2025年中考数学总复习：全等三角形

4.3全等三角形

一、全等三角形的判定与性质

1.(2019安徽中考第20题)如图，点E在口ABCD内部，AF/7BE,DF//CE,

(1)求证：ABCE之AADF；

(2)设=ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求朝勺值

2.(2020安徽中考第20题)如图，是半圆。的直径，是半圆。上不同于A,8的两点AO=BC,AC

与2。相交于点F,BE是半圆0所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E,

(1)求证：ACBA^ADAB；

⑵若BE=8尸，求AC平分—D4B.

3.(2021安徽中考第23题)如图1,在四边形ABC。中，/ABC=/3CD,点E在边8c上，且AE〃CD,

DEIIAB,作CF//AD交线段AE于点F连接2足

(1)求证：AABF咨AEAD；

(2)如图2,若AB=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的长；

RF

(3)如图3,若BE的延长线经过AO的中点M,求会的值.

AAA

4.(2018安徽中考第23题)如图1,R3ABC中，/ACB=90。，点D为边AC上一点，DE_LAB于点E,

点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F

(1)求证：CM=EM；

(2)若NBAC=50。，求NEMF的大小；

(3)如图2,^ADAE^ACEM,点N为CM的中点，求证：AN/7EM

参考答案与解析

一、全等三角形的判定与性质

1.(2019安徽中考第20题)如图，点E在口ABCD内部,,AF〃BE,DF〃CE,

BC

(1)求证：ABCE0ZiADF；

(2)设口ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求，的值

【答案】⑴证明略；(2”=2

【详解】（1）证明：：四边形ABCD为平行四边形,

AAD||BC,•••4BAD+4ABC=180°,

又；AF//BE,.­./.BAF+/.ABE=180",

•••Z-BAD+乙ABE+Z.EBC=乙FAD+Z-BAD+乙ABE,Z.EBC=Z-FAD,

同理可得：(ECB=2LFDA,

NEBC=/LFAD

在△BCE和△4。尸中，BC=AD，:.XBCEWXADF

ZECB=/.FDA

(2)解：连接EF,

••,ABCE=△ADF,:.BE=AF,CE=DF,

又・・・/FIIBE,DF||CE,：.四边形ABEF,四边形CDFE为平行四边形，

•・^LABE=S—FE，S〉cDE=，

,・T=S四边形AEDF~S—FE+S^FED=^LABE+S^CDE，

设点E到AB的距离为％,到CD的距离为h2,线段AB到CD的距离为h,

则h=hi+hi,

：.T=--AB-+--CD-h2=--AB-(,hr+h2)=--ABh=-S,即9=2.

212z2v122T

2.(2020安徽中考第20题)如图，AB是半圆。的直径，C,。是半圆。上不同于A,8的两点AZ)=BC,AC

与相交于点F,BE是半圆。所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E,

(1)求证：ACBA^AZMB；

⑵若跖=*,求AC平分445.

【详解】(1)证明：--AD=BC,AD=8^,^ABD=Z.BAC,

■：48为直径，Z.ADB=ZBCX=90°,

AB=BA,CBA=△DAB.

（2）证明：BE=BF/ACB=90°,乙FBC=乙EBC,

•••乙ADB=乙ACB=90。,NDFA=乙CFB,：.ADAF=乙FBC=乙EBC,

•••BE为半圆。的切线，•••4ABE=90°,/.ABC+乙EBC=90°,

•••^ACB=90°,4CAB+^ABC=90°,

•••/.CAB=乙EBC,：.^.DAF=/.CAB,：.AC平分NZMB.

3.（2021安徽中考第23题）如图1,在四边形ABC。中，/ABC=/3CD,点E在边3C上，且AE〃CD,

DEIIAB,作CF//AD交线段AE于点凡连接

(1)求证：AABF/AEAD；

(2)如图2,若AB=9,CD=5,ZECF=ZAED,求BE的长;

(3)如图3,若BP的延长线经过A。的中点M,求名RF的值.

【答案】（1）见解析；（2）6；（3）1+V2

【详解】（1）证明：・••AE//CD,・•.N2EB=4DCE；

••DE//AB,:•乙ABE=zJ）EC,Z.1=z2,

••乙ABC=/.BCD,Z.ABE=Z-AEB,乙DCE=乙DEC,

・•・AB=AE,DE=DC,

vAF//CD,AD//CF,・•・四边形A尸。。是平行四边形

・•・AF=CD,/.AF=DE

（AB=EA

在与△E/O中，）41=z2,

AF=ED

・•.△ABF=△EAD（SAS）

AA

(2)•••△4BF=^EAD,:.BF=AD,

在口4尸。。中，AD=CF,；.BF=CF,•./.FBC=Z.FCB,

又,：乙FCB=42,42=41,Z.FBC=zl,

(乙EBF=Z1

在^EBF与人E4B中,

LLBEF=4AEB

•••△EBF-EAB,,g=g,

AB=9,AE=9；vCD=5,AF=5,；.EF=4,

二詈=2二BE=6或一6(舍)；

yCD

(3)延长BM、E。交于点G.

•••△ABE与ADCE均为等腰三角形，4ABC=4DCE,l.&ABEfDCE,

ABAEBE

:、------=---,

DCDECE

设CE=1,BE=x,DC=DE=a,

贝!J/B=AE-ax,AF=CD-a,・•.EF=a(x—1),

vAB//DG,/.Z3=Z.G；

43二4G

在与aMOG中，z4=z5，

.MA=MD

・•.△MAB=△M0G(44S),.，.DG=AB=ax.

・•・EG=a(x+1)；

•••AB//EG,・•・△FAB八FEG,

FA_AB.a_ax

''FE~EG9,•a(x-l)-a(X+l)'

••・x(x—1)=%+1,•，•%2—2%—1=0,(%—l)2=2,.,.%=1+V2,

A=1—V2(舍)，％2=1+V2,

*B'•E—=c1Bv2.

EC

4.(2018安徽中考第23题)如图1,RSABC中，ZACB=90°,点D为边AC上一点，DELAB于点E,

点M为BD中点，CM的延长线交AB于点F

(1)求证：CM=EM；

(2)若NBAO50。，求NEMF的大小；

(3)如图2,若ADAE也ZXCEM,点N为CM的中点，求证：AN〃EM

【详解】(1)为BD中点，R3DCB中，MC^BD,RtADEB中，EM=：BD,，MC=ME；

(2)VZBAC=50°,ZACB=90°,?.ZABC=90°-50°=40°,

VCM=MB,.,.ZMCB=ZCBM,ZCMD=ZMCB+ZCBM=2ZCBM,

同理，ZDME=2ZEBM,

NCME=2/CBA=80°,；.ZEMF=180o-80°=100°；

(3)VADAE^ACEM,CM=EM,

：.AE=EM,DE=CM,ZCME=ZDEA=90°,NECM=NADE,

VCM=EM,；.AE=ED,/.ZDAE=ZADE=45°,，NABC=45°,ZECM=45°,

XVCM=ME=|BD=DM,.\DE=EM=DM,

.,.△DEM是等边三角形，；./EDM=60。，，/MBE=30。,

VCM=BM,.\ZBCM=ZC