阿基米德三角形-2025高考数学一轮复习讲义

第80讲阿基米德三角形

知识梳理

如图所示，钻为抛物线f=2py(p>0)的弦，A(x“x),3(%,%)，分别过A3作的抛

物线的切线交于点P,称△RLB为阿基米德三角形，弦至为阿基米德三角形的底边.

1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

2、若阿基米德三角形的底边即弦过抛物线内定点C(x0,%),则另一顶点P的轨迹

为一条直线.

3、若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.

4、底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为

8。

5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点。的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面

积的最小值为炉.

6、点尸的坐标为［土产，笠J；

7、底边A3所在的直线方程为(％+x2)x-2py-x{x2=0;

8、的面积为5叩」为一口.

PAB8P

9、若点尸的坐标为(尤0,%),则底边钻的直线方程为与龙-p(y+%)=0.

10、如图1,若E为抛物线弧AB上的动点，点E处的切线与E4,PB分别交于点C,

D,贝凹乌=也

\CP\\ED\\DB\

11、若E为抛物线弧Afi上的动点，抛物线在点E处的切线与阿基米德三角形的

q

边A4,尸5分别交于点C,D,贝IJ—^=2.

uPCD

2

12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的会.

3

必考题型全归纳

题型一：定点问题

例L(2024.山西太原.高二山西大附中校考期末)已知点A(0,-l),8(0,1),动点户满足

,胤=.记点尸的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程；

(2)设。为直线产-2上的动点，过。作C的两条切线，切点分别是E,F.证明：直

线跖过定点.

【解析】⑴设P(x,y),则PA=(-x,-l-y),PB=(-x,l-j),

AB=(0,2),BA=(0,-2),

所以，网网=可以化为J(T)2+(]_y『=]+y,

化简得V=4y.

所以，C的方程为V=4y.

(2)由题设可设。&-2),E(X],yJ,*%,%)，

由题意知切线DE,£＞歹的斜率都存在，

由V=4y,得y=亍，则了=:，

所以嚷竹，

直线OE的方程为了一%后(x-xj,即y-x/X-1,①

2

因为矶占,另）在炉=4y上，所以年=4乂，即=②

将②代入①得西龙一2%—2丫=。，

所以直线DE的方程为占x-2%-2y=0

同理可得直线DF的方程为-2%-2y=0.

因为。（7,一2）在直线OE上，所以比「2%+4=0,

又0（/,-2）在直线上，所以%-2%+4=0,

所以直线所的方程为比-2y+4=0,

故直线EF过定点（0,2）.

例2.（2024・陕西西安.西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆M恒过定点产

圆心M到直线，=1的距离为“=幽+。

⑴求”点的轨迹C的方程;

（2）过直线y=x-i上的动点。作C的两条切线乙4,切点分别为A,8,证明：直线A3恒过

定点.

【解析】⑴设”（x,y）,则|MF|=1

因为1=即

8

当y+^NO,gpy>-

4

当yd—<0,即,<_

4

整理得/=>+：<0,不成立；

8

综上所述：〃点的轨迹。的方程

（2）由（1）可知：曲线C：x2=；y，即丁=2工2,则y'=4x,

设人（%,2%；）,5（%2芯）,Q«/T），

可知切线QA的斜率为4芯，所以切线QA：y-2^=4xl(x-x1),

则t—1—24=4%[{t一&),整理彳导2x；—4fx]+(—]=0,

同理由切线QB可得：2考-43+”1=0,

t-i

可知：外,三为方程2必-4优+,-1=0的两根，则玉+%=2/,%々=；-,

可得直线AB的斜率=或盘.=2(再+%)=〃，

%-x2

设A3的中点为N(x°,%),则％=七三=t,y0=2片产=(石+马y-2占％=4/T+1,

即N仅,4/-1+1),

所以直线A3：y-(4t2-t+l)=4t(x-t),整理得y-1=4,

所以直线A3恒过定点

例3.(2024・全国•高二专题练习)已知平面曲线C满足：它上面任意一定到的距离比

3―

到直线>的距离小1.

⑴求曲线C的方程；

(2)。为直线丁=-3上的动点，过点。作曲线C的两条切线，切点分别为48,证明：直

线A3过定点；

⑶在(2)的条件下，以为圆心的圆与直线A3相切，且切点为线段A3的中点，

求四边形AD3E的面积.

【解析】(1)思路一：由题意知，曲线C是一个以，为焦点，以y=-g的抛物线,

故。的方程为：V=2y

思路二：设曲线。上的点为（%,y）,则3

y一-1,

由题意易知，y>0,整理得，V=2y.

⑵设£）”,一：）,，则y=1.

又因为y=所以y=x.则切线ZM的斜率为七,

故%+；=再（百一"，整理得2处-2%+1=0.

设3（尤2,%）,同理得2%-2y2+1=°.

A&,%）,以耳%）都满足直线方程2比-2y+1=0.

于是直线2田-2丫+1=0过点4,8,而两个不同的点确定一条直线,

所以直线AB方程为2a-2y+l=0,即2tx+(-2y+1)=0,

当2x=0,-2y+1=0时等式恒成立.

所以直线A3恒过定点（0,；］

（3）思路一：利用公共边结合韦达定理求面积

设筋的中点为G,网程%），则=［^

BA={xl-x2,yl-y2）.

由EG-8A=0，得［七日（&一尤2）+，+"5］（》一%）-0，

将y=1代入上式并整理得（%）（%+9乂k+君一6）=0,

因为占-尤2w。，所以占+为2=。或才+君=6.

由（1）知O1七三所以DGLx轴，

则

_%

S四边形的跖=SABE+S=-|EF|-(X-X)+-|GD|*(X-^1)=(^21)(*2-药)

2128

（设工2>玉）.

当%+%=。时，（尤2一%了=（玉+%2丫一4为々=4,即%一七二2,S四边形人.七二3；

当％：+4=6时，（再+/）2=4,（%2_石）2=（玉+/）2—4%1%2=8,

即%2一%=2立,S四边形4）3石=40.

综上，四边形AT出区的面积为3或4TL

思路二：利用弦长公式结合面积公式求面积

设。,，-；［，由（I）知抛物线的焦点厂的坐标为（o,g；准线方程为y=-；.

由抛物线的定义，得|AB|=£J■+或+▲=&+%）-2%尤?+1=贮生+1=2>+2.

11222222

线段A3的中点为G）/+£|.

当尤［+%=0时，f=0,A8_Lj^［^,|AB|=2,

Sp］边形AWE=gx2x1|•+；］=3;；

人…

当王+马彳。时，t^o,由EGJ_AB,得22,1，即，=±L

t-0

所以=4,G、1,3,直线AB的方程为尸±x+g.

根据对称性考虑点G,鼻,和直线AB的方程y=x+；即可.

E到直线A3的距离为|EG|=J（0-1）?+g-）=0,

1H----1—

D到直线AB的距离为22_④.

#+（-♦

所以Syw=gx4x（0+⑹=4次.

综上，四边形ADBE的面积为3或4A份.

思路三：结合抛物线的光学性质求面积

图5中，由抛物线的光学性质易得N1=N2,又4=N3,所以/2=/3.

因为AP=A41,AO=AD,所以，

所以24/,DF±AB,DAl=DF.

同理VBDFgaBO4=。旦=。/，所以。4=。用，即点。为4月中点.

图6中已去掉坐标系和抛物线，并延长R4,与A于点H.

因为GEJ_A8,OP，A8,所以GE〃DF.

又因为G,。分别为AB,A片的中点，所以G。〃的〃,

故EFDG为平行四边形，从而GO=斯=2,A3=A4,+BB,=2GD=4.

因为且尸/=1GD,所以/为HD的中点，

2

仄而DF=GE=®

S四边m>BE=Sg+SME=5A3,DF+—AB-GE-4-72.

当直线AB平行于准线时，易得SmADBE=3.

综上，四边形的＞3E的面积为3或4vL

思路四：结合弦长公式和向量的运算求面积

由（1）得直线AB的方程为y=fx+g.

1

y=tx+—

2

由，，可得12一2比一1二0,

X2

"=T

于是％+々=2t,\x2=-l,y；+_y2=?（%,+A：2）+l=2r+1

|AB\=y/l+t21%-々|=V1+?2J（X]+x?）~-4年々=2（产+1）

,------2

设4&分别为点D,E到直线AB的距离，则4=6+1,4=-^==.

因此，四边形AD3E的面积S=；|A矶4+4）=卜?+3）历L

设M为线段的中点，则加,产+",

由于EWAB,而-2）,4?与向量（1,。平行，所以r+«2-2卜=0,解得f=o或

t=±l.

当/=0时，5=3；当/=±1时S=4a

因此，四边形AD3E的面积为3或4vL

变式1.（2024・陕西•校联考三模）已知直线/与抛物线C:x2=2分（p>0）交于A,2两点，

且Q4JLO3,OD±AB,。为垂足，点。的坐标为（LD.

⑴求C的方程；

⑵若点E是直线y=x-4上的动点，过点£作抛物线C的两条切线EQ,其中P,Q

为切点，试证明直线尸。恒过一定点，并求出该定点的坐标.

【解析】（1）设点A的坐标为（4,无），点8的坐标为（莅，/），

因为％8=1,所以上AB=T，则直线AB的方程为y=T+2,

fy=_x+2

联立方程组。c,消去》整理得V+2px-4P=0,

[x=2py

所以有再+毛=-2。，=-4p,

5iOA±OB,得+（2_玉）（2_%2）=0,

整理得不/一（西+W）+2=Tp+2p+2=0,解得P=1.

所以C的方程为-=2y.

（2）由炉=2、，得y=所以y'=x,

设过点E作抛物线C的切线的切点为

贝IJ相应的切线方程为y—J=%（x—%,即y=x°x—,

设点EQJ-4),由切线经过点E,得-4=引-［,即x；-2比o+2/-8=O,

设P，3，DQ［Z，］)，则W，%是/一2a+2-8=0的两实数根，

可得%3+%=21,x3x4=21-8.

设M是尸。的中点，则相应勺=三产=心

则yM=%；"=1［募+?］=；［(无3+-2无3匕］，即=/一/+4,

乙乙\乙乙jI

直线PQ的方程为y_(/_/+4)=«x_/),即y=(x_l)+4,

所以直线PQ恒过定点(1,4).

变式2.(2024.安徽.高二合肥市第八中学校联考开学考试)抛物线的弦与在弦两端点处的

切线所围成的三角形被称为“阿基米德三角形”.对于抛物线C：丁="2给出如下三个条

件：①焦点为《。，£|;②准线为了=-)；③与直线力-1=0相交所得弦长为2.

(1)从以上三个条件中选择一个，求抛物线C的方程；

(2)已知，ASQ是(1)中抛物线的“阿基米德三角形”，点。是抛物线C在弦A2两端点处的

两条切线的交点，若点。恰在此抛物线的准线上，试判断直线A8是否过定点？如果是，

求出定点坐标；如果不是，请说明理由.

【解析】(1)C：y=ox2gpC：x2=—y,

a

其焦点坐标为(0，；］,准线方程为y=-；,

I4〃J4〃

若选①，焦点为厂(0,3,则;=:，得

24〃22

所以抛物线的方程为f=2y；

1111

若选②，准线为丁=-彳，贝=)，得。=彳，

24a22

所以抛物线的方程为V=2y；

若选③，与直线2、-1=。相交所得的弦为2,

将y=:代入方程中，得x=±叵,

2a2a

即抛物线与直线2y-1=0相交所得的弦长为2乂叵=叵=2,

2aa

解得。=；，所以抛物线的方程为V=2y；

（2）设3（工2，%），切线/a。：y-x=Mx-xJ,

将其与C：x2=2y联立得/一2日-x；+2g=。，

由A=（-2左J-4x（一片+2依）=0得左=外,

故切线乙0：y-y1=k（x-x1）f即y+%=x・%;

同理/硕:「+%=龙.尤2

又点-:满足切线&?,/肥的方程,

1

一,+%=%0

即有

1

~2+y2=X°

故弦AB所在直线方程为y=x0-x+^,其过定点尸［o,g

变式3.（2024.湖北武汉.高二武汉市第四十九中学校考阶段练习）已知抛物线C:y=flx2

（。是常数）过点尸（-2,2）,动点。过。作C的两条切线，切点分别为A,B.

（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程;

⑵当1=1时，求直线AB的方程;

（3）证明：直线AB过定点.

【解析】（1）由点P代入得a=g,所以C的焦点为卜,；1,准线方程为y=-g；

（2）设4（%,X）,3（%2，%），此时贝!!x；=2%,x；=2为，

因为y=x,所以切线ZM的斜率的4=不，即“+2一丫-1,

玉一12

所以2%一2%+1=。(1)

同理可得2%-2%+1=0(2)

所以由（1）、（2）可得直线AB的方程为2x-2y+l=。；

法二：设其中一条切线的斜率为左（显然存在），则切线方程为y+；=©x-l）,

,y+—=—1）z

由；2''得尤2—2区+2%+1=0,

、x2=2y

所以由A=0得左2—2左—1=0,女=1±,

不妨设ZM:y+g=Q_0）（无一1）,。3:,+；=（1+点）（尤_1）,

可解得A1一++应）

所以4B的斜率心=1,

得直线AB的方程为,=x-（1-y/2）l[]2x—2^+1=0

yi+

（3）由（2）知：2_r,所以2%-2%+1=0,

r-Ai

Xx-t

同理可得2/X2—2y2+1=0,

显然直线AB经过定点（o，£|.

变式4.（2024•全国•高三专题练习）已知动点尸在x轴及其上方，且点P到点尸（0,1）的距

离比到x轴的距离大1.

（1）求点P的轨迹C的方程；

（2）若点0是直线y=x-4上任意一点，过点。作点尸的轨迹C的两切线QA、QB,其中

为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标.

【解析】（1）设点尸则归耳=田+1,即jY+（y-l）2=3+1

化简得r=2可+2y

'：y>Q：.x2=4y.

点尸的轨迹方程为V=4y.

（2）对函数y=4/求导数/=」院

42

设切点（%，%）,则过该切点的切线的斜率为;七,

；•切线方程为y_%=3%0(彳_%0)=5%0尤-J%；=5"。彳_2yo-

即x0x-2y-2y0=0,

设点。“J-4),由于切线经过点。,

txQ—2y0—2(?-4)=0

设4(士,%),以%,%)，则两切线方程是/-2%-2Q—4)=0,tx2—2y2—2(/-4)=0,

所以过A,2两点的直线方程是江-2y-2(-4)=0,

即r(x_2)+8_2y=0(*)

.•.当x=2,y=4时,方程(*)恒成立.

对任意实数t,直线AB恒过定点(2,4).

题型二：交点的轨迹问题

例4.(2024•全国•高三专题练习)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点/(0,c)(c>0)到直

线/:x-y-2=0的距离为逑.

2

(1)求抛物线C的方程；

⑵设点尸(不，为)为直线/上一动点，过点尸作抛物线C的两条切线a,PB,其中A,B

为切点，求直线的方程，并证明直线A3过定点Q；

(3)过(2)中的点。的直线〃，交抛物线C于A,8两点，过点A,3分别作抛物线C的切

线4，L求4，4交点M满足的轨迹方程.

【解析】(1)设抛物线的方程为Y=2py,

V抛物线C的焦点b(0©(c>0)到直线/：ay-2=0的距离为呼,

号二1=述，解得。=1或c=_5(舍去)，

V22

；♦4=1,P=2,

2

・•・抛物线C的方程为％2=4〉.

丫2丫2Y

(2)设户(%,%-2),设切点为(羽5)，曲线c：y=q,y'=~,

则切线的斜率为Z'。'=y=二，化简得%2-2x0x+4%-8=0,

x-x02

设A(±,予,8(%予，则X],巧是以上方程的两根，

贝U石+%=2%o,xxx2=4x0-8,

_44_%+丁2_员，

二一芭_二-4一万

直线的方程为：y-j吟(X—),整理得y=£X-写+J,

22

•••切线B4的方程为丫-二=五。-%)，整理得y=±x-工，且点P(%,%)在切线B4

4224

上，

：.y0=^x0-^-,即直线4?的方程为：y='x-%,化简得x°x-2y-2%=0,

又,.•%=%0_2,x0(x—2)—2y+4=0,

故直线A3过定点。Q,2).

(3)设A(芭，[),B(%,亨)，

过A的切线过B的切线y=/(xf)+与，

则交点”(中，号)

24

设过。点的直线为y=-x-2)+2,

联立[，2一夕―2)+2,得出+8左—8=0,

[x2=4y

xx+x2=4k,x^x2=8k—2,

.・.M(2k,2k-2),

・・.y=x-2.

•••点/满足的轨迹方程为x-y-2=o.

例5.(2024•全国•高三专题练习)已知抛物线C:/=4y的焦点为尸，过点尸作直线/交抛

物线C于A、B两点；椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，点尸是它的一个顶点，且其

离心率e=-

2

⑴求椭圆E的方程;

⑵经过A、B两点分别作抛物线C的切线乙、3切线4与4相交于点证明：点“定

在直线y=T上；

⑶椭圆E上是否存在一点AT,经过点必作抛物线C的两条切线MTV、M'B'（A,/为切

点），使得直线A笈过点/？若存在，求出切线ATA、MB的方程；若不存在，试说明理

由.

22

【解析】（1）设椭圆E的方程为，+2=1,半焦距为c.由己知有尸（。,1）,

ab

.".b—l,e=3=$~,a1=b2+c2>解得a=2,b—1.

a2

椭圆E的方程为《+丁=1.

4

（2）显然直线/的斜率存在，否则直线/与抛物线C只有一个交点，不合题意，

故可设直线I的方程为y=kx+1,A（占，%）,8（%,%）（占丰X2）,

与抛物线方程联立，消去丁，并整理得，x2-4kx-4=0,则占％=-4.

抛物线的方程为y=求导得V

，过抛物线上A,8两点的切线方程分别是y-y=3（x-&），y-y2=^-x2（x-x2）,即

112112

y=-xIx--x[,y=-x2x--X2

解得两条切线的交点〃的坐标为（七三，T）,

二点M在直线y=-i上.

（3）假设存在点“满足题意，

由（2）知：AT必在直线y=-l上，又直线y=-l与椭圆有唯一交点，故M的坐标为（0,

-1）,

设过M'且与抛物线C相切的切线方程为y-%=-尤。），其中（%,%）为切点.

令x=0,y=-l得，-1-；*=；%（0-%）,解得X。=2或为=-2,

故不妨取A'（-2,1）.B<2,1）,即直线A笈过产.

综上，椭圆E上存在经过“作抛物线C的两条切线MA、为切

点），能使直线A笈过

此时，两切线的方程分别为y=-x-1和y=x-l.

例6.(2024•全国•高三专题练习)已知动点。在x轴上方，且到定点/(0,1)距离比到x轴

的距离大1.

(1)求动点。的轨迹C的方程；

(2)过点尸(1,1)的直线/与曲线C交于A,3两点，点A,3分别异于原点。，在曲线C

的A,B两点处的切线分别为4，4,且4与4交于点用，求证：/在定直线上.

【解析】(1)设Q(x,y)(y>0),

则有—。=1,化简得/=分(k0),

故轨迹C的方程为/=4y("0).

(2)由题意可知，直线/的斜率存在且不为1,

设直线/的方程为V=左。-1)+1(b1)与f=4y

联立得X2—4kx+4左-4=0,

则%+%=4左，%々二4左一4,

又y=所以y=：,

42

所以切线4的方程为y=5(尤-%)+%,

即片受了一片，

24

同理切线k的方程为y=三工-反

24

联立得X=^^=2左，y=^=k-l.

两式消去％得x-2y-2=0,

当k=1时，x=2,y=。，

所以交点M的轨迹为直线尤-2了-2=0,去掉(2,0)点.

因而交点”在定直线上.

变式5.(2024•全国•高三专题练习)已知动点尸与定点厂(1,0)的距离和它到定直线/:x=4

的距离之比为记尸的轨迹为曲线C

⑴求曲线C的方程；

⑵过点M（4,0）的直线与曲线C交于AI两点，氏。分别为曲线C与x轴的两个交点，直

线AR,BQ交于点N,求证:点N在定直线上.

【解析】⑴设动点尸（x,v）,

:动点尸与定点尸（1,0）的距离和它到定直线/：X=4的距离之比为

...J（xT）2+J]_,整理得3必+4丫2=12,

|x-4|2

•••曲线C的方程为片+£=1；

43

（2）设B（x2,y2）,及（时,〃），直线方程"=〃9+4,

x=my+4

与椭圆方程联立*,整理得：（3病+4）/+24切+36=0,

----1----=1

[43

A=24"-4x36（3m2+4）=144（m2-4）>0,

由韦达定理得：yy=--,y,+y=-—,化简得：加y%=-彳（％+%），

t23m+423m+42

由已知得R（—2,0）,。（2,0）,

则直线L的方程为y=dy（x+2）,直线1BQ的方程为y=三（尤-2）,

x+2)

3

联立直线1AR和1BQ：代入相乂必=-]（%+%）,玉=myx+4、

>=已卜-2）

X[一乙

/+2""y?+6%

々=加%+4可得:=一3,化简可得：4=1,

X'N-2，孙女+2%

所以N点在一条定直线上.

变式6.（2024.全国•高三专题练习）已知点尸为抛物线C:/=2处（°>0）的焦点，点M、

N在抛物线上，且M、N、尸三点共线.若圆尸：。-2）2+。-3>=16的直径为MM

U）求抛物线C的标准方程；

（2）过点/的直线/与抛物线交于点A,B,分别过A、B两点作抛物线C的切线工

k，证明直线4，4的交点在定直线上，并求出该直线.

【解析】（1）由题可知MN中点为尸（23）,设M、N到准线的距离分别为4，力.尸到准

线的距离为d,

则4二为+^=^^，由抛物线定义得d2=\NF\,所以4+4=|脑V|=8,

所以“+~|=4,即O=2x（4-%）=2.

所以抛物线C的标准方程为x2=4y.

、、y2,y

（2）设AQ,yJ,3（%,%），由Y=4y,得了=彳，则成=万，

所以直线4的方程为y-无=之（了-七），直线人的方程为尸治=/（＞%）,

..一+尤2,

联立4，4方程得＜X；，即4，4的点坐标为（七连，竽］

因为/过焦点尸（。，1）,

由题可知直线/的斜率存在，所以设直线/方程为，=丘+1,

与抛物线d=4y联立得Y-4版-4=0,

所以西无2=-4,＞=竽=_1,

所以直线4，4的交点在定直线y=T上.

变式7.（2024.全国•高三专题练习）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总

结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整.

⑴圆0:/+产=/上点膨（4,几）处的切线方程为.理由如下：.

22

⑵椭圆二+七=1（。＞6＞0）上一点（%,%）处的切线方程为二

ab

⑶尸（加,〃）是椭圆Z：?+y2=l外一点，过点尸作椭圆的两条切线，切点分别为A,B,如

图，则直线A3的方程是—.这是因为在人（%,%）,8（%,%）两点处，椭圆L的切线方

程为誓+%丁=1和等+%y=l.两切线都过尸点，所以得至IJ了殁+乂〃=1和罟+%〃=1，

由这两个“同构方程”得到了直线AB的方程;

y—n=k（^x—ni）,由〈？i，（1+3k2）x2+6k{n—hn）x+3（n—kni）~—3=0,化简得

［『+3y=3

△=0,得（3-疗）/+2〃"加+1-1=0.若则由这个方程可知尸点一定在一个圆

上，这个圆的方程为—.

（5）抛物线/=2px{p>0）上一点（%,为）处的切线方程为yoy=P（.X0+x）.

（6）抛物线C:/=4y,过焦点尸的直线/与抛物线相交于A,8两点，分别过点A,8作

抛物线的两条切线4和4,设巩%,%）,则直线《的方程为中=2（乂+"直线

6的方程为三工=2（%+丫），设4和6相交于点则①点”在以线段A3为直径的圆上；②

点M在抛物线C的准线上.

【解析】（1）圆。工+必=产上点〃&,九）处的切线方程为皿+/产匕

理由如下：

k-G=T

①若切线的斜率存在，设切线的斜率为％,则%_>，

KOM—一

L/

所以左=-血，

%

又过点〃（々,几），

由点斜式可得，九。），

%

22

化简可得，%y+xox=x0+y0,

又无。2+%2=产，

所以切线的方程为为y+x0x=/；

②若切线的斜率不存在，则”（土r,0）,

此时切线方程为x=±r.

综上所述，圆O：-+>2=/上点〃（知九）处的切线方程为%/+5.

（2）①当切线斜率存在时，设过点（5,%）的切线方程为》=后+机,

y=kx+m

联立方程/2得(〃+a2/)/+2kma2x+crtn2-a2b2=0,

[a2b1

A=0,即(2kma?)?-4(b2+a2k2)(aW-a2b2)=0,

a2k2-m2+b2=0,

-2kma2-2ka2

又玉+%-2%=

b2+a2k2m

b2

把飞="代入丁=丘+加中，得加二—

m%

._,_♦/()b2

..y=kxYYI——------1-----,

〃为为

化简得岑+萼=1.

ab

②当切线斜率不存在时，过（七,%）的切线方程为X=±Q,满足上式.

综上，椭圆上一点a。,为）的切线方程为：号+^=L

（3）在A&,yJ,3（%,%）两点处，椭圆L的切线方程为W+%y=l和等+%y=l,

因为两切线都过尸点（%,〃），

所以得到了苦+邛=1和皆+%〃=1,

由这两个“同构方程”得到了直线的方程为与+利=1；

（4）问题（3）中两切线B4,PB斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为

y—n=k（x—ni）,

[y-n=k(x-m)

由。+39=3可得(1+3k2)x2+6k(n-km)x+3(〃-km)2-3=0,

由A=0,可得（3—根2）/+2加成+1—/=（）（*）,

因为PA±PB,

则kpA，kpB=-1,

所以(*)式中关于左的二次方程有两个解，且其乘积为-1,

1_„2

则勺,左2=^---T=-l，

3-m

可得加2+“2=4,

所以圆的半径为2,且过原点，其方程为/+丁=4.

题型三：切线垂直问题

例7.(2024•全国•高三专题练习)已知抛物线C的方程为V=4y,过点尸作抛物线C的两

条切线，切点分别为A,B.

(1)若点P坐标为求切线尸AM的方程；

(2)若点尸是抛物线C的准线上的任意一点，求证：切线和网互相垂直.

【解析】(1)由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在，设切线斜率为3

点尸坐标为(O,T),过点尸的切线方程为

联立方程,：，消去y,得——4履+4=0,

(y-kx-Y

由A=16左2一16=0,解得左=±1,

所以切线PA,PB的方程分别为广无-1和产-x-l,

即切线方程分别为x-yT=。和x+y+l=。；

(2)设点尸坐标为a-1),切线斜率为左,过点尸的切线方程为y=%(xT)T,

联立方程]，，消去兀得——4区+4仲+1)=0,

3=左(尤一)-1

由A=16F—16(6+1)=0,得左2一次一1=0,记关于左的一元二次方程犷一改一1=0的两根

为k\,k],

则。右分别为切线PAM的斜率，由根与系数的关系知匕向=-1,

所以切线R4和PB互相垂直.

例8.(2024.全国•高三专题练习)已知抛物线C的方程为炉=4>,点尸是抛物线C的准线

上的任意一点，过点尸作抛物线C的两条切线，切点分别为A8,点”是A5的中点.

(1)求证：切线以和PB互相垂直；

(2)求证：直线尸田与y轴平行；

(3)求一一面积的最小值.

【解析】(1)由题意，开口向上的抛物线的切线斜率存在.

设点尸坐标为亿-1),切线斜率为左，过点尸的切线方程为y=Mx-r)-1,

x2=4y

联立方程，\「

y=k[x-t)-l

消去得f-4履+4gl)=0,

由A=16产—16他+1)=0,得-1=0,

记关于左的一元二次方程左2-伏_1=0的两根为人段,

则。区分别为切线PA,PB的斜率，由根与系数的关系知左/2=T，

所以切线和PB互相垂直.

⑵设点A不:]]卜号；由1=4y,知y=:/,则/=

所以过点A的切线方程为丫=3-占)=手，

将点«,T)代入，化简得#-2%-4=0,

同理可得x；-2tx2—4=0,

所以X，三是关于x的方程/-2比-4=0的两个根，

由根与系数的关系知占+尤2=2乙

所以弋强=/,即A3中点M的横坐标为乙

而点p的横坐标也为/,所以直线PM与y轴平行.

(3)点则|尸叫=日产+1,

则SAPAB=占一元21=；X(,+1]X上一龙21，

ZZ^o]

由（2）矢口，x,+%2=2t,xtx2=-4,

2

则+x；=4/2+8,jjq—x2|=y/4t+16,

x523

^APAS=|fv^+lV|^-^|=1(^+4)#+4=1^+4),

当f=0时，—RIB面积的最小值为4.

例9.(2024•全国•高三专题练习)已知中心在原点的椭圆一和抛物线匕有相同的焦点

(1,0),椭圆口的离心率为抛物线L的顶点为原点.

⑴求椭圆一和抛物线r2的方程;

⑵设点P为抛物线L准线上的任意一点，过点P作抛物线L的两条切线B4,PB,其中

为切点.设直线24,P3的斜率分别为K，k2,求证：左他为定值.

22

r2

【解析】(1)设椭圆和和抛物线「2的方程分另U为0+与=1(。＞6＞0)，y=2Px,

ab

(P＞0),

椭圆口和抛物线72有相同的焦点(1，。)，椭圆口的离心率为

C_1

a~2a=2

，＜c=l,解得＜c=l,:.b/a2-c?=阻==6

£=1|p=2

2

椭圆r.的方程为［+；=1，抛物线匕的方程为y2=4x.

(2)由题意知过点P与抛物线＞2=4无相切的直线斜率存在且不为0,设P(-U),则切线

方程为yT=Z(x+l)(®。)，

[y-t=k(x+l)44t

联立2,，消去q得y0—尸+一+4=0,

[y=4xkk

由△=_4（/+4）=0,得上2+伏_]=0,

直线以1,PB的斜率分别为尤，k2,:.^2=-1,

左/2为定值.

变式8.(2024•全国•高三专题练习)已知中心在原点的椭圆CI和抛物线C?有相同的焦点

(1,0),椭圆G过点G1,£|,抛物线c?的顶点为原点.

(1)求椭圆G和抛物线C的方程;

(2)设点尸为抛物线准线上的任意一点，过点P作抛物线G的两条切线出，PB,其中

A,8为切点.

①设直线B4,PB的斜率分别为尤，k2,求证：尤自为定值;

②若直线A8交椭圆C1于C,。两点，SPAB,Spco分别是..RW,PCD的面积，试问:

s

一是否有最小值？若有，求出最小值；若没有，请说明理由.

、PCD

22

【解析MD设椭圆G和抛物线Q的方程分别为3+4=1(。>6>0)和丁=2px,

ab

（P>0）,

中心在原点的椭圆G和抛物线c?有相同的焦点(1,0),椭圆G过点G]I.

抛物线C?的顶点为原点.

c-\

9

J-+A=i

a2b2,解得a=2,b=百，P=2,

a2=b2+1

R=i

I2

2

椭圆C1的方程为:+；=1,抛物线C2的方程为y=4x.

证明：⑵①设P(-M),过点尸与抛物线y?=4x相切的直线方程为yT=Z(x+l),

1=巾+1)4At

由1,2=4无，消去尤得y2__y+—+4=0,

yK

BPk2+tk-l=0,

..~—1.

②设，

2211

由①得%=7，%=y,则占=7_T，%=7_T，

»V|/\,2»Vj/\,2

2

直线54的方程为y-x="^红-&)，gpy=---/(x-1),

直线A2过定点(1,0).

2

以A为切点的切线方程为y-X=—(x-Xj),即y1j=2(x+x1),

同理以B为切点的切线方程为％y=2(x+电)，

两条切线均过点尸(-M),

(Pi-2(—1+玉)

<

ty2=2(-[+