2025年中考数学复习：平行四边形问题

平行四边形问题

一阶方法突破练

1.如图，已知平面上不共线的三点A,B,C,在平面内确定一点P,使得以A,B,C,P为顶点的四边形是

平行四边形.请在图中画出符合要求的点P,保留作图痕迹并写出作图过程.

A

••

BC

第1题图

2如图，点A,B在正方形网格的格点上，请找出两组格点C,D，使得以A,B,C,D为顶点的四边形是平

第2题图

3.如图,在平面直角坐标系中，已知A(l,0),B(3,2),C(0,4)三点，在平面内确定一点D，使得以A,B,C,D为顶

点的四边形是以AB为边的平行四边形，求点D的坐标.

y

c

•B

0Ax

第3题图

4.如图，平面直角坐标系中，直线/i：y=-1x+4与y轴交于点B,直线%：y=|刀-2与y轴交于点C,且

两直线交于x轴上的A点.若点P是直线k上的动点，点Q是直线.L上的动点，当以点O,A,P,Q为顶点的四

边形是平行四边形时，求点P的坐标.

5.如图，抛物线y=—/+久+?与*轴交于A,B两点，与y轴交于点C,连接BC.设抛物线的对称轴与线

段BC交于点M,平面内存在点N，使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标.

6.如图，抛物线y=/—2%-3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.点D为抛物线上一动点，在抛物线

的对称轴上是否存在点E，使得以B,C,D,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出点E的坐标；若不存

在，请说明理由.

二阶设问进阶练

例如图，抛物线y=-X2-3x+4与X轴交于A(1,O),B两点与y轴交于点C直线1y=枭+4经过点C,与

抛物线的对称轴交于点D,点E为抛物线的顶点.

⑴点F为y轴上一点，若四边形CDEF为平行四边形，求点F的坐标；

例题图①

⑵在平面内存在一点G，使得以A,C,D,G为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，求点G的坐标；

例题图②

(3)已知点H为直线1与x轴的交点，点M是抛物线对称轴上一点，点N是抛物线上一点，是否存在点N，使

以B,H,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；

例题图③

⑷若直线1与抛物线的另一交点为F，点P是抛物线上一点，点Q为平面内一点，当四边形FCPQ为平行四

边形，且面积为某值时，符合题意的点P恰好有三个，求点P的坐标；

例题图④

(5)如图⑤,将该抛物线向右平移，平移后的新抛物线与原抛物线相交于点C,与x轴交于J,K两点，且新抛

物线的对称轴与x轴交于点L,平面内是否存在点S，使得以C,L,K,S为顶点的四边形是平行四边形?若存

在，请求出点S的坐标；若不存在，请说明理由.

例题图⑤

三阶综合强化练

1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L:y=aY+日+c交x轴于A,B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,3),D

(2,4)为抛物线的顶点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵抛物线上有一点E,点E关于抛物线L的对称轴直线1的对称点为F,若点E的横坐标为-1,,连接CD,CF,

DF,求△CDF的面积；

2

(3)创新题•“全等抛物线”解析式定义：对于任意两条抛物线人=的d+blX+J和y2=a2x+b2x+c2

(即4Sa?40),当1ali=|02|时，我们称这两条抛物线为“全等抛物线”.若点M是平面内任意一点，以点A,B,

C,M为顶点作平行四边形，是否存在过该平行四边形中三个顶点且与抛物线L是“全等抛物线”的抛物线，若存

在，请求出所有抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.

答题区

备用图①

备用图②

2如图，抛物线y=工2+必+。与x轴交于A(3,0),C两点与y轴相交于点.8(0,-3),,点M为直线AB上的点.

(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；

⑵若AAOM=A4BC,,求AM的长；

(3)(y轴上的动点)在⑵的条件下，点E是y轴上一点，在抛物线上是否存在点F,使得以A,M,E,F为顶点

的四边形为平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图①

备用图②

3.如图，抛物线y=a/-3+3（a力0）与x轴交于点A,B（l,0）,与y轴交于点C,点E为x轴上一动点.

⑴求抛物线的解析式；

⑵点C关于x轴的对称点为（求CE+豺E的最小值及此时点E的坐标；

（3）（x轴上的动点+抛物线上的动点）若点F在抛物线上，是否存在点F，使得以A,C,E,F为顶点的四边形

是以AC为一边的平行四边形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

备用图①

备用图②

4.如图①抛物线y=收+法+4与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C.S(OB=0C=402;

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图②，若D为线段BC上一动点(不与B,C重合)，将射线DC绕点D顺时针旋转90。交抛物线于点P,过点

P作.PE||x轴，交BC于点E.当△PDE的周长取得最大值时，求点P的坐标和△PDE周长的最大值；

(3)(y轴右侧抛物线上的动点)若点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN//AC交直线BC于点

N,是否存在点M，使得以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点M的坐标；若不

存在，请说明理由.

作图区

图①

考向1平行四边形问题

一阶方法突破练

1.解:如解图①，连接AB,AC,BC,分别过点ABC作BC,AC,AB的平行线，三条平行线的交点即为点P.点P1,

P2,P3即为所求.

图①图②

第1题解图

【一题多解】如解图②，连接AB,AC,BC,分别以点A,B,C为圆心，BC,AC,AB长为半径画弧，交点即为点

P.点PiRR即为所求

2.解：以AB为边的平行四边形ABCD如解图①所示(答案不唯一)；以AB为对角线的平行四边形ACBD如

解图②所示(答案不唯一).

图①图②

第2题解图

3.解:如解图，连接AB,AC,BC,

.•AB为平行四边形的一条边，

■过点C作AB的平行线，截取CD=AB,

,.ABllCD,AB=CD.

.•点B先向下平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度即得到点A,

二点C先向下平移2个单位长度，再向左平移2个

单位长度即得到点Dx,/.D^-2,2).

同理可得D2(2,6).

综上所述，点D的坐标为(-2,2)或(2,6).

4.解：.•点A是直线I1与直线b的交点，且在x轴上,，A(3,0),设P(p，+4),Q-2),而以|34),0(0,6),

第3题解图

①当PQ,AO为平行四边形的对角线时，则PQ,AO的中点重合，

.[4P+/3+。解彳"=2

..(—gp+4+|q—2=0+0'用牛得[q=V

・••P谨);

②当PA,QO为平行四边形的对角线时，则PA,QO的中点重合,

6+3=q+0

・•・,42,

卜5+0=/2+0解得仁：

③当PO,QA为平行四边形的对角线时，则PO,QA的中点重合,

p+0=g+3

1-42,

--r-p+4+0=—g-2+O

33解得p=4

q=i'

P（4,一9;综上所述，点P的坐标为Q9或（4,-1）.

5.解：：抛物线y=-/+x+9与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,

••・4（一|，0）,B（|，0）,c（0，-）,抛物线的对称轴为直线%=|,

二直线BC的解析式为y=-f%+^

1•点M为BC与对称轴的交点,••・MC，3）,

•.以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形，

，分三种情况讨论，

①如解图①，当CM为平行四边形的对角线时，过点（:作AM的平行线，过点M作AC的平行线，交于点

Ni,由点A平移到点M的平移规律得N］卜，彳）；

图①图②

第5题解图

②如解图②，当AC为平行四边形的对角线时，过点C作AM的平行线，过点A作CM的平行线，交于点

N2,由点M平移到点C的平移规律得N2（-2，）

③如解图③，当AM为平行四边形的对角线时，过点M作AC的平行线，过点A作CM的平行线，交于点N

由点C平移到点M的平移规律得N3（-1，-胃

综上所述，点N的坐标为（2,令或（-2，：）或（T，-9

6.解存在.

抛物线y=x2-2x-3=（x+l）（x-3）=（x-l）2-4,

第5题解图③

.■,A（-l,0）,B（3,0）,C（0,-3）.

①当BC为平行四边形的一边时，如解图①，则DEllBC,且DE=BC,

•.・抛物线的对称轴为直线x=l,

二点E的横坐标为1.

••点B向左平移3个单位再向下平移3个单位到点

C,.•.点D的横坐标为-2或4,

将D点横坐标代入抛物线解析式，

.-.D1(-2,5),D2(4,5),

同理,由平移规律得EI(L8),E2(1,2)；

②当BC为平行四边形的对角线时，如解图②，则BE=CD,.•点D的横坐标为2,

.­.D3(2,-3),.-.CDllxM,

二点E在x轴上/RR,。).

综上所述，点E的坐标为Q,8)或(1,2)或(1,0).

二阶设问进阶练

例解:⑴；直线=枭+4经过点C,/.C(0,4),

:抛物线y=-久2-3%+4=-(久+1)+Y，

E(-点彳)抛物线的对称轴为直线%=-|,

「点D为抛物线的对称轴与直线I的交点，

.,将x=一|代入y=(%+4得,y=2,

由平行四边形的性质得DE=CF,

..C(0,4),且四边形CDEF是平行四边形，

，点F只能在直线CD的上方，

，点F的坐标为(0,日)；

(2)•.平行四边形以AC为边,A(l,0),C(0,4),D(-|,2),/.ACllDG,AC=DG,

①由点C向右平移1个单位，再向下平移4个单位到点A,

得点D向右平移1个单位，再向下平移4个单位到点G(-|>-2)；

②由点A向左平移1个单位，再向上平移4个单位到点C,

得点D向左平移1个单位，再向上平移4个单位到点G(-1，6),

二点G的坐标为(一|，-2)或(-1，6);

(3)存在，

设点N的坐标为((n,-n2-3n+4),B(-4,0),H(-3,0).

①当BH为平行四边形的一边时，BHIIMN,

M(-1,-1—3n+4),

•••MN=BH,|n+j|=1,解彳导n=一］或几=一|,

1爷或N(一』？)；

②当BH为平行四边形的对角线时，：平行四边形的对角线互相平分，.「•+XH=XM+

.•--4+(-3)=|+n解得n吟N管号);综上所述,点N的坐标为(-|弓)或(-"或—卜

(4)1•四边形FCPQ为平行四边形，且面积为某值时，符合题意的点P恰好有三个，如解图①，

，直线PQ与CF上方的抛物线只有一个交点，

••・PiQ/CF,设直线PiQi的解析式为y=^x+4+a,

-4

y=-x+4+ag?13

联立3)"(孑xH—%+a=0,

.y=—x2—3%+4

."=詈-4a=0解得a=萋，

%2++=°，解得X1=x2=

33oo

209「/13209、

当PQ在CF下方时，PQ与抛物线有两个交点，

由题意知，直线P2Q2可由CF向下平移5个单位得到，故直线P2Q2的解析式为y=Jx-ff,

36336

-y=-4x--2-5

联立/336

y=—x2—3x+4

(13V213

xi=--T

2V2

解得■Vzij.=——9

26V2.43

Xi=-------1----

1912

./13V21326V243\(13®1326>/243、

2\669127"3l66,912人

综上所述，点p的坐标为(W，兼)或(华-高军-刍或(竿*，蜉-胡；

⑸存在.

•••y=—x2-3%+4=-(%+1)+今

2

，设平移后的抛物线解析式为y=-1+11)+第t>0),

••新抛物线经过点C,.•.将C(0,4)代入，得t=3,y=-(x-1)2+韦

1•新抛物线与x轴交于J,1＜两

点，对称轴与x轴交于点L,

.•.L(|,0),K(4,0),

分三种情况讨论，如解图②.

①当CK为平行四边形的对角线时，由点L平移到点C的平移规律得点K平移到点Si的平移规律，即

S1@4)；

②当LK为平行四边形的对角线时，由点C平移到点L的平移规律得点K平移到点Sz的平移规律，即

S2(£,-4)；

③当CL为平行四边形的对角线时，

由点K平移到点L的平移规律得点C平移到点S3的平移规律，即S3(-1，4),

综上所述，点S的坐标为(|,4):或用，-4)或(-|,4).

三阶综合强化练

1.解：(1)抛物线的解析式为y=—；/+x+3；

(2)【思路点拨】要求4DF的面积，可将其分成两个同底的三角形，再利用抛物线的对称性，得到F点到y

轴的距离，即可求得ACDF的面积.

如解图①，设直线I与线段CF交于点G,

•・•点E的横坐标为-1，点E关于直线I的对称点为点F,

由(1)得，抛物线的对称轴为直线x=2,

，点F的横坐标为5,

.•.F(5,：),

4

p=3

设直线CF的解析式为丫=1«+»把((：(0,3)和F(5,：).代入，得5k+p=：解得

直线CF的解析式为y=-]%+3,当x=2时,y=|,G(21|)

L15

4-x5=—

1)4第1题解图①

如解图②，当四边形ACBMi为平行四边形时,由点C平移到点A的平移规律，得点Mi的坐标为(4,-3);

当四边形ABM2C为平行四边形时,由点A平移到点C的平移规律，得点Mz的坐标为(8,3);

当四边形ABCM3为平行四边形时，由点B平移到点C的平移规律狷点M3的坐标为(-8,3),

2

过点A,B,Mi的抛物线解析式Lfyr=i%-x-3,

过点B,C,Mz的抛物线解析式L-.y=i%2-2x+3,

224

过点A,C,M3的抛物线解析式均：为=[/+2x+3,

抛物线L的解析式为y=—；/+久+$

.,抛物线Li：%=J/—久一3和抛物线L-.y=^x2-2x+3和抛物线立乃=；-+2久+3与抛物线L是

44224

"全等抛物线”.

2.解：(1)抛物线的解析式为y=/_2%-3=(久一一4,顶点坐标为(1,-4)；

(2),.抛物线y=x2-2x-3,

当y=0时，解得x=3或x=-l,.-.C(-l,O).

•.B(0,-3),A(3,0),

.QA=0B=3,0C=L，AC=4,AB=3V2.

・zAOM=NABC,NMAO=NCAB,

.'.△AMO«AACB,

AM_AOAM_3

就=而脚Bn丁=南，

AM=2V2;

(3)【思路点拨】根据特殊角NOAB=45。,可得到《AB为等腰直角三角形，得点M的坐标，分AM为边和A

M为对角线两种情况，根据平行四边形对角线互相平分的性质及点M的坐标可得点F的横坐标，代入抛物线解

析式即可得到点F的坐标.

由⑵可知AM=2V2,OA=OB,/.AOAB为等腰直角三角形，.工。人8=45°,如解图①，过点M作([夕J/-

MH，x轴于点H,..MH=AH=2,

•.OA=3,.-.OH=1,/^y

.-.M(l,-2).第2题解图①

分两种情况：①当AM为平行四边形的边时，由点A平移到点M的规律得点F的横坐标为2或-2,

如解图②，当x=2时,y=-3,「.Fi(2,-3);

当x=-2时,y=5,二.F2(-2,5);

第2题解图

②当AM为平行四边形的对角线时，由点E平移到点M的规律得点F的横坐标为4,如解图③，当x=4时,y

=5,./3(4,5).

综上所述，点F的坐标为(2,-3)或(-2,5)或(4,5).

3.解：(1)抛物线的解析式为y=—：/_+3；

(2)【思路点拨】一般求线段和的最小值问题时，考虑用对称性，找到点C关于x轴的对称点C',通过构造直

角三角形，并结合三角函数得到CE+|4E的最小值，进而求得点E坐标.

••・抛物线与y轴交于点C,.-.C(0,3),

•.点c与点C关于x轴对称，，点C的坐标为(0,-3),

如解图①，过点E作EM±AC于点M,过点C作C'H±AC于点H,交OA于点E',

在y=—£%+3中，令y=0厕=—4,x2=1,令x=0,则y=3.

.•.A(-4,0),C(0,3),..AC=5,

or2R

・•・sin^CAB=—=EM=AE-sinNCZB=-AE,

AC55

・•.CE+^AE=CE+EM>CH,

•・•ZCABZACC'=ZHCC+ZACC'=90：

,,

..zCAB=zHCCz/.coszCAB=coszHCC.

-/CC'=6Z

CH^CC-cos^HCC=CC'-coszCAB=6x1=gp的最小值为g,g,CZ+|4E此时点E与点E'

重合,

.・.OE=OC-tanZEC0=OC-tanZCAB=3x-

44

(3)【思路点拨】可通过作平行线，得到交点，联立解析式求点F坐标，也可以平移直线AC,平移后的直线

与抛物线的交点即为所求点F.

存在.

如解图②,①过点C作CF1IIx轴交抛物线于点F1,过点F1作F1E1IIAC交x轴于点E1,此时四边形ACF^i为平

行四边形.

•.C(0,3),.・.点Fi的纵坐标为3,

令y=3得一：%2_：%+3=3,

J44

解得x=0(舍去)或x=-3,

6(—3,3);

②平移直线AC交x轴于点E2,E3,交x轴下方的抛物线于点F〃F3连接AF2,CE2,CE3,AF3,E2F2EF3.

当AC=&&时，此时四边形ACE2F2为平行四边形，当4C=F3E3时，此时四边形ACE3F3为平行四边形.

(：(0,3),.子2冏的纵坐标都是-3.

令y=-3彳导_|--2X+3=-3,

解得乂=三色或％=三匣，

.•鸣(书”-3).(带巴-3).

综上所述，点F的坐标为(-3,3)或(三国，-3)或(带乳一3).

4.解：(1)抛物线的解析式为y=-(x+l)(x-4)=-x2+3%+4;

(2)【思路点拨】根据点的坐标可得到直线BC的解析式，设出点E的坐标，用字母表示PE的长，再根据角

相等得至胫PDEJACOB,三角形周长比即为相似比，通过列方程求出APDE周长的最大值.

•.・OB=OC=4,NBOC=9(T".NBCO