中考数学总复习提升专项知识锐角三角函数及其应用(讲义3考点+2命题点20种题型(含5种解题技巧))含答案及解析

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第四章三角形第22讲锐角三角函数及其应用（思维导图+3考点+2命题点20种题型（含5种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一锐角三角函数考点二解直角三角形考点三解直角三角形的应用04题型精研·考向洞悉命题点一锐角三角函数►题型01理解锐角三角函数的概念►题型02求角的三角函数值►题型03由三角函数求边长►题型04由特殊角的三角函数值求解►题型05特殊角三角函数值的混合运算►题型06根据特殊角三角函数值求角的度数►题型07已知角度比较三角函数值的大小►题型08利用同角的三角函数求解►题型09利用互余两角的三角函数关系求解►题型10三角函数综合►题型11在平面直角坐标系中求锐角三角函数值►题型12特殊角三角函数值的另类应用►题型13在网格中求锐角三角函数值命题点二解直角三角形►题型01解直角三角形的相关计算►题型02构造直角三角形求不规则图形的边长或面积►题型03运用解直角三角形的知识解决视角相关问题►题型04运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题►题型05运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题►题型06运用解直角三角形的知识解决实际问题►题型07运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）试卷第=page11页，共=sectionpages33页

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求三角函数值的确定★★探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA，tanA)；知道30°,45°,60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.特殊角的三角函数值★解直角三角形★★能用锐角三角函数解直角三角形.解直角三角形的应用★★能用相关知识解决一些简单的实际问题.【考情分析】锐角三角函数值的考查多以选择题、填空题为主，解题的一般过程是构造直角三角形，确定相应的边长，利用定义求相应的三角函数值，试题难度中等，解题关键是正确添加辅助线，确定合适的直角三角形.【命题预测】锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，其考察内容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2025年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一锐角三角函数1.正弦、余弦、正切正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，则

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同).2.锐角三角函数锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，.增减变化：当0°＜∠A＜90°，sinA，tanA随∠A的增大而增大，cosA随∠A的增大而减小.【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小.3.特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：三角函数值特殊角30°45°60°sinαcosαtanα14.锐角三角函数的关系：在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：1）同角三角函数的关系：①平方关系：sin2②商数关系：tanA=2)互余两角的三角函数关系：①互余关系：sinA=cos(90°-∠A)=cosB，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.sinB=sin(90°-∠A)=cosA，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.②倒数关系：tanA1．（2024云南真题）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则tanA的值为（

A．45 B．43 C．352．（2023·江苏苏州·一模）化简sin28°−cos28°A．sin28°−cosC．cos28°−sin3．（2023·湖北黄石·中考真题）计算：−134．（2023·江苏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，连接CD．若BD=CD，ADBD=1

考点二解直角三角形1.解直角三角形定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B.2）三边之间的关系：a23）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.4）边角之间的关系：sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc【补充】三角函数是连接边与角的桥梁.5）面积公式（h为斜边上的高）.2.解直角三角形的常见类型已知条件解法步骤图示两边斜边和一直角边(如c，a)由sinA=两直角边(如a，b)由tanA=一边一角斜边和一锐角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，一直角边和一锐角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，另一直角边和一锐角（如b，∠A）∠B=90°－∠A，【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切.1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BCA．3 B．6 C．8 D．92．（2024·四川雅安·中考真题）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（

）

A．4 B．43 C．6 D．3．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为cm4．（2023·青海西宁·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°，则BC的长约为．（结果精确到0.1．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.745．（2024·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6,tan(1)求BC的长；(2)求sin∠DAEQUOTEQUOTE考点三解直角三角形的应用1）仰角、俯角视角：视线与水平线的夹角叫做视角．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.2）坡度、坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是i=h3）方位角、方向角方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°4）解直角三角形实际应用的一般步骤①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.1．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC=6m，则旗杆AC的高度为3．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：sin18°≈0.31,

04题型精研·考向洞悉命题点一锐角三角函数►题型01理解锐角三角函数的概念1．（2024广州市模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（

A．扩大2倍 B．不变 C．缩小12 D．扩大2．（2024宣化区一模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（）A．sinα的值越大，梯子越陡B．cosαC．tanαD．陡缓程度与∠α的函数值无关3．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是（

）A．sinα=ABBC B．sinα=BCABQUOTEQUOTEQUOTE►题型02求角的三角函数值求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中,，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解.1．（2024·浙江宁波·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=43，则A．34 B．35 C．452．（2023·四川内江·中考真题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c−10|+b−8=12a−36，则3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．若AD=8，BE=10，则tan∠ABD=4．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)若BG=1，BF=3，求CF的长．5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．

(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC6．（2024·甘肃·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，BC=BD，点E在AD的延长线上，且(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)当⊙O的半径为2，BC=3时，求tan∠AEB►题型03由三角函数求边长1．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图像上，顶点B、C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D．若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC=

2．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BD，(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CE=1，sin∠BAD=133．（2022·广西贵港·二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．

(1)求证：BC是⊙O的切线．(2)若CF＝2，sinC＝35，求AE4．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC=10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连接CD．(1)求证：AE是⊙O的切线；(2)若tan∠ABE=12，求CD5．（2023·辽宁鞍山·中考真题）如图1，抛物线y=ax2+53x+c经过点3,1，与

(1)求抛物线的解析式．(2)直线y=23x−4与x轴交于点A，与y轴交于点D，过点E作直线EF⊥x轴，交AD于点F，连接BE．当BE=DF(3)如图2，点N为x轴正半轴上一点，OE与BN交于点M．若OE=BN，tan∠BME=34QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04由特殊角的三角函数值求解1．（2023·山东日照·模拟预测）在实数2,x0A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2024·湖南·模拟预测）我国是最早使用负数的国家，在数据−sin45°，2，0，+7，−0.5，π中是负数的有（A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023·湖南益阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A0,1，B4,1，C5,6，则sin

A．12 B．135 C．224．（2023·山东青岛·一模）计算：sin30°+35．（2023·浙江宁波·模拟预测）平面直角坐标系中，点A与点B(cos60°,−3)关于x轴对称，如果函数y=kx6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）化简求值：x+1x−3−QUOTE►题型05特殊角三角函数值的混合运算有关特殊角的三角函数值的计算是一类重要题型，解这类问题时，要熟记30°、45°60°角的三种三角函数值，并能准确地把值代入算式，结合实数的运算顺序及运算法则进行相关计算.1．（2024·湖南长沙·中考真题）计算：(12．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：−−3．（2023·四川德阳·中考真题）计算：2►题型06根据特殊角三角函数值求角的度数1．（2022·辽宁朝阳·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝23，DC＝43，将线段DC绕点D按逆时针方向旋转，当点C的对应点E恰好落在边AB上时，图中阴影部分的面积是．2．（2024·湖北·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD=BC(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若AD=3，AE=1，求CF3．（2024·江苏扬州·中考真题）如图1，将两个宽度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形ABCD．(1)试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；(2)已知矩形纸条宽度为2cm，将矩形纸条旋转至如图2位置时，四边形ABCD的面积为8cm2，求此时直线AD、CD所夹锐角4．（2024·山东烟台·中考真题）如图，正比例函数y=x与反比例函数y=kx的图象交于点A6,a，将正比例函数图象向下平移nn>0个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点B，C，与x轴，y轴交于点D，E，且满足BE:CE=3:2．过点B作BF⊥x轴，垂足为点F，G为x轴上一点，直线BC与BG(1)求反比例函数的表达式；(2)求n的值及△BCG的面积．►题型07已知角度比较三角函数值的大小1．（2020·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L1=L⋅cosα，阻力臂L2

A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定2．（2023·上海静安·一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与cosA．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定3．（21-22九年级上·上海静安·期末）如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（

）A．0<sinA<1C．33<tan4．（2020·四川成都·模拟预测）比较大小：sin54°cos35°（填“<”“►题型08利用同角的三角函数求解1．（2023·湖南娄底·中考真题）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S△ABC=12a2b2−a2+b2−c222．A．cosC=a2C．cosC=a22．（2024·浙江宁波·模拟预测）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（Rt△DAE，Rt△ABF，Rt△BCG，Rt△CDH）和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，连接BE．设∠BAF=α，∠BEF=β，正方形EFGH和正方形ABCD的面积分别为S1和S23．（2024·山东·模拟预测）（1）计算：2sin230°−6（2）已知a、b是一元二次方程x2+2x−3=0的两个实根，求4．（2024·山西晋城·二模）如图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=4，E为BC边上一点，连接DE，过点C作CF⊥DE，垂足为G，交AB边于点F，连接AG．若CE=2，则线段AG的长为．►题型09利用互余两角的三角函数关系求解1．（2021·湖南娄底·中考真题）高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行．如图，用平行四边形ABCD表示一个“鱼骨”，AB平行于车辆前行方向，BE⊥AB,∠CBE=α，过B作AD的垂线，垂足为A'（A点的视觉错觉点），若sinα=0.05,AB=300mm，则A2．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，AB为半圆O的直径，C为AB上一点，连接AC，BC．请用尺规作图法，在直径AB上求作一点D，使：sin∠ACD=3．（2023·河北保定·二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：sin2sin2sin29°+sin37°+sin2据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对的边为b，斜边为c(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，►题型10三角函数综合1．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=34x上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线OA交于点B，当点C在x轴上移动时，线段AB2．（2024·四川成都·中考真题）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和ADE中，AB=AD=3，BC=DE=4，∠ABC=∠ADE=90°．【初步感知】（1）如图1，连接BD，CE，在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究BDCE【深入探究】（2）如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长ED交AC于点F，求CF的长．【拓展延伸】（3）在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C，D，E三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由．►题型11在平面直角坐标系中求锐角三角函数值1．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx（k为常数且k≠0）上有一点A−3,m，且与直线y=−2x+4

(1)求k与m的值；(2)过点A作直线l∥x轴与直线y=−2x+4交于点C，求2．（2022·辽宁·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(3,0)和B(−1,0)，交y(1)求抛物线的表达式；(2)D是直线AC上方抛物线上一动点，连接OD交AC于点N，当DNON的值最大时，求点D(3)P为抛物线上一点，连接CP，过点P作PQ⊥CP交抛物线对称轴于点Q，当tan∠PCQ=343．（2024·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L：y=ax2−2ax−3aa>0与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为(1)求线段AB的长；(2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD(3)延长CD交x轴于点E，当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△A'EB'．将抛物线L平移得到抛物线L'，使得点A'，B4．（2024·江苏宿迁·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A，B（A在B的左边），与y轴相交于点C，已知A1,0、B3,0，C0,3，M是y轴上的动点（M位于点C下方），过点M的直线l垂直于y轴，与抛物线相交于两点P、Q（P在(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，四边形PMGH是正方形，连接CP，△PNC的面积为S1，正方形PMGH的面积为S2，求(3)如图2，以点O为圆心，OA为半径作⊙O．①动点F在⊙O上，连接BF、CF，请直接写出BF+13CF②点P是y轴上的一动点，连接PA、PB，当sin∠APB的值最大时，请直接写出P5．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点O为平面直角坐标系的坐标原点，直线y=−x+6交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴负半轴上，连接BC，tan∠BCO=(1)如图1，求直线BC的解析式；(2)如图1，点P在线段OA上，点Q在线段OB上，OQ=3OP，点P的横坐标为t，过点Q作DQ⊥x轴交BC于点D，连接DP，△BDP的面积为S，求S与t之间的函数关系式（不需要写出自变量t的取值范围）；(3)如图2，在（2）的条件下，过点P作PE⊥PD交AC于点E，过点D作DF⊥AC于点G，DG交OC于点F，连接DE交y轴于点M，连接PM，tan∠DPM=38►题型12特殊角三角函数值的另类应用1．（2023·湖南娄底·一模）同学们，在我们进入高中以后，还将学到下面三角函数公式：sinα−β=sinαcosβ−cosαsinβ，sinα+β=sinα2．（2022·黑龙江绥化·中考真题）定义一种运算；sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α−β)=sinαcos3．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ，A．6+24 B．6−244．（2023九年级下·全国·专题练习）一般地，当α，β为任意角时，sin(α+β)，sin(α−β)，cos(α+β)sin(α+β)=sin(α−β)=cos(α+β)=cos(α−β)=例如：sin90°=类似地，求：(1)sin15°(2)cos75°(3)tan165°的值[提示：对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin►题型13在网格中求锐角三角函数值1．（2020·湖北荆州·中考真题）如图，在6×6正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C均在网格交点上，⊙O是△ABC的外接圆，则cos∠BAC的值是（

）A．55 B．255 C．12．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（

）A．13 B．12 C．333．（2021·四川广元·中考真题）如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O的交点．则∠BAE的正切值为．4．（2024茅箭区二模）如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，则tan∠BAC=5．（2024·广东·模拟预测）如图，在6×7的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，四边形ABCD的顶点均在网格的格点上．(1)求sinD(2)操作与计算：用尺规作图法过点C作CE⊥AD，垂足为E，并直接写出CE的长．（保留作图痕迹，不要求写出作法）命题点二解直角三角形►题型01解直角三角形的相关计算1．（2024·山东淄博·中考真题）如图所示，在矩形ABCD中，BC=2AB，点M，N分别在边BC，AD上．连接MN，将四边形CMND沿MN翻折，点C，D分别落在点A，E处．则tan∠AMN的值是（

A．2 B．2 C．3 D．52．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是CD的中点，则sin∠EBC的值为（

A．35 B．75 C．21143．（2024·四川巴中·中考真题）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB=3，BC=4，则点F到BD的距离为．4．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线交BP于点G．(1)求证：AG∥CD；(2)求证：PA(3)若sin∠APD=13，PG=65．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点A4,2在函数y=kxk>0,x>0的图象上．将直线OA沿y轴向上平移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y=kxk>0,x>0A．0,5 B．0,3 C．0,4 D．►题型02构造直角三角形求不规则图形的边长或面积1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：asin证明：如图1，过点C作CD⊥AB于点D，则：在RtΔBCD中，CD=asinB，在RtΔACD中，CD=bsinA∴asinB=b(1)如图2，在ΔABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，求证：b(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A=67°，∠B=53°，AC=80米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：sin53°≈0.8，2．（2022·山东济宁·中考真题）知识再现：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．∵sinA=ac，sinB=bc(1)拓展探究：如图2，在锐角ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究asinA，bsin(2)解决问题：如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．3．（2022·江苏苏州·一模）【理解概念】定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．(1)已知△ABC是“准直角三角形”，且∠C>90°．①若∠A=60°，则∠B=______°；②若∠A=40°，则∠B=______°；【巩固新知】(2)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，BC=2，点D在AC【解决问题】(3)如图②，在四边形ABCD中，CD=CB，∠ABD=∠BCD，AB=5，4．（2023·安徽·二模）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在圆上，AB=10，AC=6，点C、E分别在AB两侧，且E为半圆AB的中点．(1)求△ABC的面积；(2)求CE的长．5（2024·陕西西安·模拟预测）如图，已知抛物线W1：y=ax2+bx−2与x轴交于A，D两点，AD=5，点A在直线(1)求抛物线W1(2)将抛物线W1沿x轴翻折后得到抛物线W2，W2与直线l交于A，B两点，点P是抛物线W2上A，B之间的一个动点（不与点A、B重合），PM⊥AB于M，PN∥y轴交6．（2024·湖北武汉·一模）【问题提出】在等腰△ABC中，AB=AC,BC=4,D为BC中点，以D为顶点作∠EDF=∠ABC=∠ACB=α，角的两边分别交AB,AC于点E,F，连接EF，试探究点D到线段EF的距离．【问题探究】（1）先将问题特殊化，如图2，当点E和A重合时，直接写出D到线段EF的距离（用含sina（2）再探究一般情形，如图1，证明（1）中的结论仍然成立；【问题拓展】如图3，在等腰△ABC中，AB=AC,D为BC中点，以D为顶点作∠EDF=∠ABC=∠ACB=α，角的两边分别交直线AB,AC于点E,F，连接EF．若EF⊥AB，直接写出ACCF的值（用含tanQUOTE►题型03运用解直角三角形的知识解决视角相关问题1）实际问题中已知视角的度数求边长时，应先根据题意画出直角三角形，求出这个角的三角函数值，再利用三角函数的定义求得相应边长.2）利用三角函数求实际问题中视角的度数时，应先根据题意画出直角三角形，并根据已知条件求出这个角的三角函数值，再求出角的度数.1．（2024·河北·中考真题）中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离BQ=4m，仰角为α；淇淇向前走了3m后到达点D，透过点P恰好看到月亮，仰角为β，如图是示意图．已知，淇淇的眼睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m，点P到BQ的距离PQ=2.6m，AC的延长线交(1)求β的大小及tanα(2)求CP的长及sin∠APC2．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB．(2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：3．（2024·甘肃·中考真题）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒AH垂直于地面，测角仪CD，EF在AH两侧，CD=EF=1.6m，点C与点E相距182m（点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶点A的仰角为45°，在F处测得筒尖顶点A的仰角为53°．求风电塔筒AH的高度．（参考数据：sin53°≈454．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）综合实践活动中，数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度．如图，无人机在离地面40米的D处，测得操控者A的俯角为30°，测得楼BC楼顶C处的俯角为45°，又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米，则楼BC的高度是多少米？（点A，B，►题型04运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题方向角问题应结合实际问题抽象出示意图并构造三角形，还要分析三角形中的已知元素和未知元素，如果这些元素不在同一个三角形中或者在同一个斜三角形中，需要添加辅助线.在解题的过程中，有时需要设未知数，通过构造方程(组)来求解.1．（2024·重庆·中考真题）如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出发，分别向B，D两港运送物资，最后到达A港正东方向的C港装运新的物资．甲货轮沿A港的东南方向航行40海里后到达B港，再沿北偏东60°方向航行一定距离到达C港．乙货轮沿A港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港．（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，(1)求A，C两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；(2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两港的时间相同），哪艘货轮先到达C港？请通过计算说明．2．（2024·四川泸州·中考真题）如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达B点，测得小岛C位于北偏西30°方向上，再沿北偏东60°方向继续航行一段时间后到达D点，这时测得小岛C位于北偏西60°方向上．已知A，C相距30nmile．求C，D间的距离（计算过程中的数据不取近似值）．3．（2023·辽宁丹东·中考真题）一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B在它北偏东31°方向上，继续向东航行10nmile到达C港，此时测得灯塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离．（结果精确到0.1nmile）（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin

►题型05运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题解决这类问题时，要利用已知角度构造直角三角形，在直角三角形中求解.1．（2024·四川巴中·中考真题）某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡BE的坡度i=1:3，BE=6m，在B处测得电线塔CD顶部D的仰角为45°，在E处测得电线塔CD顶部D的仰角为(1)求点B离水平地面的高度AB．(2)求电线塔CD的高度（结果保留根号）．2．（2023·湖北恩施·中考真题）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45°，在点B处测得点D的仰角为38.7°，A，B，C，D，E在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔3．（2023·江苏泰州·中考真题）如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1:0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35'．求堤坝高及山高DE．（sin26°35'

4．（2023·四川自贡·中考真题）为测量学校后山高度，数学兴趣小组活动过程如下：

(1)测量坡角如图1，后山一侧有三段相对平直的山坡AB，BC，如图2，同学们将两根直杆MN，MP的一端放在坡面起始端A处，直杆MP沿坡面AB方向放置，在直杆MN另一端N用细线系小重物G，当直杆MN与铅垂线NG重合时，测得两杆夹角α的度数，由此可得山坡AB坡角β的度数．请直接写出(2)测量山高同学们测得山坡AB，BC，CD的坡长依次为40米，50米，40米，坡角依次为24°，30°，45°；为求BH，小熠同学在作业本上画了一个含24°角的(3)测量改进由于测量工作量较大，同学们围绕如何优化测量进行了深入探究，有了以下新的测量方法．

如图4，5，在学校操场上，将直杆NP置于MN的顶端，当MN与铅垂线NG重合时，转动直杆NP，使点N，P，D共线，测得∠MNP的度数，从而得到山顶仰角β1，向后山方向前进40米，采用相同方式，测得山顶仰角β2；画一个含β1的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a1厘米，b1厘米，再画一个含β2的直角三角形，量得该角对边和另一直角边分别为a2厘米，b2厘米．已知杆高►题型06运用解直角三角形的知识解决实际问题1．（2024·福建·中考真题）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角∠PDA为70°，帆与航行方向的夹角∠PDQ为30°，风对帆的作用力F为400N．根据物理知识，F可以分解为两个力F1与F2，其中与帆平行的力F1不起作用，与帆垂直的力F2仪可以分解为两个力f1与f2,f1与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；f2．（2024·江苏苏州·中考真题）图①是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆AB⊥BC，活动杆AD可绕点A旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知AB=10cm，BC=20cm，(1)如图②，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）；(2)如图③，当活动杆AD绕点A由水平状态按逆时针方向旋转角度α，且tanα=34（α3．（2024·山东济南·中考真题）城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便，某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：综合实践活动记录表活动内容测量轻轨高架站的相关距离测量工具测倾器，红外测距仪等过程资料相关数据及说明：图中点A,B,C,D，E,F在同平面内，房顶AB，吊顶CF和地面DE所在的直线都平行，点F在与地面垂直的中轴线AE上，∠BCD=98°，∠CDE=97°,AE=8.5m成果梳理……请根据记录表提供的信息完成下列问题：(1)求点C到地面DE的距离；(2)求顶部线段BC的长．（结果精确到0.01m，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan4．（2024·四川乐山·中考真题）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）(1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA的长度；(2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方OA″，两次位置的高度差PQ=ℎ．根据上述条件能否求出秋千绳索OA的长度？如果能，请用含α、QUOTE►题型07运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）1．（2024·广东·中考真题）中国新能源汽车为全球应对气候变化和绿色低碳转型作出了巨大贡献．为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，如图是矩形PQMN充电站的平面示意图，矩形ABCD是其中一个停车位．经测量，∠ABQ=60°，AB=5.4m，CE=1.6m，GH⊥CD，

根据以上信息回答下列问题：（结果精确到0.1m，参考数据3≈1.73(1)求PQ的长；(2)该充电站有20个停车位，求PN的长．2．（2024·贵州·中考真题）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合性学习．【实验操作】第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A；第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点E处时，停止注水．（直线NN'为法线，AO为入射光线，【测量数据】如图，点A，B，C，D，E，F，O，N，N'在同一平面内，测得AC=20cm，∠A=45°，折射角【问题解决】根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：(1)求BC的长；(2)求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.623．（2024·四川成都·中考真题）中国古代运用“土圭之法”判别四季．夏至时日影最短，冬至时日影最长，春分和秋分时日影长度等于夏至和冬至日影长度的平均数．某地学生运用此法进行实践探索，如图，在示意图中，产生日影的杆子AB垂直于地面，AB长8尺．在夏至时，杆子AB在太阳光线AC照射下产生的日影为BC；在冬至时，杆子AB在太阳光线AD照射下产生的日影为BD．已知∠ACB=73.4°，∠ADB=26.6°，求春分和秋分时日影长度．（结果精确到0.1尺；参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin73.4°≈0.96，

4（2024·四川广元·中考真题）小明从科普读物中了解到，光从真空射入介质发生折射时，入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值sinα(1)若光从真空射入某介质，入射角为α，折射角为β，且cosα=74(2)现有一块与（1）中折射率相同的长方体介质，如图①所示，点A，B，C，D分别是长方体棱的中点，若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入，其折射光线恰好从点C5．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离．方案如下：课题检测新生物到皮肤的距离工具医疗仪器等示意图

说明如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN测量数据∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=9请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到0.1cm）（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.376．（2024·江苏连云港·中考真题）图1是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究．数学兴趣小组也类比进行了如下探究：如图2，正八边形游乐城A1A2A3A4A5A6A7A8的边长为22km，南门O设立在A6A(1)∠CA1A2=__________°(2)求点A1到道路BC(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走，求她离B处不超过多少千米，才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响？（结果精确到0.1km，参考数据：2≈1.41，sin76°≈0.97，tan76°≈4.00，

第四章三角形第22讲锐角三角函数及其应用（思维导图+3考点+2命题点20种题型（含5种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一锐角三角函数考点二解直角三角形考点三解直角三角形的应用04题型精研·考向洞悉命题点一锐角三角函数►题型01理解锐角三角函数的概念►题型02求角的三角函数值►题型03由三角函数求边长►题型04由特殊角的三角函数值求解►题型05特殊角三角函数值的混合运算►题型06根据特殊角三角函数值求角的度数►题型07已知角度比较三角函数值的大小►题型08利用同角的三角函数求解►题型09利用互余两角的三角函数关系求解►题型10三角函数综合►题型11在平面直角坐标系中求锐角三角函数值►题型12特殊角三角函数值的另类应用►题型13在网格中求锐角三角函数值命题点二解直角三角形►题型01解直角三角形的相关计算►题型02构造直角三角形求不规则图形的边长或面积►题型03运用解直角三角形的知识解决视角相关问题►题型04运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题►题型05运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题►题型06运用解直角三角形的知识解决实际问题►题型07运用解直角三角形的知识解决实际问题（新考法/新情境）

01考情透视·目标导航中考考点考查频率新课标要求三角函数值的确定★★探索并认识锐角三角函数(sinA,cosA，tanA)；知道30°,45°,60°角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角.特殊角的三角函数值★解直角三角形★★能用锐角三角函数解直角三角形.解直角三角形的应用★★能用相关知识解决一些简单的实际问题.【考情分析】锐角三角函数值的考查多以选择题、填空题为主，解题的一般过程是构造直角三角形，确定相应的边长，利用定义求相应的三角函数值，试题难度中等，解题关键是正确添加辅助线，确定合适的直角三角形.【命题预测】锐角三角函数及其应用是数学中考中比较重要的考点，其考察内容主要包括：①考查正弦、余弦、正切的定义，②特殊角的三角函数值，③解直角三角形与其应用等.出题时除了会单独出题以外，还常和四边形、圆、网格图形等结合考察，是近几年中考填空压轴题常考题型.预计2025年各地中考还将以选题和综合题的形式出现，在牢固掌握定义的同时，一定要理解基本的方法，利用辅助线构造直角三角形，是得分的关键.02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一锐角三角函数1.正弦、余弦、正切正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，把锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA，则

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.3）表示，可以写成，不能写成(正弦、余弦相同).2.锐角三角函数锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是∠A的三角函数．（其中：0＜∠A＜90°）取值范围：在Rt△ABC中，∠C=90°，由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：，，.增减变化：当0°＜∠A＜90°，sinA，tanA随∠A的增大而增大，cosA随∠A的增大而减小.【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小.3.特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：三角函数值特殊角30°45°60°sinαcosαtanα14.锐角三角函数的关系：在Rt△ABC中，若∠C为直角，则∠A与∠B互余时，有以下两种关系：1）同角三角函数的关系：①平方关系：sin2②商数关系：tanA=2)互余两角的三角函数关系：①互余关系：sinA=cos(90°-∠A)=cosB，即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.sinB=sin(90°-∠A)=cosA，即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.②倒数关系：tanA1．（2024云南真题）在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则tanA的值为（

A．45 B．43 C．35【答案】B【分析】根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，∴tanA=故选：B．【点睛】本题考查了正切的定义，解题关键是理解三角函数的定义．2．（2023·江苏苏州·一模）化简sin28°−cos28°A．sin28°−cosC．cos28°−sin【答案】C【分析】根据二次根式的性质得出sin28°−【详解】解：sin28°−cos28°2∵cos28°=sin∴原式=cos故选：C．【点睛】本题考查了三角函数关系，掌握三角函数的增减性是解题的关键．3．（2023·湖北黄石·中考真题）计算：−13【答案】9【分析】先计算零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．【详解】解：−=9+1−2×=9+1−1=9，故答案为：9．【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，解题的关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．4．（2023·江苏·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在边AB上，连接CD．若BD=CD，ADBD=1

【答案】22/【分析】由题意可设AD=x，则CD=3x，AB=4x，在Rt△ADC中求得AC=22x【详解】解：∵BD=CD，ADBD设AD=x，则BD=CD=3x，AB=4x，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC=2在Rt△ABC中，tan【点睛】本题考查的是求锐角三角函数，解题关键是根据比值设未知数，表示出边长从而求出锐角三角函数值．考点二解直角三角形1.解直角三角形定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c，角：∠A、∠B.2）三边之间的关系：a23）两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°.4）边角之间的关系：sinA=ac，sinB=bc，cosA=bc【补充】三角函数是连接边与角的桥梁.5）面积公式（h为斜边上的高）.2.解直角三角形的常见类型已知条件解法步骤图示两边斜边和一直角边(如c，a)由sinA=两直角边(如a，b)由tanA=一边一角斜边和一锐角（如c，∠A）∠B=90°－∠A，一直角边和一锐角（如a，∠A）∠B=90°－∠A，另一直角边和一锐角（如b，∠A）∠B=90°－∠A，【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此其边的大小不确定.【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一条边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三).【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对(邻)用正切.1．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=45，则BCA．3 B．6 C．8 D．9【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过点A作AD⊥BC于点D．由等腰三角形三线合一的性质得出BD=CD=12BC．根据sinB=ADAB=【详解】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．∵AB=AC=5，∴BD=CD=1在Rt△ABD中，sin∴AD=4∴BD=A∴BC=2BD=6．故选B．2．（2024·四川雅安·中考真题）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（

）

A．4 B．43 C．6 D．【答案】B【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，解直角三角形是正确解答的关键．根据正六边形的性质以及解直角三角形进行计算即可．【详解】解：设半径为r，由题意得，2πr=8π，解得r=4，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，∴∠AOB=360°∵OA=OB，∴△AOB是正三角形，∴OAB=60°，∴弦AB所对应的弦心距为OA·sin∴S△AOB故选：B．3．（2024·江苏南通·中考真题）若菱形的周长为20cm，且有一个内角为45°，则该菱形的高为cm【答案】5【分析】本题考查的是菱形的性质，锐角的正弦的含义，先画图，求解EF=EH=5cm，过E作FI⊥EH于H，结合∠E=45°【详解】解：如图，菱形EFGH的周长为20cm∴EF=EH=5cm过E作FI⊥EH于H，而∠E=45°，∴FI=EF⋅sin故答案为：54．（2023·青海西宁·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°，则BC的长约为．（结果精确到0.1．参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74【答案】8.0【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=12，∠A=42°

∵sinA=∴sin42°=则BC=12sin故选：8.0【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．5．（2024·浙江·中考真题）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6,tan(1)求BC的长；(2)求sin∠DAE【答案】(1)14(2)37【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解Rt△ADC与Rt△ADB，得出DC=6，（1）先由三角形的高的定义得出∠ADB=∠ADC=90°，再利用tan∠ACB=1得出DC=6；在Rt△ADB，根据勾股定理求出DB=8，然后根据（2）先由三角形的中线的定义求出BE的值，则DE=BD−BE，然后在Rt△ADE【详解】（1）解：在Rt△ABD中，AB=10,AD=6∴BD=AB在Rt△ADC中，tan∴DC=6，∴BC=BD+DC=8+6=14；（2）∵AE是BC边上的中线，∴BE=1∴DE=BD−BE=8−7=1，∴AE=AD∴sin∠DAE=QUOTEQUOTE考点三解直角三角形的应用1）仰角、俯角视角：视线与水平线的夹角叫做视角．仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.2）坡度、坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=h坡角：坡面与水平面的夹角α叫做坡角.【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度(用字母i表示)是比；两者之压间的关系是i=h3）方位角、方向角方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°4）解直角三角形实际应用的一般步骤①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.1．（2024·四川·中考真题）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，【答案】B处距离A处有140海里．【分析】本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题．过P作PC⊥AB于C，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：过P作PC⊥AB于C，在Rt△APC中，∠A=37°，AP=100∴PC=AP⋅sinAC=AP⋅cos在Rt△PBC中，∵∠B=45°∴BC=PC=60（海里），∴AB=AC+BC=80+60=140（海里），答：B处距离A处有140海里．2．（2024·江苏南通·中考真题）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在B处测得旗杆顶部A的仰角为60°，BC=6m，则旗杆AC的高度为【答案】6【分析】本题考查解直角三角形的应用，直接利用锐角三角函数，求出AC的值即可．【详解】解：由题意：∠C=90°,∠B=60°,BC=6，∴AC=BC⋅tan故答案为：633．（2023·湖北·中考真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=3:4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C=18°，求斜坡AB的长．（结果精确到米）（参考数据：sin18°≈0.31,

【答案】斜坡AB的长约为10米【分析】过点D作DE⊥BC于点E，在Rt△DEC中，利用正弦函数求得DE=6.2，在Rt【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，则四边形ADEF是矩形，在Rt△DEC中，CD=20DE=CD⋅sin∴AF=DE=6.2．∵AFBF∴在Rt△ABF中，AB=答：斜坡AB的长约为10米．【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．04题型精研·考向洞悉命题点一锐角三角函数►题型01理解锐角三角函数的概念1．（2024广州市模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（

A．扩大2倍 B．不变 C．缩小12 D．扩大【答案】B【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变．【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就不变．故选：B．2．（2024宣化区一模）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是（）A．sinα的值越大，梯子越陡B．cosαC．tanαD．陡缓程度与∠α的函数值无关【答案】A【分析】根据三角函数定义与性质，sinα值越大∠α越大；cosα值越小∠α越大；tanα本题考查三角函数定义与性质，熟记“sinα值越大∠α越大；cosα值越小∠α越大；tanα【详解】解：A、sinαB、cosαC、tanαD、陡缓程度与的三角函数值有关，故D不符合题意．故选：A．3．（2022·吉林长春·中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC=α，下列关系式正确的是（

）A．sinα=ABBC B．sinα=BCAB【答案】D【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可．【详解】∵BC⊥AC，∴△ABC是直角三角形，∵∠ABC=α，∴sinα=故选：D．【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02求角的三角函数值求锐角的三角函数值时，先确定锐角在哪个直角三角形中,，若已知三边，则直接利用定义求解；如果已知两边，则利用勾股定理求出第三边，然后利用定义求解.1．（2024·浙江宁波·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanB=43，则A．34 B．35 C．45【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出tanB=ACBC=43，设【详解】解：∵tan∴设AC=4x，BC=3x，由勾股定理得：AB=(4x)∴sin故选：B．2．（2023·四川内江·中考真题）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c−10|+b−8=12a−36，则【答案】45/【分析】由a2+|c−10|+b−8=12a−36，可得a−62【详解】解：∵a2∴a2∴a−62∴a−6=0，c−10=0，b−8=0，解得：a=6,b=8,c=10，∴a2∴∠C=90°，∴sinB=故答案为：45【点睛】本题考查的是利用完全平方公式分解因式，算术平方根，绝对值，偶次方的非负性，勾股定理的逆定理的应用，锐角的正弦的含义，证明∠C=90°是解本题的关键．3．（2024·江苏常州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．若AD=8，BE=10，则tan∠ABD=【答案】1【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的关键．设EF与BD相交于点O，证明△BOE∽△BAD，根据相似的性质进行计算即可；【详解】解：BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．∴EF⊥BD，BO=1∴∠BOE=∠A=90°，∵∠ABD=∠ABD，∴△BOE∽△BAD，∴BE∵AD=8，BE=10，BO=1∴10∴OE⋅BO=40，∵OE令OE=x,OB=y，xy=40x解得x=25y=45∴tan故答案为：124．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．(1)求证：FG是⊙O的切线；(2)若BG=1，BF=3，求CF的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）连接DF,OF，设∠ODF=∠OFD=β，∠OFC=α，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明α+β=90°，进而求得∠DFG=α,∠DFO=β，即可证明FG是⊙O的切线；（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形GEOF是正方形，进而求得DC的长，根据∠BFG=∠FDC=β，sinβ=【详解】（1）如图，连接DF,OF，∵OF=OD，则∠ODF=∠OFD，设∠ODF=∠OFD=β，∠OFC=α，∵OF=OC，∴∠OFC=∠OCF=α，∵DC为⊙O的直径，∴∠DFC=90°，∴∠DFO+OFC=∠DFC=90°，即α+β=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=α，∵FG⊥AB，∴∠GFB=90°−∠B=90°−α=β，∵∠DFB=∠DFC=90°，∴∠DFG=90°−∠GFB=90°−β=α，∴∠GFO=GFD+DFO=α+β=90°，∵OF为⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线；（2）如图，连接OE，∵AB是⊙O的切线，则OE⊥AB，又OF⊥FG,FG⊥AB，∴四边形GEOF是矩形，∵OE=OF，∴四边形GEOF是正方形，∴GF=OF=1在Rt△GFB中，BG=1，BF=3∴FG=B∴DC=42由（1）可得∠BFG=∠FDC=β，∵FG⊥AB,DF⊥FC，∴sin∴13解得FC=4【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键．5．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O外一点，AC=BC，连接OC，DF是AC的垂直平分线，交OC于点F，垂足为点E，连接AD、CD，且∠DCA=∠OCA．

(1)求证：AD是⊙O的切线；(2)若CD=6，OF=4，求cos∠DAC【答案】(1)见解析(2)30【分析】（1）由等腰三角形的性质可得CO⊥AB,由线段垂直平分线的性质可得∠DAC=∠DCA,由∠DCA=∠OCA可得∠DAC=∠OCA,证明AD//OC，从而可得结论；（2）连接AF，由线段垂直平分线的性质可得AF=AD=CD=CF=6,再由勾股定理求出相关线段长即可．【详解】（1）∵O为圆心，∴OA=OB，∵AC=BC，∴CO⊥AB,即∠COA=∠COB=∵DF是AC的垂直平分线，∴AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,∵∠DCA=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,∴∠DAO=∠COB=90°又AB是圆O的直径，∴AD是⊙O的切线；（2）连接AF，如图，

由（1）知，AD=CD,AE=CE,∵∠DCA=∠OCA,DF⊥AC,∴CD=CF,AF=AD.∴AF=AD=CD=CF=6,在RtΔAOF∴AO=