2022年北京市初三一模数学试题汇编：四边形（解答题）

1/12022北京初三一模数学汇编四边形（解答题）一、解答题1．（2022·北京西城·一模）已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，连接EA，EC．(1)如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分∠ABC，AB=4，则∠AEC=______°，四边形ABCE的面积为______；(2)当点E在正方形ABCD的外部时，①在图2中依题意补全图形，并求∠AEC的度数；②作∠EBC的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接CF．用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．2．（2022·北京西城·一模）如图，在△ABC中，BA=BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F在BD的延长线上，且DE=DF，连接AE，CE，AF，CF．(1)求证：四边形AECF是菱形；(2)若BA⊥AF，AD=4，，求BD和AE的长．3．（2022·北京顺义·一模）如图，在四边形ABCD中，，，垂足为O，过点D作BD的垂线交BC的延长线于点E．(1)求证：四边形ACED是平行四边形；(2)若AC=4，AD=2，，求BC的长．4．（2022·北京通州·一模）如图．在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D．点E为AB的中点，连接DE，过点E作交CB的延长线于点F．(1)求证：四边形DEFB是平行四边形；(2)当AD＝4，BD＝3时，求CF的长．5．（2022·北京海淀·一模）如图，在中，，D是BC的中点，点E，F在射线AD上，且．(1)求证：四边形BECF是菱形；(2)若，，求菱形BECF的面积．6．（2022·北京平谷·一模）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，点D为AB边中点，过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF＝ED，连接AE、AF、BF．(1)求证：四边形AEBF是菱形；(2)若cos∠EBF＝，BF＝5，连接CD，求CD的长．7．（2022·北京房山·一模）如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，过点C作CFEB交AB的延长线于点F．(1)求证：四边形BFCE是矩形；(2)连接AC，若AB=BE=2，，求AC的长8．（2022·北京朝阳·一模）如图，在矩形中，，相交于点O，，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，求四边形的面积．9．（2022·北京东城·一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且，点E在BD上，．(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若，，，，求BE的长．10．（2022·北京石景山·一模）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得EF=DE，连接CD，CF，BF．(1)求证：四边形BFCD是菱形；(2)若cosA=，DE=5，求菱形BFCD的面积．11．（2022·北京大兴·一模）如图，在平面四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD上的点，．(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；(2)若，，，求BD的长．12．（2022·北京丰台·一模）如图，在四边形ABCD中，∠DCB＝90°，ADBC，点E在BC上，ABDE，AE平分∠BAD．(1)求证：四边形ABED为菱形；(2)连接BD，交AE于点O．若AE＝6，sin∠DBE＝，求CD的长．13．（2022·北京东城·一模）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（），连接BE，DE．(1)求证：；(2)过点E作交BC于点F，延长BC至点G，使得，连接DG．①依题意补全图形；②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．

参考答案1．(1)135，(2)①作图见解析，45°；②【分析】（1）过点E作于点K，由正方形的性质、旋转的性质及角平分线的定义可得，再利用等腰三角形的性质和解直角三角形可求出，，继而可证明，便可求解；（2）①根据题意作图即可；由正方形的性质、旋转的性质可得，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质求出，即可求解；②过点B作垂足为H，由等腰三角形的性质得到，再证明即可得到，再推出为等腰直角三角形，即可得到三者之间的关系．(1)过点E作于点K四边形ABCD是正方形BE平分∠ABC，AB=4，将线段BA绕点B旋转（），得到线段BE，，四边形ABCE的面积为故答案为：135，(2)①作图如下四边形ABCD是正方形由旋转可得，②，理由如下：如图，过点B作垂足为H，∠EBC的平分线BF交EC于点G为等腰直角三角形即【点睛】本题属于四边形和三角形的综合题目，涉及正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等，灵活运用上述知识点是解题的关键．2．(1)见解析(2)【分析】（1）由等腰三角形的性质得到，再由菱形的判定定理即可得到结论；（2）先求出，由勾股定理得出BD的长度，解直角三角形求出AF的长度，再由菱形的性质即可求解．(1)BA=BC，BD平分∠ABCDE=DF四边形AECF是菱形；(2)，BA⊥AF，BA=BCAD=4在中，四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理及利用同角的三角函数关系求值，熟练掌握知识点是解题的关键．3．(1)证明见解析(2)BC的长为【分析】（1）先判定，再根据题中所给的条件即可利用平行四边形判定定理证出；（2）根据三角函数值设，，利用平行四边形性质得到平行及线段相等，从而根据确定的相似比代值求解即可．(1)证明：，，，，在四边形ABCD中，，四边形ACED是平行四边形；(2)解：在中，，设，，在中，，，，，，即，解得（舍弃）或，．【点睛】本题考查了平行线的判定、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．4．(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据题目所给条件得到三角形是等腰三角形，由角平分线的条件，根据“三线合一”的知识，从而得到点D为中点，再利用中位线的性质，从而得到，再根据平行四边形判定定理即可证明；（2）根据等腰三角形“三线合一”的知识，从而得到为直角三角形，根据题目所给条件，得出的长，再根据直角三角形斜边中线的性质以及平行四边形的性质，得到的长度，从而得到最后结果．（1）证明：∵在△ABC中，AB＝BC，∴△ABC为等腰三角形，∴，又∵BD为∠ABC的角平分线，∴，又∵，∴，∴，∴D为中点，又∵点E为AB的中点，∴为中位线，∴，即，又∵，∴四边形DEFB是平行四边形．（2）解：∵由（1）得，∴，又∵点E为AB的中点，∴为的中线，∴，∵在中，AD＝4，BD＝3，∴，∴，又∵四边形DEFB是平行四边形，∴，又∵，∴．【点睛】本题考察了三角形的中位线，平行四边形的判定定理和性质，等腰三角形的三线合一，直角三角形斜边上的中线的性质和勾股定理的知识，解决本题的关键是利用好中点的条件以及平行四边形的性质．5．(1)见解析(2)【分析】（1）先由等腰三角形“三线合一”的性质得到，再结合已知即可证明结论；（2）设，根据题意，求出，，再根据勾股定理列出方程求解，最后计算菱形的面积即可．（1），D是BC的中点，，，四边形BECF是菱形；（2）设，，，，，，，，在中，，即，解得，，菱形BECF的面积．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、菱形的判定定理和性质定理，勾股定理，菱形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．6．(1)见解析(2)【分析】（1）根据菱形的判定条件：对角线互相垂直平分的四边形是菱形进行证明即可；（2）先证明∠AEC=∠EBF，从而求出CE=3，，BC=8，利用勾股定理求出AB的长，即可利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出CD的长．(1)解：∵D是AB的中点，∴AD=BD，∵DE=DF，∴四边形AEBF是平行四边形，∵EF⊥AB，∴四边形AEBF是菱形；(2)解：∵四边形AEBF是菱形，∴，AE=BF=BE=5，∴∠AEC=∠EBF，∵∠ACB=90°，∴，∴CE=3，∴，BC=CE+BE=8，∴，∵D是AB的中点，∠ACB=90°，∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，熟知菱形的性质与判定条件是解题的关键．7．(1)见解析(2)【分析】（1）先证明四边形BFCE是平行四边形，再根据即可求证；（2）利用矩形的性质得到，根据得到，根据勾股定理求解即可．(1)证明：∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴四边形是平行四边形∵∴∴四边形是矩形．(2)解：∵四边形是矩形∴，，∵，∴，∵，∴，∴，在中，，．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理以及三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握相关基础知识．8．(1)见解析(2)【分析】(1)根据矩形的性质得出OA=OB，进而利用菱形的判定解答即可；(2)根据菱形的性质及面积公式，解直角三角形即可求得．(1)证明：，四边形AEBO是平行四边形又四边形ABCD是矩形，，四边形AEBO是菱形(2)解：如图：连接EO，交AB于点F四边形ABCD是矩形，，又是等边三角形，四边形AEBO是菱形，四边形的面积为：【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．9．(1)证明见解析(2)3【分析】（1）由，可知，证明，则，进而结论得证；（2）由，，可知，由平行四边形的性质可知，，在中，由勾股定理得，求出的值，根据，求解的值，根据，求解的值即可．(1)证明：∵，∴，在和中，∵，∴，∴，∴四边形AECD是平行四边形．(2)解：∵，，∴，∵四边形AECD是平行四边形，∴，，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，即，解得，∴，∴的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正切等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．10．(1)见解析(2)菱形BFCD的面积为120．【分析】（1）先证四边形BFCD是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线性质得到CD=AB=BD，即可得出结论；（2）由题意推出DE是△ABC的中位线，从而得到∠BDE=∠A，再由余弦的定义，及勾股定理可求出菱形的两条对角线的长度，从而得到菱形的面积.(1)证明：∵点E为BC的中点，∴CE=BE，又∵EF=DE，∴四边形BFCD是平行四边形，∵D是边AB的中点，∠ACB=90°，∴CD=AB=BD，∴平行四边形BFCD是菱形；(2)解：∵D，E分别为AB，BC的中点，∴DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∵cosA=，∴cos∠BDE==，∵DE=5，∴BD=13，∴BE=12，∴DF=2DE=10，BC=2BE=24，∴菱形BFCD的面积=×10×24=120．【点睛】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形的中位线定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形BFCD为菱形是解题的关键．11．(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，证明四边形AEFD是平行四边形；（2）过点D作DG⊥AB于点G，利用已知条件和锐角三角函数以及勾股定理即可求出BD的长．(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB‖CD且AB=CD，∵CF=BE，∴AB-BE=CD-CF，即AE=DF∴四边形AEFD是平行四边形；(2)解：如图，过点D作DG⊥AB于点G．∴∠AGD=90°，∵∠A=60°，∴∠ADG=30°，∵AD=2，∴AG=1，∴DG=，BG=AB−AG=3，∴在Rt△DGB中，BD==．【点睛】本题考查平行四边形与直角三角形的综合应用，熟练掌握平行四边形的性质和判定、直角三角形的性质及勾股定理的应用是解题关键．12．(1)见解析(2)【分析】（1）先证明四边形ABED为平行四边形，再证一组邻边相等，可得结论；（2）先根据菱形的性质及解直角三角形求得BE及BD的长，再通过面积法求得CD的长．(1)证明：∵ADBC，ABDE，∴四边形ABED为平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE．∵ADBC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴▱ABED是菱形；(2)解：如图，连接BD，∵四边形ABED是菱形，∴AE⊥BD，AO=OE==3，OB=OD，∴sin∠DBE==，∴BE=5，∴，∴BD=2OB=8，∵∠DCB＝90°，∴，∴∴．【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，