中考数学总复习提升专项知识整式与因式分解(讲义2考点+2命题点14种题型(含7种解题技巧))含答案及解析

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第一章数与式第02讲整式与因式分解（思维导图+4考点+2命题点14种题型（含7种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一代数式考点二整式的相关概念考点三整式的运算考点四因式分解04题型精研·考向洞悉命题点一整式及其相关计算题型01实际问题中的代数式题型02求代数式的值.题型03整式的加减题型04幂的混合运算题型05整式的乘除题型06乘法公式的应用题型07整式的化简求值题型08整式的混合运算题型09判断因式分解的正误题型10因式分解题型11因式分解的应用命题点二规律探索及新定义问题题型01图形类规律探索题型02数字类规律探索题型03数式中的新定义问题试卷第=page11页，共=sectionpages33页

01考情透视·目标中考考点考查频率新课标要求列代数式★能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示代数式求值★★将具体数代入代数式进行计算整式的加减★★1.了解整数指数罪的意义和基本性质；2.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；3.能进行简单的整式加减乘除运算；4.理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理；5.灵活运用多种方法化简代数式.幂的运算★★整式的乘除★★整式的混合运算★★★因式分解★★★能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超过二次)进行因式分解(指数为正整数).【考情分析】本专题包含整式的概念、整式的运算及因式分解，是中考的必考内容，试题形式多样，难度不大，乘法公式的灵活运用是整式运算中的重要内容，同时在整式的化简求值及因式分解中也都有所体现.整式求值计算中经常用到整体代入法，在应用的过程中注意观察已知与所求间的关系，因式分解一般以填空题的形式出现，注意分解要彻底.02知识导图·思03考点突破·考考点一代数式1.列代数式定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式.代数式的书写要求：1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写.3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数.4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.2.代数式的值定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值.求代数式的值的步骤：1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的.1．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式−3x的意义表述正确的是（

）A．−3与x的和 B．−3与x的差 C．−3与x的积 D．−3与x的商2．（2024·广东广州·中考真题）若a2−2a−5=0，则23．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为公里．（用含x的代数式表示）4．（2024·广东广州·中考真题）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR1+IR2+IR3．当R

5．（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H=．①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．考点二整式的相关概念1.单项式单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.注意：圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母；单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.注意：单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.例如：单项式的次数是2＋3＋4=9而不是14.2.多项式多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.注意：1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式.升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．3.整式定义：单项式与多项式统称为整式.1．（2024·江西·中考真题）观察a，a2，a3，a42．（2024·吉林长春·中考真题）单项式−2a2b3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（

）A．90 B．91 C．92 D．934．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记ai,j为数表中第i行第j列位置的数字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若a5．（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：−2，4，−8，16，−32，64，……0，7，−4，21，−26，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．QUOTEQUOTE考点三整式的运算1.同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可.2.合并同类项定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变）3.去括号与添括号添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号.【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.4.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项；5.幂的运算幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式.1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数）2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数）注意：幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”．3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数）4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数）5）零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）.6.整式的乘除1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即.实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式.3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即.【易错易混】①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．4）单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.5）多项式除以单项式运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.7.乘法公式1）平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.2）平方差公式的推导①用多项式的乘法推导平方差公式②通过面积法推导平方差公式：如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到.【补充】常见验证平方差公式的几何图形3）完全平方公式完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即.特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）：①②③④⑤4）完全平方公式的推导①用多项式的乘法推导完全平方公式：②通过面积法推导完全平方公式：①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到；②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到.8.整式的混合运算定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算.运算顺序:先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.1．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（

）A．2x2y−3xC．x−y−x−y=x2．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足2a+2a+⋅⋅⋅+2aA．a+3=8b B．3a=8b C．a+3=b8 3．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上y2+3xy−4，结果是3xy+2y4．（2023·江苏南京·中考真题）计算23×45．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：2a+b2−2a+b2a−b÷2b考点四因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【补充说明】1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可.2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．2.公因式定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式.注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.3.提公因式法分解因式定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：.实质：乘法分配律的逆用.关键：准确找出多项式各项的公因式.4.公因式法分解因式定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法.逆用平方差法分解因式：逆用完全平方公式分解因式：5.因式分解的一般步骤：

1．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（

）A．ax2−a=aC．x2+2x−3=xx+22．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则(2k+3)2−4kA．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除3．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9y24．（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解3ax220．（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn5．（2023·四川内江·中考真题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c−10|+b−8=12a−36，则4题型精研·考命题点一整式及其相关计算题型01实际问题中的代数式.代数式的书写要求：1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写.3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数.4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（

）A．8x元 B．10(100−x)元 C．8(100−x)元 D．(100−8x)元2．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是（用含a的代数式表示）．3．（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝；（2）设甲盒中都是黑子，共m(m>2)个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出a(1<a<m)个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有x(0<x<a)个白子，此时乙盒中有y个黑子，则yx的值为4．（2023·山东临沂·中考真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．(1)这台M型平板电脑价值多少元？(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？题型02求代数式的值.求代数式的值的步骤：1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的.1．（2024·四川·中考真题）已知x2+2x=3，那么2x2．（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn3．（2024·山东济宁·中考真题）已知a2−2b+1=0，则4ba4．（2023·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程2x2−3x=−1的两个实数根分别为x1和x2题型03整式的加减1．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：2a(a−1)−2a2=A．a B．−a C．2a D．−2a2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式−x2my3与单项式2xA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（

）．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数4．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S1(1)请用含a的式子分别表示S1,S2；当(2)比较S1与SQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE题型04幂的混合运算计算时可能用到以下公式：1)2）3)4)5)【注意】同底数幂的运算法则只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化成同底数，若不能则不能用同底数幂的运算法则进行计算.1．（2024·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（

）A．m3⋅m3=m6 B．2．（2024·山西·中考真题）下列各式中，运算结果为6m4的是（

A．3m+3m3 B．−3m22 3．（2024·上海·中考真题）计算：4x24．（2024·天津·中考真题）计算x8÷xQUOTE题型05整式的乘除整式的乘除法单项式×单项式例：系数相乘，字母相乘单项式×多项式例：利用乘法分配律，化为单项式×单项式多项式×多项式例：1.要按一定顺序进行,注意做到不重不漏,确定积中每项的符号时,按“同号得正,异号得负”的法则确定.2.多项式与多项式相乘,仍得多项式，有同类项时要合并同类项.单项式÷单项式例：运算顺序：首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号.多项式÷单项式例：1.多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致,在计算时不要漏项；2.计算时，多项式的各项要包括它前面的符号,注意符号的变化.1．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（

）A．x−2x=x B．x(x+3)=C．−2x232．（2024·四川德阳·中考真题）下列计算正确的是（

）A．a2⋅aC．aa+1=a3．（2023·山东青岛·中考真题）计算：8x34．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)a3−a(2)1+2题型06乘法公式的应用1．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：①a+b2=a2+2ab+b③(a+b)(a−b)=a2−b2

其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知2a2−a−3=0，则(2a+3)(2a−3)+A．6 B．−5 C．−3 D．43．（2024·四川乐山·中考真题）已知a−b=3，ab=10，则a2+24．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am−bn=2，an+bm=4．

（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是；（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是．4．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用m题型07整式的化简求值一般这类题会利用整体代入法/间接代入法求值，[整体代入法]从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算.[间接代入法]将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.[赋值法]给未知数赋予一些特殊值，将其代入等式中，得到所求代数式的形式，从而求出代数式的值.一般情况下，多是代入-1、0、1这三个值.1．（2024·四川成都·中考真题）若m，n为实数，且m+42+n−5=0，则2．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当a+b=3时，代数式2(a+2b)−(3a+5b)+5的值为．3．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程x2+2024x−4=0的两个解，则a24．（2023·四川凉山·中考真题）已知x2−2x−1=0，则3x5．（2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2−2x+y2x−y−2y6．（2024·北京·中考真题）已知a−b−1=0，求代数式3a−2b题型08整式的混合运算1．（2022·江苏无锡·中考真题）计算：(1)−1(2)aa+22．（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：x+2yx−2y3．（2022·重庆·中考真题）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．例如：M=2543，∵32又如：M=4325，∵52+2(1)判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；(2)一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记GM=c+d9，PM=10题型09判断因式分解的正误1．（2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（

）A．(a+3)2=aC．5ax2−5a2．（2023·湖南益阳·中考真题）下列因式分解正确的是（

）A．2a2−4a+2=2C．4a2−3．（2024·河北秦皇岛·一模）对于①2x−xy=x2−y，②x−32=A．都是因式分解 B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算 D．①是乘法运算，②是因式分解4．（2024·河北邯郸·模拟预测）将多项式“4m2−?”因式分解，结果为(2m+3)(2m−3)A．3 B．−3 C．9 D．−9题型10因式分解1．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9y22．（2023·浙江嘉兴·中考真题）一个多项式，把它因式分解后有一个因式为(x+1)，请你写出一个符合条件的多项式：．3．（2024·山东威海·中考真题）因式分解：x+2x+4+1=4．（2023·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：x2+xy−xz−yz=题型11因式分解的应用1．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则(2k+3)2−4kA．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除2．（2023·湖南·中考真题）已知实数m、x1、x2满足：①若m=13，x②若m、x1、x2为正整数，则符合条件的有序实数对x13．（2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式：3(1)写出192(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．4．（2024·福建·中考真题）已知实数a,b,c,m,n满足3m+n=b(1)求证：b2(2)若a,b,c均为奇数，m,n是否可以都为整数？说明你的理由．5．（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a−3ab−4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式=解法二：原式=【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将x2【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和ba>b，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a命题点二规律探索及新定义问题题型01图形类规律探索1．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．20252．（2023·四川绵阳·中考真题）如下图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成以下图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3

A．2021 B．6184 C．5898403．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？4．（2023·安徽·中考真题）【观察思考】【规律发现】请用含n的式子填空：(1)第n个图案中“”的个数为；(2)第1个图案中“★”的个数可表示为1×22，第2个图案中“★”的个数可表示为2×32，第3个图案中“★”的个数可表示为3×42，第4个图案中“★”的个数可表示为4×5【规律应用】(3)结合图案中“★”的排列方式及上述规律，求正整数n，使得连续的正整数之和1+2+3+⋯+n等于第n个图案中“”的个数的2倍．题型02数字类规律探索1．（2024·江苏徐州·中考真题）观察下列各数：3、8、18、38、…，按此规律，第5～7个数可能为（

）A．48、58、68 B．58、78、98 C．76、156、316 D．78、158、3182．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数2,2,则第八行左起第1个数是（

）A．72 B．82 C．58 3．（2023·西藏·中考真题）按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的第4．（2023·黑龙江大庆·中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律，(a+b)7展开的多项式中各项系数之和为QUOTE题型03数式中的新定义问题解题方法：新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏感程度.1．（2024·河北·中考真题）“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（

）A．“20”左边的数是16 B．“20”右边的“□”表示5C．运算结果小于6000 D．运算结果可以表示为4100a+10252．（2023·重庆·中考真题）在多项式x−y−z−m−n（其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x−y−|z−m|−n=x−y−z+m−n，x−y−z−m−n=x−y−z−m+n①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．33．（2023·四川广安·中考真题）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b=xa+yb．若2※4．（2024·重庆·中考真题）我们规定：若一个正整数A能写成m2−n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2−n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602=252−23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602=252−23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A=m2−n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B5．（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2YYDS（永远的神）：2200DDDD（懂的都懂）：2200等于200JXND（觉醒年代）：2200QGYW（强国有我）：我知道210=1024, 103其中对2200的理解错误的网友是

第一章数与式第02讲整式与因式分解（思维导图+4考点+2命题点14种题型（含7种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一代数式考点二整式的相关概念考点三整式的运算考点四因式分解04题型精研·考向洞悉命题点一整式及其相关计算题型01实际问题中的代数式.题型02求代数式的值.题型03整式的加减题型04幂的混合运算题型05整式的乘除题型06乘法公式的应用题型07整式的化简求值题型08整式的混合运算题型09判断因式分解的正误题型10因式分解题型11因式分解的应用命题点二规律探索及新定义问题题型01图形类规律探索题型02数字类规律探索题型03数式中的新定义问题

01考情透视·目标中考考点考查频率新课标要求列代数式★能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示代数式求值★★将具体数代入代数式进行计算整式的加减★★1.了解整数指数罪的意义和基本性质；2.理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；3.能进行简单的整式加减乘除运算；4.理解乘法公式，了解公式的几何背景，能利用公式进行简单的计算和推理；5.灵活运用多种方法化简代数式.幂的运算★★整式的乘除★★整式的混合运算★★★因式分解★★★能用提公因式法、公式法(直接利用公或不超过二次)进行因式分解(指数为正整数).【考情分析】本专题包含整式的概念、整式的运算及因式分解，是中考的必考内容，试题形式多样，难度不大，乘法公式的灵活运用是整式运算中的重要内容，同时在整式的化简求值及因式分解中也都有所体现.整式求值计算中经常用到整体代入法，在应用的过程中注意观察已知与所求间的关系，因式分解一般以填空题的形式出现，注意分解要彻底.02知识导图·思03考点突破·考考点一代数式1.列代数式定义：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，这就是列代数式.代数式的书写要求：1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写.3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数.4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.2.代数式的值定义：根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值.求代数式的值的步骤：1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的.1．（2024·四川广安·中考真题）下列对代数式−3x的意义表述正确的是（

）A．−3与x的和 B．−3与x的差 C．−3与x的积 D．−3与x的商【答案】C【分析】本题考查了代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．根据−3x中的运算关系解答即可．【详解】解：代数式−3x的意义可以是−3与x的积．故选C．2．（2024·广东广州·中考真题）若a2−2a−5=0，则2【答案】11【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，得出条件的等价形式是解题关键．由a2−2a−5=0，得【详解】解：∵a∴a∴2a故答案为：11．3．（2023·吉林长春·中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程为公里．（用含x的代数式表示）【答案】7.5−10x【分析】根据题意列出代数式即可．【详解】根据题意可得，他离健康跑终点的路程为7.5−10x．故答案为：7.5−10x．【点睛】此题考查了列代数式，解题的关键是读懂题意．4．（2024·广东广州·中考真题）如图，把R1，R2，R3三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则U=IR1+IR2+IR3．当R

【答案】220【分析】本题考查了代数式求值，乘法运算律，掌握相关运算法则，正确计算是解题关键．根据U=IR【详解】解：∵U=IR当R1=20.3，R2=31.9，U=20.3×2.2+31.9×2.2+47.8×2.2=20.3+31.9+47.8故答案为：220．5．（2024·四川雅安·中考真题）如图是1个纸杯和若干个叠放在一起的纸杯的示意图，在探究纸杯叠放在一起后的总高度H与杯子数量n的变化规律的活动中，我们可以获得以下数据（字母），请选用适当的字母表示H=．①杯子底部到杯沿底边的高h；②杯口直径D；③杯底直径d；④杯沿高a．【答案】ℎ+an【分析】本题考查的是列代数式，由总高度H等于杯子底部到杯沿底边的高h加上n个杯子的杯沿高na即可得到答案；【详解】解：由题意可得：H=ℎ+an，故答案为：ℎ+an；考点二整式的相关概念1.单项式单项式的定义：由数字与字母、字母与字母的乘积组成的式子叫单项式.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.注意：圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数，而不能当成字母；单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.注意：单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.例如：单项式的次数是2＋3＋4=9而不是14.2.多项式多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.多项式的次数：一个多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.注意：1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；2）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式.升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．3.整式定义：单项式与多项式统称为整式.1．（2024·江西·中考真题）观察a，a2，a3，a4【答案】a【分析】此题考查了单项式规律探究．分别找出系数和次数的规律，据此判断出第n个式子是多少即可．【详解】解：∵a，a2，a3，∴第n个单项式的系数是1；∵第1个、第2个、第3个、第4个单项式的次数分别是1、2、3、4，…，∴第n个式子是an∴第100个式子是a100故答案为：a1002．（2024·吉林长春·中考真题）单项式−2a2b【答案】3【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是需灵活掌握单项式的系数和次数的定义，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．【详解】单项式−2a2b故答案为：3．3．（2024·山东济宁·中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形．第一幅图有1个正方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形……按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（

）A．90 B．91 C．92 D．93【答案】B【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律．仔细观察图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有5=12+【详解】第1个图形有1个正方形，第2个图形有5=1第3个图形有14=1……第6个图形有12故选：B.4．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记ai,j为数表中第i行第j列位置的数字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22．若a【答案】452【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为k2时，若k为奇数，则k2在第k行，第1列，下一个数再下一行，上一个数在第2列；若k为偶数，则k2【详解】解：由图中排布可知，当正整数为k2若k为奇数，则k2在第k若k为偶数，则k2在第1行，第k∵am,n而2025=452，在第∴2024在第45行，第2列，∴m=45，n=2，故答案为：45，2．5．（2023·湖北恩施·中考真题）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：−2，4，−8，16，−32，64，……0，7，−4，21，−26，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为．【答案】1024−【分析】通过观察第一行数的规律为(−2)n，第二行数的规律为(−2)【详解】第一行数的规律为(−2)n，∴第①行数的第10个数为(−2)第二行数的规律为(−2)n∴第①行数的第2023个数为(−2)2023，第②行数的第2023个数为(−2)∴−2故答案为：1024；−2【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.QUOTEQUOTE考点三整式的运算1.同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.判断同类项的标准：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，缺一不可.2.合并同类项定义：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.（简称：一相加两不变）3.去括号与添括号添（去）括号法则：括号外是“+”，添(去)括号不变号；括号外是“-”，添(去)括号都变号.【补充】去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.4.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项.【补充说明】整式加减实际上就是：去括号、合并同类项；5.幂的运算幂的运算法则中底数a的规定：底数a可以是单项式，也可以是多项式.1）同底数幂相乘底数不变，指数相加，即（m，n都是整数）2）幂的乘方底数不变，指数相乘，即（m，n都是整数）注意：幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指“幂”的底数“a”不变．例如：，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“”，指数相乘是指“3×2”．3）积的乘方积的乘方等于把每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘，即（n为整数）4）同底数幂的除法底数不变，指数相减，即（a≠0，m，n都为整数）5）零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1，即（a≠0）.6.整式的乘除1）单项式乘单项式运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.实质：乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.2）单项式乘多项式运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即.实质：利用乘法的分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式.3）多项式乘多项式运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即.【易错易混】①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；

②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．4）单项式除以单项式运算法则：一般地,单项式相除,把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.5）多项式除以单项式运算法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.实质：把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.7.乘法公式1）平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即：特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.2）平方差公式的推导①用多项式的乘法推导平方差公式②通过面积法推导平方差公式：如图1所示，左侧涂色部分的面积为，右侧涂色部分的面积为，所以可以得到.【补充】常见验证平方差公式的几何图形3）完全平方公式完全平方公式：两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的两倍.即.特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央，中间符号同前方.完全平方式的常见变形（①-⑤基础必须掌握）：①②③④⑤4）完全平方公式的推导①用多项式的乘法推导完全平方公式：②通过面积法推导完全平方公式：①如图甲所示是一个边长为a+b的正方形，面积为，它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，所以可以得到；②如图乙所示，边长为a-b的小正方形的面积是，它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，所以可以得到.8.整式的混合运算定义：含有整式的加减、乘除及乘方的多种运算叫做整式的混合运算.运算顺序:先乘方，再乘除，后加减，有括号时，先算括号里的，去括号时，先去小括号，再去中括号，最后去大括号.1．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（

）A．2x2y−3xC．x−y−x−y=x【答案】D【分析】根据合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方进行判断即可求解．【详解】解：A、2x2yB、4xC、x−y−x−yD、x2故选：D．【点睛】本题考查合并同类项法则、单项式除以单项式法则、平方差公式、积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．2．（2024·河北·中考真题）若a，b是正整数，且满足2a+2a+⋅⋅⋅+2aA．a+3=8b B．3a=8b C．a+3=b8 【答案】A【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．由题意得：8×2【详解】解：由题意得：8×2∴23∴3+a=8b，故选：A．3．（2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上y2+3xy−4，结果是3xy+2y【答案】y【分析】本题考查整式的加减运算，根据题意“一个多项式加上y2+3xy−4，结果是3xy+2y【详解】解：依题意这个多项式为3xy+2=3xy+2=y故答案为：y4．（2023·江苏南京·中考真题）计算23×4【答案】1【分析】本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得．【详解】解：2==故答案为：1165．（2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：2a+b2−2a+b2a−b÷2b【答案】2a+b，3【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可．【详解】解：2a+b====2a+b，当a=2，b=−1时，原式=2×2+−1考点四因式分解1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【补充说明】1）因式分解分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可.2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算，且因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．2.公因式定义：多项式的各项中都含有相同的因式，我们把这个相同的因式就叫做公因式.注意：公因式可以是一个单项式，也可以是一个多项式.3.提公因式法分解因式定义：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，即：.实质：乘法分配律的逆用.关键：准确找出多项式各项的公因式.4.公因式法分解因式定义：运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法.逆用平方差法分解因式：逆用完全平方公式分解因式：5.因式分解的一般步骤：

1．（2023·四川攀枝花·中考真题）以下因式分解正确的是（

）A．ax2−a=aC．x2+2x−3=xx+2【答案】B【分析】利用平方差公式，x2−1还可分解因式；利用十字相乘法，【详解】解：axm3x2故选：B．【点睛】本题考查因式分解，灵活掌握因式分解的方法是本题的关键．2．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则(2k+3)2−4kA．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】B【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．【详解】解：(2k+3)=(2k+3+2k)(2k+3−2k)=3(4k+3)，3(4k+3)能被3整除，∴(2k+3)2故选：B．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为a23．（2024·山东淄博·中考真题）若多项式4x2−mxy+9y2【答案】±12【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值．【详解】解：∵多项式4x∴4x∴m=±2×2×3故答案为：±12．4．（2024·内蒙古通辽·中考真题）因式分解3ax2【答案】3a【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：原式=3ax故答案为：3ax−y【点睛】本题考查因式分解．解题的关键是掌握因式分解的方法．20．（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn【答案】2【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．【详解】解：∵mn=2，m−n=1，∴m2故答案为：2．5．（2023·四川内江·中考真题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c−10|+b−8=12a−36，则【答案】45/【分析】由a2+|c−10|+b−8=12a−36，可得a−62【详解】解：∵a2∴a2∴a−62∴a−6=0，c−10=0，b−8=0，解得：a=6,b=8,c=10，∴a2∴∠C=90°，∴sinB=故答案为：45【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明∠C=90°是解本题的关键．4题型精研·考命题点一整式及其相关计算题型01实际问题中的代数式.代数式的书写要求：1）数字与字母、字母与字母相乘，通常把乘号写成“·”或省略不写；数与数相乘必须写乘号.2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写.3）除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数.4）若代数式的最后结果含有加、减运算，则要将整个式子用括号括起来，再写单位.1．（2022·湖南长沙·中考真题）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（

）A．8x元 B．10(100−x)元 C．8(100−x)元 D．(100−8x)元【答案】C【分析】根据题意列求得购买乙种读本100−x本，根据单价乘以数量即可求解．【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本100−x本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为8(100−x)元故选C【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键．2．（2023·江苏·中考真题）若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是（用含a的代数式表示）．【答案】π【详解】根据圆柱的体积=圆柱的底面积×圆柱的高，可得V=π故答案为：πa【点睛】本题主要考查代数式和整式的乘法运算，牢记整式乘法的运算性质是解题的关键．3．（2022·河北·中考真题）如图，棋盘旁有甲、乙两个围棋盒．（1）甲盒中都是黑子，共10个，乙盒中都是白子，共8个，嘉嘉从甲盒拿出a个黑子放入乙盒，使乙盒棋子总数是甲盒所剩棋子数的2倍，则a＝；（2）设甲盒中都是黑子，共m(m>2)个，乙盒中都是白子，共2m个，嘉嘉从甲盒拿出a(1<a<m)个黑子放入乙盒中，此时乙盒棋子总数比甲盒所剩棋子数多个；接下来，嘉嘉又从乙盒拿回a个棋子放到甲盒，其中含有x(0<x<a)个白子，此时乙盒中有y个黑子，则yx的值为【答案】4m+2a1【分析】①用列表的方式，分别写出甲乙变化前后的数量，最后按两倍关系列方程，求解，即可②用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，按要求计算写出代数式，化简，即可③用列表的方式，分别写出甲乙每次变化后的数量，算出移动的a个棋子中有x个白子，(a−x)个黑子，再根据要求算出y，即可【详解】答题空1：原甲：10原乙：8现甲：10-a现乙：8+a依题意：8+a=2×(10−a)解得：a=4故答案为：4答题空2：原甲：m原乙：2m现甲1：m-a现乙1：2m+a第一次变化后，乙比甲多：2m+a−(m−a)=2m+a−m+a=m+2a故答案为：m+2a答题空3：原甲：m黑原乙：2m白现甲1：m黑-a黑现乙1：2m白+a黑现甲2：m黑-a黑+a混合现乙2：2m白+a黑-a混合第二次变化，变化的a个棋子中有x个白子，(a−x)个黑子则：y=a−(a−x)=a−a+x=xy故答案为：1【点睛】本题考查代数式的应用；注意用表格梳理每次变化情况是简单有效的方法4．（2023·山东临沂·中考真题）大学生小敏参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，当她工作满20天后因故结束实习，结算工资时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．(1)这台M型平板电脑价值多少元？(2)小敏若工作m天，将上述工资支付标准折算为现金，她应获得多少报酬（用含m的代数式表示）？【答案】(1)这台M型平板电脑的价值为2100元(2)她应获得120m元的报酬【分析】（1）设这台M型平板电脑的价值为x元，根据题意，列出方程进行求解即可；（2）根据题意，列出代数式即可．【详解】（1）解：设这台M型平板电脑的价值为x元，由题意，得：x+150030解得：x=2100；∴这台M型平板电脑的价值为2100元；（2）解：由题意，得：m⋅2100+1500答：她应获得120m元的报酬．【点睛】本题考查一元一次方程的应用．找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．题型02求代数式的值.求代数式的值的步骤：1）代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；2）计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的.1．（2024·四川·中考真题）已知x2+2x=3，那么2x【答案】1【分析】把所求代数式进行适当变形，然后整体代入求解即可．【详解】解：∵x2∴2=2(=2×3−5=1故答案为：1．【点睛】本题考查的是求代数式的值，关键是利用整体思想把x22．（2024·江苏徐州·中考真题）若mn=2，m−n=1，则代数式m2n−mn【答案】2【分析】本题考查代数式求值．先将代数式进行因式分解，然后将条件代入即可求值．【详解】解：∵mn=2，m−n=1，∴m2故答案为：2．3．（2024·山东济宁·中考真题）已知a2−2b+1=0，则4ba【答案】2【分析】本题考查了代数式的求值，解题的关键是熟练掌握整体思想的运用．根据对已知条件进行变形得到a2【详解】解：∵a∴∴4b故答案为：24．（2023·湖北随州·中考真题）已知关于x的一元二次方程2x2−3x=−1的两个实数根分别为x1和x2【答案】1【分析】本题主要考查根与系数的关系，x1和x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根时，【详解】解：由2x2−3x=−1∵关于x的一元二次方程2x2−3x=−1的两个实数根分别为x∴x1+x∴x1故答案为：1．题型03整式的加减1．（2024·甘肃兰州·中考真题）计算：2a(a−1)−2a2=A．a B．−a C．2a D．−2a【答案】D【分析】本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】解：2a(a−1)−2=2=−2a故选：D．2．（2024·四川广元·中考真题）如果单项式−x2my3与单项式2xA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本题主要考查同类项和确定点的坐标，根据同类项的性质求出m,n的值，再确定点m,n的位置即可【详解】解：∵单项式−x2my∴单项式−x2my∴2m=4,2−n=3，解得，m=2,n=−1，∴点m,n在第四象限，故选：D3．（2023·湖北宜昌·中考真题）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（

）．日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031A．左上角的数字为a+1 B．左下角的数字为a+7C．右下角的数字为a+8 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数【答案】D【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可．【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有：左上角的数字为a−1，故选项A错误，不符合题意；左下角的数字为a+6，故选项B错误，不符合题意；右下角的数字为a+7，故选项C错误，不符合题意；把方框中4个位置的数相加，即：a−1+a+a+6+a+7=4a+12=4a+3故选：D．【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．4．（2023·河北·中考真题）现有甲、乙、丙三种矩形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示(a>1)．某同学分别用6张卡片拼出了两个矩形(不重叠无缝隙)，如图2和图3，其面积分别为S1(1)请用含a的式子分别表示S1,S2；当(2)比较S1与S【答案】(1)S1=a2+3a+2，(2)S1【分析】（1）根据题意求出三种矩形卡片的面积，从而得到S1,S2，S1+S2（2）利用（1）的结果，使用作差比较法比较即可．【详解】（1）解：依题意得，三种矩形卡片的面积分别为：S甲∴S1=S∴S1∴当a=2时，S1（2）S1∵S1=∴S∵a>1，∴S1∴S1【点睛】本题考查列代数式，整式的加减，完全平方公式等知识，会根据题意列式和掌握做差比较法是解题的关键．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE题型04幂的混合运算计算时可能用到以下公式：1)2）3)4)5)【注意】同底数幂的运算法则只适用于同底数幂的乘除，当底数不同时要看能否化成同底数，若不能则不能用同底数幂的运算法则进行计算.1．（2024·江苏镇江·中考真题）下列运算中，结果正确的是（

）A．m3⋅m3=m6 B．【答案】A【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、m3B、m3C、(mD、m6故选：A．2．（2024·山西·中考真题）下列各式中，运算结果为6m4的是（

A．3m+3m3 B．−3m22 【答案】C【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式，根据合并同类项，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式法则逐项排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】A、3m与3mB、−3mC、12mD、−2m故选：C．3．（2024·上海·中考真题）计算：4x2【答案】64【分析】本题考查了积的乘方以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．先将因式分别乘方，再结合幂的乘方计算即可．【详解】解：4x故答案为：64x4．（2024·天津·中考真题）计算x8÷x【答案】x【分析】本题考查同底数幂的除法，掌握同底数幂的除法，底数不变，指数相减是解题的关键．【详解】解：x8故答案为：x2QUOTE题型05整式的乘除整式的乘除法单项式×单项式例：系数相乘，字母相乘单项式×多项式例：利用乘法分配律，化为单项式×单项式多项式×多项式例：1.要按一定顺序进行,注意做到不重不漏,确定积中每项的符号时,按“同号得正,异号得负”的法则确定.2.多项式与多项式相乘,仍得多项式，有同类项时要合并同类项.单项式÷单项式例：运算顺序：首先将系数相除，然后将同底数幂相除，最后将被除式中单独有的字母连同它的指数一起作为商的一个因式，系数相除时要注意先确定商的符号.多项式÷单项式例：1.多项式除以单项式所得商的项数与多项式的项数一致,在计算时不要漏项；2.计算时，多项式的各项要包括它前面的符号,注意符号的变化.1．（2024·西藏·中考真题）下列运算正确的是（

）A．x−2x=x B．x(x+3)=C．−2x23【答案】C【分析】根据合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则逐项判断即可得出答案．【详解】解：A、x−2x=−x，故原选项计算错误，不符合题意；B、x(x+3)=xC、−2xD、3x故选：C．【点睛】本题考查了合并同类项、单项式乘以多项式、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键．2．（2024·四川德阳·中考真题）下列计算正确的是（

）A．a2⋅aC．aa+1=a【答案】B【分析】本题考查整式的运算，根据同底数幂的乘法，去括号，单项式乘以多项式，完全平方公式，逐一进行判断即可．【详解】解：A、a2B、−a−bC、aa+1D、a+b2故选B．3．（2023·山东青岛·中考真题）计算：8x3【答案】2xy【分析】利用积的乘方及单项式除以单项式的法则进行计算即可．【详解】解：原式=8=2xy，故答案为：2xy．【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．4．（2024·重庆·中考真题）计算：(1)a3−a(2)1+2【答案】(1)4a−2(2)x【分析】本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算∶（1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案；（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案．【详解】（1）解：a=3a−=4a−2；（2）解：1+===x题型06乘法公式的应用1．（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：①a+b2=a2+2ab+b③(a+b)(a−b)=a2−b2

其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】观察各个图形及相应的代数恒等式即可得到答案．【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，故选：D．【点睛】本题考查用图形面积解释代数恒等式，解题的关键是用两种不同的方法表示同一个图形的面积．2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知2a2−a−3=0，则(2a+3)(2a−3)+A．6 B．−5 C．−3 D．4【答案】D【分析】2a2−a−3=0变形为2a2【详解】解：由2a2−a−3=0∴(2a+3)(2a−3)+=4=8=4=4×3−8=4，故选：D．【点睛】本题主要考查了代数式求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，将(2a+3)(2a−3)+(2a−1)2变形为3．（2024·四川乐山·中考真题）已知a−b=3，ab=10，则a2+【答案】29【分析】本题考查了完全平方公式的变形．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键．根据a2【详解】解：由题意知，a2故答案为：29．24．（2023·浙江·中考真题）如图，分别以a,b,m,n为边长作正方形，已知m>n且满足am−bn=2，an+bm=4．

（1）若a=3,b=4，则图1阴影部分的面积是；（2）若图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，则图2阴影部分的面积是．【答案】255【分析】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；（2）根据题意，解方程组得出m=2a+4b3n=4a−2b3，根据题意得出m+n=【详解】解：（1）a=3,b=4，图1阴影部分的面积是a2故答案为：25．（2）∵图1阴影部分的面积为3，图2四边形ABCD的面积为5，∴a2+b2∴m+n=10∵am−bn=2，an+bm=4．解得：m=∵a2∴m=2a+4b∴m+n=6a+2b∴2a+2联立①②解得：a=30+91020∴2a+4b=30+3图2阴影部分的面积是1mn===故答案为：53【点睛】本题考查了整式的乘方与图形的面积，正方形的性质，勾股定理，二元一次方程组，解一元二次方程，正确的计算是解题的关键．4．（2023·四川成都·中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用m【答案】1557【分析】根据新定义，列举出前几个智慧优数，找到规律，进而即可求解．【详解】解：依题意，当m=3，n=1，则第1个一个智慧优数为3当m=4，n=2，则第2个智慧优数为4当m=4