2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.2.2空间中的平行关系第2课时平面与平面平行学案新人教B版必修2

PAGEPAGE1第2课时平面与平面平行1．了解空间中两个平面的位置关系．2．理解面面平行的定义．3．驾驭面面平行的判定定理、性质定理．1．空间两个平面的位置关系位置关系图示表示法公共点(直线)个数两平面平行α∥β无两平面相交斜交α∩β＝a有一条公共直线垂直α⊥βα∩β＝a有一条公共直线2．平面与平面平行的判定定理判定定理推论文字语言假如一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行假如一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行图形语言符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂β,b⊂β,a∩b＝P,a∥α,b∥α))⇒β∥αeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊂β，b⊂β，a∩b＝P,a′⊂α，b′⊂α，a′∩b′＝P′,a∥a′，b∥b′))⇒β∥α3．平面与平面平行的性质性质定理可表述如下：文字语言假如两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,))⇒a∥b图形语言1．若α∥β，a⊂α，b⊂β，下列几种说法中正确的是()①a∥b；②a与β内多数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a∥β．A．①② B．②④C．②③ D．①③④答案：B2．已知三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点．求证：平面DEF∥平面ABC．证明：如图所示，在△PAB中，因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．又知AB⊂平面ABC，因此DE∥平面ABC．同理，EF∥平面ABC．又因为DE∩EF＝E，所以平面DEF∥平面ABC．3．平行于同一个平面的两条直线是否也肯定平行？解：不肯定．平行、相交、异面都有可能．平面与平面平行的判定正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别是CC1、AA1的中点，求证：平面BDE∥平面B1D1F．【证明】设G是BB1的中点，连接CG、DF、FG．因为FGeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AB，ABeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DC，所以FGeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DC．所以四边形FGCD是平行四边形，则DFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))CG．由题设可得EB1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))CG，则DFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))EB1．所以四边形DFB1E是平行四边形．所以B1F∥ED，因为B1F⊄平面BDE，ED⊂平面BDE，所以B1F∥平面BDE．又因为B1D1∥BD，B1D1⊄平面BDE，BD⊂平面BDE，所以B1D1∥平面BDE．因为B1D1∩B1F＝B1，所以平面BDE∥平面B1D1F．eq\a\vs4\al()证明面面平行的方法(1)要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面．(2)判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作协助线．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且BE＝CF＝AG．求证：平面EFG∥平面ABC．证明：作EP⊥BB1于P，连接PF．在正三棱柱ABC­A1B1C1的侧面ABB1A1中，易知A1B1⊥BB1．又EP⊥BB1，所以EP∥A1B1∥AB．所以eq\f(BE,BA1)＝eq\f(BP,BB1)，EP∥平面ABC．又因为BE＝CF，BA1＝CB1，所以eq\f(CF,CB1)＝eq\f(BP,BB1)，所以PF∥BC，则PF∥平面ABC．因为EP∩PF＝P，所以平面PEF∥平面ABC．因为EF⊂平面PEF，所以EF∥平面ABC．同理，GF∥平面ABC．因为EF∩GF＝F，所以平面EFG∥平面ABC．面面平行的性质已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA＝SB＝SC，SG为△SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试推断SG与平面DEF的位置关系，并赐予证明．【解】SG∥平面DEF，证明方法如下：法一：连接CG交DE于点H，连接FH，因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥AB．在△ACG中，D是AC的中点，且DH∥AG，所以H为CG的中点．所以FH是△SCG的中位线，所以FH∥SG．又SG⊄平面DEF，FH⊂平面DEF，所以SG∥平面DEF．法二：因为EF为△SBC的中位线，所以EF∥SB．因为EF⊄平面SAB，SB⊂平面SAB，所以EF∥平面SAB．同理DF∥平面SAB，EF∩DF＝F，所以平面SAB∥平面DEF．又因为SG⊂平面SAB，所以SG∥平面DEF．eq\a\vs4\al()两平面平行问题经常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行，所以要留意转化思想的应用．两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实驾驭好．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P­ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．解：当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE， ①由EM＝eq\f(1,2)PE＝ED，知E是MD的中点，连接BM，BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接OE，则BM∥OE， ②由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF⊂平面BFM，所以BF∥平面AEC．面面平行的判定与性质的综合问题如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN．求证：MN∥平面AA1B1B．【证明】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，因为MP∥BB1，所以eq\f(CM,MB1)＝eq\f(CP,PB)．因为BD＝B1C，DN＝CM，所以B1M＝BN，所以eq\f(CM,MB1)＝eq\f(DN,NB)，所以eq\f(CP,PB)＝eq\f(DN,NB)，所以NP∥CD∥AB．因为NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，所以NP∥平面AA1B1B．因为MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B．所以MP∥平面AA1B1B．又因为MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，所以平面MNP∥平面AA1B1B．因为MN⊂平面MNP，所以MN∥平面AA1B1B．eq\a\vs4\al()要证面面平行需先在一个平面内找出两条相交直线，证这两条直线分别与另一平面平行，再依据面面平行的判定定理得出结论．如图，平面α∥平面β，△ABC与△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′、BB′、CC′相交于点O，点O在α、β之间，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OA∶OA′＝3∶2，求△A′B′C′的面积．解：依据题意有S△ABC＝eq\f(\r(3),2)．因为AA′、BB′相交．所以直线AA′、BB′确定一个平面ABA′B′，因为平面α∥平面β，所以AB∥A′B′，易得△ABO∽△A′B′O， ①△ABC∽△A′B′C′， ②由①得eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(OA,OA′)＝eq\f(3,2)，由②得eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AB,A′B′)))eq\s\up12(2)＝(eq\f(3,2))2，所以S△A′B′C′＝eq\f(2\r(3),9)．1．平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点；(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ．2．利用面面平行的性质定理证明线线平行的基本步骤(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由定理得出结论．3．对“线线平行”“线面平行”“面面平行”之间的关系相识．三者之间的转化关系如图所示从线线平行、线面平行、面面平行之间的关系可以看出证明立体几何问题所用的核心思想是转化思想．面面平行的判定定理中有五个条件，也是缺一不行．若没有两“相交”直线这个条件，不肯定有面面平行，也可能相交．1．设直线l⊄平面α，则过l作平面β，使β∥α，这样的β()A．只能作一个 B．至多可作一个C．不存在 D．至少可作一个解析：选B．当l与平面α相交时，平面β不存在，当l∥α时，可作一个平面．2．下列说法中，错误的是()A．平行于同始终线的两个平面平行B．平行于同一平面的两个平面平行C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交解析：选A．平行于同始终线的两个平面有可能相交，如正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ABCD与A1ABB1都与C1D1平行，但平面ABCD与A1ABB1相交．3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a和平面β的位置关系是．答案：a∥β4．过正方体ABCD­A1B1C1D1的三顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是．解析：因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面A1C1B＝l，平面A1B1C1D1∩平面A1C1B＝A1C1，所以l∥A1C1(面面平行的性质定理)．答案：平行[学生用书P95(单独成册)])[A基础达标]1．若三条直线，a，b，c满意a∥b∥c，且a⊂α，b⊂β，c⊂β，则两个平面α、β的位置关系是()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．不能确定答案：C2．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内过B的全部直线中()A．不肯定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在多数条与a平行的直线D．存在唯一与a平行的直线答案：A3．已知m、n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题，其中正确的命题的个数是()①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β＝n，m∥n，则m∥α，m∥β．A．0 B．1C．2 D．3解析：选A．①不正确，n∥α，过n作平面β与α相交，n与其交线平行，m⊂α，m不肯定与其交线平行；②不正确，设α∩β＝l，m∥l，也可有m∥α，且m∥β；③不正确，有m⊂α或m⊂β的可能．4．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为()A．平行 B．相交C．平行或相交 D．可能重合解析：选C．若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．5．在正方体EFGH­E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G解析：选A．如图，因为EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1，所以EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，又H1E∩EG＝E，所以平面E1FG1∥平面EGH1．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和D，E，F，已知AB＝6，eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，则AC＝．解析：因为α∥β∥γ，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)．由eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，得eq\f(DE,EF)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(AB,BC)＝eq\f(2,3)．而AB＝6，所以BC＝9，所以AC＝AB＋BC＝15．答案：157．已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若a，b相交，且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b．其中，正确命题的序号是．解析：①错误，α与γ也可能相交；②正确，依题意，由a，b确定的平面γ，满意γ∥α，γ∥β，故α∥β；③正确，由线面平行的基本性质可知．答案：②③8．如图是正方体的平面绽开图，在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF．以上四个命题中，正确命题的序号是．解析：以ABCD为下底面还原正方体，如图，则易判定四个命题都是正确的．答案：①②③④9．如图，在几何体ABC­A′B′C′中，∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，求证：平面ABC∥平面A′B′C′．证明：在四边形ABB′A′中，因为∠1＋∠2＝180°，所以A′B′∥AB．又因为A′B′⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以A′B′∥平面ABC．同理可证B′C′∥平面ABC．又因为A′B′∩B′C′＝B′，所以平面ABC∥平面A′B′C′．10．如图，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD的中点．(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D．解：(1)证明：法一：如图，连接AC，CD1．因为P，Q分别是AD1，AC的中点，所以PQ∥CD1．又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，所以PQ∥平面DCC1D1．法二：取AD的中点G，连接PG，GQ，则有PG∥DD1，GQ∥DC，且PG∩GQ＝G，所以平面PGQ∥平面DCC1D1．又PQ⊂平面PGQ，所以PQ∥平面DCC1D1．(2)由第一问易知PQ＝eq\f(1,2)D1C＝eq\f(\r(2),2)a．(3)证明：法一：取B1D1的中点O1，连接FO1，BO1，则有FO1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)B1C1．又BEeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)B1C1，所以BEeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))FO1．所以四边形BEFO1为平行四边形，所以EF∥BO1，又EF⊄平面BB1D1D，BO1⊂平面BB1D1D，所以EF∥平面BB1D1D．法二：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，且FE1∩EE1＝E1，所以平面EE1F∥平面BB1D1D．又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1D．[B实力提升]11．已知m、n表示两条直线，α、β、γ表示三个平面，则下列命题中正确的个数是()①若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β；②若存在a、b⊂α，c、d⊂β使a∥c，b∥d，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β．A．0 B．1C．2 D．3解析：选A．①错，可考虑三棱柱模型，三棱柱的三个侧面中随意两个与第三个侧面相交，两条交线即侧棱相互平行，但这两个侧面不平行；②错；③错．故选A．12．几何体ABCD­A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝eq\f(a,3)，过P、M、N三点的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ等于．解析：取CD上一点Q，使CQ＝eq\f(a,3)，又由AP＝eq\f(a,3)，所以PQ∥AC．而由正方体的性质知：AC∥A1C1，M、N分别为A1B1、B1C1的中点，所以MN∥A1C1，所以MN∥AC，所以MN∥PQ，所以面MNQP为过点P、M、N的平面，在△DAC中，AP＝CQ＝eq\f(a,3)，所以PQ＝eq\r(2)DQ＝eq\f(2\r(2),3)a．答案：eq\f(2\r(2),3)a13．如图所示，四边形EFGH为三棱锥A­BCD的一个截面，若截面为平行四边形，(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．解：(1)证明：因为四边形E