2024-2025学年高中数学专题强化训练2平面向量含解析北师大版必修4

PAGE1-专题强化训练(二)平面对量(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题中正确的是()A．eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→)) B．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝0C．0·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0 D．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))D[起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))；eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(BA,\s\up8(→))是一对相反向量，它们的和应当为零向量，eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))＝0；0·eq\o(AB,\s\up8(→))＝0.]2．已知点A(－1，－2)按向量a平移后变为A′(0，1)，点B(2，－1)按向量a平移后对应点B′的坐标为()A．(3，1) B．(1，3)C．(3，2) D．(2，3)C[设a＝(x，y)，则有－1＋x＝0，－2＋y＝1，所以a＝(1，3).点B(2，－1)按向量a平移后对应点B′的坐标为(3，2).]3．已知向量a，b满意|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－bA．4B．3C．2D．0B[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.]4．已知O为平面上的一个定点，A，B，C是该平面上不共线的三点，若(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))·(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→)))＝0，则△ABC是()A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形B[由题意知(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))·(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))－2eq\o(OA,\s\up8(→)))＝eq\o(CB,\s\up8(→))·(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))＝0，如图所示，其中eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AD,\s\up8(→))(点D为线段BC的中点)，所以AD⊥BC，即AD是BC的中垂线，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．故选B.]5．对随意向量a，b，下列关系式中不恒成立的是()A．|a·b|≤|a||b|B．|a－b|≤||a|－|b||C．(a＋b)2＝|a＋b|2D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2B[依据a·b＝|a||b|cosθ，又cosθ≤1，知|a·b|≤|a||b|，A恒成立．当向量a和b方向不相同时，|a－b|>||a|－|b||，B不恒成立．依据|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝(a＋b)2，C恒成立．依据向量的运算性质得(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，D二、填空题6．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________．1[(a＋b)·(ka－b)＝(k－1)(1＋a·b)，由于|a|＝1，|b|＝1，且a与b不共线，∴1＋a·b≠0.又(k－1)·(1＋a·b)＝0.∴k＝1.]7．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))，若a－2b与c共线，则k＝________．1[a－2b＝(eq\r(3)，3)，∵(a－2b)∥c，∴3－3k＝0，∴k＝1.]8．给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________．④[因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．]三、解答题9．已知|a|＝eq\r(2)，|b|＝1.(1)若a，b的夹角θ为45°，求|a－b|；(2)若(a－b)⊥b，求a与b的夹角θ.[解](1)|a－b|＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(2－2×\r(2)×1×\f(\r(2),2)＋1)＝1.(2)∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝a·b－b2＝eq\r(2)×1×cosθ－1＝0，∴cosθ＝eq\f(\r(2),2)，又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(π,4).10．已知eq\o(OP,\s\up8(→))＝(2，1)，eq\o(OA,\s\up8(→))＝(1，7)，eq\o(OB,\s\up8(→))＝(5，1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点).(1)求使eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))取得最小值时的eq\o(OC,\s\up8(→))；(2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB.[解](1)∵点C是直线OP上的一点，∴向量eq\o(OC,\s\up8(→))与eq\o(OP,\s\up8(→))共线，设eq\o(OC,\s\up8(→))＝teq\o(OP,\s\up8(→))(t∈R)，则eq\o(OC,\s\up8(→))＝t(2，1)＝(2t，t)，∴eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝(1－2t，7－t)，eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝(5－2t，1－t)，∴eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8.∴当t＝2时，eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))取得最小值，此时eq\o(OC,\s\up8(→))＝(4，2).(2)由(1)知eq\o(OC,\s\up8(→))＝(4，2)，∴eq\o(CA,\s\up8(→))＝(－3，5)，eq\o(CB,\s\up8(→))＝(1，－1)，∴|eq\o(CA,\s\up8(→))|＝eq\r(34)，|eq\o(CB,\s\up8(→))|＝eq\r(2)，eq\o(CA,\s\up8(→))·eq\o(CB,\s\up8(→))＝－3－5＝－8.∴cos∠ACB＝eq\f(\o(CA,\s\up8(→))·\o(CB,\s\up8(→)),|\o(CA,\s\up8(→))|·|\o(CB,\s\up8(→))|)＝－eq\f(4\r(17),17).1．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满意eq\o(AP,\s\up8(→))＝2eq\o(PM,\s\up8(→))，则eq\o(PA,\s\up8(→))·(eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))等于()A．－eq\f(4,9) B．－eq\f(4,3)C．eq\f(4,3) D．eq\f(4,9)A[eq\o(PA,\s\up8(→))·(eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→)))＝eq\o(PA,\s\up8(→))·2eq\o(PM,\s\up8(→))＝2|eq\o(PA,\s\up8(→))|·|eq\o(PM,\s\up8(→))|·cos180°＝2×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×(－1)＝－eq\f(4,9).]2．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，cosα))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，sinα))，a∥b，0≤α<2π，则角α等于()A．eq\f(π,6) B．eq\f(7π,6)C．eq\f(π,3)或eq\f(4π,3) D．eq\f(π,6)或eq\f(7π,6)D[因为a∥b，所以eq\f(3,2)sinα＝eq\f(\r(3),2)cosα，所以tanα＝eq\f(\r(3),3)，又0≤α<2π，所以α＝eq\f(π,6)或eq\f(7π,6).]3．在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠ABC＝eq\f(π,6)，D是BC的中点，则eq\o(BA,\s\up8(→))在eq\o(CD,\s\up8(→))方向上的射影是________．－eq\r(3)[由题意知，eq\o(BA,\s\up8(→))与eq\o(CD,\s\up8(→))所成的角为eq\f(5π,6)，∴eq\o(BA,\s\up8(→))在eq\o(CD,\s\up8(→))方向上的射影是2×coseq\f(5π,6)＝－eq\r(3).]4．已知e1，e2是夹角为eq\f(2π,3)的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．eq\f(5,4)[由题意得：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即keeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋e1·e2－2ke1·e2－2eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝0，则k＋coseq\f(2π,3)－2kcoseq\f(2π,3)－2＝0，化简得k＝eq\f(5,4).]5．已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(6，1)，eq\o(BC,\s\up8(→))＝(x，y)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(－2，－3).(1)若eq\o(BC,\s\up8(→))∥eq\o(DA,\s\up8(→))，求x与y之间的关系式；(2)在(1)条件下，若eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BD,\s\up8(→))，求x，y的值及四边形ABCD的面积．[解](1)∵eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(x＋4，y－2)，∴eq\o(DA,\s\up8(→))＝－eq\o(AD,\s\up8(→))＝(－x－4，2－y).又∵eq\o(BC,\s\up8(→))∥eq\o(DA,\s\up8(→))且eq\o(BC,\s\up8(→))＝(x，y)，∴x(2－y)－y(－x－4)＝0，即x＋2y＝0. ①(2)由于eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝(x＋6，y＋1)，eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＝(x－2，y－3)，又eq\o(AC,\s\up8(→))⊥eq\o(BD,\s\up8(→))，所以eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0. ②联立①②化简，得y2－2y－3＝0.解得y＝3