2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.6空间直线平面的垂直8.6.3第2课时平面与平面垂直的性质课时作业含解析新人教A版必修第二册

PAGEPAGE7课时作业37平面与平面垂直的性质时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是(B)A．m∥n B．n⊥mC．n∥α D．n⊥α解析：由面面垂直的性质定理知，要使n⊥β，应有n与交线m垂直，∴应增加条件n⊥m.2．下列命题中错误的是(D)A．假如平面α⊥平面β，那么平面α内肯定存在直线平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内肯定不存在直线垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α⊥平面β，那么平面α内全部直线都垂直于平面β解析：由平面与平面垂直的有关性质可以推断出D项错误．3.如图所示，三棱锥P­ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则(B)A．PD⊂平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD与平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC解析：∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.4．(多选)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，ADBCAB＝234，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论，在翻折过程中，可能成立的结论的为(BC)A．DF⊥BCB．BD⊥FCC．平面DBF⊥平面BFCD．平面DCF⊥平面BFC解析：如图，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则A错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时，有BD⊥FC，而ADBCAB＝234，可使条件满意，所以B正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BFC，所以C正确；因为点D的投影不行能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即D错误．5．如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为eq\f(π,4)和eq\f(π,6).过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则ABA′B′等于(A)A．21B．31C．32D．43解析：由已知条件可知∠BAB′＝eq\f(π,4)，∠ABA′＝eq\f(π,6)，设AB＝2a，则BB′＝2asineq\f(π,4)＝eq\r(2)a，A′B＝2acoseq\f(π,6)＝eq\r(3)a，∴在Rt△BB′A′中，得A′B′＝a，∴ABA′B′＝21.6.如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(A)A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：连接AC1，如图所示，∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC.∵BC1⊥AC，AB∩BC1＝B，∴AC⊥平面ABC1.又∵AC⊂平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，又∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，∴点C1在底面ABC上的射影点H必在AB上．故选A.二、填空题7．如图，把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起，使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，相互垂直的平面有3对，其中1对是平面ADC与平面BDC(答案不唯一)．解析：由已知得CD⊥AB，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，又因为平面ADC⊥平面BDC，综上可知，相互垂直的平面有3对．8．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD的长为eq\r(2).解析：如图，连接BC，∵二面角α­l­β为直二面角，AC⊂α，且AC⊥l，∴AC⊥β，又BC⊂β，∴AC⊥BC，∴BC2＝AB2－AC2＝3，又BD⊥CD，∴CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(2).9．如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面相互垂直，则cosαcosβ＝eq\r(5)2.解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为5,2eq\r(5)，所以cosα＝eq\f(5,\r(25＋4))＝eq\f(5,\r(29))，cosβ＝eq\f(2\r(5),\r(29))，所以cosαcosβ＝eq\r(5)2.三、解答题10.把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面相互垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD.证明：∵平面ABC⊥平面BCD，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC.又AB⊂平面ABC，∴CD⊥AB，又AB⊥AC，CD∩AC＝C，∴AB⊥平面ACD.又AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面ACD.11.如图，在三棱锥P­ABC中，E，F分别为AC，BC的中点．(1)求证：EF∥平面PAB；(2)若平面PAC⊥平面ABC，且PA＝PC，∠ABC＝90°.求证：平面PEF⊥平面PBC.证明：(1)∵E，F分别为AC，BC的中点，∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB.(2)∵PA＝PC，E为AC的中点，∴PE⊥AC.又∵平面PAC⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，∴PE⊥BC.又∵F为BC的中点，∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°，∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E，∴BC⊥平面PEF.又∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEF.——实力提升类——12．如图所示，三棱锥P­ABC的底面在平面α内，PB⊥平面α，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(D)A．一条线段 B．一条直线C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点解析：∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′­BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(B)A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′­BCD的体积为eq\f(1,3)解析：取BD的中点O，连接A′O，OC，∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD，又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴A′O⊥平面BCD，∵CD⊥BD，∴OC不垂直于BD.假设A′C⊥BD，又A′C∩A′O＝A′，∴BD⊥平面A′OC，∴BD⊥OC与OC不垂直于BD冲突，∴A′C不垂直于BD，A错误．∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′D，∴A′C＝eq\r(2)，∵A′B＝1，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(3)，∴A′B2＋A′C2＝BC2，A′B⊥A′C，B正确．∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，C错误．VA′­BCD＝eq\f(1,3)S△A′BD·CD＝eq\f(1,6)，D错误，故选B.14．m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出如下命题：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若α⊥β，且n⊥β，n⊥m，则m⊥α；④α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α；⑤若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中正确命题的序号为①④.解析：依据平面与平面垂直的性质定理知①正确；②中，α、β可能平行，也可能相交，不正确；③中，m还可能在α内或m∥α，或m与α斜交，不正确；④中，α⊥β，m⊥β，m⊄α时，有m∥α，正确；⑤中，m与β的位置关系可能是m∥β或m⊂β或m与β相交，不正确．15．如图，已知PA⊥平面ABC，AD⊥PB，垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC＝90°.(1)证明：平面ADE⊥平面PAC.(2)作出平面ADE与平面ABC的交线l，并证明∠EAC是二面角E­l­C的平面角．(在图中体现作图过程不必写出画法)解：(1)证明：在三棱锥P­ABC中，BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，又AD⊂平面PAB，所以BC⊥AD，又AD⊥PB，PB∩BC＝B，所以AD⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以PC⊥AD，因为AE⊥PC且AE∩AD＝A，所以PC⊥平面ADE，因为PC⊂平面PAC