2025中考数学一轮复习：一元一次方程（5个考点清单+12种题型解读）（原卷版）

专题01一元一次方程(考点清单，5个考点清单+12种题型解读)

【清单01】一元一次方程的概念

1.方程：含有未知数的等式叫作方程.

2.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。

3.一元一次方程定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是一次，且两边都是整式的方程叫作一元一次方

程。

细节剖析：

判断是否为一元一次方程，应看是否满足：

①只含有一个，未知数的次数为

②未知数所在的式子是即分母中不含

4.一元一次方程的解：能使一元一次方程两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解，也叫作方程的根。

【清单02】等式的基本性质

等式的性质1等式的两边都加上(或都减去)同一个数或式，所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果a=6,那么a±c=6±c.

等式的性质2等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为零)，所得结果仍是等式。

字母表达式为：如果a=。，那么ac=bc,或g=2(c/0).

CC

细节剖析：

等式的传递性如果a=6、b=c,那么a=c。

【清单03】一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤：

(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去，再去，最后去

(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，移到方程另一边.

(4)合并：逆用分配律，分别合并含有未知数的及，把方程化为ax=b(a/))的形式.

(5)系数化为1：方程两边同除以的系数得到方程的解x=2b(a/)).

a

(6)检验：把方程的代入原方程，若方程左右两边的值，则是方程的；若方程左右两边的值则不是方程的解.

【清单04】一元一次方程的应用

首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为X,然后用含

尤的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、歹！J、解、答.

一元一次方程应用题解题一般步骤：

①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系

②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）

③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系

④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程

⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值

⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）

【清单05】用一元一次方程解决实际问题的常见类型

（1）探索规律型问题；

（2）数字问题；

（3）销售问题（利润=售价-进价，利润率=］蝇X100%）；

进价

（4）工程问题（①工作量=人均效率x人数x时间；②如果一件工作分几个阶段完成，那么各阶段的工作量

的和=工作总量）；

（5）行程问题（路程=速度x时间）；速度义时间=路程；相遇问题：S甲+S乙=S,©；追及问题：S快-S慢

=S相距；

（6）等值变换问题；

（7）和，差，倍，分问题；

（8）分配问题；

（9）比赛积分问题；

（10）水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）.

题型情单

【考点题型一方程的相关概念】

【例1】给出下列各式：①〃=0；②2尤＞3；③V+x_2=0；④2+2=0；⑤x=1；⑥孙=4.其中是

方程的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

Y1

【变式1-1】已知下列式子：一+8=3；12-x；x-v=3；x+l=2x+l；3/=10；2+5=7；x-l#0；—=1.其中方

3x

程的个数为（）

A.3B.4C.5D.6

【变式1-2］若x=2是方程a-Z?x=4的解，贝！J3Q-6/?+1的值为.

【变式1-3］关于％的一元一次方程2癖-1=3-%有解，则根的值为.

【变式1-4］检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解

(1)2%=尤+3,(尤=3,x=2)；

4

(2)4y=8-2y,(y=4,y=j)

【考点题型二等式的性质】

【例2】下列等式变形中，一定正确的是()

A.若孙=1,则x=—B.若％2=2%,贝ljx=2

y

C.若2a-b=4,贝！JZ?=—2a+4D.若一;％=6,贝—2

【变式2-1］下列变形中，不正确的是()

A.若a=b,则=b-0

x1

B.由二=1,贝！Jx=：

C.若(加+l)a=(疗+1)匕，则a=6

D.若a+2/?-l=0,贝必=一26+1

【变式2-2］已知4x+2y=3,用含x的式子表示＞=.

【变式2-3］(1)若3x+l=2,则3x=2-1,应用的是等式的性质,变形的方法是等式两边

(2)若-2x=-6,则苫=,应用的是等式的性质,变形的方法是等式两边

(3)若2(尤-1)=4,则x-l=,应用的是等式的性质,变形的方法是等式两边一

【变式2-4】利用等式的基本性质解方程：

(1)-2x=-3x+—；

(2)56=3x+32-2x；

(3)3x+4=x；

(4)|m-7=l；

⑸3y—7—6丁=一8；

(6)7.9x+1.58+2x=7.9x-8.42.

【考点题型三一元一次方程的相关概念】

【例3】下列各式中，是一元一次方程的有（）

X

①12_4%=-3,（2）3x-l=-；③x+2y=l；④肛一3二5；⑤5%-1=3.

A.1个B.2个C.3个D.4个

x

【变式3-1］在以下的式子中：-+8=3；12-x；尤-》=3；x+l=2x+l；3x2=10；2+5=7；其中是一

元一次方程的个数为（）

A.2B.3C.4D.5

【变式3-2］若方程2小H一5=0是关于X的一元一次方程，则。=.

【变式3-3】如果方程化+1）龙网-5=0是关于尤的一元一次方程，那么后=—.

三、解答题

【变式3-4］已知方程（痴-4）1一5”-3一7=-6m是关于x的一元一次方程.

⑴求，解、〃的值；

（2）若关于x的一元一次方程⑶〃-4）必-5/"-3_7=-6机的解与关于x的一元一次方程“+3x=1的解互为倒

数，求。的值.

【考点题型四解一元一次方程】

【例4】解方程:

(1)3—2(x—3)=—3(2x—1)；

2%—1x—2

(2)3x—------------二2----------

25

【变式4-1】解方程:

(1)5%—2(x—1)-x—2；

2x-lx—2

Q)+1=

3

【变式4-2】解方程:

(l)5x+3=6—2x

4—xx—5

⑵---------------=1

23

【变式4-3】解方程:

(1)3(x—2)+1-x—(2%—1)；

3x+2x—2

(2*—=1—

3

【变式4-4】解方程:

(l)8x-3(3x+2)=6；

(2)3(x-2)-2-5(x+2)；

【考点题型五一元一次方程的拓展解法】

【例5】阅读材料题

定义：关于x的方程依-6=0与方程桁-。=0(«,6均为不等于。的常数)称互为“反对方程”，例如：方

程2x-l=0与方程x-2=0互为"反对方程

(1)若关于x的方程3x-2=0与方程2x-c=0互为“反对方程"，贝Ic=；

⑵若关于x的方程4x-(-3〃?+l)=0与方程7了-(“-2)=0互为“反对方程”，求机，〃的值；

(3)若关于x的方程2x-人=。与其“反对方程''的解都是整数，求整数6的值.

【变式5-1］定义：关于x的方程依—6=0与方程区一。=0(°、6均为不等于。的常数)称互为“伴生方程”，

例如：方程2x-1=0与方程X-2=0互为“伴生方程

⑴若关于x的方程2x-3=0与方程3x-c=0互为“伴生方程"，则c=；

⑵若关于x的方程4x+3〃z+l=0与方程5x-a+2=0互为“伴生方程”，求加、〃的值；

(3)若关于x的方程5x-b=0与其“伴生方程”的解都是整数，求整数6的值.

【变式5-2］若两个一元一次方程的解相差1,则称解较大的方程为另一个方程的“后移方程”例如：方程

x-2=0是方程x-1=。的"后移方程”

⑴判断方程2x+l=0是否为方程2x+3=0的“后移方程”；

⑵若关于X的方程3。-1)-根=亨是关于龙的方程2。-3)-1=3-(彳+1)的“后移方程”，求”的值.

【变式5-3］我们规定x的一元一次方程5=b的解为无=6-°,则称该方程是“差解方程”，例如：3x=4.5

的解为％=4.5-3=1.5,则该方程3x=4.5就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题：

(1)已知关于尤的一元一次方程4x=5.是“差解方程"，则m=.

(2)已知关于x的一元一次方程4x=〃?〃+机和-2x=7切2+"都是“差解方程”，求代数式3("7〃+〃z)-9(〃"7+〃y

的值.

【变式5-4】已知关于x的方程2+〃=忖尤」。-6)

326

(1)当。取何值时，方程的解是x=3；

(2)当。取何值时，方程无解；

(3)当。取何值时，方程有无穷多个解.

【考点题型六行程问题】

【例6】甲、乙两人骑自行车分别从A、3两地同时出发，相对而行，1.5小时后在距中点3千米处相遇.相

遇后，两人按原速度继续前进，又经过1小时甲到达8地.甲每小时行多少千米？

【变式6-1］现有两列火车同时同向齐头行进，快车每秒行20米，慢车每秒行12米，15秒后快车超过慢车.如

果这两辆火车车尾对齐同时同向行进，则9秒后快车超过慢车.如果两列火车相向而行，它们从车头相遇

到车尾相离需要多少秒？

【变式6-21某汽车油箱中有40L油，汽车匀速行驶，每小时汽车耗油4.5L,行驶时间为f小时.

⑴用含f的代数式表示汽车油箱中的剩余油量；

⑵当年与时，求油箱中的剩余油量；

(3)当油箱中的剩余油量为17.5L时，汽车已行驶多长时间？

【变式6-3】某军舰在静水中的速度为70km/h,有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生

圈落入水中，发现时救生圈已距军舰35km,若水流速度为10km/h.

(1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？

(2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为140km/h,军舰仍以原速前进，摩托

艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h?

【变式6-4】周末，小明和爸爸在3000m的环形绿道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发,

骑行结束后两人有如图所示的对话.

(爸爸，你要10分钟］

〔才能第二次追上我J

(不过我;完一圈>:'

［时你才骑了半圈j

小明爸爸

(1)请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度；

(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距1000m?

【考点题型七配套问题】

【例7】在手工制作课上，老师组织初一(2)班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.初一(2)班共有学生

45人，其中男生的人数比女生人数的2倍少24人，并且每名学生每小时剪筒身60个或剪筒底150个.

(1)初一(2)班有男生、女生各多少人？

(2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多

少名学生剪筒底？

【变式7-1】某工厂需要生产一批太空漫步器(如图)，每套设备由一个支架和两套脚踏板组装而成；工厂

现共有45名工人，每人每天平均生产60个支架或96套脚踏板，应如何分配工人才能使每天生产的支架和

脚踏板恰好配套？

【变式7-2］机械厂加工车间有32名工人，平均每人每天加工小齿轮12个或大齿轮10个，1个大齿轮和2

个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？

【变式7-3】在手工课上，老师组织七(2)班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒.七(2)班共有44人，其

中男生比女生少2人，并且每名学生每小时剪筒身50个或剪筒底120个.

(1)七(2)班有男生、女生各多少人？

(2)要求一个筒身配两个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底刚好配套，应该分配多少名学生剪筒身？

【变式7-4】学校实验室需要向某工厂定制一批三条腿的桌子，已知该工厂有24名工人，每人每天可以生

产20块桌面或者300条桌腿，1块桌面需要配3条桌腿，为了使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则应该

安排多少人生产桌面，多少人生产桌腿？

【考点题型八工程问题】

【例8】整理一批图书，如果让男生单独整理，需要4小时完成；如果让女生单独整理，需要2小时完成.现

在先安排男女生一起整理1小时后，剩余整理任务由女生单独完成，还需多长时间？

【变式8-1】一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成.已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完

成需要6天.

(1)甲、乙合作需要天完成；

(2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成.问还需几天可以完成这项工程？

【变式8-2】列一元一次方程解应用题

新蒲新区某校举办体育文化艺术节，七(2)班为了宣传班上开展的活动，由甲、乙两位同学制作宣传展板.已

知甲同学单独完成需要4天，乙同学单独完成需要6天.

(1)甲、乙合作需要天完成；

(2)若由乙同学先做1天，再由甲、乙两位同学合作完成.问还需几天可以完成展板的制作？

【变式8-3】课外活动时李老师到教室布置作业，有一道题只写至学校校办厂需制作一块广告牌，请来两

名工人，已知师傅单独完成需3天，徒弟单独完成需6天”，就因校长叫他听一个报告而离开教室.

(1)调皮的小刘说：“让我试一试."于是，上去添了：两人合作需要几天完成？请解答小刘所添加的问题；

(2)小张说：“我也来试试”，他添了：现由徒弟先做1天，两人再合作，完成后共得报酬540元，如果按各

人完成的工作量计算报酬，那么该如何分配？

请解答小张所添加的问题；

(3)请你也提出一个可解答的问题：

【变式8-4]“要致富，先修路”，某村为了更方便的运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥

路.已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少10天,

并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为50天.

(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？

(2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？

【考点题型九销售盈亏】

【例9】某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A、B两种型号的车可供调用，已知A型车每辆可装

20吨，B型车每辆可装10吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资一次性运完，现有A型、8型车共

25辆可调用，并且恰好能把物资一次性运完，则A型车有多少辆？

【变式9-1]在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现

出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物,

第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元.

(1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？

(2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，

挂件单价优惠了。元，玩偶单价优惠了5a元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂

件比玩偶多出了一件，请求出。的值.

【变式9-2】为助力环保事业，某企业先将该月销售的A款产品所有营收的40%捐给中国环保基金会，后

同样再次捐赠该月销售的2款产品所有营收的50%,已知该月销售A、B两款产品共1000个，A款产品每

个售价为100元，8款产品每个售价为120元，设该月销售A款产品尤个.

(1)该企业第一次捐赠一元，第二次捐赠一元；(用含尤的式子表示)

(2)该企业两次共捐赠48000元，那么该企业月销售A、8两款产品各多少个？

【变式9-3】某商场用36000元购进了A、B两种型号的家用净水器共160台，这两种净水器的进价、标价

如下表所示：

A型B型

进价(元/台)150350

标价(元/台)400600

(1)这两种净水器各购进多少台？

(2)若A型净水器按标价的8折出售，8型净水器按标价的9折出售，将这批净水器全部出售完后，商场共

获利多少元？

【变式9-4】请根据图中提供的信息，回答下列问题：

口nnn

D0DDD0000

vy------------------------

30元1000元

(1)求一个暖水瓶与一个水杯的价格分别是多少元？

(2)某商场出售这样的暖水瓶和水杯，为了迎接新年，商场搞促销活动，规定：暖水瓶打八折.若某单位想

要买5个暖水瓶和20个水杯，总共要花多少钱？

【考点题型十比赛积分】

【例10】列方程组解应用题：为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”

的文件精神，某校利用课后服务时间，在七年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加.比

赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分.某班级在15场比赛中获得总积分为

41分，问该班级胜负场数分别是多少？

【变式10-1】为开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动间进行九年级篮球比赛，每场比赛决出胜负，

每队胜一场得5分，负一场扣4分.已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别

为多少？

【变式10-21某地举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案(每人)如下表：

胜一场平一场负一场

积分310

奖金(元/人)15007000

当比赛进行到每队各比赛12场时，A队共积20分，并且没有负一场.

(1)试判断A队胜、平各几场？

(2)若每比赛一场每名队员均得出场费500元，A队的某一名队员参加了全部比赛，那么他所得奖金与出场

费的和是多少？

【变式10-3】某次篮球联赛部分积分如下：根据表格提供的信息解答下列问题：

队名比赛场次胜场负场积分

A1410424

B147721

C1441018

(1)求出胜一场、负一场各积多少分？

(2)某队的胜场总积分能等于负场总积分吗？若能，试求出胜场数和负场数：若不能，请说明理由.

【变式10-4】某校七年级组织数学知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了3

个参赛者的得分情况.

参赛者答对题数答错题数得分

A200120

B191112

C182104

(1)观察表格数据并填空，参赛者答对1道题分，答错1道题得分;

⑵参赛者。得80分，他答对了几道题？

(3)参赛者E说他得了68分，你认为可能吗？为什么？

【考点题型十一方案选择】

【例11】某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，

房客共六三，大比小多二一.后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人.

(1)求该房客大人，小孩各有多少人？

(2)假设店主李三公推出两种订房方案：

方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠，

方案二：大人原价，小孩半价.

若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？

【变式11-1】小红家去电器商场购买冰箱，商场出售两种容量相同冰箱：A型常规冰箱每台售价2160元,

日耗电量为1千瓦时；3型节能冰箱每台售价比A型冰箱高出10%,但日耗电量仅为0.5千瓦时，现在A型

冰箱可打9折出售.每年按360天计算，电价为每千瓦时0.6元.

(1)请分别计算出两种冰箱一年的用电费用；

(2)冰箱使用多少年时，两种冰箱用去的总费用相同(总费用=买冰箱的费用+总用电费用)？

(3)若两种冰箱的使用期都为10年，那么A型冰箱需要打几折才能使购买两种冰箱的总费用一样.

【变式11-2】某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，

每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元.该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天

可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨.受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛

奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该工厂设计了两种可行方案：

方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；

方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成.

你认为选择哪种方案获利最多？为什么？

【变式11-3］根据图中提供的信息，回答下列问题.

共51元共94元

(1)求杯子和暖瓶的单价.

(2)甲、乙两家超市同时出售这样的杯子和暖瓶，并开展促销活动.甲超市的促销方式为两种商品都打九折，

乙超市的促销方式为购买一个暖瓶赠送一个杯子.某饭店需要购买10个暖瓶和50个杯子，选择哪家超市

购买更合算，请说明理由.

【变式11-4】有两种移动电话手机卡，其收费方式如表：

全球通卡神州行卡

月租费30.00元/月0.00元/月

通话费0.15元/分钟0.30元/分钟

(1)一个月的通话时间是多少分钟，两种收费方式交费相同？

(2)一个月内在本地通话100分钟，则选择一卡更划算：一个月内在本地通话300分钟，则选择一卡更划算.

【考点题型十二几何问题】

【例12］如图，。为数轴的原点，面积为12的长方形Q4BC的边。4在数轴上，OC的长为3.

CB

OA

(1)点A表示的数为；(直接写结果)

(2)将长方形Q4BC在数轴上水平移动，移动后的长方形记为O'AZC',若移动后的长方形与原长方形重叠

部分的面积是4,求点A表示的数.

【变式12-1］如图，在VABC中，NC=90%4C=6,3C=8,AB=10,点E是BC的中点，动点P从A点出发,

以每秒2个单位长度的速度沿AfCfBfA运动，回到点A时停止运动.设点尸运动的时间是/秒.

(1)C£=.

(2)当点尸在C-3运动时，用含/的代数式表示PE的长.

(3)请直接写出当/为何值时，VAPE的面积等于6.

【变式12-2］如图，在VABC中，ZACB=90°,AC=6,3c=8.点P从点A出发，沿折线AC—CB以每

秒1个单位长度的速度向终点B运动，点。从点B出发沿折线3C-C4以每秒3个单位长度的速度向终点A

运动，P、。两点同时出发.分别过P、。两点作于E,Q尸，/于E设点尸的运动时间为f(秒)：

⑴当尸、。两点相遇时，求f的值；

(2)在整个运动过程中，求CP的长(用含f的代数式表示)；

【变式12-3】将长为1,宽为a的长方形纸片如图那样折一下，剪下一个边长等于长方形的宽度

的正方形(称为第一次操作)；再把剩下的长方形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时长方形宽度的正

方形(称为第二次操作)；如此反复操作下去，若在第见次操作后剩下的长方形为正方形，则操作终止，

\

第一次操作第二次操作第三次操作

(1)第一次操作后，剩下的长方形两边长分别为;(用含。的代数式表示)

(2)若第二次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，则求a的值，写出解答过程；

(3)若第三次操作后，剩下的长方形恰好是正方形，如图，试求。的值.

【变式12-4］如图，已知数轴上有A.B.C三个点，它们表示的数分别是-24,-10,10.

ABC

I111A

-24-10010

(1)填空：AB=,BC=；

(2)若点A以每秒3个单位长度的速度向右运动，同时，点8以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒7

个单位长度向左运动.问：

①点A运动多少秒时追上点B?

②点A运动多少秒时与点C相遇？

【考点题型十三水电费问题】

【例13】某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立

方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.设小丽家每月用气

量为x立方米，应交煤气费为y元.

(1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？

(2)试写出y与x(x>50)间的表达式；

(3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？

【变式13-1】某通信公司为迎接元旦推出了“亲情卡”和“校园卡”.两种电话卡的收费方式如下表：

种类月租费本地通话费

亲情卡18元/月0.1元/分钟

校园卡0元/月0.3元/分钟

(1)若一个月本地通话时间为x分钟，则用“亲情卡”要收费元，用“校园卡”要收费一元(用含x的式

子表示)；

(2)当一个月本地通话时间为多少分钟时，两种收费方式的收费一样？

【变式13-2】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：

不超过12吨超过12吨但超过18吨

月用水量

的部分不超过18吨的部分的部分

收费标准(元/吨)2.002.503.00

(1)若小明家3月份用水量是15吨，则需交水费一元；

(2)若小明家3月份交水费60元，求小强家3月份用水量是多少吨？

【变式13-3】某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过

50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.设小丽家每月

用气量为尤立方米，应交煤气费为'元.

(1)分别写出煤气不超过50立方米和超过50立方米时，V与x之间的关系式；

(2)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？

(3)已知小丽家6月份的煤气费平均每立方米0.95元，那么6月份小丽家用了多少立方米的煤气？

【变式13-4］综合与实践

为提倡节约用水，某地实施价格调控.该地自来水公司的收费价格如下表：(水费按月结算，n?表示立方米)

价目表

每月用水量价格

不超过5m3的部分37C/m3

超过5m3不超过lOn?的部分6%/m3

超过lOn?的部分97C/m3

节约用水

:人我做起

_寸%**

根据表中的内容，解答下列问题：

(1)小张家四月份的用水量为3.5n?,应缴水费_______元.

(2)若小张家某月的用水量为加？，试用含a的式子表示应缴水费.

(3)已知小张家八月份缴纳水费30元，求小张家八月份的用水量.

【考点题型十四一元一次方程的新定义问题】

【例14】已知点A在数轴上对应的数是。，点B在数轴上对应的数是b,且k+4|+e-1)2=0,现将A、B

之间的距离记作定义A5=|a-6].

⑴①求201助+a的值；

②求48的值.

(2)设点P在数轴上对应的数是x,且24=7,求尤的值.

(3)设点。在数轴上对应的数是加，当fiA+QB=9时，请直接写出机的值.

【变式14-1】定义：数轴上有A,B两点，若点A到原点的距离为点B到原点的距离的两倍，则称点A为

点B的2倍原距点.已知互不重合的三点A,M,N在数轴上表示的数分别为4,加，

A

IIIIIIIIjIIII»

-12-10-8-6-4-2024681012

(1)若点A是点M的2倍原距点，

①当点M在数轴正半轴上时，则7〃=;

②当点M在数轴负半轴上，且点M与点A的距离等于点M与点N的距离，判断点N是否是点A的2倍原

距点，并说明理由；

(2)若点N分别从数轴上表示数10,6的点出发向数轴负半轴运动，点M每秒运动速度为2个单位长

度，点N每秒运动速度为。个单位长度.若点M为点A的2倍原距点时，点A恰好也是点N的2倍原距点，

请求出。所有可能的值.

【变式14-2］定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”.

例如：方程2x=4和x+2=0为“和谐方程”.

⑴若关于x的方程3x+〃z=0与方程4x-2=x+10是“和谐方程”，求机的值；

(2)若“和谐方程”的两个解的差为4,其中一个解为"，求，的值；

(3)若无论加取任何有理数，关于x的方程经产=^+机("，6为常数)与关于'的方程y+l=2y-2都

是“和谐方程”,求。与，的值.

【变式14-3】新定义:如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如:方程2x=6

和3x+9=0为“友好方程”.

(1)若关于x的方程3x+%=0与方程2x-6=4是“友好方程”，求加的值；

(2)若某“友好方程”的两个解的差为6,其中一个方程的解为〃，求〃的值；

(3)若关于*的一元一次方程2x+3y-1=0和关于x的一元一次方程3x-5y+2=0是“友好方程”，求V的值.

【变式14-4］定义：若,"+〃=3,则称机与〃是关于3的巧数..

(1)1与—是关于3的巧数，5f与—是关于3的巧数(填一个含尤的代数式)；

(2)若a=，+6x-l,6=f-2(尤2+3尤-1)+2,判断。与b是否是关于3的巧数，并说明理由；

⑶若c=辰-1,d=x-4,且c与d是关于3的巧数，若x为正整数，求非负整数上的值.

【考点题型十五整体思想解决问题】

【例15］若尤=2是关于x的一元一次方程ax+b=4的解，贝!)代数式(2a+4+3(2。+6)-1的值是.

【变式15-1】阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知2a”=3,求代数式6a-36-1的值.”

可以这样解：6a-3匕-1=3(24-》)-1=3乂3-1=8.根据阅读材料，解决问题：若x=3是关于x的一元一

次方程加t+”=2的解，则代数式9〃7+3〃+1的值是.

【变式15-2］用整体思想解方程(3y-2)-一1二2-Gt-；)+?.

【变式15-3］数学李老师让同学们解方程g(10-2x)=6-g(2x-10).小亮认为“方程两边有分母，应该先去

分母”，小颖认为“方程中有10-2x及2x-10,且互为相反数，应该用整体思想求解”.请你分别用小亮、小

颖的方法求解该方程.

【考点题型十六分类讨论解决问题】

【例16】阅读理解：

AB

I____I___JI___III]___I_____I»

-4-3-2-1012345

定义：在数轴上表示x和y的两点之间的距离是K-y|,这是绝对值的几何意义.如图，在数轴上，点A表

示的数是-2,点B表示的数为3,贝U4B之间的距离为|3-(-2)|=5.另，线段4B的中点表示的数是0.5,即

(1)若在数轴上有A、B、C三点，A点对应的数是-4,且A、8两点间的距离为6,