2025年中考数学一轮复习：与圆有关的计算（讲义）（解析版）

考点21.与圆有关的计算（精讲）

【命题趋势】

从近年各地中考来，与圆相关的计算考查频率还是比较高，主要结合圆周角和圆心角相关知识围绕计算

正多边形相关知识、弧长、扇形面积、不规则图形的面积及圆锥相关知识命题，题型主要以选填题为主，难

度不大。预测2024年各地中考还会延续这种命题趋势，并也有可能出现创新型题目。

【知识清单】

1：正多边形的相关概念与计算

1）正多边形的相关概念

正多边形概念：各条边相等,并且各个内角也都相笠的多边形叫做正多边形。

正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的空必。,

正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的生径。{A}

正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的典通。

正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

2）正多边形的常用公式（R?为正多边形外接圆的半径）

1QQO1OQO1

边长：4=2'•sin*；周长：P"=na"；边心距：-R“cos*；面积：Sn=-an-rn-n；

nn2

（n-2）-180°360°

内角度数：1——』-----;外角/中心角度数：出；边长、半径、边心距的关系：

nn

注意：正多边形的内切圆与外接圆为同心圆.

2：弧长、扇形面积、圆锥的相关计算（☆☆☆）

1）设国。的半径为R,n°圆心角所对弧长为n为弧所对的圆心角的度数，则

（1）弧长公式：/=理；（2）扇形面积公式：S由『=西^或S喟形=二次.

（3）圆锥侧面积公式：S圆锥侧=匹〃（其中/是圆锥的母线长，厂是圆锥的底面半径）

（4）圆锥全面积公式：S圆锥全=犷/+兀/（圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积）

注：圆锥的相关公式难以记忆，建议牢记圆锥与侧面展开图的图形形式，并理解侧面展开图与扇形之

间的关系。相关公式在解题过程中进行推导。

3：不规则图形的面积的计算（☆☆☆）

求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规

则图形的面积。常用的方法有：割补法、等积变换法、图形变换法等。

【核心考点】

核心考点1.正多边形的相关概念与计算

例1：（2023年江苏省无锡市中考数学真题）下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是

中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正力边形共有〃条对称轴.其中真命题的个数

是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可.

【详解】解：各边相等各角相等的多边形是正多边形，只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱

形，故①是假命题；

正三角形和正五边形就不是中心对称图形，故②为假命题；

正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形，所以外接圆半径与边长相等，故③为真命题；

根据轴对称图形的定义和正多边形的特点，可知正〃边形共有〃条对称轴，故④为真命题.故选：C.

【点睛】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系，属于基础题型.

变式1.（2023•广东揭阳•统考一模）一个正多边形的中心角为36。，则这个正多边形的内角和为度.

【答案】1440

【分析】依据正多边形的中心角和为360。求得边数，再依据多边形内角和公式代入求解即可.

【详解】解：因为正多边形的中心角为36。，且中心角和为360。，所以这个多边形边数：360°^36°=10,

则这个多边形的内角和为：（10-2）*180°=1440°.故答案为：1440.

【点睛】本题考查了正多边形内角和公式、中心角性质，通过中心角求得边数是解题的关键.

变式2.（2023湖南省衡阳市中考数学真题）如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是

其中3个正五边形的位置.要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是个.

【答案】10

【分析】先求出正五边形的外角为72。，贝UN1=N2=72°,进而得出NAOB=36。，即可求解.

【详解】解：根据题意可得：回正五边形的一个外角=笺360~°=72。，HZ1=Z2=72°,

360°

0ZAOB=18O°-72°x2=36°,团共需要正五边形的个数=户=10（个），故答案为：10.

【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法.

例2：（2022•四川成都・中考真题）如图，正六边形ABCDE尸内接于回O,若回。的周长等于6万，则正六边

形的边长为（）

E

A.6B.瓜D.2y/3

【答案】C

【分析】连接OB,OC,由回。的周长等于6n,得回。的半径，又由圆的内接多边形的性质，即可求得答

案.

【详解】解：连接。B,0C,

EE。的周长等于6u，酿0的半径为：3,00BOC=-x360°=60°,EOB=OC,

03OBC是等边三角形，0BC=OB=3,回它的内接正六边形ABCDEF的边长为3,故选：C.

【点睛】此题考查了正多边形与圆的性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

变式1.（2023・湖南衡阳,校考模拟预测）已知圆的半径为R,那么它的内接正三角形的边长是.

【答案】6R

【分析】根据正三角形外心的性质得OC=R,/BCE=30。,BC=2CD,再根据含30度直角

三角形的性质及勾股定理求出边长即可.

【详解】解：如图所示，。为正三角形，ABC外接圆的圆心，

A

:.AD±BC,OC=R,ZBCE=-ZBCA=30°,BC=2CD,

2

在RtzXODC中，?BCE30?,OC=R,:.OD=-OC=-R,CD=y/oC2-OD2=—R,

222

:.BC=6R故答案为:叔

【点睛】本题考查圆与正多边形的相关计算，解题关键掌握正三角形外心的性质.

变式2.（2023・广东・统考一模）如图，正六边形ABCD防内接于（Q,正六边形的周长是12,则正六边形

内切圆的半径是（）

A.百B.2C.272D.2也

【答案】A

【分析】根据已知条件先求出正六边形的边长以及对应角度，构建直角三角形，利用勾股定理即可求出答

案.

^OA=OB,回，。43是等边三角形，SOA=AB=2,

0OG1AB,回AG=：AB=1,在RfOAG中，OA=2,AG=1,

由勾股定理得OG=doN_e=亚二F=6，即正六边形内切圆的半径是VL故选：A.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的性质是解答此题的关键.

例3：（2023年四川省德阳市中考数学真题）已知一个正多边形的边心距与边长之比为也，则这个正多边

2

形的边数是（）

A.4B.6C.7D.8

【答案】B

【分析】如图，A为正多边形的中心，BC为正多边形的边，AB,AC为正多边形的半径，AD为正多边

形的边心距，由”=也可得竺=若，可得/3=60。，而AB=AC,可得“1BC为等边三角形，从而可

BC2BD

得答案.

【详解】解：如图，A为正多边形的中心，8c为正多边形的边，AB,AC为正多边形的半径，AD为正

多边形的边心距,

A

0AB=AC,ADJ.BC,处=迫，^BD=CD=-BC,回=

BC222BD2噎3

AT)「

团tan/3=——=V3,回/5=60°,jfffAB=AC,回为等边三角形,

BD

0Zfl4C=6O°,团多边形的边数为：等=6,故选B

60

【点睛】本题考查的是正多边形与圆，锐角三角函数的应用，熟练的利用数形结合的方法解题是关键.

变式1.（2022・四川雅安•中考真题）如图，己知回。的周长等于6兀，则该圆内接正六边形ABCDEP的边心

距0G为（）

D.3

【答案】C

【分析】利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成等边

三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出0G.

【详解】团圆。的周长为6万，设圆的半径为R,回2万7?=61回氏=3

连接0c和OD,则OC=OO=3回六边形A8COEF是正六边形,

360°

00COD=——=60°,EBOCD是等边三角形，OG垂直平分C。,

6

13।-------------

^iOC=OD=CD,CG=-CD=-^\OG=^OC2-CG2故选,

【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键.

变式2.（2023年浙江省杭州市中考数学真题）如图，六边形ABCDEF是。的内接正六边形，设正六边

S.

形ABCDEF的面积为S-AACE的面积为邑，贝1］甘=.

A

D

【答案】2

【分析】连接OAOCOE,首先证明出"CE是＜。的内接正三角形，然后证明出BAC^.O4C（ASA）,

得到SBAC==S.CDE,SOAC=S0AE=SOCE,进而求解即可.

【详解】如图所示，连接。

A

D

回六边形ABCOE尸是I。的内接正六边形，^AC=AE=CE,团八4。石是。的内接正三角形，

0ZB=120°,AB=BC,ElABAC=ZBCA=^-(180°-ZB)=30°,

SZCAE=60°,^ZOAC=ZOAE^30°,回ZBAC=NQ4C=30°,同理可得，ZBCA=Z.OCA=3Q°,

又ISAC=AC,回BAC^OAC(ASA),0SBAC=S0AC,

由圆和正六边形的性质可得，SBAC~SA.FE~SCDE'由圆和正三角形的性质可得，SOAC=SOAE=S.OCE>

13iS]=SBAC+S+SCDE+S0AC+S0AE+S0CE=2(^S0AC+S0AE+S0CE)=2S2,0—=2.答案：2.

【点睛】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知

识，解题的关键是熟练掌握以上知识点.

例4：(2023年安徽省舒城县中考模拟数学试题)如图，正六边形ABCDE产内接于O,点尸在A尸上，Q

是OE的中点，则NCPQ的度数为()

A.30°B.36°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可.

【详解】如图，连接。COD,。。,OE,国正六边形ABCDEF,。是。石的中点，

36001

0ZCOD=ZDOE=——=60°,ZDOQ=ZEOQ=-ZDOE=30°,

0ZCOQ=ZCOD+ZDOQ=90°,IS/CPQ=；/COQ=45°,故选C.

【点睛】本题考查正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关

键.

变式1.（2023年安徽中考数学真题）如图，正五边形ABCZ汨内接于O,连接OC,OD,则

NBAE—NCOD=()

【答案】D

【分析】先计算正五边形的内角，再计算正五边形的中心角，作差即可.

360°360°360°360°

【详解】®NBAE=180。一一—,ZCOD=—^,ElZBAE-ZCOD=180o-------------—=36°,故选D.

【点睛】本题考查了正五边形的外角，内角，中心角的计算，熟练掌握计算公式是解题的关键.

变式2.（2023•吉林长春•校联考二模）如图，正六边形ABCDEF内接于。。，点M在A尸上，则NCMD的

【答案】C

【分析】由正六边形的性质得出/COD=60。，由圆周角定理求出NQWD.

【详解】解：连接OC,0D,

团多边形ABCDE尸是正六边形，0ZCOD=60°,ElZCMD=-ZCOD=30°,故选：C.

2

【点睛】本题考查了正六边形的性质，圆周角定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

核心考点2.弧长、扇形面积、圆锥的相关计算

例5：(2023年四川省达州市中考数学真题)如图，四边形HBCD是边长为g的正方形，曲线

D44GR4是由多段90。的圆心角的圆心为C,半径为eg；的圆心为D,半径为

DC,,。4、4耳、用金62的圆心依次为AB、C、。循环，则&02%023的长是()

【答案】A

【分析】曲线D44G24…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+g,得到

ST=M,=4X；(〃-1)+:，M,=5B„=4X1(„-1)+1,得出半径，再计算弧长即可.

【详解】解：由图可知，曲线4GA4…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径

113

+-,/.AD=AA=-BA=BB】=l,CB=CC=-DC=DD=2,

2l2JXX29}]

\3

AD}=AA1=2+-,B4=BB2=2+1,CB2=CC2=2+-,Z)C2=Z)Z)2=2+2,........,

陋-=的,=4X1(H-1)+1,B\=BBn=4xi(n-l)+l,

故/3%3的半径为=%。23=4X1x（2023-1）+1=4045，

904045

••・4023/23的弧长=丽*4045万=亍（故选A

loUZ

【点睛】此题考查弧长的计算，弧长的计算公式：/=黑，找到每段弧的半径变化规律是解题关键.

180

变式1.（2023.重庆中考模拟预测）如图，扇形0LB的半径为1,分别以点A、B为圆心，大于的长

2

为半径画弧，两弧相交于点P,NBOP=35°,则A8的长/=（结果保留%）.

【分析】先求解NAOB=2/30=2x350=70。，再利用弧长公式计算即可.

【详解】解：由作图知：0P垂直平分AB,SOA=OB,!3NAO3=2N3OP=2x35°=70°,

回扇形的半径是1,回48的长=缥«二无.故答案为：g.

lol）lolo

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解本

题的关键.

变式2.（2023年辽宁省大连市中考数学真题）圆心角为90。，半径为3的扇形弧长为（）

'cc31

A.27rB.37rC.—TID.一兀

22

【答案】C

【分析】根据弧长公式/=箸（弧长为/,圆心角度数为“，圆的半径为r）,由此计算即可.

180

【详解】解：该扇形的弧长/=黑=桀卢=当，故选：C.

loU1802

【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式/=黑（弧长为/,圆心角度数为小圆的半径为r）,正确记忆

180

弧长公式是解答此题的关键.

变式3.（2023年湖北省荆州市中考数学真题）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（AC），点。是这段

弧所在圆的圆心，8为AC上一点，6®1_AC于。.若AC=300百m,3O=150m,则AC的长为

B

A.300^mB.200OTQC.150^-mD.100石4m

【答案】B

【分析】据垂径定理求出AD长度，再根据勾股定理求出半径长度，最后利用弧长公式即可求出答案.

【详解】解：点。是这段弧所在圆的圆心，.•.A0=CD,,

OD=OD,OA=OC,：..ADO^CDO,.\ZAOD=ZCOD.

AC=300V3m,AD=CD,AD=CD=150y/3m.^OA=OC=OB=x,则。O=x-150,

22

在Rt/VIDO中，x=(x-150)+(150^V,.-.^=300ni,.-.sinZAOD=—=^^=—.

v7v'AO3002

.-.AAOD=60°,ZAOC=120°,二AC==120x.x300=2007rm.故选:B.

180180

【点睛】本题考查了圆的垂径定理，弧长公式，解题的关键在于通过勾股定理求出半径长度，从而求出所

求弧长所对应的圆心角度数.

例6：（2023年山东省济南市中考数学真题）如图，正五边形ABCDE的边长为2,以A为圆心，以AB为半

径作弧8E,则阴影部分的面积为（结果保留"）.

【分析】根据正多边形内角和公式求出正五边形的内角和，再求出NA的度数，利用扇形面积公式计算即

可.

【详解】解：正五边形的内角和=（5—2兴180。=540。,

540°

.-.ZA=^-=108o,F…喘咚，故答案为：y

【点睛】本题考查了扇形面积和正多边形内角和的计算，熟练掌握扇形面积公式和正多边形内角和公式是

解答本题的关键.

变式1.（2022・四川达州•中考真题）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边ABC,分别以点

4B,C为圆心，以长为半径作BC，AC-AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形.如果一个

曲边三角形的周长为2兀，则此曲边三角形的面积为（）

A.2it—B.2兀一C.27rD.兀一\f3

【答案】A

【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角

形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为。的等边三角形的面积为运，即可求解.

4

【详解】解：设等边三角形有8c的边长为「，

60'7i'V1

—--x2^,^#r=2,即正三角形的边长为2,

lot）3

，止匕曲边三角形的面积为呼x22+3x（笔二一f乂22]=2/一2石故选A

43604J

【点睛】本题考查了扇形面积的计算.此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形

的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长.

变式2.（2023年辽宁省锦州市中考数学真题）如图，点A,B,C在。上，ZABC=40°,连接。4,

OC.若。的半径为3,则扇形AOC（阴影部分）的面积为（）

33

【答案】D

【分析】先利用圆周角定理求出,AOC的度数，然后利用扇形面积公式求解即可.

【详解】解：0ZABC=4O°,0ZAOC=2ZABC=80°,

又〈。的半径为3,国扇形AOC（阴影部分）的面积为生史互=2".故选：D.

360

【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握"同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半〃

是解题的关键.

例7：（2023年黑龙江省牡丹江市中考数学真题）用一个圆心角为90。，半径为8的扇形作一个圆锥的侧

面，则这个圆锥的底面直径是（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可.

【详解】解：扇形的弧长：穿=4%,则圆锥的底面直径：4万千万=4.故选：C.

180

【点睛】本题考查圆锥侧面积公式，熟记公式的灵活应用是解题的关键.

变式1.（2023年西藏自治区中考数学真题）圆锥的底面半径是3cm,母线长10cm,则它的侧面展开图的

圆心角的度数为.

【答案】108°

【分析】设圆锥的侧面展开图的圆心角为废，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥

底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到27・3=室普，然后解关于〃的方程即可.

180

【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为废，

根据题意得2万=解得“=108,即圆锥的侧面展开图的圆心角为108。.故答案为：108。.

180

【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇

形的半径等于圆锥的母线长.

变式2.（2023年浙江省宁波市中考数学真题）如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm,母线长为

50cm,则烟囱帽的侧面积为cm2.（结果保留兀）

【答案】1500兀

【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案.

2

【详解】解：•圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm,母线长为50cm,

,烟囱帽的侧面积S=』B=LX2兀x3Ox5O=15OO7r（cm2）,故答案为：1500兀.

22

【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式S=；〃，熟记扇形面积公式是解决问题的关键.

变式3.（2023年云南省中考数学真题）数学活动课上，某同学制作了一顶圆锥形纸帽.若圆锥的底面圆

的半径为1分米，母线长为4分米，则该圆锥的高为分米.

【答案】V15

【分析】根据勾股定理得，圆锥的高2=母线长2-底面圆的半径2得到结果.

【详解】解：由圆锥的轴截面可知：圆锥的高2=母线长2-底面圆的半径2

圆锥的高=、42-12=厉,故答案为岳.

【点睛】本题考查了圆锥，勾股定理，其中对圆锥的高，母线长，底面圆的半径之间的关系的理解是解决

本题的关键.

例8：（2023年内蒙古赤峰市中考数学真题）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽.如图，

这个圆锥的底面圆周长为20兀cm,母线A8长为30cm,为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中

需要粘贴一条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度

【答案】B

【分析】根据圆锥的底面圆周长求得半径为10,根据母线长求得展开后的扇形的圆心角为120。，进而即可

求解.

【详解】解：回这个圆锥的底面圆周长为20兀cm,回271r=2071解得：r=10

ffl——=20无解得："=120回侧面展开图的圆心角为120°

180

如图所示，AC即为所求，过点B作3D_LAC,0ZABC=120°,BA=BC,则NBAC=30。

0AB=3O,则=1513A£)=15-，AC=2AD=3073,故选：B.

【点睛】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理解直角三角形，求得侧面展开图的圆心角

为120。解题的关键.

变式1.（2023•广东湛江•统考一模）如图，已知圆锥底面圆的半径为2cm,母线长为6cm,一只蚂蚁从点

A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为cm.

S

【答案】6石

【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角，把圆锥的侧面展开得到圆心角为120。，半径为6cm的扇

形，求出扇形中120。的圆心角所对的弦长即为最短路径.将圆锥中的数据对应到展开图中是解题的关键.

【详解】解：圆锥的侧面展开如图，过点S作SCLAB,

S

SSA=SB=6cm,设ZASB=w°,即：2万x2=-------,得：”=120,

180

^AS=BS,SCLAB,SZSAB=ZSBA^30°,AC=BC^iSC=-AS=3cm

2

团AC=‘AS?_sc?=3八m，0AB=2AC=673cm.故答案为：

变式2.(2023•江苏扬州・统考二模)如图，已知圆锥的底面半径是2g,母线长是6A/L如果A是底面圆

周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是.

【答案】18

【分析】连接AC,过B作BQ0AC于。，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角EABC为加利用弧长公式可

求出w的值，根据两点间线段最短可得AC为这根绳子的最短长度，根据等腰三角形的性质，利用国CBD的

正弦值求出AC的长即可得答案.

【详解】如图，连接AC,过B作加EAC于。，设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为”.

团两点间线段最短，0AC为这根绳子的最短长度，

团圆锥的底面半径是2百，回AC=2乃=,回""A："=4下!兀，解得：〃=120°,

0BD0AC,BC=AB,EBC2£)=g[3ABC=60°,CD=^AC,

ElCr)=BCsin60°=6石x@=9,EIAC=2CD=18,故答案为：18

2

【点睛】此题考查了圆锥的计算、等腰三角形的性质及特殊角的三角函数值，熟练掌握圆锥的底面圆的周

长和扇形弧长相等并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.

核心考点3.不规则图形的面积的计算

例9：（2023年四川省成都市数学中考真题）为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行

川剧演出.该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到8有一笔直的栏杆，圆心。到栏

杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳

名观众同时观看演出.（兀取3.14,6取1.73）

【答案】184

【分析】过点。作的垂线段，交AB于点C,根据直角三角形的边长关系求出/AC®的角度，阴影面

积即为扇形A03的面积减去三角形AOB的面积，随机可以求出容纳观众的数量.

【详解】解：如图，过点。作的垂线段，交于点C,

圆心。到栏杆A3的距离是5米，.,.OC=5米，

QC]_________

OCVAB,sinZOBC=--=~,24s=2BC=2AC=2dOB?-OC°=10且米，：.^OBC=3Q°,

ODZ

OA=OB,ZAOB=180°-2ZOAB=120°,.・・可容纳的观众

=阴影部分面积x3=3x（S扇形4.一544翁）=3'[黑义》xl02一;xloGx5]“184.25（人），

，最多可容纳184名观众同时观看演出，故答案为：184.

【点睛】本题考查弓形的面积，根据特殊角三角函数值求角的度数，熟知扇形面积公式是解题的关键.

变式:L（2023年重庆市中考数学真题（B卷））如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E为BC的中

点，连接AE,DE,以E为圆心，长为半径画弧，分别与AE,DE交于点N,则图中阴影部分的面

积为.（结果保留兀）

AD

【分析】利用矩形的性质求得48=。=2,3石=匿=2,进而可得

NBAE=ZAEB=ZDEC=ZCDE=45°,然后根据S阴影=2（S布-S扇形BEM）解答即可.

【详解】解：团四边形ABCD是矩形，AB=2,BC=4,E为BC的中点，

SAB^CD=2,BE=CE^-BC^2,ZABC=NDCB=90°,EZBAE=ZAEB=ZDEC=ZCDE=45°,

2

13s阴影=2（54帅一5扇形BEM）=2X］；X2X2—空年］=2x［2-；万］=4一万；故答案为：4一万.

【点睛】本题考查了矩形的性质和不规则面积的计算，熟练掌握矩形的性质、明确阴影面积为两个全等的

等腰直角三角形的面积减去两个圆心角为45。的扇形面积是解题关键.

变式2.（2023年青海省中考数学真题）如图，正方形ABC。的边长是4,分别以点A,B,C,。为圆心，

2为半径作圆，则图中阴影部分的面积是（结果保留万）.

【分析】分析出阴影面积=正方形面积一圆的面积，再利用相应的面积公式计算即可.

【详解】解：由图得，阴影面积=正方形面积T个扇形面积，

即阴影面积=正方形面积一圆的面积，阴影=42-％"=16-4〃.故答案为：16-4万.

【点睛】本题考查了扇形面积的求法，正方形面积及圆的面积的求法是解题关键.

例10：（2023年内蒙古包头市中考数学真题）如图，正方形的边长为2,对角线ACBZ）相交于点

O,以点8为圆心，对角线8。的长为半径画弧，交3c的延长线于点E,则图中阴影部分的面积

为.

AD

【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积，然后由勾股定理得出3。=20，再

由扇形的面积公式求解即可.

【详解】解：正方形ABC。，［3AO=CO,BO=DO,AD=CD,NDBE=45。,AAOD^,tCOB（SSS）,

团正方形A3CD的边长为2,^\BD=V22+22=2A/2

团阴影部分的面积为扇形3ED的面积，即45x万x（21）故答案为：万.

-JL

360

【点睛】本题考查正方形的性质及扇形的面积公式，理解题意，将阴影部分面积进行转化是解题关键.

变式1.（2023年山东省滨州市中考数学真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且

三个等圆601,6。2,6。3相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（）

【答案】C

【分析】根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等，只要计算出一个阴影部分的面积即可，如

图，连接Aojaoa,阴影AQU的面积=扇形AQQ的面积，据此即可解答.

【详解】解：根据圆的对称性可知：图中三个阴影部分的面积相等；

如图，连接A。"见。。，则△AO02是等边三角形，

团NAG.=60°,弓形AQ.Aa，。。2的面积相等，

团阴影AQQ的面积=扇形AO.的面积=里装上=1万cn?,

团图中三个阴影部分的面积之和=3x）乃=1乃cn?；故选：c

62

【点睛】本题考查了不规则图形面积的计算，正确添加辅助线、掌握求解的方法是解题关键.

变式2.（2023年湖北省恩施州中考数学真题）如图，等圆二。1和。2相交于A,8两点，。经过。2的

【答案】D

【分析】先证明“AC。也.Be。?，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可.

•••等圆一。1和0。2相交于A,B两点.•.，AB,AC=

。和02是等圆QA==O.B=O2B...OXO2B是等边三角形...NOQB=60。

■,­ZACOj=ZBCO2=90°,AC=BC,CA=O2BACOX注BCO2

=扇形=彳•故选：

SBCO2+S图形5cq=SBOQ=360D•

【点睛】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键.

变式3.（2023年湖南省娄底市中考数学真题）如图，正六边形ABCDM的外接圆。的半径为2,过圆

心。的两条直线6、4的夹角为60。，则图中的阴影部分的面积为（）

D.23

C.—7i-A/3

332

【分析】如图,连接AO,标注直线与圆的交点，由正六边形的性质可得：A,O,。三点共线，ACOD

为等边三角形，证明扇形AOQ与扇形COG重合，可得/影=S扇形coo-Sc”，从而可得答案.

【详解】解：如图，连接AO,标注直线与圆的交点,

由正六边形的性质可得：A,。，。三点共线，△COD为等边三角形,

mZAOQ=/DOH,ZCOD=ZGOH=60°,ElZCOG=ZDOH=ZAOQ,

回扇形A。。与扇形COG重合，闻S阴影=S扇形co。-S.COD,

回为等边三角形，OC=OD=2,过。作0长，8于长，

0ZCOD=60°,CK=DK=1,。长=庐下=百，

团S阴影=S^COD-sCOD=-=-x2xV3=--V3；故选C

屈形3602"3'

【点睛】本题考查的是正多边形与圆，扇形面积的计算，勾股定理的应用，熟记正六边形的性质是解本题

的关键.

例11：（2023年四川省广安市中考数学真题）如图，在等腰直角..ABC中，ZACB=90°,AC=BC=272,

以点A为圆心，AC为半径画弧，交A3于点E,以点8为圆心，BC为半径画弧，交A3于点尸，则图中

阴影部分的面积是（）

K

A.71—2B.2元—2C.27r—4D.47c—4

【答案】C

【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形ACE和扇形BCb的面积，再减去—ABC的面积即可得.

【详解】解：.ABC是等腰直角三角形，\/A=?345?,

AC=BC=2A/2,回图中阴影部分的面积是S扇形ACE+S扇形BCF—,^Rt,ABC

=45兀x（2©十45兀x（2©」_4,故选：C.

3603602'J'）

【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键.

变式1.（2023年湖北省鄂州市中考数学真题）如图，在一ABC中，ZABC=90°,/ACB=30。，

AB=4,点。为BC的中点，以。为圆心，。3长为半径作半圆，交AC于点O,则图中阴影部分的面积是

（）

A.56一%

B.5&'-4%C.5宕-2万D.106-2万

【答案】C

【分析】连接OD,BD,作0〃LCD交CD于点H,首先根据勾股定理求出BC的长度，然后利用解直角

三角形求出2。、C。的长度，进而得到。即是等边三角形，400=60。，然后根据30。角直角三角形的

性质求出O”的长度，最后根据S阴影=SACB-SCOD-S扇形”8进行计算即可.

【详解】解：如图所示，连接0。，作OHLCD交C。于点H

BC==A6=_4_=4且

回在&ABC中，ZABC=90°,ZACB=30°,AB=4,0-tan/ACB-tan30°--，

T

国点。为BC的中点，以。为圆心，08长为半径作半圆，回BC是半圆的直径，0ZCDB=90°,

0ZACB=30°,EBD=1BC=2A/3,CD=BC.cos/BCD=4有义与=6,

又@OB=OC=OD=LBC=26,0OB=OD=BD,ElA03。是等边三角形，0ZBO£）=6O°,

2

GOHLCD,ZOCH=30°,0OH=-OC=V3,

2

n1l1L60^-X（2A/3）.、出广

C

回S阴影=5AAeB-SACOD-S扇形.=5义4*4有一百x6——牙工=$也-2k故选：-

【点睛】本题考查了30。角直角三角形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质和判定，扇形面积，勾

股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.

变式2.（2022・湖北十堰・中考真题）如图，扇形AOB中，ZAOB=90°,OA=2,点C为。8上一点，将扇

形AOB沿AC折叠，使点5的对应点方落在射线AO上，则图中阴影部分的面积为.

【答案】2/4-4也

【分析】连接A3,在向”02中，由勾股定理，求得AB=2应，由折叠可得：AB'=AB=2e

CB'=CB,则05'=2〃—2，设。C=x,则CB'=CB=2-x,在RdC。"中，由勾股定理，得

（2A/^—2）+尤’=（2—九）2,解得：x-2>/2—2,最后由S照影:5嬴^2SAAOC求解即可.

【详解】解：连接AB,

在中，由勾股定理，得A乐辰+OC。=也2+*=2叵，

由折叠可得：AB'=AB=2母,CB'=CB,团05'=2血—2，设OC=x,则C3'=CB=2-x,

在必AC。"中，由勾股定理，得(2应—2『+*=(2—犬了，解得:足26■一2,

9QTZ"x2219QTZ"x2?1(1—、

S阴跖S扇形~2St\AOC=--------------2x—OA-OC=-----------2x—x2x(2-^2—21=2加+4-4^/2，故答案

18021802\'

为：2〃+4-40.

【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，利用折叠的性质和勾股定理求出OC长是解题关

键.

变式3.(2023・河南周口•统考二模)如图1所示的是以AB为直径的半圆形纸片，AB=6,沿着垂直于AB

的半径OC剪开，将扇形Q4C沿AB向右平移至扇形OBC',如图2,其中点A与点。重合，点。与点5重

合，则图中阴影部分的面积为.

【答案】3万-王

4

【分析】连接AE,作田，AB于点。，S扇形-S3E,即可求得弧班和以及DE围成的重叠部分的面

积，则重叠部分的面积即可求得.

本题考查了扇形的面积的计算，正确理解不规则的图形的面积转化为规则图形的面积的和、差计算是关

键.

【详解】解：连接AE,作于点£>.

67

60^x(—)23

AE=AB=2AD,.\ZAED=30°:.ZEAB=60°

s扇形=一丽——5万

222

在直角VADE中，DE=y]AE-AD=J3-