2025年中考数学复习：二次函数公共点问题综合练习

二次函数公共点问题综合练习

考向1与线段结合求取值范围

一阶方法突破练

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点力(-1，2),点B(3,2),若抛物线y=x2-4x-3+c与线段AB有公

共点，结合函数图象，求c的取值范围.

第1题图

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点2(-1，2),点B(3,2),若抛物线y=x2-2bx+b2-1与线段AB有

公共点，结合函数图象，求b的取值范围.

口

AB

第2题图

3.如图.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,3),B(3,5),若抛物线y=(久-4+b(b>0)与线段AB有公共

点，结合函数图象，求b的取值范围.

第3题图

4.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点4(0,-4),B(2,-2)若抛物线y=ax2-2ax-a+2与线段AB有

两个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

第4题图

5.如图，在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-3),B(2,2).若抛物线yax2-2ax+a-2与线段AB有一^公

共点，结合函数图象，求a的取值范围.

第5题图

6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点.4(-1，2),点B(3,2),若抛物线y=ax2-4ax-5a与线段AB有一

个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.

-r

AB

0X

第6题图

设问进阶练

例在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,2),(Q(2+2。5a)抛物线y=ax2+bx+c(a丰0).

(1)当a=I，6=0时，若抛物线与线段PQ没有公共点，请结合函数图象，求c的取值范围；

例题图①

(2)当a=|,c=0时，若抛物线与线段PQ有一个公共点，请结合函数图象，求b的取值范围；

例题图②

⑶当。=1,6=2时，若抛物线与线段PQ有一个公共点，请结合函数图象，求c的取值范围；

•P

1-

0.1%

例题图③

（4）当b=3a,c=a时，若抛物线与线段PQ没有公共点，请结合图象，求a的取值范围；

y

•P

o.1x

例题图④

（5）当b=-4a,c=0时，若抛物线与线段PQ有公共点，请结合函数图象，求a的取值范围.

例题图⑤

综合强化练

1.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=a(x-m)(x-n)(a丰0).

(1)若爪=1-2a,n=a-2,,求抛物线的对称轴(用含a的代数式表示)；

⑵创新题代数推理在⑴的条件下，设该抛物线的顶点坐标为(p,q),当a力1时，求证：兰-工；

P+CLo

⑶若m=-l,n=3,,平面内有两点P(2,-4),Q(-l，-4),,当抛物线与线段PQ有公共点，求a的取值范围.

作图区答题区

备用图②

2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2m(m+l)x+2(m0)与y轴交于点A,点A关于抛物线对

称轴的对称点为点B.

⑴当m=一2时，求抛物线的顶点坐标；

⑵若AB=6,,求抛物线的解析式；

(3)已知点P(m+3,2),(2(0<m+1),,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.

答题区

备用图①

备用图②

考向2与直线结合求取值范围

方法突破练

1.已知直线y=k久与抛物线y=x2+2x+3有两个交点，求k的取值范围.

2.已知直线y=-x+3与抛物线y=ax2-4ax+l(a〉O)存在两个交点，设左侧的交点为点.P(久i，%),当-2<

<一1时,求a的取值范围.

3.若直线y=kx+2与抛物线y=x(x-4)+2(0<%<3)有唯一公共点，求k的取值范围.

第3题图

设问进阶练

例在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2-3ax+c(a力0)与x轴交于点A,B(点A在点B的左

侧),与y轴交于点C.

(1)若a=c,,抛物线与直线y=3久-1有两个交点，求a的取值范围；

(2)可创新题•直线平移考交点已知直线.y=-久+4经过B,C两点，现将抛物线先向左平移2个单位长度，再

向上平移5个单位长度，得到一个新抛物线.当直线y=2x+n与新抛物线有两个交点时，求n的取值范围；

(3)若。=-l,c=1,,将该抛物线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余部分不变得到新的函数图象.当直线丫=

x+。与新函数的图象有4个交点时，求b的取值范围.

例题图③

综合强化练

1.如图，已知抛物线C-.y=x2-2x+3a+l(a为常数)，直线1:y=2%-3与x轴交于点P,点M与直

线上的点N(4,5)关于直线.%=1对称，连接PM.

(1)当a=11时，求该抛物线的顶点坐标；

⑵创新题•抛物线与折线交点若抛物线经过原点，设抛物线与折线MPN的两个交点的

横坐标是%i,x2(xr<久2),求+久2的值；

⑶若该抛物线在x<3的部分与直线1有两个交点，求a的取值范围.

作图区答题区

备用图②

2.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=12一.+c与x轴交于A,B(4,0)两点，与y轴交于点C,且抛

物线的对称轴为直线.%=1.

(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；

⑵(抛物线翻折得新图)过点C作直线久轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线1翻折，抛物线的其余部分保

持不变，得到一个新图象，请你结合新函数图象回答：当直线y=+d与新图象只有一个公共点P(x°，y。),且为

W8时，求d的取值范围.

作图区答题区

第2题图

考向3与反比例函数结合求取值范围

一阶方法突破练

1.若二次函数y=/+c与反比例函数y=式2<x<4）的图象有且仅有一个交点，求c的取值范围.

2.如图，抛物线y=-2x2+4久与x轴相交于O,A两点，抛物线的顶点为点B.反比例函数y=其k>0）的图象

与抛物线在第一象限的一个父点在点B左侧，求k的取值范围

K

第2题图

3如图，若抛物线y=-x2+2bx与反比例函数BC:y=：（2<x<4）的图象有交点，其中点B,C的横坐标

分别为2,4,求b的取值范围.

第3题图

4.当c=q时，抛物线y=-x（x-3）+c与反比例函数y=:（久〉0）的图象只有一个交点（（久0，”且0<久。W

3,求当0<久W3时，若该抛物线与双曲线有且只有一个交点,求c的取值范围（©为已知常数）.

第4题图

设问进阶练

2f

例如图,已知抛物线y=ax-2x+3a(a)0)与x轴相交于0),B{x20)两点，且％iV冗2,双曲线y=

泅0,1<X<4).

(1)若k=3,,且抛物线与双曲线有一个交点,求a的取值范围；

例题图①

(2)当a=|,k=3时，若抛物线沿x轴向右移动n个单位长度，平移后的新抛物线与双曲线没有交点，求n的

取值范围；

例题园②

(3)当抛物线过点(0,2)时，若双曲线与抛物线在第一象限的交点横坐标为m,且3<机<4,,求k的取值范

例题图③

综合强化练

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=%2-2ax+a?一4与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左侧),与

y轴相交于点C,点D是抛物线的顶点，双曲线y=久公0)在第一象限内的图象记作G.

(1)求线段AB的长；

(2)当抛物线的对称轴为y轴时，令抛物线y=/-2奴+/一4与图象G的交点为M,设点M的横坐标为%0

，若3＜配＜4,求k的取值范围；

(3)已知图象G经过点.P(4,爪-3)和点Q(m,2),若存在抛物线y=/-2a比+a?-4与图象G在P,Q两点

之间有交点，直接写出a的取值范围.

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线L:y=a%?+匕％+c与x轴的一於交点为4（一1，0）,与反比例

函数V=久久〉0）的图象有交点，且抛物线的对称轴为直线.%=1.

⑴若抛物线顶点在反比例函数V=（30）的图象上，求抛物线的解析式;

⑵在⑴的条件下，点P为抛物线上一点，过点P作PQ1X轴于点B,与反比例函数的图象

交于点Q,若点P的横坐标为2,求线段PQ的长；

（3）若c=8+a,点E（2，%）和“小发》是反比例函数/二式》网上两点，记E,F两点间的图

象为G,若抛物线与图象G有公共点，请直接写出a的取值范围.

答题区

3.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-%2+2ax+a2-3（a为常数）点M（2，%）,N（8，y2）是反比例函

数，=-久久〉。）图象上的两点，记M,N两点间的部分为图象G.

⑴若加物线过点M,求此时抛物线的解析式；

⑵当a=-l,t-l<x<l^,y的最大值为-3,求t的值；

（3）若抛物线与图象G有两个公共点，求a的取值范围.

答题区

备用图②

类型一二次函数对称性、增减性、最值问题

类型二二次函数公共点问题

考向1与线段结合求取值范围

一阶方法突破练

1.解：,「抛物线的解析式为y=X2-4%-3+c=(%-2)2-7+C,

，抛物线的顶点坐标为(2,c-7)(确定顶点轨迹)，确定三种临界情况：

如解图，①当抛物线的顶点在线段AB上时，c-7=2廨得c=9;

②当抛物线经过点A时，将A(-l,2)代入y="2_4X-3+C中，解得c=0;

③当抛物线经过点B时，将B(3,2)代入y=/_4X-3+C中，解得c=8.

结合函数图象可知，c的取值范围为04c49.第1题解图第2题解图

2.解:「y-X2—2bx+b2—l=(x—b)2—1,

.・抛物线的顶点坐标为(b,-1),如解图,①当抛物线经过点A时，将A(-l,2)代入y=(%—。)2—1中，解

得6=百—1或b=-百-1,当b=遮-1时，抛物线在对称轴左侧的部分过点A;当b=-旧-1时，抛物线

在对称轴右侧的部分过点A;

②当抛物线过点B时，将B(3,2)代入y=(%-b)2—1中，解得6=3+b或b=3—百，

当b=3-旧时，抛物线在对称轴右侧的部分过点B;当6=3+旧时，抛物线在对称轴左侧的部分过点B.

结合函数图象可知，b的取值范围为-百-1Wb<3+百.

3.解如解图，

①当抛物线经过点A时把A(3,3)代入y=(x-by+b(b>0)得3=(3-匕尸+b,解得b=2或b=3;当b=2

时，抛物线在对称轴右侧的部分经过点A;当b=3时，抛物线对称轴经过点A;

②当抛物线经过点B时把B(3,5)代入y=(x-b-)2+b(b>0)得5=(3=旷+瓦解得b=l或b=4;当b=l

时，抛物线在对称轴右侧的部分经过点B,当b=4时，抛物线在对称轴左侧的部分经过点B，二b的取值范围是1

4.解:,抛物线y=ax2—2ax-a+2,

二抛物线的对称轴为直线x=-=^=l.

当a<0时,抛物线经过点A(0,-4)时,a=6方脑物线经过点B(2,-2)时,a=4,

与矛盾，

,.a=6za=4a<0

此时抛物线与线段AB无公共点，

如解图，当a>0时，若抛物线经过点A(0,-4)时,a=6,此时抛物线与线段AB只有1个交点.

若抛物线经过点B(2,-2)时，a=4,此时抛物线与线段AB有2个交点.

由题意知，AB所在直线解析式为y=x-4,

，将抛物线与直线y=x-4联立，

得ax2-2ax—a+2=%—4,即ax2—(2a+l)x—a+6=0,

当抛物线与直线y=%-4只有一个交点时，

则4=(2a+1)2—4a(—a+6)=0,

缶%日5+V235-V23

用牛得

=—4—>^2=4

当a=咨至时，抛物线与线段AB无交点，故舍去.

，抛物线与线段AB有两个交点时，a的取值范围为一<aW4.

4

5.解：，y=ax2—2ax+a—2=a(%—l)2—2,

「•抛物线的顶点坐标为(1,-2)(顶点为定点，对开口方向进行分类讨论确定临界值).

如解图，若a<0,当抛物线经过点A(-l,-3)时,-3=a+2a+a-2,解得a=

当-;Wa<0时，抛物线与线段AB有一个公共点；若a>0,当抛物线经过点B(2,2)时，它与线段AB恰

有两个公共点，

此时2=4a-4a+a-2,解得a=4.

•••抛物线与线段AB只有一个公共点，

6.解:y=ax2—4ax—5a=a\x2—4x—5)=a(x+1)(%—5),

7.二抛物线与x轴交于点C(-1Q),D(5,O)(与x轴交点为定点)，

当a>0时，如解图①,抛物线与线段AB无公共点.

当a<0时，,：y=ax2—4ax—5a=a(x—2)2—9a,

..抛物线的顶点坐标为(2,-9a).

如解图②，当抛物线的顶点在线段AB上时，贝卜9a=2,

如解图③，当抛物线与线段AB有一个公共点时，则当x=3时,y=9a-12a-5a=-8a>2,解得a<一］.

结合函数图象可知，a的取值范围为a=-1或a<-*

二阶设问进阶练

例(1)当a=|,b=0时，抛物线y=|/+c,Q(装)2),如解图①,

当抛物线经过点P时，|x4+c=2,c=|,

当抛物线经过点Q时，|X(£丫+c=2,c=-詈，

结合函数图象可知，C的取值范围为。<詈或c>|；

图①图②

例题解图

------------52),如解图②,

当抛物线经过点P时，|x4+2b=2,b=/当抛物线经过点Q时，|x(^)2+争=

结合函数图象可知，b的取值范围为-曝<b<巳；

⑶当a=l,b=2时，

抛物线y=/+2x+c,Q(4,5),如解图③,当抛物线经过点P时,4+4+c=2/.c=-6,

当抛物线经过点Q时,16+8+c=5,

.,.c=-19,

易知，直线PQ的解析式为Y=|%-1,

令+2x+c=|x—1,

整理得%2+|x+c+l=0,

当抛物线与直线PQ只有一个交点时，b2-4ac=-4xlx(c+l)=0,解得c15

4161

当x=2时,y=/+2%+c=/+2%-II=誉，

—113>2G,

16

此时交点不在线段PQ上，

•.C的取值范围为-19WCW-6;

⑷二•当b=3a,c=a时,

抛物线y—CLX2+3ax+a=a(%+I)—|a,

抛物线的顶点坐标为

,;P(2,2),Q(2+2a,5a),令y=5a得,ax?+3a久—4a=0,

.-.a(x+4)(x-l)=0,

二设抛物线经过L(-4,5a),K(l,5a)两点,

①如解图④，当a>0时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方，在点P左侧，且点Q在点P右侧，当抛物

线经过点P时,4a+6a+a=2,

...a=a.当a>。时，抛物线与线段PQ没有交点；

例题解图

②如解图⑤，当a<0时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方，在P点左侧，且点Q在点P左侧，

，若抛物线与线段PQ没有交点，则2+2a>l(K点横坐标)，即a>

综上所述，a的取值范围为-：<a<0或a>。；

⑸当b=-4a,c=o时,抛物线y=ax2-4ax,P(2,2),Q(2+2a,5a),

•­,y=ax2—4ax=a(返一=a(%—2)2—4a,

，抛物线的顶点坐标为(2,-4a).

令y=5a彳导ax2-4ax=5a,a(x-5)(x+l)=0,解得x=-l或x=5,

.,设点M(-l,5a),N(5,5a)在抛物线上.

①当a>0时，抛物线开口向上，顶点位于x轴下方,且Q(2+2a,5a)位于点P的右侧，

如解图⑥，当点N位于点Q左侧或与点Q重合时，抛物线与线段PQ有公共点，

此时2+2a25,解得a2|；

②当a<0时，抛物线开口向下，顶点位于x轴上方,点Q(2+2a,5a)位于点P的左侧，

例题解图

(i)如解图⑦，当抛物线顶点位于点P下方或与点P重合时，抛物线与线段PQ有公共点，此时-4a42,解得a

11

a<0;

(ii)如解图⑧，当抛物线顶点位于点P上方，点M位于点Q右侧或与点Q重合时，抛物线与线段PQ有公共

点i

此时2+2aW-l,解得ci<—|.

综上所述，a的取值范围为a2|或-巳Wa<0或aW-|.

三阶综合强化练

1.Q)解：抛物线y=a(x-m)(x-n)(a/O),

，抛物线与x轴交于(m,O)(n,O)两点

■.m=l-2a,n=a-2,

抛物线的对称轴为直线x=匕等三=青；

(2)证明：；抛物线与x轴的交点坐标为(l-2a,0),(a-2,0),抛物线的顶点坐标为(p,q),

二抛物线的解析式为y=a(x+2a-l)(x-a+2),

.•.由(1)可知p=平，

|a(a-l)2

29/Y、9/1、？z，9

■■■q=a(一等+2a-1)(一等-a+2)=-^a(a—l),a+1,=--a(a-1)=--(a--)+-,

-2—

9

V--<0,

2，

...^_<2.

p+a-8'

(3)解:,「m=-Ln=3,

，抛物线y=a(x+l)(x-3)=a(x-l)2-4a,当a<0时，如解图①，将Q点横坐标x=-l代入y=a(久一1尸一4a得y

。将P点横坐标x=2代入y=a(x-1尸—4a,得y=-3a,

..•a<0,；.-3a>0,，抛物线与线段PQ无公共点，当a>0时，分顶点在线段PQ上和顶点在线段PQ下方，

如解图②，当抛物线的顶点在线段PQ上时，

,.y=a(x+l)(x-3)=a(x-l)2-4a,

；.-4a=-4,解得a=l,

•.点P(2,-4),Q(-l,-4),且抛物线的对称轴为直线x=l,-l<l<2抛物线过(-1,0),

二当抛物线顶点的纵坐标小于-4时，抛物线与线段PQ恒有交点

当抛物线与线段PQ有交点时,-4a<-4,「.a>1.综上所述，a的取值范围为a>l.

2.解:⑴当m=-2时,抛物线y=-lx2—4x+2=-2(x+1)2+4,

，抛物线的顶点坐标为(-1,4);

(2)•:点A与点B是关于抛物线对称轴对称的两点，且抛物线与y轴交于点A,

■.A(0,2),

•.AB=6,；.B(6,2)或B(-6,2),

将点B(6,2)代入抛物线解析式，得36m-12巾2_i2m=0,解得m=0(舍去)或m=2,

，抛物线的解析式为y=2x2-12x+2;

将点B(-6,2)代入抛物线解析式，得36m+127n2+i2m+2=2,解得m=0(舍去)或m=-4,

抛物线的解析式为y=-4久2—24%+2.

综上所述，抛物线的解析式为y=lx2-12%+2或y=-4x2-24%+2;

(3)1•点A关于抛物线对称轴对称的点为B，，点B的纵坐标为2,

1•抛物线的对称轴为直线%=--2m,(m+1)=m+1,

，点B的坐标为(2m+2,2),

•.点P的坐标为(m+3,2),

，点P在直线AB上，

①如解图①，当m>0时,2m+2>0,m+l>Lm+3>m+L，B(2m+2,2)在A(0,2)右侧,

(i)当点Q在点A上方时,m+1>2,即m>1,

抛物线y=mx2-2m(m+l)x+2(m0)与线段PQ恰有一个公共点，

，结合图象可得，当点P在点B右侧(或与点B重合)时满足题意，即冷2XB，

.,.m+3>2m+2,/.m<l,-^m>1矛盾，故此情况不存在；

(ii)当点Q在点A下方时,m+1<2,即m<1,

，结合图象可得，当点P在点B左侧时满足题意，即如<xB,

.■.m+3<2m+2,

，m>L与m<l矛盾，故此情况不存在；

第2题解图

②如解图②，当m<0时,m+l<l,m+3>m+L

，Q(0,m+l)在点A(0,2)的下方，

(i)当m+l>O,BPm>-l时,如解图②所示，点B(2m+2,2)在A(0,2)右侧,•.•当点P位于点B右侧(或与点B重合)

时，抛物线与线段PQ有一个交点，即m+322m+2,解得m<l,

l<m<0;

(ii)当m+l<O,BPm<-l时,如解图③所示，点B(2m+2,2)在A(0,2)左侧，

，结合图象可得，当点P在点A的右侧(或与点A重合)时，满足题意，即久pN久&

，m+320,解得m>-3,

综上所述，当抛物线与线段PQ恰好有一个公共点时,m的取值范围为-3sm<0.

第2题解图③

考向2与直线结合求取值范围

一阶方法突破练

1.解：：抛物线与直线有两个交点，

令/+2%+3=kx,x2+(2—k)x+3=0,

b2-4ac=(2-fc)2-12>0,2-fc>2*或2-k<-273,

.-.k的取值范围为fc<2-2b或k>2+2V3.

2.解：•：直线与抛物线有两个交点，

联立f〈一支广

(y=ax—4ax+1

得—％+3=ax2-4ax+1,・,・ax2+(1—4a)x—2=0,

b2-4ac=(1—4a)2+4ax2=16a2+1>0恒成立，

即无论a取何值，直线与抛物线恒有两个交点，

当打=—2时,P(-2,5)把P(-2,5)代入y=a久？_4ax+L得4a+8a+l=5,解得a=：,

当刈=一1时,P(-l,4)把P(-L4)代入y=a/_4ax+L得a+4a+l=4,解得a=：,

..a的取值范围为|<a<|.

3.解:,.抛物线丫=*仪-4)+2(0043)与直线丫=1«+2有唯一公共点，

，分两种情况讨论：

①如解图①，抛物线与直线相切，得运一4x+2=kx+2,整理得运_(4+k)x=0,b2-4ac=(4+k)2-

0廨得k=-4；

图①图②

第3题解图

②如解图②，抛物线与直线不相切，但在04X43范围内只有一个交点，此时两个临界值分别为(0,2)和(3,-

1),且直线y=kx+2必过(0,2),

.•.当x=3时,y=3k+2>-l,解得k>-l.

综上所述,k的取值范围为k>-l或k=-4.

二阶设问进阶练

例解:⑴把C=a代入抛物线y=ax2—3ax+c,得y=ax2—3ax+a,

令ax2-3ax+a=3x-1,

整理得ax2-3(a+l)x+a+1=0,

抛物线y=ax2-3ax+c与直线y=3x-l有两个交点,

由题意得9(a+1)2—4a(a+1)>0,解得a<—g或a>-1,

■■■a的取值范围为a<-］或a>-l且"0;

(2).直线y=-x+4经过点B,C,

.-.B(4,0),C(0,4),

将点B,C的坐标代入y=ax2-3ax+c,

得，"==。解得｛a=—1

.c=4

..抛物线的解析式为y=-%2+3%+4.

由题意得，抛物线平移后的解析式为y=--一%+11,令-x2-x+11=2%+几整理得一汽2-3%+11-九

=o,

•.•直线y=2x+n与新抛物线有两个交点，

・•.b2—4ac=(—3)2—4X(―1)x(11—n)>0,解得n<—,

4

，n的取值范围为

4

⑶当a=-l,c=l时，

213

抛物线解析式为y=-x2+3X+1=-+T-

.•抛物线的顶点坐标为(|，苫)，

当y=0时，一%"3%+1=0,

3+V133—V13

斛得，久2=

则抛物线、=-X2+3x+1与x轴的交点为4，o用0),

把抛物线丫=—X2+3%+1在x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为y=x

3\213/3-V13,3+V13\

)<x<

24\2一2

顶点坐标M(|--9

如解图,当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个交点,

3+V133+V13

+b=0,解得b=-

22

当直线y=x+b与抛物线丫=x-丁T亨9岁)相切时，直线y=x+b与该新图

、

'3'2

象恰好有三个交点，即方程X——芳=X+暗两个相等的实数解，整理得/一位--1

.2,

=0,b2—4dc=(—4)2—4(—b—1)=0,解得b=-5,

3+V13例题解图

•.b的取值范围为一5<b<-

2

三阶综合强化练

1.解:⑴当a=l时，抛物线y=X2—2久+3a+1=x2—2%+4=(%—1)2+3,

，抛物线的顶点坐标为(1,3)；

(2)由题意得直线y=2x-3与x轴的交点「(1,0),

•••抛物线经过原点，

，抛物线的解析式为丫=久2一2万,

联立二；2=1解得x=3或x=l(不合题意,舍去)，;点M与直线上的点N(4,5)关于直线x=l对称,，M(-2,

_1015

5)〃•.直线PM的解析式为y--yx+三联立y=一¥+子解得x=7(不合题意，舍去)或x=当生

.y=x2—2x

-V109+2Q,QV109-2

••”1—7,X］十切-J7，

(3)1•二次函数的图象在x<3的部分与直线y=2x-3有两个交点,

令X2—2%+3a+1=2%—3,整理得x2—4%+3a+4=0,

•**b2—4ac=16—4(3a+4)>0,角单彳导a<0,

把x=3代入y=2x-3,得y=3x2-3=3,

把(3,3)代入y=—2x+3a+L得3=9-6+3a+l,解得ci——

■■.a的取值范围为一：Wa<0.

2.解:(1)；抛物线y=|——.+。与x轴交于点B(4,0%抛物线的对称轴为直线x=l,

产

二.b=L

.•点A的坐标为(-2,0),

.,将B(4,0)代入抛物线y=|x2-x+c得,c=-4,

二抛物线的解析式为y=%—4;r/

⑵由y=*-x-4得，抛物线与v轴的交点为C(0,-4).依题意翻折后的图象如解图.刃一齐

令y=8厕疗-•久-4=8,解得Xi=-4(舍去),久2=6.二新图象经过点(6,8).

当直线y=3x+d经过点(6,8)时,可得d=5.彳厂

当直线y="+d经过点C时，可得(d=-4.第2题解图

当直线y=3x+d(d<-4)与函数y=之/-x-4(盼0)的图象仅有一•"公共点P时，也就是方程［产一万一

4=|x+d有两个相等的实数根.

整理得x2-3x-(8+2d)=0,b2-4ac=(-3)2+4(8+2d)=8d+41=0解得d=-p

结合图象可知，d的取值范围为-4<ck5或d<-2.

考向3与反比例函数结合求取值范围

一阶方法突破练

1.解：1•反比例函数的解析式为y=^(2<%<4),当x=2时,y=3,当x=4时,y=|(找出临界点的坐标).

二当二次函数y=返+c的图象经过点(2,3)时，解得c=-l,

当二次函数.y=#+c的图象经过点(4,|)时，解得c=-m(分别求出当抛物线过临界点时，抛物线解析式

中未知系数c的值).

当二次函数y=久2+c与反比例函数y=久2WX44)的图象有且仅有一个交点时，c的取值范围为-胃Wc

<-1.

2

2.解:：y=—2*2+4x=-2(%-1)+2,，B(1,2)(抛物线的顶点即临界点)，

1•反比例函数y=久公0)的图象与抛物线在第一象限的一个交点在点B左侧,

.,把B(l,2)代人y=缱k=2(求反比例函数过临界点B时,k的值)，

.水的取值范围为0<k<2.

3.解：:反比例函数BC的解析式为y=^(2<xW4),点B,C的横坐标分别为2,4,

■.B(2,3),C(4,|).

当抛物线y=-%2+2bx经过点B(2,3)时,3=-4+2bx2,解得b=；

当抛物线y=-x2+2bx经过点C(4,|)(时,|=-16+2bx4,解得d=

ZZlo

，b的取值范围为:Wb

416

4.解:「抛物线y=—x(x—3)+c=—x2+3%+c,

.,抛物线的对称轴为直线%=-双色=*

1•当0<X43时抛物线y=-x(x-3)+c与双曲线y=久久〉0)有且只有一个交点，

，分抛物线与双曲线y=久久)。)有且只有一个交点和有两个交点两种情况，

①当x>0,抛物线与双曲线只有一个交点时，交点即为(x°,y。)，

V0<X0<3,Q满足题意；

②当x>0,抛物线与双曲线有两个交点时,[11

由抛物线的对称轴为直线%=|,如解图，]AT\

当x>0时若有两个交点，则直线x=3在两交点之间，即x=3时，抛物线在双曲线上方.J~

•-0<x<3时只有一个交点，/I但今'

.•.当x=3时,一3x(3—3)+c>/即c>2,综上所述，c的取值范围为02或c=j第4题解图

二阶设问进阶练

例解：(1)；双曲线y=-(l<%<4),当x=l时,y=3;当x=4时,y=即抛物线与双曲线在(1,3),((4,：之间有

X44

交点;);

①当抛物线过点(1,3)时,a-2+3a=3,解得a=|；

②当抛物线过点(4,》时,16a-8+3a=*解得a=||,

综上所述，a的取值范围为

(2)•.在双曲线y=[中,14X44,

，当x=l时,y=3;当x=4时,y=1，

，临界点为(L3),(4,3

V抛物线的解析式为y=#—2支+1=2—2>4，

，平移后的抛物线的解析式为/=久乂-2-71)2一点当平移后的抛物线V经过临界点(1,3)时，解得71=

夕-1或n=-1-77(舍去)；

当平移后的抛物线y'经过临界点(4,｝时，解得n=手或n=1，

.•.n的取值范围为手(n<77—1或n>学更；

⑶,・抛物线过点(0,2),

二可得3a=2,即a=|,

，抛物线的解析式为y=|%2-2%+2,

当m=3时,y=2;当m=4时,y=~,

•.临界点为(3,2),(4,?,)

二•当双曲线过点(3,2)时，k=6;当双曲线过点((4,苫)时,k=第二.k的取值范围为6<k<当

三阶综合强化练

1.解:⑴：抛物线y=x2-2ax+a2-4=(x-a+2)(久-a-2)与X轴交于A,B两点

...当y=0时,打=a—2,0=a+2,

.".A(a-2,0),B(a+2,0),/.AB=a+2-(a-2)=4;

(2)由题意得，抛物线的对称