2025年中考数学提分训练：二次函数与最值

2025年中考数学提分训练一一二次函数与最值

1.已知某二次函数图象上部分点的横坐标X与纵坐标y的对应值如下表所示:

X-10123n5

y-8-3m10-3-8

⑴直接写出机，w的值，并求当x在什么范围时，y随x的增大而增大.

⑵若点(。,4)在该二次函数图象上，当时，求q的取值范围.

2.在平面直角坐标系尤。^中，点尸(-2,5)在二次函数＞=依2+/»+5("0)的图象上，记该二

次函数图象的对称轴为直线工=加.

⑴求m的值；

⑵若点。(3九2)在、=狈2+法-3的图象上，当OWx＜3时，求该二次函数的最大值与最小

值.

3.在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线y=.

(1)求抛物线的顶点坐标(用含f的代数式表示)；

⑵点尸(小乂),。(々,%)在抛物线上，其中"2＜再＜/+1,々=1一.

①若为的最小值是-2,求为的值；

②若对于尤者K有％＜%，求/的取值范围.

4.如图，已知抛物线＞=-—+2了+3与无轴交于点A,与'轴交于点N.其顶点为。.直线

/:y=Ax+1与抛物线y=-X2+2x+3交于A,C(2,"2)两点.

(1)求上、加的值;

(2)求三角形ACC)的面积；

(3)若尸是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，直接写出的面积的最大值.

5.一种新上市的文具，进价为20元，试销阶段发现：当销售单价是26元时，每天的销售

量为280件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件.求当涨价多少元时，该文具

每天的“销售利润”最大或“销售收入”最大？并求出其最大值.

6.定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵

三倍点”.例如(1,3),(-2,-6),(在3回都是“纵三倍点”.

(1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是(填序号)，并计算说明理由；

21

Q)y=-2x+\•®y=一；®y=x2+x+l.

x

3

(2)若抛物线y=依2+匕龙+；(。，6是常数，«>0)的图象上有且只有一个“纵三倍点”，

令w=〃一26+6“，是否存在一个常数f,使得当/WbWr+1时，w的最小值恰好等于人若

存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.

7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-尤?+版+5与无轴相交于点A和点8(5,0)(点A

在点B的左侧)，与'轴相交于点C,点。与点A关于'轴对称，E为该抛物线上一点，连

接AC,CD,DE,BE.

(1)求该抛物线的解析式.

⑵若VBDE的面积与AACD的面积相等，请直接写出点E的横坐标.

(3)当点E在第一象限时，连接CE,设AECD的面积为S,求S的最大值.

8.在平面直角坐标系中，已知抛物线>=存2_法+3。过点4(-1,0).

(1)求抛物线的对称轴；

⑵当OVxVl时，y的最小值为6,求抛物线的顶点坐标.

试卷第2页，共6页

9.已知二次函数>+-4(%是常数).

⑴当根=2时，求该二次函数图象的顶点坐标.

(2)求证：无论加取何值，该二次函数图象与x轴必有交点.

⑶若点P("”)是该二次函数图象上的任意一点，求〃一〃的最大值.

10.如图，抛物线y=&+bx-3与直线>=无+上的两个交点A,C都在坐标轴上，与x轴

上另一交点3坐标为(-1,0).

(1)求抛物线的解析式；

⑵点是抛物线上的一个动点，连接。尸，PA,记w=2O尸2+尸/,①求w关于〃的

函数解析式；②求出卬的最小值.

11.已知抛物线y=-f+bx+c(b,c是常数)的顶点是尸，与无轴相交于点。(0,0)和点F(4,0).

⑴求点尸的坐标.

(2)如图1,直线丫=*与抛物线相交于点。和点E,直线x=《0<f<3)与抛物线相交于点A,

与直线y=x相交于点2,求线段48长度的最大值.

(3)如图2,点C是点E关于抛物线对称轴对称的对称点,。是抛物线上的动点，当1<%2CE<3

时，直接写出点。的纵坐标功的取值范围.

12.如图，抛物线y=-1+2x+3与x轴相交的于A,B两点(点A在点8的左侧)，与y轴

相交于点C,顶点为D

(1)直接写出A,B,C三点的坐标和抛物线的对称轴；

(2)连接BC,与抛物线的对称轴交于点E,点P为线段上的一个动点(尸不与C,8两点

重合)，过点P作尸?〃交抛物线于点F,设点尸的横坐标为九

①用含机的代数式表示线段PF的长，并求出当机为何值时，四边形尸现加为平行四边形.

②设VBb的面积为S,求S与机的函数关系式；当机为何值时，S有最大值.

13.已知抛物线丁=取2+2依-3°(。为常数，。#0).设该抛物线与x轴分别交于A、B两

点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C.

⑵如图1,当。=-1时，若点P是直线AC上方抛物线上的一个动点，求点P到直线AC距

离的最大值；

(3)如图2,当。=-1时，点。是直线AC上方抛物线上的一个动点，8。交AC于点E,记，

s

S=1,求出S的最大值及s最大值时。点的坐标.

^VABE

试卷第4页，共6页

14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=-3炉+云+2经过点（4,2）,点人在抛物线上,

点A的横坐标为，"，点C的坐标为（2-孤2-2〃?），以AC为对角线作矩形A2CD,使"工〉

轴.

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

⑵当根=2时，求抛物线在矩形ABCL（内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差；

（3）当抛物线与矩形ABCZ）的边恰好有4个交点时，求加的取值范围；

（4）当点A在抛物线对称轴左侧时，若矩形ABC。的边8C或与抛物线交于点E（点E不

与点A重合），连结AE,若AE与坐标轴恰好有一个交点时，直接写出机的取值范围.

15.如图，抛物线》=依2+法一4（4H0）与工轴交于点人，B（-1,O）,与y轴交于点C,且

Q4=0C,点。（牲0）是线段Q4上一动点，过点。作DPLx轴交直线AC于点E,交抛物

线于点P,连接CP.

（1）求抛物线的解析式：

（2）过点尸作PQLAC,垂足为Q,求出P。的最大值；

（3）试探究在点。的运动过程中，是否存在点尸，使得△CPE为直角三角形，求出点尸的坐

标；若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共6页

参考答案：

1.(1)〃?=0,72=4,当x<2时，y随x的增大而增大

(2)-8<^<1

2.(l)m=-l；

⑵二次函数的最大值为22,最小值的为-3.

3.⑴亿-)

13

(2)@7②区-5或此/

4.(1)1,3

(2)3

27

(3)—

8

5.当涨价11元时，该文具每天的“销售利润”最大，“销售利润”为2890元

6.⑴①③

⑵1或3

7.(1)y=-x2+4x+5

4±^6^4±^6

22

8

8.(l)x=-2

⑵(-2,-2)

9.(1)(-1,-9)

⑵色

8

10.(1)y=x2-2x-3

69

⑵①w=3/+3〃+18；②下

4

11.⑴顶点尸的坐标为(2,4)

9

(2)线段的最大值为了

⑶04为W2或为=4

答案第1页，共2页

12.(1)A(-1,O),3(3,0),C(0,3),抛物线对称轴为直线尤=1

39

⑵①尸尸=--+3加，当机=2时，四边形PED尸为平行四边形；®S---m2+-m(O<m<3),

3

加=:时，S取得最大值

2

13.(1)顶点为(-LYa),对称轴为直线x=-l

⑵还

8

⑶当有最大值白

<2