2025年中考数学必刷题分类专练：三角形压轴综合问题【原卷版】

专题32三角形压轴综合问题

一、解答题

1.（2022・青海・中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点

连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

⑴问题发现：

如图1,若AaBC和AADE是顶角相等的等腰三角形，BC,分别是底边.求证：BD=CE；

图1

（2）解决问题：如图2,若A4CB和ADCE均为等腰直角三角形，N4CB=NDCE=90。，点A,D,E在同一

条直线上，CM为ADCE中。E边上的高，连接8E,请判断/AEB的度数及线段CM,AE,8E之间的数量

关系并说明理由.

图2

2.（2022•辽宁大连•中考真题）综合与实践

问题情境：

数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1,在ATIBC中，。是48上一点，ZXDC=ZXCB.求证乙4CD=

/.ABC.

独立思考：

（1）请解答王老师提出的问题.

实践探究：

(2)在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答.“如图2,延长C4

至点E,使CE=BD,BE与CD的延长线相交于点F,点、G,“分别在BF,BC上，BG=CD,乙BGH=4BCF.在

图中找出与BH相等的线段，并证明.“

问题解决：

(3)数学活动小组河学时上述问题进行特殊化研究之后发现，当482。=90。时，若给出△力BC中任意两边

长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求，该小组提出下面的问题，请你解答.“如图3,在(2)

的条件下，若NBAC=90。，AB=4,AC=2,求的长.”

E

E

L

HH

图1图2图3

3.(2022•山东青岛•中考真题)【图形定义】

有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形.

例如：如图①.在△ABC和△4次「中，分别是8c和夕厂边上的高线,且4。=4。，则A2BC和

△4夕C，是等高三角形.

A

BDCB'D'CBDCBDC

图①图②图③

【性质探究】

如图①，用SUBC，SMB，。，分别表示AABC和的面积.

则S-BC=|BC-=\B'C-A'D',

'：AD=A'D'

,,SAABC：SAA'B'C=BC:B'C.

【性质应用】

(1)如图②，。是△ABC的边8c上的一点.若BD=3,DC=4,贝US-BZ/SAMC=；

(2)如图③，在△力BC中，D,£分别是BC和4B边上的点.若BE:4B=1:2,CD-.BC=1:3,S^ABC=1,则

S/^BEC=---------，S4CDE=----------；

(3)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和边上的点，若BEMB=1:爪，CD:BC=l:n,ShABC=a,则

SACDE=------------------

4.(2022・山东烟台・中考真题)

(1)【问题呈现】如图1,△ABC和△AOE都是等边三角形，连接8。，CE.求证：BD=CE.

(2)【类比探究】如图2,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，ZABC=ZADE=90°.连接8。，CE.请

直接写出差的值.

CE

(3)【拓展提升】如图3,△ABC和△AOE都是直角三角形，ZABC=ZADE=90°,且黑=皆=：.连接8。，

BCDE4

CE.

①求管的值；

CE

②延长CE交于点R交AB于点G.求sin/BFC的值.

5.(2022.广西•中考真题)已知NMON=a，点A,B分别在射线。M,ON上运动，AB=6.

图①图②图③

⑴如图①，若a=90°,取AB中点D,点A,B运动时，点D也随之运动，点A,2,。的对应点分别为

连接。D,。。'.判断。。与。。有什么数量关系?证明你的结论:

(2)如图②，若a=60。，以A8为斜边在其右侧作等腰直角二角形ABC,求点。与点C的最大距离:

(3)如图③，若a=45。，当点A,2运动到什么位置时，△20B的面积最大?请说明理由，并求出AAOB面积

的最大值.

6.(2022•山东潍坊・中考真题)【情境再现】

甲、乙两个含45。角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足。处，将甲绕点。顺

时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件Geogebra按图②作出示意图，并连接如图③所示,

AB交H0于E,AC交0G于E通过证明4OBE=AOAF,可得。E=OF.

图③

【迁移应用】

延长G4分别交所在直线于点P,D,如图④,猜想并证明DG与的位置关系.

【拓展延伸】

小亮将图②中的甲、乙换成含30。角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB,4G,如图⑥所示,

其他条件不变，请你猜想并证明力G与的数量关系.

7.(2022•辽宁锦州•中考真题)在△28C中，AC=BC,点。在线段4B上，连接CD并延长至点E,使DE=CD,

过点E作EF14B,交直线4B于点F.

图1备用图

(1)如图1,若N4CB=120。，请用等式表示4C与EF的数量关系:

(2汝口图2.若N4CB=90。，完成以下问题:

①当点。，点尸位于点A的异侧时，请用等式表示力之间的数量关系，并说明理由;

②当点。，点P位于点A的同侧时，若DF=1,2D=3,请直接写出AC的长.

8.(2022•北京•中考真题)在A4BC中，乙4cB=90。，。为AABC内一点，连接BD,DC,延长DC到点E,

使得CE=DC.

(1)如图1,延长BC到点F,使得CF=BC,连接4F,EF,若力F1EF,求证：BD1AF；

(2)连接4E,交8。的延长线于点H,连接CH,依题意补全图2,若AB?=AE2+BD2,用等式表示线段CD与

CH的数量关系，并证明.

9.(2022・福建・中考真题)已知A4BC三△£)£1£1,AB^AC,AB>BC.

EE

E

（D如图1,CB平分NACO,求证：四边形A8OC是菱形；

（2）如图2,将（1）中的△CDE绕点C逆时针旋转（旋转角小于N8AC）,BC,OE的延长线相交于点R用

等式表示NACE与/跖C之间的数量关系，并证明；

（3）如图3,将（1）中的△COE绕点C顺时针旋转（旋转角小于/ABC）,若4BAD=4BCD,求NAOB的度

数.

10.（2022•山东威海•中考真题）回顾：用数学的思维思考

（1）如图1,在AABC中，AB=AC.

①BD,CE是△ABC的角平分线.求证：BD=CE.

②点。，E分别是边AC,AB的中点，连接8。，CE.求证：BD=CE.

（从①②两题中选择一题加以证明）

（2）猜想：用数学的眼光观察

经过做题反思，小明同学认为：在AABC中，AB=AC,。为边AC上一动点（不与点A,C重合）.对于点

。在边AC上的任意位置，在另一边上总能找到一个与其对应的点E,使得BZ）=CE.进而提出问题：

若点。，E分别运动到边AC,A8的延长线上，8。与CE还相等吗？请解决下面的问题：

如图2,在AABC中，AB^AC,点、D,E分别在边AC,AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字

母），使得BO=CE,并证明.

（3）探究：用数学的语言表达

如图3,在AA8C中，AB=AC=2,ZA=36°,E为边A8上任意一点（不与点A,8重合），/为边AC延长

线上一点.判断8尸与CE能否相等.若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由.

11.（2022.贵州铜仁.中考真题）如图，在四边形A8CD中，对角线4C与BD相交于点O,记4C。。的面积为S「

△20B的面积为52.

（1）问题解决：如图①，若ABUCD,求证：?=等

UA-UD

（2）探索推广：如图②，若AB与CD不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说

明理由.

（3）拓展应用：如图③，在04上取一点E,使。E=OC,过点E作交。。于点尸，点X为4B的中点，

OH交EF于点G,且OG=2GH,若詈=|,求尚值.

12.（2022・湖北武汉.中考真题）已知CD是△ABC的角平分线，点E,尸分别在边AC,BC上,AD=m,BD=n,

△ADE^ABDF的面积之和为S.

（1）填空：当N4C8=90。，DELAC,。尸18C时,

①如图1,若NB=45°,m=5V2,贝！J九=,S=

②如图2,若z_B=60°,m—贝E=>S=；

(2)如图3,当乙4cB=NEDF=90。时，探究S与相、力的数量关系，并说明理由：

(3)如图4,当乙4cB=60。，ZFDF=120°,m=6,兀=4时，请直接写出S的大小.

13.(2022•黑龙江•中考真题)A/IBC和AADE都是等边三角形.

⑴将A4DE绕点A旋转到图①的位置时，连接BDCE并延长相交于点P(点P与点A重合)，有P4+PB=PC

(或P4+PC=P8)成立；请证明.

⑵将A/IDE绕点A旋转到图②的位置时，连接8。，CE相交于点P,连接加，猜想线段Bl、PB、PC之间

有怎样的数量关系？并加以证明；

⑶将AADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD,CE相交于点P,连接B4,猜想线段出、PB、PC之间

有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明.

14.(2022•陕西・中考真题)问题提出

⑴如图1,AD是等边△ABC的中线，点尸在力D的延长线上，且AP=4C,贝此APC的度数为.

问题探究

(2)如图2,在AHBC中，C4=CB=6/C=120。.过点A作4P||BC,5.AP=BC,过点尸作直线/_LBC,

分别交ZB、BC于点。、E,求四边形0EC2的面积.

问题解决

⑶如图3,现有一块△力BC型板材，乙4cB为钝角，ABAC=45°.工人师傅想用这块板材裁出一个△4BP型

部件，并要求NB4P=15°,AP=AC.工人师傅在这块板材上的作法如下：

①以点C为圆心，以C4长为半径画弧，交AB于点D,连接CD；

②作CD的垂直平分线/,与CD于点E；

③以点A为圆心，以4C长为半径画弧，交直线/于点尸，连接AP、BP,得4ABP.

请问，若按上述作法，裁得的A2BP型部件是否符合要求？请证明你的结论.

15.（2022・湖南岳阳・中考真题）如图，△48。和4的顶点8重合，乙4BC=乙DBE=90。，/员4。=乙BDE=

30°,BC=3,BE=2.

图2

图3

（1）特例发现：如图1,当点D,E分别在4B,BC上时，可以得出结论：第=______，直线4。与直线CE的位

CE

置关系是;

（2）探究证明：如图2,将图1中的ADBE绕点B顺时针旋转，使点。恰好落在线段4C上，连接EC,（1）中的

结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）拓展运用：如图3,将图1中的ADBE绕点B顺时针旋转a（19。<a<60。），连接力。、EC,它们的延长线

交于点尸，当DF=BE时，求tan（60°-a）的值.

16.（2022・湖北十堰・中考真题）已知N4BN=90。，在乙4BN内部作等腰△ABC,AB=AC,Z.BAC=

a（（T<aW90。）.点。为射线BN上任意一点（与点B不重合），连接2D,将线段4。绕点2逆时针旋转a得到

线段4E,连接EC并延长交射线BN于点F.

(1)如图1,当a=90。时，线段BF与CF的数量关系是；

(2)如图2,当0。<。<90。时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

(3)若a=60。，AB=4V3,BD=m,过点E作EPlBN,垂足为P,请直接写出PD的长(用含有小的式子表

示).

17.(2022.湖南湘潭・中考真题)在AABC中，ZSXC=90°,AB=AC,直线2经过点4,过点B、C分别作Z的

垂线，垂足分别为点。、E.

(1)特例体验：

如图①，若直线"BC,AB=AC=42,分别求出线段BD、CE和DE的长；

(2)规律探究：

①如图②，若直线/从图①状态开始绕点4旋转a(0<a<45。)，请探究线段BD、CE和OE的数量关系并说明

理由；

②如图③，若直线2从图①状态开始绕点A顺时针旋转a(45o<a<90。)，与线段BC相交于点H,请再探线

段B。、CE和DE的数量关系并说明理由；

⑶尝试应用：

在图③中，延长线段BD交线段2C于点F,若CE=3,DE=1,求“BFC-

18.(2022・江苏扬州•中考真题)如图1,在A2BC中,NB4C=90。,NC=60。，点。在BC边上由点C向点B运

动(不与点B、C重合)，过点。作DE12。，交射线于点£

A

(1)分别探索以下两种特殊情形时线段4E与BE的数量关系，并说明理由;

①点E在线段4B的延长线上且BE=BD；

②点E在线段AB上且EB=ED.

(2)若AB=6.

①畸修时，求4E的长;

②直接写出运动过程中线段4E长度的最小值.

19.(2022•河北•中考真题)如图，四边形ABC。中，AD^BC,ZABC=90°,ZC=30°,AO=3,AB=2同

DHLBC于点H.将APOM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点8在上，其

中/Q=90°,NQPM=30°,PM=4A/3.

图1图2图3

(1)求证：△PQM冬ACHD；

(2)APQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移(图2),当点尸到达点D后立刻绕点。逆时针旋转

(图3),当边PM■旋转50。时停止.

①边尸。从平移开始，到绕点。旋转结束，求边P。扫过的面积；

②如图2,点K在8H上，且BK=9-4g.若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点。旋转的速度

为每秒5。，求点K在APQM区域（含边界）内的时长；

③如图3.在4尸。〃旋转过程中，设尸。，PM分别交2C于点E,F,若BE=d,直接写出CF的长（用含

d的式子表示）.

20.（2022•山西•中考真题）综合与实践

问题情境：在MAABC中，ZBAC=90°,AB=6,AC=8.直角三角板EZ加中/即尸=90。，将三角板的直角顶

点D放在Rt^ABC斜边的中点处,并将三角板绕点。旋转，三角板的两边。E,。/分别与边AB,AC

交于点M,N,猜想证明：

二7

BDGCB

BDL

图①图②图

（1）如图①，在三角板旋转过程中，当点M为边AB的中点时，试判断四边形AMDV的形状，并说明理由；

问题解决：

（2）如图②，在三角板旋转过程中,当NB=NMDB时，求线段CN的长；

（3）如图③，在三角板旋转过程中，当时,,直接写出线段AN的长.

21.（2022•湖北武汉•中考真题）问题提出:如图（1）,AABC^P,AB=AC,。是力C的中点，延长BC至点E,

使DE=DB,延长ED交AB于点F,探磷的直

AxA

BCEBc――EBGCE

（1）（2）（3）

（D先将问题特殊化.如图（2）,当Nb4c=60。时，直接写出当的值；

（2）再探究一般情形.如图（1）,证明（1）中的结论仍然成立.

问题拓展：如图（3）,在△ABC中，AB=AC,D是AC的中点，G是边BC上一点，f^=-（n<2）,延长BC至

BCTL

点E,使DE=DG,延长ED交力B于点F.直接写出笠的值（用含n的式子表示）.

22.（2022•江西・中考真题）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大

的直角三角板PEF（NP=90。,4尸=60。）的一个顶点放在正方形中心。处，并绕点O逆时针旋转，探究直角

三角板PEF与正方形4BCD重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）.

图一图二图三备用图

（1）操作发现：如图1，若将三角板的顶点尸放在点。处，在旋转过程中，当。F与OB重合时，重叠部分的面

积为当。F与8C垂直时，重叠部分的面积为.;一般地，若正方形面积为S,在旋转

过程中，重叠部分的面积S1与S的关系为

（2）类比探究：若将三角板的顶点/放在点。处，在旋转过程中，。E,OP分别与正方形的边相交于点M,N.

①如图2,当BM=CN时，试判断重叠部分△OMN的形状，并说明理由;

②如图3,当CM=CN时，求重叠部分四边形。MCN的面积（结果保留根号）;

（3）拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心。处，