整点情况第三步关注是否包含边界上的整点关注是否包含边界上的整点，确定未知参数的值或范围注意事项规范作图，防止画图错误导致点错位的情况发生.找整点个数时的临界状态，若求无整点时的情况，可以找一个整点时的临界状态.1．（2023年陕西省西安市高新一中中考六模数学试卷）已知一次函数y=2x+b，点A为其图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点(包括端点)，则b的取值范围是（）A．−2018≤b≤−2017 B．−2019≤b≤−2018C．−2018≤b<−2017 D．−2019≤b<−20182．（四川省内江市2020年中考数学试题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y=tx+2t+2（t>0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（

）A．12≤t<2 C．1<t≤2 D．12≤t≤23．（2023年湖北省武汉市青山区武钢实验学校中考5月模拟数学试题）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”，例如：P1,0、Q2,−2都是“整点”，四边形OABC为正方形且B点坐标为20,20，有4条直线y=knx+bnn=1,2,3,4，其中k1，kA．81个 B．80个 C．71个 D．70个4．（2023年四川省达州市开江县永兴中学中考数学模拟试卷6）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−1k≠0与直线x=−k,y=−k分别交于点A，B．直线x=−k与y=−k交于点C．记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域W内没有整点，则k5．（2024年河北省邯郸市第十三中学中考模拟数学试题）如图，平面直角坐标系中，线段MN的端点为M15,26(1)求MN所在直线的解析式；(2)设线段MN分别交x轴，y轴于A,B两点，Pa,a+3①请判断点P是否可能落在线段MN上?说明理由；②当点P在△AOB的内部（不含边界）时，求a的取值范围；(3)点C6,0在x轴的正半轴上，连接CP．若直线CP使线段MN（包含端点）上的整点（横、纵坐标都是整数）分布在它的两侧，且个数相同，直接写出满足条件的整数a题型02反比例函数的整点问题1．（2023年四川省乐山市犍为县九年级调研考试数学试题）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为(−6,4)，AB⊥x轴于点B，已知双曲线y=kx(k<0，x<0)把Rt△AOB分成W1（1）连接OC，若S△OAC=9，则点D的坐标为（2）若W1内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与W2内（不含边界）的整点个数比为3:4，则k的取值范围是2．（2024年河北省邯郸市中考三模数学试题）如图，双曲线y=kx（x>0）经过点(2,2)和点M(4,n)，经过双曲线上的点A且平行于OM的直线与y轴交于点B，点A在点M左上方，设G为y轴、直线AB、双曲线y=kx（x>0）及线段（1）G内整点的个数最多有个；（2）若G内整点的个数为4，则点B的纵坐标m的取值范围是．3．（2024年河南省焦作市五城区中考联考数学试题）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点M(x,y)在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”．例如：如图1，当n=2时，某函数的图象C1经过点0,1和2,2，则该函数是正方形OABC的“LS图（1）

图（2）

图（3）(1)当n=1时，若一次函数y=kx+t(k≠0)是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）；(2)如图2，当n=3时，正方形OABC的“整点函数y=mx(x>0)的图象经过BC边上的点D，与边AB相交于点E(3)当n=4时，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点B.若该函数是正方形OABC的“LS4．（2024年湖北省荆州市中考二模数学试题）如图，直线l1:y=−12x+72与y轴交于点B，与直线l

(1)求反比例函数y=k(2)①若将直线l2射线AB方向平移，当点A到点B时停止，则直线l2在平移过程中与②直接写出直线l1与双曲线y=k5．（2024年广西南宁市第八中学六月初中毕业班适应性测试数学试题）生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．小组成员进行了如下研究：【问题探究】（1）设矩形的长和宽分别为x，y，当m=10时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由．（2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为y=4xx>0，从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为：，将满足要求的(x,y)（3）根据上述方法请直接写出m的取值范围．【拓展应用】（4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数y=4xx>0的图象G经过点A(4,1)，直线l：y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．若区域题型03二次函数的整点问题1．（2024年河北省邯郸市馆陶县中考二模数学试题）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线C1：y=−x2+2x+4与C2:y=x−m

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2024年安徽省亳州市利辛县九年级中考二模数学试题）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．（1）抛物线y=x2−2x−32与x（2）若抛物线y=ax2−4ax+4a−3与x轴围成的区域内（不包括抛物线和x轴上的点）恰好有8个“整点”，则a3．（2021年江苏省扬州市江都区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为整点．若反比例函数y=kxk>0与二次函数y=−4x24．（2024年河北省石家庄市第十七中学中考二模数学试题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x(1)当m=−1时，①求该抛物线的顶点坐标；②求该抛物线与x轴围成的图形边界上的整点数(2)若该抛物线与直线y=5围成的区域内（不含边界）有4个整点，直接写出m的取值范围．5．（2024年河南省周口市沈丘县2校联考一模数学模拟试题）如图，抛物线y=x2+bx+c的图象交x轴于A−1,0，B两点，交y轴于点C0(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上一个动点，若点P与点C之间部分（含点P与点C）图象最高点和最低点纵坐标之差等于6时，求点P的坐标；(3)连接BD，若△ABD内部（不含边）有7个整点（横、纵坐标都是整数的点叫做整点），直接写出m的取值范围．6．（2023年安徽省合肥市庐江县中考二模数学试题）如图，直线m:y=b和直线n:y=x−b分别与y轴交于点A，点B，顶点为C的抛物线L:y=−x2+bx与x(1)若AB=8，求b的值和抛物线L的对称轴；(2)当点C在m下方时，求顶点C与m距离的最大值；(3)在L和n所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出b=2023时“整点”的个数．类型二函数的定点问题【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化而变化，图像变化过程中,有时始终会经过某个固定的点.定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌握好定点问题的本质即可快速解决.解题方法（以一次函数定点问题为例）：将一次函数化成即经过的顶点坐标为（a，b）.1．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，则k2．（2024年云南省昆明市中考二模数学试题）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点1,2就是一个定点．对于一次函数y=kx−k+3（k是常数，k≠0），由于y=kx−k+3=kx−1+3，当x−1=0即x=1时，无论k为何值，y一定等于3，我们就说直线y=kx−k+3一定经过定点1,3．设抛物线y=mx2+2−2mx+m−2（m(1)抛物线经过的定点D的坐标是______；(2)是否存在实数m，使顶点P在x轴上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；(3)当m=−12时，在y=kx+3的图像上存在点Q，使得这个点到点P、点D的距离的和最短．求3．（湖北省十堰市实验中学名校教联体2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题）材料一：经过一点m,t的直线解析式总可以表示为：y=kx−m+t比如过一点2,3的直线解析式可以表示为：材料二：二次函数y=x2+bx+c的图象若与直线y=n有两点交点x1,n(1)由材料一：直接写出直线y=kx+1(2)由材料二：若二次函数y=x2+bx+c经过−1,8，4,3(3)若一次函数y=kx+p与（2）中的抛物线交于点5,8，试用k4．（2024年云南省初中学业水平考试模拟数学模拟预测题（二））已知抛物线：y=m+1x2(1)已知抛物线始终过定点，求定点的坐标；(2)抛物线y=m+1x2−4m+1x+c不经过第三象限，且经过点−m,11m，若一元二次方程m+1x5．（2022年山东省日照市中考数学试卷）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．6．（2022年四川省成都市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx−3k≠0与抛物线y=−x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y(1)当k=2时，求A，B两点的坐标；(2)连接OA，OB，AB'，BB'，若△B(3)试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．7．（2024年福建省三明市大田县部分学校中考一模数学试题）如图1，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P(1,0)，与y轴交于点C(0,−12)，以点P为顶点作(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，若PM=PN，求MN的长；(3)判断直线MN是否经过定点1,−2，并说明理由．8．（福建省福州市鼓楼区福州立志中学2023-2024学年九年级下学期中考模拟数学试题）已知抛物线y=ax²−2ax+c与x轴交于A−1,0、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且△ABC(1)求抛物线的对称轴和解析式；(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形APQE是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；(3)若过定点K2,1的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线y=−2x+b与抛物线交于点G，求证：直线MG必过定点．9．（2023年湖北省武汉市江汉区中考三模数学试题）如图，抛物线y=ax2+bx−3a与x轴交于A−1,0，B两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P在抛物线上，若tan∠PAB=13

(3)如图，直线y=kx+k+1与抛物线交于M，N两点，在抛物线上存在定点Q，使得任意实数k，都有∠MQN=90°，求出点Q的坐标．

类型三二次函数的定值问题【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得定值.1．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数y=−x2+c的图像经过点A−2,5，点(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC,DQ,PQ．若x2=x(3)如图2，点P在第二象限，x2=−2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1−1，过点M作2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过△AOD的三个顶点，其中O为原点，A2,4，D6,0，点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，CF∥AO，GE⊥DO于点E，交AD于点I，AH平分∠OAD，C−2,−4，AH⊥CH(1)求抛物线的解析式及△AOD的面积；(2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；(3)试探究FGGI3．（2022·四川巴中·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+2x+c，交x轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线EF垂直于x轴于点E，当y≥0(1)求抛物线的表达式；(2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D．①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积；②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM+EN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．4．（2024·黑龙江大庆·二模）已知抛物线y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于点C−1,0(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图，若直线AB下方的抛物线上有一动点P，过点P作y轴平行线交AB于点F，过点P作AB的垂线，垂足为E，求△EFP周长的最大值；(3)将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到一个新的抛物线，问在y轴正半轴上是否存在一点M，使得当经过点M的任意一条直线与新抛物线交于S，T两点时，总有1MS25．（2024·江苏盐城·三模）抛物线y=−x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C(1)直接写出A、B、C三点坐标；(2)如图1，若一次函数y=mx−m+154m≠0的图像与抛物线相交与M①若m=1时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作ED∥y轴交MN于点D，连接ME，NE；当△MEN的面积最大时，试求面积的最大值；②取MN的中点P，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，试判断PQMN

第三章函数重难点06函数的整点，定点，定值问题（2种命题预测+5种题型汇总+专题训练+3种解题方法）【题型汇总】类型一函数的整点问题【命题预测】若平面直角坐标系内的P点满足横、纵坐标都是整数，我们把这样的点P称为“整点”例如点(4,1)、(3,-4)都是整点.在许多资料或考试中，有时也叫美点、好点或格点等.一般来说，“整点问题”难度较大，涉及图像、函数、方程、不等式、分类讨论、数形结合等知识和方法，解这类题的关键是掌握通法!题型01一次函数的整点问题函数已知，找整点个数根据整点情况求未知参数第一步寻找已知函数图像上的整点作为边界点(线)分类讨论，找临界状态时未知参数的取值第二步准确画图，确定区域画临界状态时的图像找整点，再根据情况画参数取值在临界状态两侧时的图像的大致范围，看整点情况第三步关注是否包含边界上的整点关注是否包含边界上的整点，确定未知参数的值或范围注意事项规范作图，防止画图错误导致点错位的情况发生.找整点个数时的临界状态，若求无整点时的情况，可以找一个整点时的临界状态.1．（2023年陕西省西安市高新一中中考六模数学试卷）已知一次函数y=2x+b，点A为其图象第一象限上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点B的横坐标为2018，若在线段AB上恰好有2018个整点(包括端点)，则b的取值范围是（）A．−2018≤b≤−2017 B．−2019≤b≤−2018C．−2018≤b<−2017 D．−2019≤b<−2018【答案】D【分析】根据题意可以的关于b的不等式，然后根据题意即可求得b的取值范围．【详解】解：由题意可得，点A的横坐标为2018，∵在线段AB上恰好有2018个整点（包括端点），∴2017≤2×2018+b<2018，解得，−2019≤b<−2018，故选：D．【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想和不等式的性质解答．2．（四川省内江市2020年中考数学试题）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y=tx+2t+2（t>0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t的取值范围是（

）A．12≤t<2 C．1<t≤2 D．12≤t≤2【答案】D【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.【详解】∵y=tx+2t+2，∴当y=0时，x=−2−2∴直线y=tx+2t+2与x轴的交点坐标为（−2−2∵t>0，∴2t+2>2，当t=12时，2t+2=3，此时−2−2t=-6，由图象知：直线y=tx+2t+2当t=2时，2t+2=6，此时−2−2t=-3，由图象知：直线y=tx+2t+2（当t=1时，2t+2=4，−2−2t=-4，由图象知：直线y=tx+2t+2（∴12≤t≤2且故选：D.【点睛】此题考查一次函数的图象的性质，一次函数图象与坐标轴交点坐标，根据t的值正确画出图象理解题意是解题的关键.3．（2023年湖北省武汉市青山区武钢实验学校中考5月模拟数学试题）若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”，例如：P1,0、Q2,−2都是“整点”，四边形OABC为正方形且B点坐标为20,20，有4条直线y=knx+bnn=1,2,3,4，其中k1，kA．81个 B．80个 C．71个 D．70个【答案】C【分析】根据“整点”的定义可知，在正方形OABC内（包括边上）的整点横坐标的取值范围是0到20的自然数，直线y=knx+bnn=1,2,3,4在0≤x≤20范时，当【详解】解：由画图可知：

直线y=−x+20在正方形OABC内（包括边上）经过的整点的个数有21个，直线y=x在正方形OABC内（包括边上）经过的整点的个数有21个，直线y=10在正方形OABC内（包括边上）经过的整点的个数有21个，直线y=−12x+15其中点(10,10)是四条直线的交点，故经过的整点的个数最多是21×3+11−3=71（个）故选C．【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质，解题关键是抓住k1，k2，k34．（2023年四川省达州市开江县永兴中学中考数学模拟试卷6）在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx−1k≠0与直线x=−k,y=−k分别交于点A，B．直线x=−k与y=−k交于点C．记线段AB，BC，AC围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域W内没有整点，则k【答案】0<k≤1或k=2【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数中交点的计算，掌握一次函数图象的性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键．根据题意，分类讨论：当k<0时，直线y=kx−1过第二、三、四象限，直线x=−k>0，y=−k>0；当0<k≤1，直线y=kx−1过第一、三、四象限，直线x=−k<0，y=−k<0；由题意作图分析即可求解．【详解】解：当k<0时，直线y=kx−1过第二、三、四象限，直线x=−k>0，y=−k>0，如图所示，∴区域W内必有原点0,0，不符合题意，舍去；当0<k≤1，直线y=kx−1过第一、三、四象限，直线x=−k<0，y=−k<0，如图所示，∴当x=−k时，y=k·−k−1=−k当y=−k时，−k=kx−1，解得，x=1−kk，即当x=0时，y=kx−1=−1，即0,−1在直线y=kx−1的图象上，不在区域W内，∵C−k,−k，0<k≤1∴区域W内，横坐标的范围是从−k到1−kk，不存在整点，纵坐标的范围从−k到−当1<k≤2时，∴−2≤−k<−1，同理，A−k,−k2−1，∴当k=1时，A−1,−2，B0,−1，当k=2时，A−2,−5，B−3∴当1<k<2时，存在整点，当k=2，不存在整点；当k>2时，如图所示，横坐标为−2的边界点为−2,−k和−2,−2k−1，线段长为k+1>3，∴区域W内有整点，不符合题意；综上所述，0<k≤1或k=2时，区域W内没有整点，故答案为：0<k≤1或k=2．5．（2024年河北省邯郸市第十三中学中考模拟数学试题）如图，平面直角坐标系中，线段MN的端点为M15,26(1)求MN所在直线的解析式；(2)设线段MN分别交x轴，y轴于A,B两点，Pa,a+3①请判断点P是否可能落在线段MN上?说明理由；②当点P在△AOB的内部（不含边界）时，求a的取值范围；(3)点C6,0在x轴的正半轴上，连接CP．若直线CP使线段MN（包含端点）上的整点（横、纵坐标都是整数）分布在它的两侧，且个数相同，直接写出满足条件的整数a【答案】(1)y=(2)①P可能落在线段MN，理由见解析；②−3<a<0(3)2或3【分析】本题主要考查了在平面直角坐标系中一次函数与线段之间的联系；（1）利用待定系数法即可求解；（2）①把Pa，a+3②判断得出点P在直线y=x+3上，画出图形，求得直线y=x+3与坐标轴的交点即可求解；（3）当x的值为3的整数倍时，该点为整点，则整点的横坐标为15，12，9，6，3，0，−3，−6，−9，−12共10个，CP与直线l的交点横坐标在0∼3之间（包括端点），设直线CP的解析式为y=px+q，得到0<54−36a【详解】（1）解：∵线段MN的端点为M15,26∴15k+b=26解得：k=∴直线MN的解析式为y=4（2）解：①把Pa，a+3代入y=解得a=−9，则a+3=−6，∴当P−9，−6时，点P②∵Pa∴点P在直线y=x+3上，当x=0时，y=3；当y=0时，x=−3；∴直线y=x+3与坐标轴的两个交点为E0，3

∵点P在△ABO的内部点P在线段EF上，∴−3<a<0；（3）解：对于直线y=43x+6，当x则在线段MN上，整点的横坐标为15，12，9，6，3，0，−3，−6，−9，−12共10个，∵CP平分这10个整点，∴CP与直线MN的交点横坐标在0∼3之间（不包括端点），设直线CP的解析式为y=px+q，则6p+q=0ap+q=a+3，解得p=∴直线CP的解析式为y=a+3解方程a+3a−6得x=54−36a∴0<54−36a当a−33>0，即a>33，则54−36a>0且54−36a<3a−33∴a<32且当a−33<0，即a<33，则54−36a<0，∴a>354−36a>3a−33∴a<51∵a为整数，∴a可取2或3．题型02反比例函数的整点问题1．（2023年四川省乐山市犍为县九年级调研考试数学试题）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为(−6,4)，AB⊥x轴于点B，已知双曲线y=kx(k<0，x<0)把Rt△AOB分成W1（1）连接OC，若S△OAC=9，则点D的坐标为（2）若W1内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与W2内（不含边界）的整点个数比为3:4，则k的取值范围是【答案】−3,2−8<k<−5【分析】本题考查了反比例函数解析式、反比例函数与几何综合以及图象中的整点问题．解题的关键在于熟练掌握反比例函数的图象与性质以及数形结合的思想．（1）由S△OAC=AC×OB2=AC×62=9，可求AC的值，进而可得点C坐标，然后将点C坐标代入求得k的值，然后可得反比例函数解析式，设直线OA的解析式为y=k1x，将点A（2）由题意知，△AOB中共有7个不含边界的整点，分别为(−2,1),(−3,1),(−4,1),(−5,1),(−4,2),(−5,2),(−5,3)，根据题意确定W1和W2内的点坐标，然后确定【详解】解：（1）根据题意可得AB=4,OB=6，∴S△OAC解得：AC=3，∴BC=4−3=1，∴C(−6,1)，将C(−6,1)代入y=kx得解得：k=−6，∴反比例函数解析式为y=−6设直线OA的解析式为y=k将A(−6,4)代入得4=−6k解得：k1∴直线OA的解析式为y=−2联立两个解析式得−6解得：x=±3，∵x<0，∴x=−3，将x=−3代入y=−6x得解得：y=2，∴D(−3,2)，故答案为：(−3,2)；（2）解：由题意知，△AOB中共有7个不含边界的整点，分别为(−2,1),(−3,1),(−4,1),(−5,1),(−4,2),(−5,2),(−5,3)，∵W1内（不含边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）与W2内（不含边界）的整点个数比为∴W1内点坐标为(−4,2),(−5,2),(−5,3),W2由第二象限的反比例函数图象越靠近原点k越大可得−8<k<−5，故答案为：−8<k<−5．2．（2024年河北省邯郸市中考三模数学试题）如图，双曲线y=kx（x>0）经过点(2,2)和点M(4,n)，经过双曲线上的点A且平行于OM的直线与y轴交于点B，点A在点M左上方，设G为y轴、直线AB、双曲线y=kx（x>0）及线段（1）G内整点的个数最多有个；（2）若G内整点的个数为4，则点B的纵坐标m的取值范围是．【答案】57【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题；（1）取点C1,4（2）根据题意求得OM的解析式，根据AB平行于OM，设AB的解析式为y=14x+m，根据G内整点的个数为4，找到特殊点C1,4，【详解】解：（1）如图所示，取点C1,4∵双曲线y=kx（x>0）经过点(2,2)点M∴k=2×2=4，反比例函数解析式为y=4∴n=1，M当A点在C的左侧时，G内整点的个数最多有1,3,故答案为：5．（2）∵M4，1，设直线OM的解析式为∴y=1∵AB平行于OM设AB的解析式为y=若G内整点的个数为4，则A点在C点的右侧，或与C点重合，即x当AB经过点C1,4时，4=1当AB经过点1,2时，2=14∵整点有4个1,2,1,1,2,1∴7故答案为：743．（2024年河南省焦作市五城区中考联考数学试题）在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为n（n为正整数），点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上．若点M(x,y)在正方形OABC的边上，且x，y均为整数，定义点M为正方形OABC的“LS点”．若某函数的图象与正方形OABC只有两个交点，且交点均是正方形OABC的“LS点”，定义该函数为正方形OABC的“LS函数”．例如：如图1，当n=2时，某函数的图象C1经过点0,1和2,2，则该函数是正方形OABC的“LS图（1）

图（2）

图（3）(1)当n=1时，若一次函数y=kx+t(k≠0)是正方形OABC的“LS函数”，则一次函数的表达式是______（写出一个即可）；(2)如图2，当n=3时，正方形OABC的“整点函数y=mx(x>0)的图象经过BC边上的点D，与边AB相交于点E(3)当n=4时，二次函数y=ax2+bx+4的图象经过点B.若该函数是正方形OABC的“LS【答案】(1)y=x（或y=−x+1）(2)m的值为3或6(3)0<a<1或a<0【分析】（1）当n=1时，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，写出一个一次函数，其图象过O(0,0)，B(1,1)即可；（2）求出y=3x，点E的坐标为(3,1)，可知函数y=3x的图象与正方形OABC只有两个交点，且点D，E均是“LS点”，故函数

y=3x(x>0)

是正方形OABC的“LS函数”；求出y=6x，点E的坐标为3,2，可知函数y=6x的图象与正方形OABC只有两个交点，且点D，E（3）当n=4时，把点B(4,4)代入二次函数

y=ax2+bx+4可得b=−4a，故y=ax2−4ax+4，该函数图象的顶点坐标为(2,−4a+4)，可知点C(0,4)在函数

y=ax2+bx+4

的图象上，①当a>0时，抛物线顶点在x轴上方，即可得−4a+4>0，0<a<1；②当a<0时，函数

y=ax2+bx+4图象经过点【详解】（1）解：如图：当n=1时，A1,0，B1,1，当一次函数y=kx+t图象过O0,0，Bt=0k+t=1解得：k=1t=0∴此时解析式为y=x，且直线y=x与正方形OABC只有两个交点，∴一次函数y=x是正方形OABC的“LS函数”；当一次函数y=kx+t图象过C0,1，At=1k+t=0解得：k=−1t=1∴此时解析式为y=−x+1，且直线y=−x+1与正方形OABC只有两个交点，∴一次函数y=−x+1是正方形OABC的“LS函数”；故答案为：y=x（或y=−x+1）；（2）解：当点D1,3时，代入y=mx解得m=3，∴y=3把x=3代入y=3x得∴点E的坐标为(3,1)，∴函数y=3x的图象与正方形OABC只有两个交点，且点D，E均是“∴函数y=3xx>0是正方形OABC当点D2,3时，代入y=mx解得m=6，∴y=6把x=3代入y=6x得∴点E的坐标为3,2，∴函数y=6x的图象与正方形OABC只有两个交点，且点D，E均是“∴函数y=6xx>0是正方形OABC综上分析可知：m=3或m=6．（3）解：当n=4时，点B的坐标为4,4，点C的坐标为0,4，把点B4,4代入二次函数

y=ax2+bx+4∴b=−4a，∴y=ax∴该函数图象的顶点坐标为2,−4a+4，在y=ax2−4ax+4中，令x=0∴点C0,4在函数y=a函数y=ax2+bx+4

是正方形OABC的“LS函数”，其图象经过点B①当a>0时，抛物线顶点在x轴上方，∴−4a+4>0，解得a<1，∴0<a<1；②当a<0时，函数

y=ax2+bx+4图象经过点B，C，则函数

y=ax综上所述，a的取值范围为0<a<1或a<0；【点睛】本题考查二次函数综合应用，求反比例函数、一次函数解析式，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解“LS函数”的定义．4．（2024年湖北省荆州市中考二模数学试题）如图，直线l1:y=−12x+72与y轴交于点B，与直线l

(1)求反比例函数y=k(2)①若将直线l2射线AB方向平移，当点A到点B时停止，则直线l2在平移过程中与②直接写出直线l1与双曲线y=【答案】(1)y=(2)①−42≤x≤0；②(2,2)，4,1【分析】本题考查函数图象的交点，待定系数法，函数图象的平移．（1）解由直线l1和l2组成的方程组，得到点A的坐标，代入反比例函数（2）①先求出直线l2平移前与x轴的交点的横坐标．设直线l2平移后的解析式为y=112x+b，把点B②根据数形结合，求出满足要求的整点横坐标，即可解答．【详解】（1）解：∵直线l1:y=−12x+∴解方程组y=−12x+∴A6,∵双曲线y=kx(x>0)∴12=k∴反比例函数的解析式为y=3（2）①对于直线l2:y=112x∴直线l2与x轴的交点坐标为0,0对于直线l1:y=−12x+∴B设直线l2平移后的解析式为y=∵平移后的直线过点B0,∴b=7∴平移到点B时停止的直线解析式为y=1令y=0，则112x+7此时与x轴的交点为−42,0，即交点的横坐标为−42，∴直线l2在平移过程中与x轴交点的横坐标的取值范围为−42≤x≤0②如图，

解方程组y=−12x+72经检验，x1=1y∴直线l1与双曲线y=3x的交点为A∴在点C与点A之间的整数点的横坐标为2，3，4，5，当x=2时，直线l1：y=−12x+72上的点为此时可得整点为2,2；当x=3时，直线l1：y=−12x+72上的点为此时不能得到整点；当x=4时，直线l1：y=−12x+72上的点为此时可得整点为4,1，当x=5时，直线l1：y=−12x+72上的点为此时不能得到整点．综上，直线l1与双曲线y=3x围成的区域内（图中阴影部分，不含边界）整点的坐标为(2,2)5．（2024年广西南宁市第八中学六月初中毕业班适应性测试数学试题）生活中许多问题的解决既可以采用“代数”的方法解决．也可以从“图形”的角度来研究．某数学建模小组在综合实践课上探究面积为4，周长为m的矩形问题时，发现矩形的面积与周长存在一定的关系．小组成员进行了如下研究：【问题探究】（1）设矩形的长和宽分别为x，y，当m=10时，这样的矩形存在吗？如果存在，请你求出矩形的长与宽；如果不存在，请你说明理由．（2）从矩形的面积为4可得到y与x的函数关系式为y=4xx>0，从矩形的周长为10可得到y与x的函数关系式为：，将满足要求的(x,y)（3）根据上述方法请直接写出m的取值范围．【拓展应用】（4）我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图2，函数y=4xx>0的图象G经过点A(4,1)，直线l：y=14x+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．若区域【答案】（1）存在，矩形的长为4，宽为1；（2）y=5−x，(1,4)或(4,1)；（3）m≥8；（4）−【分析】本题是一次函数与反比例函数图象综合题，考查了一次函数、反比例函数的图象和性质，矩形的周长和面积等，画出图象并利用图象解决问题是解题关键．（1）根据矩形的周长和面积可得x5−x（2）根据矩形的周长公式可得y=5−x，画出反比例函数和一次函数的图象，观察图象即可得出答案；（3）由题意得：函数y=4x(x>0)和y=（4）画出图象，结合图象即可得出答案．【详解】解：（1）这样的矩形存在，长为4，宽为1；理由如下：当矩形周长m=10时，x+y=5，∴y=5−x∵矩形面积S=4，∴xy=4，∴x5−x解得：x=4或x=1（舍，不符合题意），∴y=5−4=1，∴矩形的长为4，宽为1；（2）由矩形的周长为10，得：2(x+y)=10，∴y=5−x，在同一坐标系中画出函数y=4x(x>0)观察图象可知：函数y=4x(x>0)和y=5−x(0<x<5)的图象有2个交点(1,4)故答案为：y=5−x，(1,4)或(4,1)；（3）当矩形的面积为4，周长为m时，函数y=4x(x>0)∴4x=1∴Δ=∴m+8≥0m−8≥0，解得：或m+8≤0m−8≤0，解得：∴m≥8或m≤−8（不符合题意，舍去），故答案为：m≥8；（4）如图2，当直线y=14x+b经过(0,−1)时，区域内部有3个整数点(1,0)、(2,0)此时，b=−1，当直线y=14x+b经过(1,−1)时，区域内部有4个整数点(1,0)、(2,0)、(3,0)此时，−1=1∴b=−5∴当区域W内恰好有4个整点时，−5故答案为：−5题型03二次函数的整点问题1．（2024年河北省邯郸市馆陶县中考二模数学试题）我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线C1：y=−x2+2x+4与C2:y=x−m

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象与性质，图象的平移，运用数形结合思想是解题的关键．先找出符合题意的整点共计10个，再依次以y轴上整点个数分类讨论，判断y轴右侧在区域内的整点个数即可．【详解】解：∵C2∴顶点在x轴上，其余部分均在x轴上方，而y=−x∴对称轴为直线x=1，则在x轴上方且与抛物线C1围成的整点有0,1当封闭区域在y轴上只有整点0,3时，抛物线C2与y轴交于0,

此时2≤m∴−3则x=1时，y=1−m∴只有一个整点；当封闭区域在y轴上只有整点0,2，0,3时，抛物线C2与y轴交于0,

此时1≤m∴−2则x=1时，y=1−m∴只有2个整点；当封闭区域在y轴上只有整点0,2，0,3，0,1时，抛物线C2与y轴交于0,

此时0≤m∴−1<m≤0，则x=1时，y=1−m就必定包括1,4这个整点，∴不能为3个，故选：C．2．（2024年安徽省亳州市利辛县九年级中考二模数学试题）定义：在平面直角坐标系中，我们将横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．（1）抛物线y=x2−2x−32与x（2）若抛物线y=ax2−4ax+4a−3与x轴围成的区域内（不包括抛物线和x轴上的点）恰好有8个“整点”，则a【答案】4；1【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键，（1）根据二次函数与坐标轴交点问题即可求解；（2）根据二次函数图象的性质即可求解．【详解】（1）如图，当x=0时，1个“整点”，当x=1时，2个“整点”，当x=2时，1个“整点”，∴一共有4个“整点”，故答案为：4；（2）如图，由y=ax2−4ax+4a−3得当x=2时，2个“整点”，当x=1时，2个“整点”，当x=3时，2个“整点”，若恰好有8个“整点”，则抛物线y=ax2−4ax+4a−3经过0抛物线y=ax2−4ax+4a−3经过−1抛物线y=ax2−4ax+4a−3经过0∴a的取值范围是14故答案为：143．（2021年江苏省扬州市江都区中考一模数学试题）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为整点．若反比例函数y=kxk>0与二次函数y=−4x2【答案】2≤k<4【分析】先求出二次函数的顶点及与x轴的交点坐标，再求出其内部的整点为2,1，2,2，2,3，再根据反比例函数y=kxk>0【详解】∵y=−4x∴顶点为2,4，∵y=−4x∴抛物线与x轴的交点为1,0，3,0，∴第一象限在y=−4x2+16x−12=−4x−22+4内部的整点为∵反比例函数y=kxk>0与二次函数y=−4x2∴2,1在外面或者刚好在y=k∴2≤k<4，故答案为2≤k<4．【点睛】此题主要考查二次函数与反比例函数综合，解题的关键是根据函数图像的特点作图分析求解．4．（2024年河北省石家庄市第十七中学中考二模数学试题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x(1)当m=−1时，①求该抛物线的顶点坐标；②求该抛物线与x轴围成的图形边界上的整点数(2)若该抛物线与直线y=5围成的区域内（不含边界）有4个整点，直接写出m的取值范围．【答案】(1)①1,−4；②3,0，2,0，1,0，0,0，−1,0，0,−3，1,−4，2,−3(2)5≤m<6【分析】（1）①将二次函数配成顶点式，即可得到顶点坐标；②先求出该抛物线与x轴的交点，确定x的范围后再进行计算即可求解；（2）结合图象确定有4个整数点时m的最大和最小值，进而确定m的范围．【详解】（1）①当m=−1时，∵y=x∴抛物线顶点坐标为1,−4，②当m=−1时，y=抛物线y=x2−2x−3与x此时抛物线y=x2−2x−3与x轴边界有3,0，2,0，1,0，0,0，−1,0（2）∵y=∴抛物线y=x2−2x+m−2的对称轴为直线x=1当抛物线顶点为1,2，即m=5时，抛物线y=x2−2x+3与直线y=5所围成的区域内（不含边界）有1,3，0,4，1,4当抛物线顶点为1,3，即m=6时，抛物线y=x2−2x+4与直线y=5结合图象可知，5≤m<6．【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的特征，数形结合解题是解题的关键．5．（2024年河南省周口市沈丘县2校联考一模数学模拟试题）如图，抛物线y=x2+bx+c的图象交x轴于A−1,0，B两点，交y轴于点C0(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上一个动点，若点P与点C之间部分（含点P与点C）图象最高点和最低点纵坐标之差等于6时，求点P的坐标；(3)连接BD，若△ABD内部（不含边）有7个整点（横、纵坐标都是整数的点叫做整点），直接写出m的取值范围．【答案】(1)y=x(2)P2+6,−3(3)−2【分析】（1）利用待定系数法即可求解；（2）分两种情况：点P在对称轴的左侧和点P在对称轴的右侧，根据抛物线在点P与点C之间部分（含点P和点C）最高点与最低点的纵坐标之差为6，先求出点P的纵坐标，再代入函数解析式求出点P的横坐标即可求解；（3）由题意得：△ABD内部（不含边）有7个整点，这7个整点为1,−1，2,−1，3,−1，4,−1，3,−2，4,−2，4,−3，得到直线AD必经过点2,−2或经过2,−2与4,−3之间的点，不包括4,−3，据此求出m的取值范围即可求解；本题考查了用待定系数法求解析式，二次函数点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点，解题的关键是准确理解二次函数的点的坐标特征，利用数形结合解决问题．【详解】（1）解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过A∴(−1)2解得b=−4∴抛物线的解析式为y=x（2）C0,−5∵y=x∴抛物线的顶点坐标为2,−9当点P在对称轴的左侧时，∵此抛物线在点P与点C之间部分（含点P和点C）最高点与最低点的纵坐标之差为6，此时点C是最低点，点P是最高点，∴点P的纵坐标为1，令y=1，则x解得x=2±10∴P2−当点P在对称轴的右侧时，∵此抛物线在点P与点C之间部分（含点P和点C）最高点与最低点的纵坐标之差为6，此时顶点2,−9是最低点，点P是最高点，∴点P的纵坐标为−3，令y=−解得x=2±6∴P2+综上，当此抛物线在点P与点C之间部分（含点P和点C）最高点与最低点的纵坐标之差为6时，P2+6,−3（3）解：m的取值范围为−2由题意得：△ABD内部（不含边）有7个整点，如图，则这7个整点为1,−1，2,−1，3,−1，4,−1，3,−2，4,−2，4,−3，∴直线AD必经过点2,−2或经过2,−2与4,−3之间的点，不包括4,−3，∴直线AD必经过点2,−2时，2m+n=−2−m+n=0解得m=−23直线AD经过点4,−3时，4m+n=−3−m+n=0解得m=−∴m<−3综上，m的取值范围为−26．（2023年安徽省合肥市庐江县中考二模数学试题）如图，直线m:y=b和直线n:y=x−b分别与y轴交于点A，点B，顶点为C的抛物线L:y=−x2+bx与x(1)若AB=8，求b的值和抛物线L的对称轴；(2)当点C在m下方时，求顶点C与m距离的最大值；(3)在L和n所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，求出b=2023时“整点”的个数．【答案】(1)b=4，对称轴x=2(2)1(3)4048个【分析】（1）先求得B(0,−b)，根据AB=8即可得出b=4，然后确定抛物线L的对称轴即可；（2）设点C与m的距离为S，求出S与b的函数关系式，即可确定顶点C与m距离的最大值；（3）求出抛物线与直线的交点，在其范围内，根据抛物线解析式和直线解析式的特点确定“整点”的个数．【详解】（1）解：当x=0时，可有y=x−b=−b，∴B(0,−b)，∵AB=8，A(0,b)，∴b−(−b)=8，解得b=4，∴L:y=−x∴抛物线L的对称轴为x=2；（2）设点C与m的距离为S，∵抛物线L:y=−x∴L的顶点C(b∵点C在m下方，∴C与m的距离为S=b−b∴当b=2时，点C与m距离的最大值为1；（3）当b=2023时，抛物线解析式L:y=−x直线解析式n:y=x−2023，联立上述两个解析式，得x1=−1，∴抛物线L与直线n的交点为(−1,−2024)和(2023,0)，∴每一个整数x的值都对应一个整数y值，且−1和2023之间（包括−1和2023）共有2025个整数，∵所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2025个整数点，∴总计4050个点，∵这两段图像交点有2个点重复，∴“整点”的个数：4050−2=4048个．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了新定义“整点”、坐标与图形、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，理解题意，运用数形结合的思想分析问题是解题关键．类型二函数的定点问题【命题预测】函数的解析式中除自变量外，还有待定的系数，此时函数的图像会随着待定的系数的变化而变化，图像变化过程中,有时始终会经过某个固定的点.定点问题常出现在各地考试中，难度中上，掌握好定点问题的本质即可快速解决.解题方法（以一次函数定点问题为例）：将一次函数化成即经过的顶点坐标为（a，b）.1．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0）的图象始终经过第二象限内的定点A．设点A的纵坐标为m，若该函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，则k【答案】0<k<1或−1<k<0【分析】先计算二次函数过两个定点，确定m=2，根据函数图象与y=m在1<x<3内没有交点，分k>0和k<0两种情况列不等式即可解答．【详解】解：∵y=kx∴x∴x=±2，当x=2时，y=−2，当x=−2时，y=2，∴二次函数y=kx2−x−4k（k为常数且k≠0∴m=2，∵函数y=kx2−x−4k的图象与y=2∴分两种情况：①当k>0时，x=3时，y<2，即9k−3−4k<2，∴k<1，∴0<k<1，②当k<0时，当x=1时，y<2，即k−1−4k<2，∴k>−1，∴−1<k<0，综上所述，k的取值范围是0<k<1或−1<k<0，故答案为：0<k<1或−1<k<0．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，计算定点A的坐标．2．（2024年云南省昆明市中考二模数学试题）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点1,2就是一个定点．对于一次函数y=kx−k+3（k是常数，k≠0），由于y=kx−k+3=kx−1+3，当x−1=0即x=1时，无论k为何值，y一定等于3，我们就说直线y=kx−k+3一定经过定点1,3．设抛物线y=mx2+2−2mx+m−2（m(1)抛物线经过的定点D的坐标是______；(2)是否存在实数m，使顶点P在x轴上？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；(3)当m=−12时，在y=kx+3的图像上存在点Q，使得这个点到点P、点D的距离的和最短．求【答案】(1)1,0(2)不存在，理由见解析(3)−3≤k≤−【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，含参数的二次函数问题的求解等知识点，结合二次函数的图像探究函数图像经过的定点以及定点对函数自变量取值范围是解题的关键．（1）将抛物线的解析式进行整理得y=mx2+2−2mx+m−2=m（2）根据4ac−b（3）先求出P3,2，再根据y=kx+3的图像上存在点Q，使得这个点到点P、点D的距离的和最短，得点P、Q、D三点共线，从而根据当y=kx+3过点P3,2和y=kx+3过点D1,0，即可求解k．【详解】（1）解：y=mx当x−1=0，即x=1时，y=0，∴无论m为何值y一定等于0，∴抛物线一定过定点1,0．∴D1,0故答案为：1,0．（2）解：不存在，理由如下：∵抛物线y=mx2+2−2mx+m−2∴4ac−b∴不存在实数m，使顶点P在x轴上，（3）解：∵当m=−12时，∴P3,2∵D1,0，在y=kx+3的图像上存在点Q，使得这个点到点P、点D∴点P、Q、D三点共线，∵Q在直线y=kx+3上，∴当y=kx+3过点P3,22=3k+3，解得k=−1当y=kx+3过点D1,00=k+3，解得k=−3，∴k的取值范围为−3≤k≤−13．（湖北省十堰市实验中学名校教联体2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题）材料一：经过一点m,t的直线解析式总可以表示为：y=kx−m+t比如过一点2,3的直线解析式可以表示为：材料二：二次函数y=x2+bx+c的图象若与直线y=n有两点交点x1,n(1)由材料一：直接写出直线y=kx+1(2)由材料二：若二次函数y=x2+bx+c经过−1,8，4,3(3)若一次函数y=kx+p与（2）中的抛物线交于点5,8，试用k【答案】(1)−1,8(2)y=(3)k−1【分析】（1）根据材料一求解即可；（2）根据材料二求解即可；（3）首先联立一次函数和二次函数，然后根据根与系数的关系求解即可．【详解】（1）由材料一得，直线y=k∴直线y=kx+1+8经过的定点坐标为（2）由材料二得，∵二次函数y=x2+bx+c与直线x=8交于点∴该二次函数的解析式为y=∴y=x+1（3）联立一次函数y=kx+p和y=x∴x整理得，x∵一次函数y=kx+p与（2）中的抛物线交于点5,8∴设另一交点的横坐标为x∴x+5=−∴x=k−1∴另一交点的横坐标为k−1．【点睛】此题考查了二次函数和一次函数的性质，求函数表达式，根于系数的关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点．4．（2024年云南省初中学业水平考试模拟数学模拟预测题（二））已知抛物线：y=m+1x2(1)已知抛物线始终过定点，求定点的坐标；(2)抛物线y=m+1x2−4m+1x+c不经过第三象限，且经过点−m,11m，若一元二次方程m+1x【答案】(1)定点的坐标为2,2(2)详见解析【分析】（1）抛物线始终过定点，与m的取值无关，得到x2−4x+4=0，解出此时的（2）将点−m,11m代入y=m+1x2−4m+1本题考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图像与性质，根与系数关系，解题的关键是：熟练掌握相关知识点．【详解】（1）解：∵抛物线y=m+1x2若抛物线始终过定点，则此时与m的取值无关，∴x解得：x1∴当x=2时，y=m+1故答案为：定点的坐标为2,2，（2）解：∵抛物线y=不经过第三象限且经过定点2,2，∴抛物线开口向上即m+1>04m>0，解得：m>0把−m,11m代入y=m+1x2∵m≠0，∴m2+5m−6=0，解得：m1∴一元二次方程为：2x∵一元二次方程m+1x2−4m+1x+c=0∴2a2−5a+4=0，a+b=∴a2=5a−42∴4==25=25×===20，2=a=a=25∴4a5．（2022年山东省日照市中考数学试卷）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）．(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N．设S=S△PAM－S△BMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)y=-x2+2x+3；(2)证明见解析，D−(3)存在，点P的坐标是（1，4），S最大【分析】（1）把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m，从而求得m，进而求得抛物线的解析式；（2）将抛物线的解析式变形为：y=－x2+m（2x+3），进而根据2x+3=0，求得x的值，进而求得结果；（3）将S变形为：S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP－S△AOB，设P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，将点P和点D坐标代入，从而求得PD的解析式，进而求得点N的坐标，进而求得S关于m的解析式，进一步求得结果．【详解】（1）解：把x=3，y=0代入y=-x2+2mx+3m得，-9+6m+3m=0，∴m=1，∴y=-x2+2x+3；（2）证明：∵y=-x2+m（2x+3），∴当2x+3=0时，即x=−32时，∴无论m为何值，抛物线必过定点D，点D的坐标是−3（3）如图，连接OP，设点P（m，-m2+2m+3），设PD的解析式为：y=kx+b，∴−3∴k=−1∴PD的解析式为：y＝−122m−7当x＝0时，y＝−3∴点N的坐标是（0，−3∴ON=−3∵S=S△PAM-S△BMN，∴S=（S△PAM+S四边形AONM）－（S四边形AONM+S△BMN）=S四边形AONP-S△AOB，∵S=1当x＝0时，y=-x2+2x+3＝3，∴点B的坐标是（0，3），OB＝3，S△AOB∴S=S四边形AONP−S∴当m=1时，S最大当m=1时，−m∴点P的坐标是（1，4）．【点睛】本题考查了一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式、二次函数求最值、三角形的面积等知识，解决问题的关键是数形结合和变形S，转化为常见的面积计算．6．（2022年四川省成都市中考数学真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx−3k≠0与抛物线y=−x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y(1)当k=2时，求A，B两点的坐标；(2)连接OA，OB，AB'，BB'，若△B(3)试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【答案】(1)点A的坐标为−3,−9，点B的坐标为1,−1(2)62或(3)是，0,3【分析】(1)解方程组y=2x−3y=−x2(2)分k＜0和k＞0，两种情形求解．(3)设直线AB'的解析式为y=px+q，根据题意求得p，q的值，结合方程组的意义，确定与y【详解】（1）根据题意，得y=2x−3y=−整理得到x2解方程，得x1当x=-3时，y=-9；当x=1时，y=-1；∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为（-3，-9），点B的坐标为（1，-1）．（2）∵A，B是抛物线y=−x设A（m，−m2），B（n，−n2），则B'当k＞0时，根据题意，得y=kx−3y=−整理得到x2∴m，n是x2∴m+n=−k，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴S△OAB=1∴32×(n−m)=12∴3=−2n×(m+n)=2nk，∴2nk=−mn，∵n≠0，∴m=−2k，n=k，∴−2k×k=−3，解得k=62或k=-6故k=62当k＜0时，根据题意，得y=kx−3y=−整理得到x2∴m，n是x2∴m+n=−k，设直线y=kx-3与y轴的交点为D，则点D（0，-3）∴S△OAB=1∴32×(n−m)=12∴3=2n×(m+n)=-2nk，∴-2nk=−mn，∵n≠0，∴m=2k，n=−3k，∴2k×(−3k)=−3，解得k=-22或k=2故k=-22综上所述，k的值为62或−（3）直线AB'∵A，B是抛物线y=−x∴设A（m，−m2），B（n，−n2），则B'根据题意，得y=kx−3y=−整理得到x2∴m，n是x2∴m+n=−k，设直线AB'的解析式为y=px+q−m解得p=n−mq=−mn∴直线AB'的解析式为y=（n-m）x-mn∵mn=-3，∴-mn=3，∴直线AB'的解析式为y=（n-m）x故直线AB'【点睛】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题，待定系数法，一元二次方程根与系数关系定理，对称性，熟练掌握抛物线与一次函数的交点，及其根与系数关系定理是解题的关键．7．（2024年福建省三明市大田县部分学校中考一模数学试题）如图1，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为P(1,0)，与y轴交于点C(0,−12)，以点P为顶点作(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，若PM=PN，求MN的长；(3)判断直线MN是否经过定点1,−2，并说明理由．【答案】(1)y=−(2)4(3)经过，理由见解析【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）设直线x=1交MN于E，由题意得M、N关于直线PE对称，MN=2PE，设M(m,−12m（3）设直线MN的解析式为y=kx+n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，可得x2+(2k−2)x+2n+1=0，利用根与系数关系可得x1+x2=2−2k，x1x2=2n+1，作MF⊥x轴于点F【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c∴设y=a(x−1)2，把C(0,−1解得：a=−1∴y=−1∴抛物线的解析式为y=−1（2）解：∵y=−1∴抛物线y=−12x2+x−如图1，设直线x=1交MN于E，∵∠MPN=90°，PM=PN，∴M、N关于直线PE对称，MN=2PE，设M(m,−12m∴MN=2−2m，PE=1∴2−2m=2(1解得：m=−1或m=1（舍去），∴MN=2−2×(−1)=4；（3）解：经过定点1,−2，理由如下：设直线MN的解析式为y=kx+n，M(x1，y1)，由−12x∴x1+作MF⊥x轴于点F，NG⊥x轴于点G，∵PM⊥PN，∴∠PNG=90°−∠NPG=∠MPF，∴tan∴PGGN=MF∴(x∵y1=−∴(x∴1+1整理，得x1∴2n+1−(2−2k)+5=0，∴n=−k−2，∴直线MN的解析式可表示为y=kx−k−2，即y=k(x−1)−2，当x=1时，y=−2，∴直线MN必经过定点(1,−2)．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、根与系数关系、用轨迹相交法求点的坐标等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，解题过程较为烦琐，涉及的知识与方法较多，难度较大，属于考试压轴题．8．（福建省福州市鼓楼区福州立志中学2023-2024学年九年级下学期中考模拟数学试题）已知抛物线y=ax²−2ax+c与x轴交于A−1,0、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且△ABC(1)求抛物线的对称轴和解析式；(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形APQE是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；(3)若过定点K2,1的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线y=−2x+b与抛物线交于点G，求证：直线MG必过定点．【答案】(1)直线x=1,y=−(2)y=−(3)见解析【分析】（1）抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−−2a2a=1，可得（2）设点E0,e，由平行四边形的性质可得Q（3）设Mm,−m2+2m+3,Nn,−n2+2n+3，可求出直线MN的解析式；根据直线MN过定点【详解】（1）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线x=−∵A−1,0∴B令x=0，则y=a∴C∵△ABC的面积为6．∴12解得：c=3∴y=ax将A−1,0代入得：0=a+2a+3解得：a=−1，∴y=−（2）解：∵y=−x∴P设点E0,e∵四边形APQE是平行四边形，∴AP=EQ且AP∴Q0+2,e+4，即：∵顶点Q在原抛物线上，∴e+4=−2解得：e=−1∴Q∴平移后抛物线的表达式为：y=−（3）解：设Mm,−m2+2m+3,N则km+b=−m解得：k=−m−n+2b=mn+3∴直线MN的解析式为：y=−m−n+2∵直线过定点K∴1=得：mn=2m+2n−6∵直线y=−2x+b过N点，∴−n2+2n+3=−2n+b∴y=−2x−令−2x−n解得：x∴G设直线MG的解析式为：y=k则k'解得：k'∴直线MG的解析式为：y=−m+n−2∵mn=2m+2n−6，∴直线MG的解析式为：y=−m+n−2当x=2时，y=−m+n−2∴直线MG必过定点2,5【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及了函数解析式的求解，平行四边形的性质，函数的平移等知识点，掌握待定系数法是解题关键．9．（2023年湖北省武汉市江汉区中考三模数学试题）如图，抛物线y=ax2+bx−3a与x轴交于A−1,0，B两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P在抛物线上，若tan∠PAB=13

(3)如图，直线y=kx+k+1与抛物线交于M，N两点，在抛物线上存在定点Q，使得任意实数k，都有∠MQN=90°，求出点Q的坐标．

【答案】(1)y=(2)P110(3)Q【分析】（1）把A、C两点坐标代入y=ax（2）设直线AP交y轴点D，则tan∠PAB=ODOA（3）过点Q作直线l∥x轴，分别过点M，N作l的垂线，垂足分别为E，F，则【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−3a经过C∴−3a=−3，a−b−3a=0，解得，a=1，b=−2，∴抛物线的解析式为y=（2）解：设直线AP交y轴点D，如图所示，

则tan∠PAB=∵A−1,0∴OD=1∴D0,13当D0,13时，设直线AP把A−1,0，D0,1解得k=1∴直线AP的解析式为y=1联立y=x2−2x−3与y=当x=103时，∴P10当D0,−13时，同理可得直线AP联立y=x2−2x−3与y=−当x=83时，∴P8综上，符合条件的P点的坐标为P1103（3）解：由（1）得：抛物线的解析式为y=设Mm,m2−2m−3，将直线y=kx+k+1与抛物线联立，得x2则m，n是方程x2∴m+n=k+2，mn=−k−4，∵∠MQN=90°，过点Q作直线l∥x轴，分别过点M，N作l的垂线，垂足分别为E，F，则

∴MEQF∴m2化简，得m+q−2n+q−2∴mn+qm+n∴−k+qk+2∴q−3k+q−1∵对于任意的k都存在定点Q使等式成立，∴q=3，当q=3时，q2∴Q3,0【点睛】本题考查二次函数的综合问题，涉及到待定系数法求解析式、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质等，综合性较强，灵活运用所学知识和掌握解题技巧是关键．类型三二次函数的定值问题【解题方法】二次函数中的定值问题常与几何知识综合考查，常见的有线段和(差)面积，比值等.利用二次函数求解这些几何线段所代表的代数式定值问题属于定量问题，一般采用参数计算法，即在图形运动中，选取其中的变量(如线段长，点坐标)，设出参数，将要求的代数式用含参数的形式表示出来，消去参数后即得定值.1．（2024·湖南·中考真题）已知二次函数y=−x2+c的图像经过点A−2,5，点(1)求此二次函数的表达式；(2)如图1，此二次函数的图像与x轴的正半轴交于点B，点P在直线AB的上方，过点P作PC⊥x轴于点C，交AB于点D，连接AC,DQ,PQ．若x2=x(3)如图2，点P在第二象限，x2=−2x1，若点M在直线PQ上，且横坐标为x1−1，过点M作【答案】(1)y=−(2)为定值3，证明见解析(3)37【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB的解析式，Px1,−x12+9，则Qx1（3）设Px1,−x12+9，则Q【详解】（1）∵二次函数y=−x2+c∴5=−4+c，∴c=9，∴y=−x（2）当y=0时，0=−x∴x1∴B3,0设直线AB的解析式为y=kx+b，∴−2k+b=53k+b=0∴k=−1b=3∴y=−x+3，设Px1,−x1∴PD=−x12∴S△PDQ∴S△PDQ（3）设Px1,−设直线PQ的解析式为y=mx+n，∴mx∴m=x∴y=x当x=xy=x∴当x=−12时，线段MN长度的最大值【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线经过△AOD的三个顶点，其中O为原点，A2,4，D6,0，点F在线段AD上运动，点G在直线AD上方的抛物线上，CF∥AO，GE⊥DO于点E，交AD于点I，AH平分∠OAD，C−2,−4，AH⊥CH(1)求抛物线的解析式及△AOD的面积；(2)当点F运动至抛物线的对称轴上时，求△AFH的面积；(3)试探究FGGI【答案】(1)y=−12x(2)当点F运动至对称轴上时，△AFH的面积为3(3)FGGI的值是定值，定值为【分析】（1）运用待定系数法可得y=−12x2+3x．设点O到AD的距离为d，点A（2）当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3，可得AF=14AD．连接OC、OH，由点A与点C关于原点O对称，可得点A、O、C三点共线，且O为AC的中点．推出HO∥AD，可得点H（3）过点A作AL⊥OD于点L，过点F作FK⊥GE于点K．运用勾股定理可得OA=AL2+OL2=25．再证得△FIK为等腰直角三角形．设【详解】（1）解：设抛物线解析式为y=ax将A2,4，D6,0代入上式，得整理得2a+b=26a+b=0解得a=−1∴y=−1设点O到AD的距离为d，点A的纵坐标为yA，则d=yA∴△AOD的面积S△AOD（2）解：由（1）得抛物线的对称轴为x=3，当点F运动至对称轴上时，点F的横坐标为3，AFAD