中考数学总复习提升专项知识等腰三角形(练习)含答案及解析

第四章三角形第18讲等腰三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用👉题型02根据等边对等角求解或证明👉题型03根据三线合一求解或证明👉题型04在格点图中画等腰三角形👉题型05根据等角对等边求边长👉题型06根据等角对等边证明👉题型07确定构成等腰三角形的点👉题型08等腰三角形性质与判定综合👉题型09利用等边三角形的性质求解👉题型10等边三角形的判定👉题型11等边三角形性质与判定综合👉题型12手拉手模型👉题型13与等腰三角形有关的折叠问题👉题型14与等腰三角形有关的动点问题👉题型15与等腰三角形有关的新定义问题👉题型16与等腰三角形有关的规律探究问题👉题型17与等腰三角形有关的多结论问题👉题型18探究等腰三角形中存在的线段数量关系👉题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用1．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则该等腰三角形的周长为2．（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足|m−7+3−n|2=0，且m，n恰好是等腰△ABC3．（2024·内蒙古赤峰·二模）学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是36°，求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是36°，求底角的度数”．下面的四个答案，你认为正确的是（

）A．36° B．144° C．36°或72° D．72°或144°4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D是边BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为B'，若∠BDB'=120°，则BD的长为5．（22-23八年级上·河南南阳·期末）在等腰三角形中有一个角为40°，则腰上的高与底边的夹角为．👉题型02根据等边对等角求解或证明6．（2024·陕西渭南·三模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，连接OA、OB，若OA=2，则该正八边形的面积为．（结果保留根号）7．（2024·陕西·模拟预测）如图，在正五边形ABCDE中，AD,CE相交于点F，连接BF，则∠CFB的度数是．8．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，点P为直线BC上一点，且AC=CP，连接AP，则∠BAP的度数是（

）A．45° B．135° C．45°或135° D．30°或135°9．（2024·广东河源·二模）如图，在四边形ABCD中，∠CAD=90°，∠B=30°，∠D=60°且AC=BC．(1)求证：AB∥(2)若AD=1，求四边形ABCD的面积．10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G.若GE=GH，ABFH=56，AD=4👉题型03根据三线合一求解或证明11．（2024·贵州黔东南·二模）如图，△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若AE=4，则BD的边长为（A．2.5 B．3.5 C．2 D．312．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，点B、C在x轴上，BC=4OC，若△ABC13．（2024·山西·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，取AC的中点E，连接BE，过点C作BE的垂线，交BE的延长线于点D，若BD=8，DC=2，则DE的长为．14．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛(1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知.AB=AD，CB=CD，AC与BD交于点O(2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架AC和BD(如图2)，当AC垂直平分BD时即可固定风筝.现在有总长度为120cm的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当AC15．（2024·山东聊城·三模）如图，△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE∥AB，点F是AD的中点，连接EF，并延长EF交AB于点(1)连接DG，求证：四边形AGDE是平行四边形．(2)若使四边形AGDE是菱形，△ABC应为什么特殊三角形？点D在BC的什么位置？证明你的猜想．👉题型04在格点图中画等腰三角形16．（2024·贵州贵阳·二模）在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C有个．17．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹．(1)在图①中，以AC为中线作△ABD，使AB=AD；(2)在图②中，以AC为中线作Rt△AEF，使∠AEF=90°(3)在图③中，以AC为中线作△AMN，使∠AMN为钝角且tan∠MAC=18．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1，已知格点P，请按要求完成以下问题．

(1)在图中画一个格点等腰三角形PEF，使得底边长为2；(2)在图中再找一个格点G，使得P，E，F，G四点构成平行四边形，则该平行四边形的面积为__________．19．（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使△ABPn（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是（

A．P1 B．P2 C．P3👉题型05根据等角对等边求边长20．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边△ABC中，AB=6，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°，则CE的长为．21．（2024·贵州毕节·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=4，CD=10，则BD的长为

22．（2024·海南海口·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则点E到AB的距离为，DEEF的值是23．（2024·陕西·模拟预测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的13处BE=13AB，已知试管AB=24cm，试管倾斜角α为10°，实验时，导气管BF交CD的延长线于点F，且ED⊥CF，测得DE=27.36cm，∠ABF=145°，求DF的长度．（参考数据：24．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且AD平分∠BAC，若AB=5，AC=4，则△ABD与△ACD的面积比为（

）A．5：4 B．4:5 C．16:2525．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BC，交BC于点E，且AB=5，AE=BC=4，则CD的长为．👉题型06根据等角对等边证明26．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在△ABC中，O是AB边的中点，D是CO上一点，AE∥BD交CO的延长线于点E．(1)求证：AE=BD；(2)若∠ACB=90°，∠BDO=∠CAO，AC=6，求BD的长．27．（2024·江苏连云港·模拟预测）某学习小组在学习了正方形的相关知识后发现：正方形对角线上任意一点与正方形其他两个顶点相连形成的线段一定相等．该学习小组进一步探究发现：若过该点作其中一条线段的垂线与正方形的两边相交形成的较长线段和前面形成的两条线段也有关系．请根据下列探究思路完成作图和解答：(1)尺规作图：过点E作EF⊥AE．分别交边AD、BC于点G、F．（保留作图痕迹，不写作法）(2)求证：EC=EF=AE．👉题型07确定构成等腰三角形的点28．（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．(1)从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；(2)从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．29．（2023兰州市模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点P，使得ΔPAB是等腰三角形，则符合条件的P点的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．830．（2020·江苏泰州·一模）已知点A(2，m)，点P在y轴上，且△POA为等腰三角形，若符合条件的点P恰好有2个，则m=．31．（2024君山区一模）已知坐标原点O和点A(1,1)，试在x轴上找到一点P，使△AOP为等腰三角形，写出满足条件的点P的坐标👉题型08等腰三角形性质与判定综合32．（2024通辽市模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10．AB的垂直平分线ED分别交AC,AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF周长的最小值为

33．（2024·贵州·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45∘，∠C=60∘，BC=6，P为AC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则34．（2024·山西·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，到△AB'C'，连接CC'，交AB于点P35．（2024·湖南·模拟预测）如图，将等腰Rt△ABC的斜边BC向上平移至AD（点B和A重合），连接CD，M为线段CD上一点（不与点C重合），连接AM并将其绕点A顺时针旋转90°至AN，连接MN交BC于点E，连接BN(1)求证：△ABN≌△ACM；(2)求证：EN=EM；(3)如图2，分别取AM,CE的中点P,Q,连接PQ，试探究线段PQ和BE之间的数量关系，并说明理由．👉题型09利用等边三角形的性质求解36．（2024·甘肃兰州·模拟预测）如图，四边形ABCD内接于☉O，连接AO，DO，已知△AOD是等边三角形，DO是∠ADC的平分线，则∠ABC=（）

A．30° B．40° C．60° D．80°37．（2024·山西大同·模拟预测）如图，等边△OAB的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，OA=2，将等边△OAB绕原点顺时针旋转105°至△OA'B'的位置，则点38．（2024·安徽合肥·三模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D是BC的中点，E，F分别在BC，AB上，连接AE，CF，两线交于点G，连接BG，DG，∠FGB=∠CGD，CE=1．(1)求AE的长；(2)求证：BG=2GD；(3)求AG的长39．（2024·湖南·模拟预测）平面图形的镶嵌往往给人以美的享受，如图1是用边长相等的正六边形与正三角形进行的无缝隙、不重叠的平面镶嵌．我们选取其中一个正六边形和三个与之相邻（正上方、左下方和右下方）的正三角形组成的图形部分，将其放在平面直角坐标系中．如图2，点A，B，C均为正六边形和正三角形的顶点．已知点A的坐标为2,0，反比例函数y=kxx>0的图象恰好经过点B，C，连接OB，OC，则△BOC👉题型10等边三角形的判定40．（2023·江西赣州·一模）在学习《2.1圆》时，小明遇到了这样一个问题：如图1（1）、1（2），△ABC和△DBC中，∠A=∠D=90°．试证明A、B、C、D四点在同一圆上．小明想到了如下证法：在图1（1）、1（2）中取BC中点M，连接AM,DM，则有AM=BM=CM及DM=BM=CM，即AM=BM=CM=DM，所以A、B、C、D四点在以M为圆心，MB为半径得圆上，根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：(1)如图2，在△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点H，若∠BAC=64°，则∠EDF=°．(2)如图3，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，G为CD的中点，CE⊥AB于E，DF⊥AB于F（E、F不重合），若∠EGF=60°，求证：CD=141．（2023·甘肃平凉·模拟预测）某学习小组在学习时遇到了∠ACB=∠AED=90°下面的问题：如图1，在△ABC和△ADE中，，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C在同一直线上，连接BD，F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并说明理由．问题探究（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF．以下是她的证明过程：请根据以上证明过程，解答下列两个问题：①在图1上作出证明中所描述的辅助线．②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．证明：延长线段EF交CB的延长线于点G．∵F是BD的中点，∴BF=DF．∵∠ACB=∠AED=90°，∴ED∥CG又∵∠BFG=∠DFE，∴△BGF≌△DEF（

）．∴EF=FG，∴CF=EF=1问题拓展在（1）在探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状．👉题型11等边三角形性质与判定综合42．（2023·广东深圳·三模）综合与实践数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、B、C在半径为1的⊙O上静止不动，第四只蚂蚁P在⊙O上的移动，并始终保持∠APC=∠CPB=60°．(1)请判断△ABC的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：△ABC是______三角形；(2)“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁P在⊙O上的移动时，线段PA、PB、PC三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明；(3)“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁M同时随着蚂蚁P的移动而移动，且始终位于线段PC的中点，在这个运动过程中，线段BM的长度一定存在最小值，请你求出线段BM的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）．43．（2024·贵州·模拟预测）综合与实践：在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠MAN=∠B，AM，AN分别交BC，CD于点M，N．(1)【动手操作】如图①，若M是边BC的中点，根据题意在图①中画出∠MAN，则∠BAM=________度；(2)【问题探究】如图②，当M为边BC上任意一点时，求证：AM=AN；(3)【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD中，AB=4，点P，N分别在边BC，CD上，在菱形内部作∠PAN=∠B，连接AP，若AP=13，求线段DN44．（2024·黑龙江鸡西·二模）在四边形ABDE中，C是BD边的中点．(1)如图1，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，则线段AE，AB，(2)如图2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，则线段AB，BD，DE，AE之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明；(3)如图3，BC=8，AB=3，DE=7，若∠ACE=120°，则线段AE长度的最大值是．45．（2024·山东·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．(1)如图1，当点E在边BC上时，求证DE=EB；(2)如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；(3)如图1，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG=5CG，BH=1．求CG的长．46．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，⊙O为五边形ABCDE的外接圆，AB=BC，AE=DE，连接其对角线，交于点F，G，H，N，M．(1)求证：∠AFG=∠AGF；(2)当∠CAD=时，△NED是等边三角形，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，若AF=4，tan∠BAF=33👉题型12手拉手模型47．（2023·甘肃张掖·模拟预测）在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下操作：(1)观察猜想：如图①，已知△ABC,△ADE均为等边三角形，点D在边BC上，且不与点B、C重合，连接CE，易证△ABD≌△ACE，进而判断出AB与CE的位置关系是___________(2)类比探究：如图②，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC=60°，试说明点B，D，E在同一直线上；(3)解决问题：如图③，已知点E在等边△ABC的外部，并且与点B位于线段AC的异侧，连接AE、BE、CE．若∠BEC=60°,AE=3,CE=2，请求出BE的长．48．（2023·河南洛阳·模拟预测）综合与实践综合与实践课上，数学研究小组以“手拉手图形”为主题开展数学活动两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．

(1)操作判断

已知点C为△ABC和△CDE的公共顶点，将△CDE绕点C顺时针旋转α0°<a<360°，连接BD，AE，如图1，若△ABC和△CDE①线段BD与线段AE的数量关系是________；②直线BD与直线AE相交所夹锐角的度数是________；(2)迁移探究

如图2，若∠ABC=∠EDC=90°，∠BAC=∠DEC=30°，其他条件不变，则（1）中的结论是否都成立？请说明理由；(3)拓展应用：如图3，若∠BAC=∠DEC=90°，AB=AC，CE=DE，BC=2CD=42，当点B，D，E三点共线时，请直接写出BD的长．49．（2024·山东泰安·二模）【建立模型】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，且它们的们顶角∠BAE=∠DAC，连接BD，CE，试猜想BD与【模型应用】（2）如图2，△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，∠ABC=30°，AC为边向外作等边△ACD，连接BD，求【模型变式】（3）如图3，在（2）的条件下，以AC为腰在线段AC的左侧作等腰△ACD，AD=AC，∠CAD=120°，直接写出BD的长．50．（2024·甘肃金昌·模拟预测）如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠EAC，连接BC，DE交于点F，且B，A，E三点共线．【模型建立】（1）如图①，△ABD和△ACE是等腰三角形，AB=AD,AC=AE，①求证：△ABC≌②判断∠BAD与∠BFE的数量关系，并说明理由；【模型应用】（2）如图②，△ABD和△ACE都是等边三角形，连接AF，求证：FA平分∠BFE；【模型迁移】（3）在（2）的条件下，若AB=2AE=2，求AF的长．51．（2024·山东临沂·模拟预测）几何探究与实践(1)【模型认识】如图1所示，已知在△ABC中，∠BAC>90°，分别以AB、AC为直角边构造等腰直角三角形ABD和ACE，连接BE、CD，则BE与CD的关系是：；(2)【初步应用】如图2所示，连接DE，求证：S四边形(3)【深入研究】在（2）的条件下，试判断△ABC和△ADE的面积有何关系，并加以证明；(4)【拓广探索】如图3，在△ABC中，∠BAC=75°，AB=42，AC=2，以BC为直角边构造等腰直角三角形BCP，且∠PBC=90°，连接AP，试直接写出AP👉题型13与等腰三角形有关的折叠问题52．（2024·湖北十堰·一模）如图，已知△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，F，G分别为边AB，AC边上的点，将△AFG沿FG折叠，点A的对应点恰好落在53．（2024·山东日照·二模）如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，D为边AC的中点，E为边AB上的一个动点，连接DE，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'．当A'E⊥AC时，

54．（23-24九年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践：折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.折一折：把边长为6的正△AND三角形纸片，其沿直线GH折叠，使点A落在点A'填一填，做一做：(1)图①中阴影部分的周长为.(2)图①中，若∠A'GN=80°，则(3)图①中的相似三角形(包括全等三角形)共有对；(4)如图②，点A'落在边AD上，若A'N55．（2024·河南周口·二模）综合与实践如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边上的动点BD<1(1)操作发现按下列步骤操作：第一步：将△BCD沿CD折叠，点B落在点G处，CG与AB相交于点O；第二步：取AD上一点E，连接CE，将△ACE沿CE折叠，使点A与点G重合．根据以上操作，∠DCE与∠DGE之间的数量关系为__________；线段DE与BD,AE之间的数量关系为__________．(2)深入探究如图2，在（1）的基础上，过点D作DF∥BC交CG于点F，连接EF．试判断△DEF的形状，并说明理由．(3)问题解决在（2）的条件下，当AB=12,CF:FG=5:7时，请直接写出折痕CD的长．👉题型14与等腰三角形有关的动点问题56．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．(1)填空：∠AEB的度数为______；②线段AD，(2)如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，(3)如图3，在△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=6，平面上一动点P到点B的距离为4，将线段CP绕点C顺时针旋转90°，得到线段CD，连DA，DB，57．（2024·全国·模拟预测）如图，在等边△ABC中，点D为AC边上一动点，点E为BC上一点，且满足AD=CE，连接AE，BD，当线段CF的长度最小时，S△ABFS△ABC58．（2024·吉林长春·一模）【感知】如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连结BE．由ED=AD，∠ADC=∠EDB，

【迁移】如图②，AD是△ABC的中线，点E在边AC上，连结BE交AD于点F，AE=EF，求证：AC=BF．下面是小明同学的部分证明过程，请补全余下的证明过程．证明：延长AD至点M，使DM=FD，连结MC．【拓展】如图③，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连结AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，连结BE，F是线段BE的中点，连结DF、AF．若AD=6，则👉题型15与等腰三角形有关的新定义问题59．（2024·江苏常州·模拟预测）定义：若两个三角形中，有两组边对应相等且其中一组等边所对的角对应相等，但不是全等三角形，我们就称这两个三角形为“融通三角形”，相等的边所对的相等的角称为“融通角”．(1)①如图1，在△ABC中，CA=CB，D是AB上任意一点，则△ACD与△BCD“融通三角形”；（填“是”或“不是”）②如图2，△ABC与△DEF是“融通三角形”，其中∠A=∠D，AC=DF，BC=EF(2)若互为“融通三角形”的两个三角形都是等腰三角形，求“融通角”的度数．(3)如图3，在四边形ABCD中，对角线AC=4，∠CAB=30°，∠B=105°，∠D+∠B=180°，且△ACD与60．（2024·辽宁大连·模拟预测）点M在四边形ABCD内，点M和四边形的一组对边组成两个三角形，如果这两个三角形都是以对边为斜边的等腰直角三角形，那么定义该四边形ABCD为蝴蝶四边形．例如，如图1，在四边形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB，MC=MD【概念理解】如图2，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点M．判断正方形ABCD是否为蝴蝶四边形，说明理由．【性质探究】如图3，在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°【拓展应用】在蝴蝶四边形ABCD中，∠AMB=∠CMD=90°，MA=MB=2,MC=MD=1，当△ACD是等腰三角形时，求此时61．（2024·广东深圳·模拟预测）【材料阅读】在等腰三角形中，我们把底边与腰长的比叫做顶角的正对sad．在△OMN中，OM=ON，顶角O的正对记作sad∠O=底边腰=MNON．由此可知一个角的大小与这个角的正对也是相互唯一确定的，所以我们可按上述方式定义的正对，例如，sad60°=1,sad90°=2，请根据材料，完成以下问题：如图1，P是线段AB上的一动点（不与点A,B重合），点C,D分别是线段AP,BP的中点，以AC,CD，(1)【阅读应用】①若等边三角形△ACE,△CDF,△DBG的边长分别为a,b,c，则a,b,c三者之间的关系为______；②sad∠EPG=(2)【猜想证明】如图2，连接EF,FG，猜想sad∠EFG(3)【拓展应用】如图3，连接EF,EG，若AB=12,EF=27，则△EPG的周长是多少？此时AP👉题型16与等腰三角形有关的规律探究问题62．（2022·宁夏银川·一模）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1=1，以斜边OA2为直角边作等腰Rt△OA2A63．（23-24九年级下·广东广州·阶段练习）如图，在直角坐标系中，有一等腰直角三角形OBA，∠OAB=90°，直角边OA在x轴正半轴上，且OA=1，将Rt△OBA绕原点O顺时针旋转90°，同时扩大边长的1倍，得到等腰直角三角形OB1A1（即A1O=2AO），同理，将Rt△OB1A

A．−22023,22023 B．2202364．（2024·山东济宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，OA=1，将OA绕点O顺时针旋转45°到OA1，扫过的面积记为S1，A1A2⊥OA1交x轴于点A2；将OA2绕点O顺时针旋转45°到OA3，扫过的面积记为S2，A3A4⊥O

A．22020π B．22021π C．65．（2024·四川广安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，所有三角形均为等边三角形，已知点A13,0，A32,0，A54,0，A7

👉题型17与等腰三角形有关的多结论问题66．（2024·吉林长春·二模）如图，点C为线段AB上一点，△DAC、△ECB都是等边三角形，AE、DC交于点M，DB、EC交于点N，DB、AE交于点P，连结MN，给出下面四个结论：①MN∥AB；②∠DPM=60°；③∠AEB=90°67．（2024·黑龙江·二模）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接FN，NE．下列结论：①AE=AF；②AB2=BM⋅BE；③△AEF是等边三角形；④BF=AN；⑤四边形AENFA．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤68．（2024·北京·模拟预测）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为斜边BC上的中点，点E，F分别在直角边AB，AC上运动（不与端点重合），且保持BE=AF，连接DE，DF，EF．设BE=a，CF=b，EF=c．在点E，F的运动过程中，给出下面三个结论：①a+b>c；②a2+b2=A．①② B．②③ C．①③ D．①②③69．（2024·江苏苏州·二模）如图，等边△ABC的边长为3，点D在边AC上，AD=12，线段PQ在边BA上运动，PQ=12，有下列结论：①CP与QD可能相等；②△AQD与△BCP可能相似；③四边形PCDQ面积的最大值为31316；④四边形👉题型18探究等腰三角形中存在的线段数量关系1．（2024·甘肃兰州·模拟预测）综合与实践【思考尝试】（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，D是BC边上的一点，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，【实践探究】（2）小睿受此问题启发，思考提出新的问题：如图2，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E，F为边BC上的点，且∠EAF=45°．用等式写出线段【拓展迁移】（3）小博深入研究小睿提出的问题，发现并提出新的探究点：如图3，在△ABC中，∠BAC为直角，∠ABC=45°，平面内存在一点D，使CD⊥BD．若AD=42，CD=2，求△ABC2．（2024·贵州黔南·模拟预测）已知△ABC，△BDE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，AB=BC，BE=BD．【问题发现】（1）如图1，当点B，C，E在同一条直线上时，AE与CD的数量关系是______，位置关系是______；【问题探究】（2）如图2，当点A，C，E在同一条直线上时，BE，CD交于点F，若AB=BC=2，BE=BD=32，求【拓展延伸】（3）如图3，连接CE，AD，G是线段CE的中点，连接BG，求BGAD3．（2024·山西大同·模拟预测）综合与实践：如图1，已知点D是等边三角形△ABC边BC上的一点（不与点B，C重合）．动手操作：第一步：连接AD，以A为旋转中心，将线段AD顺时针旋转60°，得到线段AE，连接DE；第二步：以D为旋转中心，将线段DC逆时针旋转120°，得到线段DF，连接BF，交DE于点M．特例探究：（1）如图2，当点D为BC中点时，点F恰好在AB上，请写出线段EM与DM的数量关系，并说明理由；探索发现：（2）如图1，当点D不是BC中点时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当BC=6，CD=2时，请直接写出AM的长．4．（2024·重庆江津·模拟预测）在等腰Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC，D，E分别为AB，BC边上的动点且满足AD=BE，连接DE，AE(1)如图1，AD<DB，当DE=5，AC=32时，求(2)如图2，AC上有一点F满足∠EDF=45°时，试探究DE与DF的数量关系，并说明理由；(3)如图3，连接CD，AE交于点O，当AE+CD取最小值时，直接写出S△AOC1．（2024·江苏南通·中考真题）综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动．【特例探究】（1）如图①，②，③是三个等腰三角形（相关条件见图中标注），列表分析两腰之和与两腰之积．等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表图序角平分线AD的长∠BAD的度数腰长两腰之和两腰之积图①160°244图②145°222图③130°__________________请补全表格中数据，并完成以下猜想．已知△ABC的角平分线AD=1，AB=AC，∠BAD=α，用含α的等式写出两腰之和AB+AC与两腰之积AB⋅AC之间的数量关系：______．【变式思考】（2）已知△ABC的角平分线AD=1，∠BAC=60°，用等式写出两边之和AB+AC与两边之积AB⋅AC之间的数量关系，并证明．【拓展运用】（3）如图④，△ABC中，AB=AC=1，点D在边AC上，BD=BC=AD．以点C为圆心，CD长为半径作弧与线段BD相交于点E，过点E作任意直线与边AB，BC分别交于M，N两点．请补全图形，并分析1BM2．（2024·江苏南通·中考真题）在△ABC中，∠B=∠C=α0°<α<45°，AH⊥BC，垂足为H，D是线段HC上的动点（不与点H，C重合），将线段DH绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边AC上时，点D为HC的中点；小丽发现：连接AE，当AE的长最小时，AH2A．小明正确，小丽错误 B．小明错误，小丽正确C．小明、小丽都正确 D．小明、小丽都错误4．（2024·山东济南·中考真题）如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD=2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC−CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为ts，DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y①AB=3；②当t=5时，y=1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC−CA匀速运动时，两个时刻t1，t2t1<t2分别对应y1和A．①②③

B．①②

C．③④

D．①②④4．（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线l的表达式为y=x，点A1的坐标为(2,0)，以O为圆心，OA1为半径画弧，交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交x轴于点A2；以O为圆心，OA2为半径画弧，交直线l于点B2，过点B2作直线l的垂线交x轴于点A3；以O为圆心，OA3为半径画弧，交直线l5．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP顶点M的坐标为3,0，△OAB是等边三角形，点B坐标是1,0，△OAB在正方形OMNP内部紧靠正方形OMNP的边（方向为O→M→N→P→O→M→⋯）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A的对应点记为A1，A1的坐标是2,0；第二次滚动后，A1的对应点记为A2，A2的坐标是2,0；第三次滚动后，A2的对应点记为A3，A1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，⊙O的周长为8π，正六边形ABCDEF内接于⊙O．则△OAB的面积为（

）

A．4 B．43 C．6 D．2．（2024·山东泰安·中考真题）如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是（A．45° B．39° C．29° D．21°3．（2024·四川广元·中考真题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，点B，C的对应点分别为点D，E，连接CE，点D恰好落在线段CE上，若CD=3，BC=1，则AD的长为（

）A．5 B．10 C．2 D．24．（2024·河南·中考真题）如图，⊙O是边长为43的等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（

A．8π3 B．4π C．165．（2024·福建·中考真题）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，其中△OAB与△ODC都是等腰三角形，且它们关于直线l对称，点E，F分别是底边AB，CD的中点，OE⊥OF．下列推断错误的是（

）A．OB⊥OD B．∠BOC=∠AOBC．OE=OF D．∠BOC+∠AOD=180°6．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为对角线BD，AC的三等分点，连接AE并延长交CD于点G，连接EF，FG，若∠AGF=α，则∠FAG用含A．45°−α2 B．90°−α2 C．45°+α27．（2024·四川宜宾·中考真题）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，反比例函数y=kxk≠0的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则ANA．13 B．14 C．158．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A=∠A1，AC=A1C1，BC=B1CA．1对 B．2对 C．3对 D．4对9．（2024·宁夏·中考真题）如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC=°．10．（2024·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为（写出一个即可）．11．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)与中间的小等边三角形DEF拼成一个大等边三角形ABC．连接BD并延长交AC于点G，若AE=ED=2，则：（1）∠FDB的度数是；（2）DG的长是．12．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线．（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点E，F．（2）以点A为圆心，BE长为半径画弧，交AC于点G．（3）以点G为圆心，EF长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交于点H．（4）画射线AH．（5）以点B为圆心，BC长为半径画弧，交射线AH于点M．（6）连接MC，MB，MB分别交AC，AD于点N，P．根据以上信息，下面五个结论中正确的是．（只填序号）①BD=CD；②∠ABM=15°；③∠APN=∠ANP；④AMAD=313．（2024·辽宁·中考真题）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD>AB，AD=a，AB=10．以点A为圆心，以AB长为半径作图，与BC相交于点E，连接AE．以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线EP，与AD相交于点F，则FD的长为14．（2024·湖北·中考真题）△DEF为等边三角形，分别延长FD，DE，EF，到点A，B，C，使DA=EB=FC，连接AB，AC，BC，连接BF并延长交AC于点15．（2024·山东东营·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=3(1)问题发现如图1，将△CAB绕点C按逆时针方向旋转90°得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系是______，AD与BE的位置关系是______；(2)类比探究将△CAB绕点C按逆时针方向旋转任意角度得到△CDE，连接AD，BE，线段AD与BE的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若AD交CE于点N，请结合图2说明理由；(3)迁移应用如图3，将△CAB绕点C旋转一定角度得到△CDE，当点D落到AB边上时，连接BE，求线段BE的长．16．（2024·江苏常州·中考真题）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB=DF，AC=DE，BC=EF．(1)求证：△GEC是等腰三角形；(2)连接AD，则AD与l的位置关系是________．17．（2024·甘肃兰州·中考真题）综合与实践【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题，如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点（不含端点），且AN=BM．【初步尝试】（1）如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN=DB，请思考并证明：【类比探究】（2）小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB．试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；【拓展延伸】（3）孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，连接BN，CM，请直接写出BN+CM的最小值．18．（2024·辽宁·中考真题）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α0°<α<45°．将线段CA绕点C顺时针旋转90°得到线段CD，过点D作DE⊥BC，垂足为E

图1

图2

图3(1)如图1，求证：△ABC≌△CED；(2)如图2，∠ACD的平分线与AB的延长线相交于点F，连接DF，DF的延长线与CB的延长线相交于点P，猜想PC与PD的数量关系，并加以证明；(3)如图3，在（2）的条件下，将△BFP沿AF折叠，在α变化过程中，当点P落在点E的位置时，连接EF．①求证：点F是PD的中点；②若CD=20，求△CEF的面积．第四章三角形第18讲等腰三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u👉题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用👉题型02根据等边对等角求解或证明👉题型03根据三线合一求解或证明👉题型04在格点图中画等腰三角形👉题型05根据等角对等边求边长👉题型06根据等角对等边证明👉题型07确定构成等腰三角形的点👉题型08等腰三角形性质与判定综合👉题型09利用等边三角形的性质求解👉题型10等边三角形的判定👉题型11等边三角形性质与判定综合👉题型12手拉手模型👉题型13与等腰三角形有关的折叠问题👉题型14与等腰三角形有关的动点问题👉题型15与等腰三角形有关的新定义问题👉题型16与等腰三角形有关的规律探究问题👉题型17与等腰三角形有关的多结论问题👉题型18探究等腰三角形中存在的线段数量关系👉题型01分类讨论思想在等腰三角形中的应用1．（2024·云南昆明·一模）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2−6x+8=0的两根，则该等腰三角形的周长为【答案】10【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键．求出一元二次方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案．【详解】解：xx−2解得：x=2或x=4，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系，此时能组成三角形，周长为2+4+4=10，所以三角形的周长为10，故答案为：10．2．（2024·江苏·模拟预测）若实数m，n满足|m−7+3−n|2=0，且m，n恰好是等腰△ABC【答案】17【分析】根据偶次方、算术平方根的非负性可得：m−7=0，3−n=0，从而可得【详解】解：∵|m−7+∴m−7=0，解得：m=7，分两种情况：当等腰三角形的腰长为7，底边长为3时，∴△ABC的周长=7+7+3=17；当等腰三角形的腰长为3，底边长为7时，∵3+3=6<7，∴不能组成三角形；综上所述：△ABC的周长是17，故答案为：17．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．3．（2024·内蒙古赤峰·二模）学完等腰三角形的性质后，小丽同学将课后练习“一个等腰三角形的顶角是36°，求底角的度数”改为“等腰三角形的一个角是36°，求底角的度数”．下面的四个答案，你认为正确的是（

）A．36° B．144° C．36°或72° D．72°或144°【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和等于180度是解题的关键．根据题意分以下两种情况，当36°是等腰三角形的底角，以及当36°是等腰三角形的顶角，讨论求解，即可解题．【详解】解：当36°是等腰三角形的底角，则底角的度数为36°；当36°是等腰三角形的顶角，则底角的度数为180°−36°2综上所述，等腰三角形的一个角是36°，其底角的可以是36°或72°．故选：C．4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=4，D是边BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD折叠，点B的对应点为B'，若∠BDB'=120°，则BD的长为【答案】433【分析】本题考查等腰三角形中的翻折问题，当∠BDB'=120°时，分两种情况：①当点B'在BC下方；②当点【详解】解：当∠BDB①当点B'在BC设AB'与BC的交点为∵∠BAC=120°，AB=AC，∴∠B=∠C=30°，由折叠得，∠∵∠BDB∴∠∴∠DOB∴DO=1∴BO=BD+DO=BD+1在Rt△ABO中，BO=AB⋅∴3解得，BD=4②当点B'在BC由折叠得，∠ADB∵∠B=30°，∴∠BAD=90°，∵AB=4，∴BD=AB综上所述，BD的长为433故答案为：4335．（22-23八年级上·河南南阳·期末）在等腰三角形中有一个角为40°，则腰上的高与底边的夹角为．【答案】20°或50°【分析】分已知的角是等腰三角形的底角和顶角两种情况计算．【详解】当40°角为底角时，如图，∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=40°，过点A作AD⊥CB，交BC的延长线于点D，∴∠ADC=90°，∴∠DAB=90°−∠B=50°；

当40°角为顶角时，如图，∵CA=CB，∴∠CAB=∠B=180°−40°过点A作AG⊥CB，交BC于点G，∴∠AGB=90°，∴∠GAB=90°−∠B=20°；故答案为20°或50°．【点睛】本题考查了等腰三角形的角的计算，熟练掌握分类思想是解题的关键．👉题型02根据等边对等角求解或证明6．（2024·陕西渭南·三模）如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，连接OA、OB，若OA=2，则该正八边形的面积为．（结果保留根号）【答案】8【分析】本题考查正多边形的性质，等腰直角三角形的性质，先求出∠AOB=360°8=45°，作AH⊥OB于点H，构造等腰直角△OHA，求出AH【详解】解：如图，作AH⊥OB于点H，∵该多边形为正八边形，OA=2，∴OB=OA=2，∠AOB=360°又∵AH⊥OB，∴△OHA是等腰直角三角形，∴AH=2∴S△AOB∴该正八边形的面积=8S故答案为：827．（2024·陕西·模拟预测）如图，在正五边形ABCDE中，AD,CE相交于点F，连接BF，则∠CFB的度数是．【答案】54°/54度【分析】根据五边形ABCDE是正五边形，求出∠CDE=∠DEA=108°，再根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理求出∠EDA=∠DAE=36°，同理得∠DEC=36°，再求出∠DFE=108°，证明△AFE≌△CFD，得到AF=CF，再证明△ABF≌【详解】解：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠CDE=∠DEA=5−2∵DE=AE，∴∠EDA=∠DAE=1同理∠DEC=36°，∴∠DFE=180°−∠DEF−∠EDF=180−36°−36°=108°，∵∠DEF=∠EDF,∠EDF=∠EAD，∴∠DEF=∠EAD，∵∠DEF=∠DCE，∴∠DCE=∠EAD，∵∠AFE=∠CFD,CD=AE，∴△AFE≌∴AF=CF，∵∠BAE=∠BCD,∠DAE=∠DCE，∴∠BAE−∠DAE=∠BCD−∠DCE，即∠BAF=∠BCF，∵BF=BF，∴△ABF≌∴∠CFB=∠AFB=1故答案为：54°．【点睛】本题考查正多边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．8．（2024·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，点P为直线BC上一点，且AC=CP，连接AP，则∠BAP的度数是（

）A．45° B．135° C．45°或135° D．30°或135°【答案】C【分析】本题考查了三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．注意点P为直线BC上一点，分别作图，运用三角形内角和性质，等边对等角，三角形外角性质分别列式计算，即可作答．【详解】解：如图所示：以点C为圆心，AC为半径画弧，分别交直线BC于两点，即P1，∵AB=AC，∠B=30°∴∠BCA=30°∵AC=C∴∠∴∠∵AB=AC，∠B=30°∴∠BCA=30°∵AC=C∴∠CA∴∠故选：C9．（2024·广东河源·二模）如图，在四边形ABCD中，∠CAD=90°，∠B=30°，∠D=60°且AC=BC．(1)求证：AB∥(2)若AD=1，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)5【分析】本题主要考查了平行线的判定、三角形内角和定理、等腰三角形三线合一、等边对等角、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握平行线的判定、含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．（1）根据等边对等角，得出∠BAC=∠B=30°，根据三角形内角和定理，计算求出∠ACD的度数，得出∠BAC=∠ACD，根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明AB∥（2）过点C作CE⊥AB于E，根据含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形三线合一，结合勾股定理，求出AC、CE、AB的长，根据S△4CD=12×AC×AD【详解】（1）证明：∵∠B=30°，AC=BC，∴∠BAC=∠B=30°，∵∠CAD+∠D+∠ACD=180°，∠CAD=90°，∠D=60°，∴∠ACD=180°−∠CAD−∠D=180°−90°−60°=30°，∴∠BAC=∠ACD，∴AB∥（2）解：∵∠CAD=90°，AD=1，由（1）得∠ACD=30°，∴CD=2，BC=AC=C∴S△4CD如图，过点C作CE⊥AB于E，∴∠AEC=90°，∵∠B=30°，∴CE=1∴AE=BE=B∴AB=AE+BE=3∴S△ABC∴S四边形10．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知矩形ABCD，点E在CB延长线上，点F在BC延长线上，过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H，连接AF交EH于点G.若GE=GH，ABFH=56，AD=4【答案】6【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，等边对等角，直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，先由矩形的性质得到CD⊥BC，CD=AB，BC=AD=4，∠ABC=∠DCB=90°，再证明△DCE∽△HFE得到CDFH=ABFH=56；根据直角三角形的性质得到GE=GF=GH，则∠GFE=∠E，进而证明△ABF≌△DCEAAS，推出BE=CF．设BE=CF=x，则CE=x+4，【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD⊥BC，CD=AB，BC=AD=4，∠ABC=∠DCB=90°，∵FH⊥EF，∴CD∥∴△DCE∽△HFE，∴ECEF∴CDFH∵FH⊥EF，GE=GH，∴GE=GF=GH，∴∠GFE=∠E，∴△ABF≌△DCEAAS∴BF=CE，∴BF−BC=CE−BC，即BE=CF．设BE=CF=x，∵BC=AD=4，∴CE=x+4，EF=2x+4，∴x+42x+4解得x=1，经检验x=1是原方程的解，∴EF=6．故答案为：6.👉题型03根据三线合一求解或证明11．（2024·贵州黔东南·二模）如图，△ABC中，∠B=60°，BA=3，BC=5，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若AE=4，则BD的边长为（A．2.5 B．3.5 C．2 D．3【答案】C【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质．过点E作EF⊥BC于F．先在Rt△BEF中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BF=12BE=3.5，于是CF=BC−BF=1.5，再根据等腰三角形三线合一的性质得出【详解】解：过点E作EF⊥BC于F．在Rt△BEF中，∵∠BFE=90°，∠B∴∠BEF=30°，∵AE=4，AB=3，BE=AE+AB，∴BF=1∴CF=BC−BF=5−3.5=1.5．∵ED=EC，EF⊥BC于F，∴DC=2CF=3，∴BD=BC−DC=5−3=2．故选：C．12．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，点A在反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象上，点B、C在x轴上，BC=4OC，若△ABC【答案】12【分析】本题考查了反比例函数比例图象上点的特征、等腰三角形三线合一的性质、三角形的面积．要求学生掌握设而不求的方法解题．设OC=a，过点A作AE⊥x轴于点E，表示出BC、AE，结合△ABC的面积即可求出k的值．【详解】解：设OC=a，则Ca,0∵BC=4OC，∴OB=5a，CB=4a，过点A作AE⊥x轴于点E，∵AB=AC，∴CE=EB=2a，∴OE=3a，∵OE·AE=k，∴AE=k∵S∴k=12．故答案为：12．13．（2024·山西·模拟预测）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，取AC的中点E，连接BE，过点C作BE的垂线，交BE的延长线于点D，若BD=8，DC=2，则DE的长为．【答案】13【分析】作AM⊥BC，EN⊥BC，垂足为点M、N．先由勾股定理求得BC的长，再由等腰三角形“三线合一”与三角形中位线的逆定理可求得BM、MN的长，从而可知BN的长，最后利用△BNE∽△BDC可求得DE的长．【详解】解：如图，过点A、点E分别作AM⊥BC，EN⊥BC，垂足为点M、N．则AM∥EN，

∵∠BDC=90°，BD=8，∴BC=B∵AB=AC，AM⊥BC，∴BM=CM=1∵E为AC的中点，AM∥EN，∴MN=CN=1∴BN=BM+MN=3设DE=x，则BE=BD−DE=8−x．∵∠BNE=∠BDC=90°，∠EBN=∠CBD，∴△BNE∽△BDC，∴BEBC=BN∴88−x解得：x=13即：DE=13故答案为：138【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理的逆定理、相似三角形的性质、勾股定理等，解题的关键作出恰当的辅助线．14．（2024·浙江·模拟预测）在劳动课上，小华同学所在小组进行了风筝框架设计比赛(1)小华设计的风筝框架平面图如图1，已知.AB=AD，CB=CD，AC与BD交于点O(2)小明提出了改进建议：制作风筝框架只需要两个支架AC和BD(如图2)，当AC垂直平分BD时即可固定风筝.现在有总长度为120cm的细木条用于制作该风筝框架，小明同学想做面积最大的风筝，请你帮他设计：当AC【答案】(1)见解析(2)AC为60cm时，风筝的面积最大，面积最大值为【分析】本题考查二次函数的应用，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：（1）先证△ABC≌△ADCSSS，推出∠BAC=∠DAC，根据等腰三角形三线合一即可证明BO=DO（2）设AC=x，则BD=120−x，列出风筝的面积S关于x的二次函数关系式，变形为顶点式，求出最值即可．【详解】（1）证明：∵AB=AD，CB=CD，∴△ABC≌△ADCSSS∴∠BAC=∠DAC，即AC平分∠BAD，又∵AB=AD，∴BO=DO；（2）解：设AC=xcm，则BD=∵AC垂直平分BD，∴OB=OD=12BD∴风筝的面积S=S∴S=1∵−1∴当x=60时，S取最大值1800，即AC为60cm时，风筝的面积最大，面积最大值为180015．（2024·山东聊城·三模）如图，△ABC中，点D是BC上一点，过点D作DE∥AB，点F是AD的中点，连接EF，并延长EF交AB于点(1)连接DG，求证：四边形AGDE是平行四边形．(2)若使四边形AGDE是菱形，△ABC应为什么特殊三角形？点D在BC的什么位置？证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)△ABC为等腰三角形时，AGDE是菱形；点D为BC中点【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，其中证明三角形全等是解题的关键．（1）证明△AGF≌△DEF，得DE=AG；再由DE∥AB即可证明四边形（2）当△ABC为等腰三角形且AB=AC时，由D是中点，则∠EAD=∠EDA，从而得AE=DE，即四边形AGDE是菱形．【详解】（1）证明：∵点F是AD的中点，∴AF=DF；∵DE∥∴∠GAF=∠EDF，∵∠AFG=∠DFE，∴△AGF≌△DEF(ASA∴DE=AG；∵DE∥∴四边形AGDE是平行四边形；（2）解：当△ABC为等腰三角形且AB=AC时，且D中点，四边形AGDE是菱形；∵AB=AC时，且D是中点，∴∠GAD=∠EAD；∵DE∥∴∠GAD=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴AE=DE，即平行四边形AGDE是菱形．👉题型04在格点图中画等腰三角形16．（2024·贵州贵阳·二模）在如图所示的网格纸中，有A，B两个格点，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C有个．【答案】8【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．【详解】解：如图所示：点C1其中AC12=1由勾股定理得：AC故△ABC同理：AC2=12由勾股定理得：AC故△ABC网格中其他点C如图所示，所以格点C的个数是8，故答案为：8．17．（2024·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、C均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求作格点图形，保留作图痕迹．(1)在图①中，以AC为中线作△ABD，使AB=AD；(2)在图②中，以AC为中线作Rt△AEF，使∠AEF=90°(3)在图③中，以AC为中线作△AMN，使∠AMN为钝角且tan∠MAC=【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题主要考查应用与设计作图，理解题意，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；（2）根据直角三角形的判定三角形中线的定义画出图形；（3）根据三角形中线的定义以及题意要求画出图形；【详解】（1）解：使AB=AD，即让△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，过C点作AC的垂线，使C为BD中点即可；（2）解：在A点正下方与C点对齐的地方找到E点，过点E、C画直线使C为BD中点即可得到点F；（3）解：过点C画斜线使C为中点找到M、N，连接起来即可使tan∠MAC=18．（2024·浙江嘉兴·一模）如图，在2×4的方格纸ABCD中，每个小方格的边长为1，已知格点P，请按要求完成以下问题．

(1)在图中画一个格点等腰三角形PEF，使得底边长为2；(2)在图中再找一个格点G，使得P，E，F，G四点构成平行四边形，则该平行四边形的面积为__________．【答案】(1)见解析(2)1或3【分析】本题主要考查了格点作图，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解题关键是掌握网格的特点，理解相关图形的性质．（1）底边长为2即底边为小方格的对角线，根据要求画出底边，再在其底边的垂直平分线找到在格点上的顶点即可得到等腰△PEF，即可求解；（2）根据平行四边形的性质，找到点G的位置，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，

等腰三角形PEF，即为所求；（2）当PE=EF=1，PF=2时，点G此时该平行四边形的面积为1×1=1；当PE=EF=5，PF=2时，点此时该平行四边形的面积为2×1故答案为：1或3．19．（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使△ABPn（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是（

A．P1 B．P2 C．P3【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理，根据网格的特点和勾股定理可得△ABP1、△AB【详解】解：根据网格的特点和勾股定理可得△ABP△ABP故选：B．👉题型05根据等角对等边求边长20．（2024·广西桂林·一模）如图，在等边△ABC中，AB=6，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30°，则CE的长为．【答案】3【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，等角对等边，由等边三角形的性质可得AC=AB=6，∠ACB=60°，CD=12AC=3，再根据三角形外角性质可得∠CDE=∠ACB−∠E=30°【详解】解：∵△ABC为等边三角形，AB=6，∴AC=AB=6，∠ACB=60°，∵BD平分∠ABC，∴CD=1∵∠E=30°，∴∠CDE=∠ACB−∠E=60°−30°=30°，∴∠CDE=∠E，∴CE=CD=3．21．（2024·贵州毕节·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AB上，AD=4，CD=10，则BD的长为

【答案】2【分析】本题考查了勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，过D作DE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，得四边形DECF是矩形，根据性质可知CF=DE，再由等角对等边得DE=BE，AF=DF，最后由勾股定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：如图，过D作DE⊥BC于点E，作DF⊥AC于点F，

∴∠DEB=90°，∠AFD=∠CFD=90°，∵∠ACB=90°，∴四边形DECF是矩形，∴CF=DE，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，∴∠B=∠EDB=45°，∠A=∠ADF=45°，∴DE=BE，AF=DF，则由勾股定理得：BD=2DE=2∴AF=DF=22在Rt△CDF中，由勾股定理得：DF=∴DE=CF=2∴BD=2故答案为：2．22．（2024·海南海口·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是AC边上的一点，过点D作DF∥AB，交BC于点F，作∠BAC的平分线交DF于点E，连接BE．若△ABE的面积是2，则点E到AB的距离为，DEEF的值是【答案】45【分析】本题考查的知识点是勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、等角对等边，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．先根据勾股定理求出AB，即可分别用三角形面积公式推得点C到AB的距离和点E到AB的距离，再根据DF∥AB判定△CDF∽△CAB即可推得相似比，从而由相似三角形的性质得到CDCA=DFAB=23，由AE平分∠BAC【详解】解：∵Rt△ABC中，∴点C到AB的距离ℎ=AC×BC∵S∴点E到AB的距离ℎ1∴点C到DF的距离ℎ2∵DF∥AB，∴△CDF∽△CAB，且相似比为ℎ2∴CD∴CD=23×4=∴AD=AC−CD=4∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠DAE，∵DF∥AB，∴∠BAE=∠AED，即∠DAE=∠AED，∴DE=AD=4∴EF=DF−DE=10∴DE故答案为：45；223．（2024·陕西·模拟预测）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的13处BE=13AB，已知试管AB=24cm，试管倾斜角α为10°，实验时，导气管BF交CD的延长线于点F，且ED⊥CF，测得DE=27.36cm，∠ABF=145°，求DF的长度．（参考数据：【答案】33.84【分析】本题考查解直角三角形，矩形的判定及性质，等腰三角形的判定．过点B分别作BH⊥DE于点H，BP⊥FC于点P，则四边形BPDH是矩形，得到BH=DP，BP=HD，在Rt△BEH中，HE=BE⋅sin∠EBH≈1.36，BH=BE⋅cos∠EBH≈7.84，从而DP=BH=7.84，BP=HD=DE−HE=26【详解】解：如解图，过点B分别作BH⊥DE于点H，BP⊥FC于点P，∵ED⊥CF∴四边形BPDH是矩形，∴BH=DP，BP=HD∵AB=24，BE=13AB=8∴在Rt△BEH中，HE=BE⋅BH=BE⋅cos∴DP=BH=7.84，HD=DE−HE=27.36−1.36=26，∴BP=HD=26，∵∠PBF=145°−90°−10°=45°，∴∠FBP=180°−∠BPF−∠PBF=45°，∴PF=BP=26∴DF=DP+PF=7.84+26=33.84，答：DF的长度约为33.84cm24．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，在△ABC中，D为BC边上一点，且AD平分∠BAC，若AB=5，AC=4，则△ABD与△ACD的面积比为（

）A．5：4 B．4:5 C．16:25【答案】A【分析】过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E，利用平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积特点解答即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，等腰三角形判定和性质，三角形面积，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】解：过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E，则BDDC=BA∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠DAC，∴∠E=∠ACE，∴AE=AC，∵AB=5，AC=4，∴AE=4，∴BDDC∴S△ABD故选A．25．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，AE⊥BC，交BC于点E，且AB=5，AE=BC=4，则CD的长为．【答案】4179【分析】过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点E，利用△ABD∽△CFD结合等腰三角形CBF求出结果．【详解】解∶过点C作AB的平行线，交BD的延长线于点E．在直角△ABE中，∠AEB=90°BE=A∴CE=BC−BE=4−3=1，在直角△AEC中，由勾股定理得AC=A∵CF∥∴△ABD∽△CFD，∴ADDC∵BD平分∠ABC∴∠1=∠2，∵CF∥∴∠1=∠F，∴∠2=∠F．∴CF=