北师大版九年级数学上册压轴题：一次函数中的特殊平行四边形存在性问题（原卷版）

专题04一次函数中的特殊平行四边形存在性问题

类型一、菱形问题

例1.（1个动点）如图，在平面直角坐标系中，已知点O为坐标原点，直线y=Ax+2与X轴交于点8,与

y轴交于点4OB=2OA.

⑴如图1,请直接写出点A的坐标，并求出直线A3的解析式.

（2）如图2,直线y=2x+b是线段AB的垂直平分线，垂足为点。，且交y轴于点C,连接BC,若点尸是直

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线8上的一动点，当点尸使得S&CP=55AAs时，请求出符合条件的点P坐标.

⑶在（2）的条件下，若点P在直线CD上且在第三象限内，在平面内是否存在其它点。，使得以点A、C、

尸、。为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

例2.（两个动点）在平面直角坐标系中，直线>=-氐+后分另U交尤轴、，轴于点A3,点C在x轴负半轴

⑴求A、C两点坐标；

（2）若点M是直线CB上一点，且S5M=3占，求点M坐标；

⑶点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q,使以4B、P、。为顶点的四边形是菱形？若存在，请

直接写出点。坐标，若不存在，请说明理由.

【变式训练】将一个矩形纸片。钻c放置于平面直角坐标系中，点。(0,0),点2(10,6),点A在X轴，点C

⑴如图1,求点£坐标和直线CE的解析式；

(2)点2为x轴正半轴上的动点，设=

①如图2,当点P在线段OA(不包含端点A,O)上运动时，过点P作直线/〃y轴，直线/被△<?££>截得

的线段长为乩求d关于/的函数关系式，并直接写出自变量/的取值范围；

②在该坐标系所在平面内找一点G,使以点C,E,P,G为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标.

类型二、矩形存在性问题

例.(两个动点)如图，四边形。4BC是矩形，点A、C在坐标轴上，AODE是由AOCB绕点。顺时针旋转90。

得到的，点。在x轴上，直线8。交y轴于点F,交OE于点H,线段3COC的长是2和4；

⑴求直线的表达式；

(2)求AOTT/的面积；

⑶点M在坐标轴上，平面内是否存在点N,使以点。、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接

写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【变式训练1】如图，A,8是直线y=-x+6与两坐标轴的交点，直线y=2无+机过点A,与x轴交于点C.

(1)求A,B,C三点的坐标；

(2)点D是折线B-A-C上一动点.

①如图(1),当点。是线段A3的中点时，在>轴上找一点E,使ED+EB最小;用直尺和圆规画出点E的

位置(保留作图痕迹，不要求写作法和证明)，并求出点E的坐标；

②是否存在点。，使△BCD为直角三角形，若存在，直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

类型三、正方形存在性问题

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例1.已知，一次函数的图象y=-7%+6与1轴、丁轴分别交于点A、点5,与直线y=交于点C,过点

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⑵右打AOC=SABCP,求点尸的坐标；

⑶若点E是直线y=上的一个动点“在平面内是否存在点尸,使四边形AP即是正方形?若存在,请求出

点E的坐标；若不存在，请说明理由.

例2.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2元-2与X轴、y轴分别交于点A、点8,与直线CD:y=Zx+6

(左彳0)交于点P,OC=OD=4OA.

⑴求直线CD的解析式;

(2)连接OP、BC,若直线上存在一点Q,使得SH℃=S四边形OBCP，求点。的坐标;

⑶将直线CD向下平移1个单位长度得到直线，直线/与x轴交于点E,点N为直线/上的一点，在平面直

角坐标系中，是否存在点加，使以点。，E,N,M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐

标；若不存在，请说明理由.

【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线/：y=-gx+%与尤轴、》轴的正半轴分别

相交于点A、B,过点C(T,-4)作平行于>轴的直线交A3于点DCD=10,

⑴求直线/的解析式；

(2)求证：AABC是等腰直角三角形；

⑶将直线/沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与X,y轴分别相交于点A、B',在直线8上

存在点P,使得△A27是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点尸的坐标.

课后训练

1.如图，在平面直角坐标系中，直线4：?=履+1交y轴于点A,交x轴于点3(4,0),过点E(2,0)的直线4平

行于y轴，交直线4于点。，点尸是直线4上一动点(异于点。)，连接P4PB.

⑴求直线4的解析式；

⑵设P(2,ni),求AABP的面积S的表达式(用含机的代数式表示)；

⑶当AAB尸的面积为3时，则以点3为直角顶点作等腰直角请直接写出点C的坐标.

2.如图1,在平面直角坐标系中，0AB。为直角三角形，0X80=90。，妫02=30。，OB=3,点、C为OB上

一动点.

⑴点A的坐标为」

⑵连接AC,并延长交y轴于点D,若回。4。的面积恰好被x轴分成1回2两部分，求点C的坐标；

(3)如图2,若回O4C=30。，将回。AB绕点。顺时针旋转，得到回OA8',如图2所示，0A所在直线交直线AC

于点P,当团。1尸为直角三角形时，直接写出点？的坐标.

3.如图,在平面直角坐标系中，直线y=-X+6与无轴、y轴分别交于点。、C,直线A3与y轴交于点3(0,-3),

与直线CD交于点A(肛3).

①求直线的解析式；

⑵点E是射线。上一动点，过点E作跖〃y轴，交直线A3于点尸.若以。、C、E、尸为顶点的四边形是

平行四边形，请求出点E的坐标；

⑶设P是射线C£＞上一点，在平面内是否存在点Q,使以B、C、P、。为顶点的四边形是菱形？若存在，请

直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(1)探索发现：如图1,已知Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线/过点C,过点A作AD,CD,

过点8作_BE_LCD,垂足分别为。、E.求证：AD=CE,CD=BE.

(2)迁移应用：如图2,将一块等腰直角的三角板/OG放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点

与坐标原点O重合，另两个顶点均落在第二象限内，已知点G的坐标为(-3,1),求点尸的坐标.

图2

(3)拓展应用：如图3,在平面直角坐标系内，已知直线MN：y=-gx+l与x轴交于点N,与y轴交于点

M,以线段为直角边作等腰直角△WP,请直接写出点P的坐标.

5.如图，在平面直角坐标系中，一次函数＞=履+，330)的图象经过A(T,O),2(0,2),。三点，点。在尤

轴上方，点C在X轴正半轴上，且OC=5Q4,连接3C,CD,已知S“》c=2S“BC.

⑴求直线AB的表达式；

(2)求点D的坐标；

⑶在线段AD,CD上分别取点M,N,使得轴，在x轴上取一点P,连接MMNP,MP,是否存在

点使得△WP为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图，在平面直角坐标系中，直线4：3=履+可人0)与直线3kx