中考数学总复习提升专项知识相似三角形及其应用(练习)含答案及解析

第四章三角形第21讲相似三角形及其应用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似👉题型02选择合适的方法证明两个三角形相似👉题型03补全判定相似三角形的证明过程👉题型04以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程👉题型05利用相似三角形的性质求解👉题型06利用相似的性质求坐标👉题型07相似三角形在网格中的应用👉题型08相似三角形的性质与判定综合👉题型09利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题👉题型10利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象👉题型11利用相似三角形的性质与判定求线段比值👉题型12利用相似三角形的性质与判定求最值👉题型13利用相似三角形的性质与判定解决动点问题👉题型14利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题👉题型15利用相似三角形列函数关系式👉题型16利用三点定形法证明比例式或等积式👉题型17尺规作图与相似三角形综合应用👉题型18三角板与相似三角形综合应用👉题型19平移与相似三角形综合应用👉题型20利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题👉题型21与相似三角形有关的新考法问题👉题型22利用相似测量物体的高度👉题型23利用相似测量物体（不易测量）的宽度👉题型24其它问题👉题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD=∠CAE．请添加一个条件：______，使得2．（2024·云南昆明·三模）如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC∥BD，添加一个条件，使△BDE∽△ABC．你添加的条件是3．（2024·福建福州·一模）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，DE∥BC，连接BE．从下列条件中，选择一个作为附加条件①∠E＝∠ABC；②DEBA=DB4．（2023·湖南永州·二模）如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点．

(1)给出一个条件，使得△ABP与△ECP相似并写出证明；(2)在（1）的条件下，已知AB=2，求sin∠BAP👉题型02选择合适的方法证明两个三角形相似5．（2024·广西柳州·三模）如图，△ABC为边长等于4的等边三角形，点F是BC边上的一个动点（不与点B、C重合），FD⊥AB，FE⊥AC，垂足分别是D、E．

(1)求证：△BDF∽(2)若CF=a，四边形ADFE面积为S，求出S与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围．6．（2020·四川成都·一模）如图，在△ABC与△EBD中，∠ABC=∠EBD=90°，AB=6，BC=3，EB=25，BD=(1)求证：△ABE∽△CBD；(2)若AB∥ED，求(3)若△EBD绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段AP的最大值与最小值．7．（2023·湖北武汉·二模）如图，在⊙O中，AB为直径，EF为弦，连接AF，BE交于点P，且F为BE的中点．

(1)求证：△FBP∽△FAB；(2)若tan∠BEF=348．（2023·浙江宁波·三模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=4，CD=2，BC=m，P为线段BC上一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于

(1)请找出一对相似三角形，并说明理由；(2)若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围．👉题型03补全判定相似三角形的证明过程9．（2024·广西·三模）【探究与证明】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，记△COD的面积为S1，△AOB的面积为S(1)【问题解决】如图①，若AB∥CD，求证：S小红同学展示出如下正确的证明办法，请在横线上将内容补充完整．证明：过点D作DE⊥AC交AC于点E，过点B作BF⊥AC交AC于点F，如图①所示：则∠DEO=∠BFO=90°∴DE____________BF（填写位置关系）∴△DOE∼△____________；∴DEBF∵S1=12OC⋅DE(2)【探索推广】如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)【拓展应用】如图③，在OA上取一点E，使OE=OC．过点E作EF∥CD交OD于点F，点H为AB的中点，OH交EF于点G，且OG=2GH，若OEOA=510．（2024·山西临汾·一模）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务．连接三角形顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线，三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的重心．经过研究发现，三角形的重心把中线分成1：2两部分，用数学语言表述为：如图1，在△ABC中，中线AD,CE相交于点G，则有EG=12CG

证明过程如下：如图，连接DE．∵D，E分别是BC,AB边的中点，∴_________．∴DE∥AC，且DE=12AC……任务：(1)材料中横线部分应填写的结论为________；材料中“依据”的定理内容是________．(2)请将材料中的证明过程补充完整．(3)如图2，在△MNH中，点K，L分别在MN,MH边上，连接HK,NL交于点F．若MK=13MN，ML=13

11．（2024·湖北武汉·模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，AB是⊙O的切线，直线AD为⊙O的割线，则AB证明：如图1所示，连接BD，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE、BC．∵AB是⊙O的切线，OB是⊙O的半径，∴∠ABC+∠CBE=90°．∵BE是⊙O的直径，∴∠BCE=90°（____________）．∴∠E+∠CBE=90°．∴____________，∵∠E=∠CDB（____________），∴____________，∵∠BAC=∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴ABAD=任务：(1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，割线CF与AB于点E，且满足CD:DE:EF=1:2:1，AC=8，求AB的长．12．（2023·青海西宁·二模）【问题背景】数学综合实践课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论：如图1，已知AD是△ABC的角平分线，可证ABAC请将小慧的证明过程补充完整：证明：过点C作CE∥AB，交AD的延长线于点E∴又∵∠_____=∠______（

）∴△__________∽△_________（

）∴ABCE∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，又∵∠BAD=∠E

，∴∠________=∠__________，∴AC=CE（等角对等边），∴ABAC【解决问题】如图2，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，连结AD，将△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在AB边上的点E处．若AC=1，AB=2，求DE👉题型04以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程13．（2021·江苏南京·一模）在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，D是线段AB上一点，且DB＝4，过点D作DE与线段AC相交于点E，使以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，求DE的长．请根据下列两位同学的交流回答问题：甲：过点D作DE∥BC，交AC于点E，则△ADE∽△ABC∴DEBC=乙：这个解答中有两个错误，其中一个是：比例式写错了！（1）写出正确的比例式及后续解答；（2）指出另一个错误，并给予正确解答．14．（2024·山西吕梁·模拟预测）李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在△ABC中，点D,E, F分别在边AB, AC, 证明：①又∵DF∥AC，②∵DE∥BC，③∴∠A=∠BDF，④∴A．③②④① B．②④①③ C．③①④② D．②③④①15．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（

）

天冀的做法：添加条件∠ABD=∠C．证明：∵∠ABD=∠C，∠A=∠A．∴△ADB∽△ABC（两组角对应相等的两个三角形相似）往琛的做法：添加条件ABAC证明：∵∠A=∠A,ABAC∴△ADB∽△ABC（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题👉题型05利用相似三角形的性质求解16．（2024·上海杨浦·一模）如图，在△ABC中，点G是重心，过点G作GD∥BC，交边AC于点D，联结BG，如果S△ABC=36，那么S17．（2024·江西·模拟预测）将一把直尺与△ABC按如图所示的方式摆放，AB与直尺的一边重合，AC，BC分别与直尺的另一边交于点D，E．若点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直尺的宽为1cm，则点C到边AB的距离为cm18．（2024·福建福州·模拟预测）为推进青少年近视的防控工作，教育部等十五部门发布了《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（2021—2025年）》．方案中明确强调了校园视力筛查的重要性．视力筛查使用的视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“E”形图都是正方形结构，同一行的“E”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表等．【素材1】国际通用的视力表以5米为检测距离．如图1，任选视力表中7个视力值n，测得对应行的“E”形图边长b mm【素材2】图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼睛能看清最小“E”形图所成的角叫做分辨视角θ．视力值n与分辨视角θ（分）的对应关系近似满足n=【素材3】如图3，当θ确定时，在A处用边长为b1的Ⅰ号“E”测得的视力与在B处用边长为b2的Ⅱ号“【探究活动】(1)当检测距离为5米时，①猜想n与b满足______函数关系（填：一次或二次或反比例）；②直接写出n与b的函数关系式为______；③求视力值1.2所对应行的“E”形图边长．(2)当n≥1．0时，属于正常视力，根据函数增减性求出对应的分辨视角(3)在某次视力检测中，小何同学发现视力值1.2所对应行的“E”形图边长为3.6 mm19．（2020·湖北襄阳·中考真题）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D在边BC上，DE⊥DA且DE=DA，AE交边BC于点F，连接CE．（1）特例发现：如图1，当AD=AF时，①求证：BD=CF；②推断：∠ACE=_________．；（2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当EFAF=13时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC于点K，若👉题型06利用相似的性质求坐标20．（2021·广东广州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的点A在函数y=1xx>0的图象上，点C在函数y=−4xx<0的图象上，若点B的横坐标为A．12,2 B．22,2 21．（2022·江西九江·二模）图，直线l1:y=kx+b与反比例函数l2:y=8x的图象相交于点(1)求k，b，m的值．(2)A是y轴上一点，若∠AQC=90°，求点A的坐标．22．（2022·湖南常德·一模）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为2,3，双曲线y=kx(x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点(1)求△BDE的面积(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求点F坐标．👉题型07相似三角形在网格中的应用23．（2024·浙江绍兴·模拟预测）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．(1)在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽(2)在图2中找一点F，使∠AFC=2∠ABC．24．（2023·湖北荆州·一模）小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形叫做格点图形。如图，在7×7的正方形网格中，画出符合要求的格点三角形.

(1)在图1中画出以C为旋转中心顺时针旋转90°的三角形；(2)在图2中画出以BC为边的三角形，且与△ABC相似（不全等）.25．（2023·江苏宿迁·二模）如图，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，A、B、C三点都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中A(1)若D2,3，请在网格图中画一个格点△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比为2(2)∠D的正弦值是______．26．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．(1)在图①中，在边AB上找一点D，使BD=BC．(2)在图②中，在边AC上找一点E，在BC上找一点F，使EF∥AB，且(3)在图③中，在△ABC内找一点M，分别连结AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面积相等．👉题型08相似三角形的性质与判定综合27．（2024·四川乐山·一模）如图，Rt△ABC的直角边BC在x轴负半轴上，斜边AC上的中线BD的反向延长线交y轴正半轴于点E，双曲线y=kx（x<0）的图象经过点A，若S△BEC=8，则A．4 B．8 C．16 D．3228．（2025·安徽·模拟预测）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，垂足为D，弦CE与AB交于点F，连接AE，AC，BC．

(1)求证：∠BAC=∠E；(2)若AB=8，DC=2，CE=310，求CF29．（2025·上海奉贤·一模）已知，如图，在△ABC中，点D在边AC上，点M、N在边BC上，AB是线段AD与AC的比例中项，∠BAN=∠CAM,AM、AN分别交BD于点E、F．(1)求证：BDAE(2)若点O为BD边的中点，连接ON，且BD2=2BN·BC30．（2024·广东东莞·一模）如图1，OB是Rt△ABC中∠ABC的平分线，∠BAC=90°，以AO为半径的⊙O与AC相交于点E，且CE=1(1)求证：BC是⊙O切线；(2)如图2，设⊙O与BC的切点为D，连接AD．当tan∠CAD=13(3)若F是线段AB的中点，连CF与AD交于G，在（2）的条件下，求S△CDG👉题型09利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题31．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，正方形ABCD纸片的边长为9，点E，F分别在BC，AD上，以EF为折痕折叠正方形ABCD，使顶点B落在CD边上的点H处，AB的对应边GH交AD于点I，当CH=3时，△FGI的周长是．32．（2024·湖南衡阳·模拟预测）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；(3)如图3，当AB=AD时，设矩形ABCD的周长为m，△CHP的周长为n，探究n与m的数量关系，并说明理由．33．（2024·安徽·模拟预测）如图1，E，F分别是等边△ABC边上两点，且△BEF的面积和四边形ACEF的面积相等，将△BEF沿EF折叠得到△B（1）若EF∥AC，FG=3，则GH=；（2）如图2，若FG=3，EH=4，则GH=．

34．（2024·全国·模拟预测）专题复习课上，老师带领同学们共同探索“折叠”中的动态变化问题，进一步感悟综合几何图形的解题关键是“化繁为简”．在复杂图形中分解出特殊（基本）图形．进而建立图形要素（线段、基本图形）的解题关系．已知矩形纸片ABCD，AB=6，BC=8．【操作感知】（1）如图1，将矩形纸片沿BD折叠、点C落在点C'处，设C'B与AD交于点P，小丽同学关注折叠后得到的△BDP，如图2，利用对称性及平行关系得BP=DP；小强同学观察Rt△BAP中AP，BP与线段【类比分析】（2）如图4，E是CD边上的一个动点，现将ABCD沿直线BE折叠，点C落在点C'处，当DE为多长时，点C'恰好落在【动态探究】（3）如图5，点E在矩形边BC上以2cm/s．向点B运动，点F在矩形边CD上以1.5cm/s向点D运动，点C沿着EF折叠落在点C'处，过C'作GH∥EF分别交矩形边于点H，G，求经过👉题型10利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象35．（2024·山东济宁·一模）如图1，在△ABC中，∠B=36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为ts，AP的长度为ycm，y与t的函数图像如图2所示．当AP恰好平分∠BAC36．（2023·湖北恩施·二模）如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=4．过AC的中点H作AC的垂线DH，过点C作CD∥AB，设两线相交于点D，连接AD．设AB=x，AD=y，则y关于x的函数图像大致为（

A．

B．

C．

D．

37．（2023·安徽滁州·二模）如图1，在四边形ABCD中，AB∥DC，动点P从A点出发沿A→D→C→B以2cm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从A点出发沿A→B以1cm/s的速度向终点B运动，图2是两动点运动过程中△APQ的面积S（cm2）和运动时间t（s）之间的函数图像．（1）四边形ABCD的面积为cm2；（2）当31.5≤t≤52时的函数表达式为．38．（2022·广东深圳·模拟预测）如图①，已知Rt△ABC的斜边BC和正方形DEFG的边DE都在直线l上（BC＜DE），且点C与点D重合，△ABC沿直线l向右匀速平移，当点B与点D重合时，△ABC停止运动，设DG被△ABC截得的线段长y与△ABC平移的距离x之间的函数图像如图②，则当x＝3时，△ABC和正方形DEFG重合部分的面积为（

）A．3 B．763 C．116👉题型11利用相似三角形的性质与判定求线段比值39．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH，连接BD交CH于点P，若△BPC为等腰三角形，则DH:HP的值是（

）A．2:1 B．2:1 C．2+1:140．（2024·湖北武汉·模拟预测）问题提出：如图，∠ACB=∠CDE=90°，CBCA=DEDC=k，点A在DE上，连接BE交CD

问题探究：（1）先将问题特殊化，如图2，当k=1时，直接写出EFFB（2）再探究一般情况，如图1，证明（1）中的结论依然成立；拓展创新：（3）如图3，BE交AC于点G，若BE=2BC，直接用含k的式子表示CGAG41．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，已知抛物线y=ax2−2ax+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且OC=3，直线y=x+b经过B(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点D在抛物线上，满足∠CAB=45°+∠BCD，求点D的坐标；(3)如图2，设抛物线的顶点为T，直线y=kx−k−3与抛物线交于点E，F（点E在点F左侧），G为EF的中点，求TGEF42．（2024·浙江嘉兴·一模）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中项点”．如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，若AD2=BD⋅CD，则称点D是△ABC(1)如图2，△ABC的顶点是4×3网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“中项点”．(2)△ABC中，BC=9，tanB=43，tanC=2(3)如图3，△ABC是⊙O的内接三角形，点H在AB上，连接CH并延长交⊙O于点D．点H是△BCD中CD边上的“中项点”．①求证：OH⊥AB；②若OH∥BD，⊙O的半径为r，且r=5👉题型12利用相似三角形的性质与判定求最值43．（2024·安徽池州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，OA=OB=6，点C为平面内一动点，BC=1，连接AC，点M是线段AC上的一点，且满足CM:MA=1:2．则线段OM的最大值为（

）A．35 B．65+23 C．44．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）如图，四边形ABCD中，AB=5,AD=3,∠BCD=90°，连接AC,BD，且BD=2CD，则AC的最大值为．45．（2024·山西·模拟预测）综合与探究在平面直角坐标系中，已知抛物线y=12x2−32x−2与x轴分别交于A，B两点（点A在点(1)求点A和点C的坐标和直线BC的解析式；(2)如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，交BC于点E，求DEAE(3)如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点，试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点46．（2024·上海虹口·三模）如图1，AB为半圆O的直径，C为BA延长线上一点，CD切半圆于点D，BE⊥CD，交CD延长线于点E，交半圆于点F，已知OA=3，(1)求S△BCE(2)如图2，连接AF，P为线段AF上一点，过点P作BC的平行线分别交CE，BE于点M，N，交圆O于点K，过点P作PH⊥AB于点H．设PH=x，①求y关于x的函数解析式及其定义域；②延长PN交半圆O于点Q，求当x为何值时PK⋅PQ的值最大时，并求出最大值．👉题型13利用相似三角形的性质与判定解决动点问题47．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=5，E是AB边上一点，且AE=1，F是AD边上一动点，作∠EFG=90°，交CD边于点G，将△FDG沿着FG所在直线折叠，点D的对应点D'恰好落在BC边上，则DF的长为48．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，ABBC=23，动点N从A出发，沿边AD向点D匀速运动，动点M从B出发，沿边BC向点C匀速运动，连接MN．动点N，M同时出发，点N运动速度为v1，点M的运动速度为v2，且v1<v2．当点M到达C时，M，N两点同时停止运动．在运动过程中，将四边形MABN沿MN翻折，得到四边形NAA．25 B．35 C．4549．（2024·全国·模拟预测）探究与证明：【问题发现】（1）如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，求证：△ABE≌△CBF．【类比探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，交BC于点H，若BCAB=m，求【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，延长FE交AD于点G，当m=12时，求50．（2024·湖南·模拟预测）如图1，抛物线y1=x2−6x顶点为C．与x轴相交于点O，A．与直线y=x交于点O，B．现将抛物线y1=x2−6x沿y轴作轴反射得抛物线y2，点A，B(1)求抛物线y2(2)如图2，点G是x轴上一动点．连接OF，GF，当tan∠GFO=(3)如图3，点P是抛物线y2在直线OB下方图象上的一个动点，连接BE、PE、PB，PE与直线OB👉题型14利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题51．（2024·湖南衡阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点B，C在x轴上，D在y轴上，OB，OC的长是方程x2−6x+8=0的两个根(1)求点B的坐标；(2)若直线y=−x+b分别交x轴、y轴、AD于点E，F，M，且M是AD的中点，直线EF交DC延长线于点N，tan∠MND=13(3)在（2）的条件下，在直线EF上是否存在点P（不与点E重合），使△NCE与△NCP相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．52．（2024·湖北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A1,0和B3,0，点D为线段BC上一点，过点D作y

(1)求抛物线的解析式；(2)当△BDE为直角三角形时，求线段DE的长度；(3)在抛物线上是否存在这样的点P，使得∠ACP=45°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

53．（2024·云南·模拟预测）如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，分别延长AD、CB相交于点E，AB=BE，点F在BE上，且(1)若AB=3，DE=2，求(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)点G是劣弧BC的中点，连接DG交BC于点H，若BCBE=35，是否存在常数m，使54．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC在x上，OA在y轴上，OA,OC的长分别是x2−7x+12=0的两个根（OC>OA），OD⊥AC于点E，交AB于点D．动点P从点A出发，以每秒一个单位长度的速度AB−BC向点C运动，到点C停止，过点P作OD的平行线，交AC于点M，令△ACP的面积为(1)求点B的坐标；(2)求s关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围；(3)在直线AC上是否存在点M，使△ADM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．👉题型15利用相似三角形列函数关系式55．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是1,2，−1,−3．一次函数y=kx+2（k为常数，k≠0）的图像与线段AB交于点C．(1)若点C与点B重合，求k的值．(2)若AC=13AB(3)若AC=mAB（m为常数，0<m<12），直接写出k与56．（2024·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O，动点P从点B开始沿BC边以2cm/s的速度运动，动点Q从点A开始沿AD边以1cm/s的速度运动，过点Q作QM∥AC，QM交CD于点M，交BD于点N，点E，F分别是PQ，PM与AC的交点．点(1)当t为何值时，MP∥(2)设△PQM的面积为Scm2，求出S与(3)是否存在某一时刻t，使NP平分∠BNM?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．57．（2024·湖北十堰·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．平行四边形DEFG顶点D在边AC上，顶点E，F在边AB上，顶点G在边BC(1)如图（1），若四边形DEFC是矩形，设DG=x，DE=y，求y与x的关系式；(2)如图（2），若四边形DEFG是正方形，求CD的长；(3)小涵同学在图（3）中画菱形DEFG，探索发现可作出的菱形的个数随着点D的位置变化而变化，请你继续探索，直接写出菱形的个数及对应的CD的长的取值范围．58．（2024·安徽合肥·二模）菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC、BD的交点与坐标原点重合，AD与y轴的交点为E．已知点A−2,1，且BD=2AC（1）双曲线y=kx恰好经过点D，则k的值为（2）若经过点E的直线与（1）中的双曲线仅有一个交点，则这条直线的关系式为．👉题型16利用三点定形法证明比例式或等积式59．（2024·湖南娄底·模拟预测）探究与证明已知四边形ABCD中，M，N分别是AB，AD边上的点，DM与CN交于点Q．【图形认知】（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且DM⊥CN于点Q，求证：DM=CN；【探究证明】（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且DM⊥CN，求证：DMCN【拓展运用】（3）如图3，将矩形ABCD沿EF折叠，使得点D落在AB边上的点G处，点C落在点P处，得到四边形EFPG，若AB=2，BC=3，EF=210360．（2024·广东揭阳·模拟预测）如图，已知O是△ABC边AB上的一点，以O为圆心、OB为半径的⊙O与边AC相切于点D，且BC=CD，连接OC，交⊙O于点E，连接BE并延长，交AC于点F．(1)求证：BC是⊙O切线；(2)求证：OA⋅AB=AD⋅AC；(3)若AC=16，tan∠BAC=43，61．（24-25九年级上·上海金山·阶段练习）已知：如图，在△ABC中，点M、N分别在边AC、BC上，点P是AN上一点，且(1)求证：AM·AC=AP·AN；(2)求证：∠ABP＝∠ANB．👉题型17尺规作图与相似三角形综合应用62．（2024·安徽池州·模拟预测）在如图所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．解决下列问题：(1)已知△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC向右平移2个单位，得到△A1B1C1，请在网格图中画出△A1B1(2)用无刻度的直尺画图：在A1C1上求作点M63．（2024·江苏淮安·三模）小明同学在学习过《对称图形-圆》、《图形的相似》两章内容后，结合所学的知识，想尝试解决以下尺规作图问题，聪明的你请帮助他完成．问题背景：已知点P是四边形ABCD中AB边上一点．(1)请用圆规和无刻度的直尺作出满足下列条件的点P，不写作法，但需保留作图痕迹．．问题1．如图1，∠A=∠B=90°，△APD∽△BPC；问题2．如图2，∠A=∠B=90°，△ADP∽△BPC；问题3．如图3，∠A=∠B=45°，△ADP∽△BPC．(2)在问题3的基础上，若AD=6，BC=10，AB=17，则AP=．64．（2024·辽宁营口·一模）如图，△ABC内接开⊙O，AB=AC，AD是⊙O的直径，交BC于点E．连接BD．(1)尺规作图：过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)已知AC=10，AF=15，求DF的长．65．（2024·江苏南京·一模）在△ABC中，∠C=2∠B．(1)设BC=a,AC=b,AB=c，求证：c²−ab−b²=0，在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明．(2)如图③，已知线段m，n．求作：满足已知条件的△ABC，且AB=m,AC=n，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．）(3)若△ABC有一条边的长度为4，设ABAC=k,ABC的周长为l，直接写出l关于k的函数表达式，以及👉题型18三角板与相似三角形综合应用66．（2024·江西赣州·二模）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板按如图所示放置，其中∠ACB=90°，∠A=30°，B0,1，C3,0，则点A67．（2024·广东广州·二模）两块三角板(△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，△BCD中，∠BCD=90°，∠CBD=30°)按如图方式放置，下列结论正确的是①∠AOB=75°；②AB=2CD；③BC+CD=368．（2024·河南南阳·模拟预测）在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，直角三角板含45°角的顶点P在边BC上移动（点P不与点B、C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边AC交于点Q，当△ABP为等腰三角形时，CQ的长为．69．（2024·浙江宁波·一模）将一副三角板按如图所示放置，使点A在边DE上，此时BC∥DE，则EFFC的值为

👉题型19平移与相似三角形综合应用70．（2024·山西·三模）综合与实践问题情境“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边上的中线，将△ABD沿射线BC的方向平移，得到△EFG，其中点A，B，D的对应点分别为E、F，G．如图2，当线段EF经过点D时．连接DG，GC数学思考（1）请回答老师提出的问题；深入探究（2）老师将图2中的△EFG绕点F按逆时针方向旋转得到△PFQ，其中点E，G的对应点分别为P，Q，线段PF，QF分别与边BD交于点M，N．如图3，当①“勤学小组”提出问题：试猜想线段PM和FM的数量关系，并证明；②“善思小组”提出问题：若△ABC中，AB=6,BC=8，请直接写出此时四边形DNFC的面积．请解答上述两个小组提出的问题．71．（2024·江苏南京·模拟预测）在平面内，将一个多边形先以点A为位似中心放大或缩小，使得放大或缩小的图形与原图形的线段比为k，再沿多边形一条边a平移x个单位长度，称这种变换为自位似平移变换，记作Tk,a,x例：如图1，AB=4,BC=6,AC=8，△ABC以C为位似中心将原边长缩小为原图形的0.5倍，得到变换后的图形为△DEC，在沿着BC平移3个单位长度得到最终图形△FBE，记作0.5,BC,3；或沿着AC平移4个单位长度得到最终图形△AFD，记作0.5,AC,4(1)如图1，求证S△FED(2)如图2，当△JKL为直角三角形时，△QKR经过13,JK,2KJ3变换后得到，△OPL经过(3)如图3，△ABC为等腰直角三角形，BCDE=13，△IBH、△FCG分别经过13,AB,2AB313,AC,2AC3变换得到，J、L、N、R分别为△ADE、△IBH、△FCG、△JLN的内心，O、(4)如图3，是否有可能使S☉R72．（2024·河南郑州·模拟预测）（1）【观察发现】如图1，在5×6的正方形网格中，点A，B，C，D为格点，AB交CD于点M．为了求∠AMC的度数，我们可以向右平移线段AB，使得点B与点D重合，点A的对应点为点E，连接（2）【探究迁移】如图2，正方形ABCD的CD边上有一动点E，以DE为边向外作正方形DEFG，连接BF、CG交于点M，BF与①将线段CG向左平移，使得点C与点B重合，此时，点G的对应点H落在AD边上，连接HF，求证：AH=DG；②求∠BMC的度数．（3）【拓展应用】在（2）的条件下，若AD=6，E为CD边的三等分点，请直接写出👉题型20利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题73．（2024·安徽·模拟预测）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，BC上，且∠EAF=45°，BD分别交AE，AF于点M，N，以点A为圆心，AB长为半径画弧BD.下列结论：①DE+BF=EF；②BN2+DM2=MN2；③A．5个 B．4个 C．3个 D．2个74．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，在⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，DG⊥AB于点G，交AC于点E，BD交AC于点F，下列结论一定正确的是（把所有正确结论的序号都填上）．①∠DAE=∠GAE，②AE=DE，③AC=2DG，④若tan∠BAC=3475．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB的顶点与原点O重合，角的一边OB与x轴正方向重合，反比例函数y=4x与OA相交于点M，以M为圆心2OM为半径作弧，交反比例函数y=4x于点N，分别过点M、N作x轴和y轴平行线，两线相交于点C，连接OC、MN相交于点D，过点M作ME⊥x轴，垂足为E，

与OC相交点F，

则下列结论：①S△EOM=2：②OF=MF：③∠AOC=2∠BOC：④当A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④76．（2024·安徽安庆·三模）如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP=PF；②DE+BF=EF；③PB−PD=2BF；④S△AEF为定值；⑤SA．①③④ B．①②③④ C．①②③⑤ D．②③④👉题型21与相似三角形有关的新考法问题77．（2024·四川乐山·模拟预测）创新题推荐阅读理解题请阅读下列材料，完成相应的任务：著名数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”数形结合是数学研究和学习中的重要思想和解题方法，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，有助于把握数学问题的本质，解决更加广泛领域的问题．比如有这样一个题目：设有两只电阻，分别为R1和R2，问并联后的电阻值我们可以利用公式1R=1如图①，在直线l上任取两点A，B，分别过点A，B作直线l的垂线，并在这两条垂线上分别截取AC=R1，BD=R2，且点C，D位于直线l的同侧，连接AD，BC，交于点E，过点E作EF⊥直线l，则线段证明：∵EF⊥l，CA⊥l，∴∠EFB=∠CAB=90°，又∵∠EBF=∠CBA，∴△EBF∽△CBA（依据1），∴BF同理可得：AFAB=EFBD，∴BFAB+任务：(1)上面证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是谁：依据1：______；依据2：______．(2)如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R1=3千欧，R2=6千欧，请在图③中（1个单位长度代表(3)受以上作图法的启发，小明提出了已知R1和R，求R2的一种作图方法，如图④，作△ABC，使∠C=90°，AC=BC=R1，过点B作BC的垂线，并在垂线上截取BD=R，使点D与点A在直线BC的同一侧，作射线AD，交CB的延长线于点E，则78．（2024·山西运城·模拟预测）阅读与思考阅读下列材料，完成相应任务：拿破仑不仅是政治和军事天才，还是科学家，并与众多科学精英结下不解之缘．下面的定理是他最早发现并证明的．拿破仑定理：以三角形的各边为边分别向外侧作等边三角形，则三个等边三角形的中心构成一个等边三角形，称这个等边三角形为拿破仑三角形．用几何符号语言可以表示为：如图1，以△ABC的各边为边向外侧作等边三角形（△ABD，△BCE，△ACF），它们的中心分别为O1，O该定理有很多种证明方法，下面介绍其中一种证明过程：证明：如图2，连接AE，CD，BF，AO1，BO1，BO2，根据题意，得∠ADB=∠DAB=∠CBE=60°，DB=BA，BC=BE，∴∠DBA+∠ABC=∠CBE+∠ABC，（依据1）即∠DBC=∠ABE．∵DB=BA，BC=BE，∴△DBC≌△ABE同理可证，DC=BF．∴DC=AE=BF．∵∠O1AB=∠O3AC=30°，∴∵∠O1AB+∠BAC+∠O3∴△O1A同理可证，△O2C任务：(1)任务一：上面证明过程中的“依据1”是______；“依据2”是______；(2)任务二：完成该定理证明的剩余部分；(3)任务三：如图3，在△ABC中，AC=3，BC=6，∠ACB=60°，分别以三边为底向外作顶角为120°的等腰△ABD，△BCE，△ACF，连接DE，EF，79．（2024·江苏泰州·三模）综合与实践在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系．请耐心阅读以下材料：【光学模型】如图1，通过凸透镜光心O的光线AO，其传播方向不变，经过焦点F的光线AE经凸透镜L折射后平行于主光轴MN沿EA'射出，与光线AO交于点A'，过点A'作主光轴MN的垂线段A'B'【模型验证】设焦点F到光心的距离FO称为焦距，记为f；物体AB到光心的距离BO称为物距，记为u；像A'B'到光心的距离OB'称为像距，记为v．已知AB=ℎ1证明：∵A'B'∴∠ABO=∠A'B∴△AOB∽△A'OB'同理可得△ABF∽△EOF，∴ABOE=BFOF，即ℎ1∴uv−vf=uf，∴1f−1请结合上述材料，解决以下问题：(1)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含v、f的代数式表示)；(2)若该凸透镜L的焦距为20cm，物体距凸透镜L的距离为30cm，物高为10cm，则物体AB所成的像A'B'(3)如图2，由物理学知识知“经过点A且平行于主光轴MN的光线AC经凸透镜L折射后经过点A'”，小明在做凸透镜成像实验时，不断改变物距发现光线CA'始终经过主光轴MN上一定点．若该凸透镜L的焦距为20cm80．（2024·湖南郴州·二模）某校综合实践小组为测量学校国旗旗杆的高度，甲、乙两名同学设计了不同的测量方案．请阅读材料，完成下列问题．甲同学用量角器和铅垂线自制了一个简易测角仪（如图1）如图2，甲同学目高AB（眼睛到地面距离）1.60米，站在距离旗杆CD底部m(m>0)米处，用简易测角仪测量观察旗杆顶点C的仰角α0°<α<90°，通过计算求出旗杆CD(1)请用含有m，α的代数式表示旗杆CD的高度=________米．为了减少误差，该同学进行了五次测量并计算，统计的数据如下表．序号离旗杆CD底部距离（单位：米）仰角旗杆CD的高度（单位：米）①1050°13.52②1539°13.75③2041°18.99④2526°13.79⑤3022°13.72(2)观察上表数据并判定第_________组数据测量有误．（从“①，②，③，④，⑤”中选填）(3)乙同学计划用自制的立角三角板AFG（两锐角大小不确定）和卷尺测量．如图3，乙同学目高AB（1.60米），他调整位置，设法使斜边AG保持水平，边AF与旗杆顶点C在同一直线上．请你帮助乙同学确定哪些线段需要用卷尺测量，将测量得到的长度用字母a，b，c…表示，求旗杆CD的高度（用含有a，b，c…的代数式表示）．👉题型22利用相似测量物体的高度81．（2024·广东·模拟预测）九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度CD=2.8m，标杆与雕塑的水平距离BD=20m，人的眼睛与地面的高度EF=1.8m，人与标杆CD的水平距离DF=282．（2024·陕西咸阳·模拟预测）法门寺文化景区地处陕西省宝鸡市的法门镇，法门寺又名“真身宝塔”，被誉为皇家寺庙，因安置释迦牟尼佛指骨舍利而成为举国仰望的佛教圣地，被誉为“护国真身宝塔”．为了测量这座宝塔的高度，某校数学应用实践小组做了如下的探索：小明站在D处，用测角仪测得宝塔顶端A的仰角为50.3°；然后，小明在点N处竖立高2.4米的标杆MN，接着沿DN走到点F，恰好看到标杆顶端M和宝塔顶端A在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离CD=EF=1.8米，NF=0.8米，DF=97.5米．测量示意图如图所示，已知点D、B、N、F在一条直线上，CD⊥DF，AB⊥DF，MN⊥DF，EF⊥DF，求这座宝塔的高度AB．（参考数据：sin50.3°≈0.77，cos50.3°≈0.64，83．（2024·河南信阳·二模）天种柱又名天中塔，始建于2007年，是天中人心中新的标志性建筑，某数学社团在综合实践活动中，组织成员分组测量天中塔AB的高度，如图2是其中一次（同一时刻）测量活动场景抽象出的平面几何图形，已知AB⊥FC，CD⊥EC，点F、B、E、第一组第二组①标杆DC=2.0m②标杆底部到天中塔底部的距离BC=15.7m③从D点看A点的仰角为63°．①标杆DC=2.0m②标杆的影长CE=3.0m③天中塔的影长BF=88.26m(1)请你依据第一组的数据计算天中塔AB的高度(2)第二组成员事先通过推导得出：同一时刻标杆长标杆影长=天中塔长天中塔影长，请判断两组同学的最后结果是否一致．（结果精确到👉题型23利用相似测量物体（不易测量）的宽度84．（2024·湖南益阳·二模）某兴趣小组使用一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，测量一个扁平状水塘的最大宽度AB．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度），测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小．该兴趣小组甲、乙两名同学设计了不同的测量方案.甲同学的测量方案如图1，具体操作如下：①在水塘外选点C，测得AC=32m，BC=40m；②分别在AC，BC上取两点M，N乙同学的测量方案如图2，具体操作如下：①在水塘外选点C，测得AC=32m，BC=40m；②分别在AC，BC上取两点E，F(1)分别判断甲、乙两名同学的测量方案是否可行，并说明理由；(2)请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，利用解直角三角形的知识求水塘的最大宽度AB，写出你的测量方案及求解过程.（要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，…表示，测量方案的示意图在备用图表示出来）85．（2024·浙江宁波·一模）某河流的一段如图1所示，现要估算河的宽度（即河两岸相对的两点A，B间的距离），可以按如下步骤操作：①先在河的对岸选定一个目标作为点A，使AB⊥BC；②再在河的这一边选定点B和点C，使AB⊥BC；③再选定点E，然后用视线确定BC和AE的交点D．(1)用皮尺测得BC=174m，DC=60m，EC=50m(2)请用所学过的知识设计一种测量旗杆高度AB的方案．要求：①画出示意图，所测长度用a，b，c等表示；②不要求写操作步骤；③结合所测数据直接用含a，b，c等字母的式子表示出旗杆高度AB．86．（2023九年级下·全国·专题练习）小明为了测量出一深坑的深度，采取如下方案：如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E，在深坑右侧用观测仪CD从测出发点C观测深坑底部P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F，点B，E，F，D在同一水平线上．已知AB⊥EF，CD⊥EF，观测仪AB高2m，观测仪CD高1m，BE=1.6m，FD=0.887．（2024·陕西西安·模拟预测）某乡镇为创建特色小镇，决定在该乡镇的一条河上修建一座步行观光桥，因此要先测量河宽AB．如图，该河道两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点C和点D，分别在AC、AD的延长线上取点E、F，使得EF∥CD，经测量，CD=80米，EF=140米，且点F到河岸CD的距离为90米．已知AB⊥CD于点

👉题型24其它问题88．（2024·广东·模拟预测）路边有一口废弃的圆柱形枯井，出于安全考虑，大家准备运来泥土把它填平，如图，先测得井口的直径AD=1.5m，然后在D处立一根1m长的铁管DEDE∥AB，用聚光笔从铁管的顶端E点照射井底B点，光线BE与直径AD交于点O，测得OD=0.3m89．（2024·江苏南京·二模）晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯AB，CD的照射下，地面上形成了他的两个影子EH，EG．已知光源B，D的高均为10m，小凯的身高EF为1.5m，两盏路灯相距40m，A，C，E(1)当影子EG长为6m时，求此时小凯到路灯CD的距离EC；(2)连接GH，判断GH与AC的位置关系，并说明理由；(3)小凯向上跳起再落下，该过程中GH最长达到9m，直接写出小凯头顶离地面的最大高度．90．（2024·福建泉州·三模）以农业和农村为载体的生态农业观光园，不仅具有生产性功能，还具有改善生态环境质量，为人们提供观光、休闲、度假的生活性功能．数学探究小组以“设计矩形生态农业观光园”为主题开展数学实践活动．

(1)如图1，是一块三角形田地，数学探究小组沿着道路BC设计矩形生态农业观光园，观光园的顶点P、F分别在边AB、AC上．①若AP=52，BP=28，BC=60，请求出矩形生态农业观光园PN边的长；②设BC=a，点A到道路BC的距离为h，矩形观光园PEFN的面积是否存在最大值？若存在，请用含a，h的代数式表示其最大面积；若不存在，请说明理由．(2)如图2，是一块四边形ABCD的田地，已知tanB=tanC=43．经数学探究小组测量得，AB=50m，BC=108m，CD=60m．数学探究小组在四边形ABCD田地设计了一个点E、1．（2024·山东德州·中考真题）有一张如图所示的四边形纸片，AB=AD=6m，CB=CD=8cm，∠B为直角，要在该纸片中剪出一个面积最大的圆形纸片，则圆形纸片的半径为2．（2024·江苏徐州·中考真题）在△ABC中，点D在边AB上，若CD2=AD⋅DB，则称点D(1)如图（1），在△ABC中，若∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．试说明：点D是点C的“关联点”．(2)如图（2），已知点D在线段AB上，用无刻度的直尺和圆规作一个△ABC，使其同时满足下列条件：①点D为点C的“关联点”；②∠ACB是钝角（保留作图痕迹，不写作法）．(3)若△ABC为锐角三角形，且点D为点C的“关联点”．设AD=m，DB=n，用含m、n的代数式表示AC的取值范围（直接写出结果）．3．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，△ABC，∠ACB=90°，CB=5，CA=10，点D，E分别在AC，AB边上，AE=5AD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC4．（2024·河南·中考真题）综合与实践在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．(1)操作判断用分别含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有________（填序号）．(2)性质探究根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图2，四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD，AC是它的一条对角线．①写出图中相等的角，并说明理由；②若BC=m，DC=n，∠BCD=2θ，求AC的长（用含m，n，θ的式子表示）．(3)拓展应用如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，分别在边BC，AC上取点M，N，使四边形ABMN是邻等对补四边形．当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出BN5．（2024·湖北·中考真题）如图，矩形ABCD中，E,F分别在AD,BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H．(1)求证：△EDP∽△PCH．(2)若P为CD中点，且AB=2,BC=3，求GH长．(3)连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由．6．（2024·河北·中考真题）如图，△ABC的面积为2，AD为BC边上的中线，点A，C1，C2，C3是线段CC4的五等分点，点A，D1，D2（1）△AC1D（2）△B1C一、单选题1．（2024·山东德州·中考真题）如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB:BC=3:4，则BF:FD为（

A．5:3 B．5:4 C．4:3 D．2:12．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在双曲线y1=kx(x>0)上，连接AO并延长，交双曲线y2=k4x(x<0)于点B，点C为x轴上一点，且A．2 B．3 C．4 D．53．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=（

）A．125564 B．12564 C．644．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E,F是边BC上两点，且BE=EF=FC，连接DE,AF,DE与AF相交于点G，连接BG．若AB=4，BC=6，则sin∠GBF的值为（

A．1010 B．31010 C．15．（2024·河南·中考真题）如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F．若AB=4，则EF的长为（A．12 B．1 C．436．（2024·湖南·中考真题）如图，在△ABC中，点D，E分别为边AB，A．DE∥BC B．△ADE∽△ABC C．7．（2024·陕西·中考真题）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H，若AB=6，CE=2，则DH的长为（

）A．2 B．3 C．52 D．8．（2024·山东威海·中考真题）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E在BC上，点F在CD上，连接AE，AF，EF，EF交AC于点G．下列结论错误的是（

）A．若CECF=B．若AE⊥BC，AF⊥CD，AE=AF，则EFC．若EF∥BD，CE=CFD．若AB=AD，AE=AF，则EF9．（2024·安徽·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=2，BD是边AC上的高．点E，F分别在边AB，BC上（不与端点重合），且DE⊥DF．设AE=x，四边形DEBF的面积为y，则y关于x的函数图象为（

A．B．C．D．10．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF=α，则∠FAG用含A．45°−α2 B．90°−α2 C．45°+α2二、填空题11．（2024·海南·中考真题）如图是跷跷板示意图，支柱OM经过AB的中点O，OM与地面CD垂直于点M，OM=40cm，当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为cm12．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在△ABC中，AC=2，AB=3，直线CM∥AB，E是BC上的动点（端点除外），射线AE交CM于点D．在射线AE上取一点P，使得AP=2ED，作PQ∥AB，交射线AC于点Q．设AQ=x，PQ=y．当x=y时，CD=；在点E运动的过程中，y关于x的函数表达式为．13．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．若AD=8，BE=10，则tan∠ABD=14．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线．（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．（4）画射线AH．（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．（6）连接MC，MB，MB分别交AC，AD于点N，P．根据以上信息，下面五个结论中正确的是．（只填序号）①BD=CD；②∠ABM=15°；③∠APN=∠ANP；④AMAD=315．（2024·吉林长春·中考真题）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：①∠ABD=∠DAC；②AF=FG；③当DG=2，GB=3时，FG=14④当BD=2AD，AB=6时，△DFG的面积是上述结论中，正确结论的序号有．三、解答题16．（2024·宁夏·中考真题）如图，在▱ABCD中，点M,N在AD边上，AM=DN，连接CM并延长交BA的延长线于点E，连接BN并延长交CD的延长线于点F．求证：AE=DF．小丽的思考过程如下：参考小丽的思考过程，完成推理．17．（2024·山东日照·中考真题）如图，以▱ABCD的顶点B为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点E，再分别以点A，E为圆心，大于12AE的长为半径画弧，两弧交于点F，画射线BF，交AD于点G，交CD的延长线于点(1)由以上作图可知，∠1与∠2的数量关系是_______(2)求证：CB=CH(3)若AB=4，AG=2GD，∠ABC=60°，求△BCH的面积．18．（2024·内蒙古·中考真题）如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF=∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC．(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)若CD=8①求DE的长；②求⊙O的半径．19．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴ABAC请完成填空：①______；②______；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE20．（2024·湖北·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+3与x轴交于点A−1,0和点B，与(1)求b的值；(2)如图，M是第一象限抛物线上的点，∠MAB=∠ACO，求点M的横坐标；(3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L，L与y轴交于点N．设L的顶点横坐标为n，NC的长为d．①求d关于n的函数解析式；②L与x轴围成的区域记为U，U与△ABC内部重合的区域（不含边界）记为W．当d随n的增大而增大，且W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围．

第四章三角形第21讲相似三角形及其应用TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似👉题型02选择合适的方法证明两个三角形相似👉题型03补全判定相似三角形的证明过程👉题型04以注重过程性学习的形式考查相似三角形的证明过程👉题型05利用相似三角形的性质求解👉题型06利用相似的性质求坐标👉题型07相似三角形在网格中的应用👉题型08相似三角形的性质与判定综合👉题型09利用相似三角形的性质与判定解决折叠问题👉题型10利用相似三角形的性质与判定解决动态函数图象👉题型11利用相似三角形的性质与判定求线段比值👉题型12利用相似三角形的性质与判定求最值👉题型13利用相似三角形的性质与判定解决动点问题👉题型14利用相似三角形的性质与判定解决存在性问题👉题型15利用相似三角形列函数关系式👉题型16利用三点定形法证明比例式或等积式👉题型17尺规作图与相似三角形综合应用👉题型18三角板与相似三角形综合应用👉题型19平移与相似三角形综合应用👉题型20利用相似三角形的性质与判定解决多结论问题👉题型21与相似三角形有关的新考法问题👉题型22利用相似测量物体的高度👉题型23利用相似测量物体（不易测量）的宽度👉题型24其它问题👉题型01选择或补充一个条件使两个三角形相似1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD=∠CAE．请添加一个条件：______，使得【答案】∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB（答案不唯一），证明见详解【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可；【详解】解：使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是：∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB，理由：①添加的条件可以是：∠ADE=∠ABC时，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，即∠DAE=∠CAB，又∵∠ADE=∠ABC，∴△ADE∽△ABC；②添加的条件可以是：∠AED=∠ACB时，∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，即∠DAE=∠CAB，又∵∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC；故答案为：∠ADE=∠ABC或∠AED=∠ACB（答案不唯一）．2．（2024·云南昆明·三模）如图，在△ABC中，点E在AB边上，已知AC∥BD，添加一个条件，使△BDE∽△ABC．你添加的条件是【答案】∠D=∠ABC（答案不唯一）【分析】此题考查了本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．已知AC∥BD，得到∠BAC=∠ABD，则可以再添加【详解】解：添加的条件是∠D=∠ABC，∵AC∥∴∠BAC=∠ABD，∵∠D=∠ABC，∴△BDE∽△ABC，故答案为：∠D=∠ABC（答案不唯一）．3．（2024·福建福州·一模）如图，△ABC中，点D是边AB上一点，DE∥BC，连接BE．从下列条件中，选择一个作为附加条件①∠E＝∠ABC；②DEBA=DB【答案】②，见解析【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似．【详解】证明：选择①∵DE∥BC，∴∠EDB＝∵DEBA∴△EDB∽△ABC．4．（2023·湖南永州·二模）如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点．

(1)给出一个条件，使得△ABP与△ECP相似并写出证明；(2)在（1）的条件下，已知AB=2，求sin∠BAP【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B=∠C=90°，因此只需要条件一组对应角相等即可证明两三角形相似；（2）根据相似三角形的性质求出BP=43，进而利用勾股定理求出【详解】（1）解：条件是∠APB=∠EPC（不唯一）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°∵∠APB=∠EPC，∴△ABP∽△ECP（2）解：∵E是CD的中点，四边形ABCD是正方形，∴CE=1∵△ABP∽△ECP∴BPCP=AB∴BP=4∴AP=∴sin∠BAP=【点睛】本题主要考查了求角的正弦值，正方形的性质，添加条件证明三角形相似，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．👉题型02选择合适的方法证明两个三角形相似5．（2024·广西柳州·三模）如图，△ABC为边长等于4的等边三角形，点F是BC边上的一个动点（不与点B、C重合），FD⊥AB，FE⊥AC，垂足分别是D、E．

(1)求证：△BDF∽(2)若CF=a，四边形ADFE面积为S，求出S与a之间的函数关系式，并写出a的取值范围．【答案】(1)见解析(2)S=−【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定，解直角三角形，列二次函数关系式等：（1）证明两组对角相等即可；（2）通过解Rt△CEF，Rt△BDF求出S△BDF，S【详解】（1）证明：∵△ABC为边长等于4的等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∵FD⊥AB，FE⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°，∴△BDF∽（2）解：∵△ABC为边长等于4的等边三角形，CF=a，∴BF=4−a，在Rt△CEF中，CF=a，∠C=60°∴CE=CF⋅cos60°=1∴S△CEF同理S△BDF∵S△ABC∴S=S∵点F是BC边上的一个动点，∴0<a<4，∴S=−36．（2020·四川成都·一模）如图，在△ABC与△EBD中，∠ABC=∠EBD=90°，AB=6，BC=3，EB=25，BD=(1)求证：△ABE∽△CBD；(2)若AB∥ED，求(3)若△EBD绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段AP的最大值与最小值．【答案】(1)见解析(2)1(3)AP的最大值为35，AP的最小值为4−【分析】本题主要考查了相似三角形、圆的性质的综合应用等知识点，根据题意画出图形、添加合适的辅助线是解题的关键．（1）由∠ABC=∠EBD=90°，∠ABE=∠CBD，结合ABCB（2）如图：过点E作EM⊥AB，则EM=BN=2，BM=EN=5−1=4，再证（3）由（2）可得当点P与C重合时，PA的值最大，然后根据勾股定理求得AC的长即可确定最大值；当AE在AB的下方且与⊙B相切时，∠CAP的值最大，此时PA=AC·cos∠CAP的值最小，然后证明四边形BEPD是矩形，则BD=PE=5【详解】（1）解：∵∠ABC=∠EBD=90°，∴∠ABE=∠ABC−∠EBC=∠EBD−∠EBC=∠CBD，∵AB=6，BC=3，∴ABCB∴△ABE∽△CBD．（2）解：∵∠ABC=∠EBD=90°、AB=6，BC=3，∴DE=B∵AB∥∴BN⊥DE，∴BN=BD⋅BE∴CN=BC−BN=3−2=1，DN=B∴CN=DN，∴∠PDE=45°，如图：过点E作EM⊥AB，则EM=BN=2，∴AM=6−4=2，∴AM=EM，∴∠EAB=45°，∴∠PED=∠EAB=45°，∴△PED，∴PE=PD=5÷2=52，∴PA=PE+AE=922∴tan∠PAC=（3）解：由（2）可知当点P与C重合时，PA的值最大，最大值PA=AC=A如图: