2025年新高考数学一轮复习：平面向量中的范围与最值问题（十大题型）（学生版+解析）

拔高点突破01一网打尽平面向量中的范围与最值问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................5

题型一：利用三角向量不等式.....................................................5

题型二：定义法.................................................................6

题型三：基底法.................................................................7

题型四：几何意义法.............................................................7

题型五：坐标法.................................................................8

题型六：极化恒等式.............................................................9

题型七：矩形大法..............................................................10

题型八：等和线'等差线'等商线................................................10

题型九：平行四边形大法........................................................12

题型十：向量对角线定理........................................................14

03过关测试....................................................................14

亡法牯自与.柒年

//\\

技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法：

(1)定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

(2)坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

(4)几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

技巧二.极化恒等式

(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|a+邸+|a_b|2=2(|a/+|邸)

证明：不妨设AB=a,AZ)=6,贝!]AC=a+6,DB=a—b

|/ic|=AC~=(a+b)=|fl|+2«-Z?+|z?|①

|DB|2=DB2=(a-b'f二,『-2a-b+\b^②

①②两式相加得：

|AC|2+|DB|2=+w[=2(kd+网]

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：--6)2]-----------极化恒等式

①平行四边形模式：a-b=^\AC^-\DB^

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方

差的L

4

②三角形模式：a-b=\AM[-^DB^(〃为8。的中点)

技巧三.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点,

证明：0/3+OC2=OB2+OD1.

【证明】(坐标法)设钻=a,AD=b,以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系必》

则8(a,0),D(0,6),C(a,6),设0(尤,y),则

2

0A2+0C=(尤2+/)+[(X-0)2+(>一6)2]

OB-+OD2=[(x-a)2+y2]+k2+(y-b)°]

(M2+OC2=OB2+OD2

技巧四.等和线

(1)平面向量共线定理

已知。4=XO8+〃OC,若几+〃=1,则A3,C三点共线；反之亦然.

(2)等和线

平面内一组基底及任一向量OP,0P=〃M+〃0B(2,〃eR),若点P在直线M上或者在平行

于AB的直线上，则彳+〃=左(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线相平行的直线称为等和

线.

①当等和线恰为直线TW时，％=1；

②当等和线在。点和直线之间时，左e(O,l)；

③当直线AB在点。和等和线之间时，左e(l,+w)；

④当等和线过。点时，笈=0;

⑤若两等和线关于。点对称，则定值上互为相反数；

技巧五.平行四边形大法

1,中线长定理

2AO=\ABf+\ADf~^\DBf

2、P为空间中任意一点，由中线长定理得:

-21

2PO=|PA|+|PC|-||AC|

31

2PO=|PD|2+|PB|2--|DB|2

两式相减：|尸4『+|PC|2-(|PD|2+|PB|2)=M一版=2AB-AD

技巧六.向量对角线定理

.2.2.2.2

(A£)+BC)—(AB+C£))

ACBD=

2

D

题型归赢总结

题型一：利用三角向量不等式

【典例1-1】已知卜+*2,卜一司=4,则同+忖的范围是—.

【典例1-2】（2024•浙江杭州.模拟预测）已知|a-2e|=M-e|=l,|ebl,则向量a-b的范围是.

【变式I4】已知忖=i,w=2,H=3且°力=1则,+匕+d的最大值为（）

A.5.5B.5C.6.5D.6

【变式1-2]（2024.高三.浙江金华•开学考试）已知向量满足|“+6|=4,|""=3,则|。|+|加的范围是

（）

A.[3,5]B.[4,5]C.[3,4]D.[4,7]

【变式1-3]（2024•河北保定.二模）如图，圆。।和圆。2外切于点尸，A,8分别为圆。和圆■上的动点,

已知圆。1和圆。2的半径都为1，且R4.依=-1，则|尸4+4的最大值为（）

【变式1-4]已知平面向量q/满足QeZ-鼻=2,^a=ex+4e2,b=e1+e2,若14°.642,则的取值范

围为•

题型二：定义法

【典例2-1】已知向量a、匕满足：|"W=4,忖=阀“设与a+b的夹角为（9,贝（jsind的最大值为

【典例2-2】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的

上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成,

黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在

长江以南的时间稍晚的感泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的

图形，在图2中，圆中各个三角形（如△AC。）为等腰直角三角形,点。为圆心，中间部分是正方形且边

长为2,定点A,8所在位置如图所示，则AB-AO的值为（）

图1

A.14B.D.8

【变式2-1】已知点A,B,C均位于单位圆（圆心为。，半径为1）上,且=后,A小AC的最大值为

A.0B.73C.72+1D.6+1

【变式2-2］已知是半径为5的圆O上的两条动弦，|P©=6，WN|=8,则+最大值是

A.7B.12C.14D.16

题型三：基底法

【典例3-1】已知一ABC的内角4民C的对边分别为a,b,c,若4=冷，a=2,。为A3的中点，E为8的

中点，BC=3BF，则AE-A尸的最大值为.

【典例3-2】在ABC中，ZA=60°,BC=1,点。为AB的中点，点E为C。的中点，若BF=3BC,贝|

AEAF的最大值为.

【变式3-1】在，MC中，NA=60。，18cl=1,点。为A3的中点，点石为8的中点，若设

UL1U1L1LIU11

AB=a,AC=b，则AE可用。，匕表示为_；若BF=mBC,则AE-AF的最大值为

【变式3-2］在ABC中，”是边8C的中点，N是线段8M的中点.若ZA=g,ABC的面积为百，贝U

O

AM取鬟小值时，贝!|23C=()

A.2B.86-12C.6D.4

【变式3-3］如图，已知等腰一AfiC中，|AB|=|ACj=3,忸。=4,点P是边3C上的动点，贝U

AP-^AB+AC^()

A.为定值10B.为定值6

C.为变量且有最大值为10D.为变量且有最小值为6

题型四：几何意义法

【典例4-1］已知a也c是同一平面上的3个向量，满足"=3,恸=2后，a-b=-6,则向量a与6的夹角

为,若向量1a与T的夹角为5则向的最大值为.

【典例4-2】已知向量d,6满足同=1,忖=2,则卜+〃+%-可的最小值是最大值是

【变式4-1］(2024.内蒙古包头•模拟预测)已知。是一A5C所在平面内一点，且|钻|=2,OAAC=-l，

OCAC=1，则/ABC的最大值为()

【变式4-2］已知平面向量°,b，e，且卜|=1，H=2•已知向量6与e所成的角为60°，且卜

对任意实数/恒成立，则卜+0+ga-b的最小值为（）

A.73+1B.2A/3D.2A/5

【变式4-3】已知.”是平面向量,且e是单位向量,若非零向量“与e的夹角为%向量/，满足

-4e-b+3-O,则,-+的最小值是（）

A.75-2B.75-1

【变式4-4］（2024•山东青岛三模）已知向量。，b，c满足忖=忖=1，a-（a-b）=^,（b-c）_L（36-c）,

则卜-c|的最小值为（）

A.6—1B.G

题型五：坐标法

【典例5-1】（2024.河北沧州.一模）如图，在等腰直角.ABC中，斜边42=40,点。在以8C为直径的

圆上运动，则IAB+ADI的最大值为（）

4

D

A.4>/6B.8C.66D.12

【典例5-2】已知|AM|=2,AM=2MB>若动点尸，。与点A，M共面，且满足IAP|=|AM|,

IBQ|=|BM\,则MP.MQ的最大值为（）

【变式5-1】在梯形A3CZ）中，AB//CD,AB=2,AD=s/2,CD=\,BAD=45,P,。分别为线

段AD和线段AC上（包括线段端点）的动点，则APAQ的最大值为（）

A.25/5B.20C.回D.3

jr

【变式5-2］在AABC中，BC=2,ZBAC=-,。为BC中点，在AABC所在平面内有一动点P满足

ULUUUUULULUL1UI

=则AP8C的最大值为（）

A.昱B.垣C.旧D.史

333

【变式5-3］在A4BC中，AB=2BC=2,ZB=90,P是以A3为直径的圆上任意一点，则ACA尸的最

大值是（）

A.百+2B.2>/5-2C.275D.4

题型六：极化恒等式

7T

【典例6-1】已知—ABC中，BC=4,A=y,若..ABC所在平面内一点。满足O5+OC+2D4=0，贝U

.DC的最大值为_.

【典例6-2】在.、上旬中，48=20,乙4尸8=三，点。满足尸。=2（24+。8）,则-QB的最大值为.

【变式6-1］在边长为2的正方形A3CD中，动点P,Q在线段8。上，且|PQ|=2,则APA0的最小值为

（）

A.2B.72C.1D.；

【变式6-21点尸是边长为1的正六边形边上的动点，则尸4段的最大值为（）

1113

A.2B.—C.3D.—

44

【变式6-3】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两

个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知

AB=2,P为弧AC（含端点）上的一点，则8PCP的范围为—.

【变式6-4］（2024.河南新乡.二模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里

慢慢地往上转，可以在高处俯瞰四周景色.如图，某摩天轮的最高点距离地面的高度为12,转盘的直径为

10,A,8为摩天轮在地面上的两个底座，|AB|=10,点尸为摩天轮的座舱，则PAM的范围为—.

p

题型七：矩形大法

【典例7-1］已知圆。］：/+,2=9与。2：/+丫2=36,定点P(2,0),A、8分别在圆G和圆02上，

满足上4,依，则线段A2的取值范围是.

【典例7-2】在平面内，已知AB］」AB2，04=062=1,AP=ABl+AB,,若|0P|＜；,贝U

|。4|的取值范围是()

【变式7-1】已知圆Q：f+V=16,点P(l,2),M.N为圆。上两个不同的点，且PMJN=O若

PQ=PM+PN,则|尸。|的最小值为.

【变式7-2】设向量a,b,乙满足|“|=|。|=1,a-b=^,(o-c)-(/7-c)=0,则©的最小值是(

A.^±1B,反1

C.6D.1

22

题型八：等和线、等差线、等商线

【典例8-1］如图，在4ABe中，AN*NC,尸是线段2N上一点，若AP=mAB+〃AC，则加〃的最大值

为.

A

UUU

【典例8-2】（多选题）（2024.辽宁葫芦岛.二模）已知向量0A,08,“满足|。4|=1,31=2,0408=0,

。尸=彳。4+〃。瓦则下列说法正确的是（）

A.若点尸在直线上运动，当入〃取得最大值时，|。尸|的值为君

B.若点尸在直线上运动，在。尸上的投影的数量的取值范围是（-。,1]

C.若点P在以r=半为半径且与直线AB相切的圆上，|0P|取得最大值时，彳+〃的值为3

D.若点P在以r=半为半径且与直线相切的圆上，4+〃的范围是[-1,3]

【变式8-1】如图所示，8是AC的中点，8£=2。8,「是平行四边形38£内（含边界）的一点，且

OP-xOA+yOB^x.y,则当y=2时，x的范围是.

【变式8-2]如图，点。是半径为1的扇形圆弧A5上一点，且NAOB=彳，^OC=xOA+yOB,则

A.1B.@C.MD.4

【变式8-3】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆。，尸为圆。上任一点，若AP=xAB+yAC,则

元+y的最大值为（）

c

33

【变式8-4］（2024•河北沧州・三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学

的各个分支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边中，AB=2,以三条边为直径

向外作三个半圆，”是三个半圆弧上的一动点，若=+则X+〃的最大值为（）

A.1B.走C.1D.3

232

【变式8-5］平行四边形ABCD中，AB=2,AD=\,以C为圆心作与直线8。相切的圆，P为圆C上且

落在四边形ABCD内部任意一点，AP=AAB+^iAD,若/+则角A的范围为（）

A，.B.旭）C,

题型九：和亍四边形大法

【典例9-1】如图，圆。是半径为1的圆，OA=1,i

支B,C为圆上的任意2个点，则公.病的取值范围

是___________.

H

numuum

【典例9-2】如图，C,。在半径为1的。上，线段AB是,。的直径，则AC.8D的取值范围是

【变式9-1］（2024•浙江•模拟预测）已知e为单位向量，平面向量a,/满足|q+e|=|Z?-e|=1,a-b的取值

范围是—.

【变式9-2］（2024•江西宜春•校联考模拟预测）半径为1的两圆”和圆。外切于点尸，点C是圆”上一点,

点2是圆。上一点，则PCPB的取值范围为.

【变式9-3］设圆圆N的半径分别为1,2,且两圆外切于点尸，点A,B分别是圆圆N上的两

动点，则PA.P3的取值范围是（）

C.8,1]D.[—16,1]

题型十：向量对角线定理

【典例10-1】已知平行四边形ABCD,AB1BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与此交于点。，若

t己a=b=OBOC,c=OCOD,贝U()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c

【典例10-2］如图，在圆。中，若弦AB=3,弦AC=5,则的值是（）

A.-8B.-1C.1D.8

【变式10-1］在四边形ABC。中，AB1BC,AD_L3c若，AB=a,AD=b,则等于()

A.b1-a2B.a2-b2C.a2+b2D.a2-b2

过蠹试

1.如图，的三边长为|AB|=3,忸q=7,|AC|=5,且点民C分别在x轴，V轴正半轴上移动，点A在

线段3c的右上方.设。4=xO3+yOC（x,yeR）,记M=O4OC,N=x+y,分别考查的所有可能结

A.M有最小值，N有最大值B.M有最大值，N有最小值

C.”有最大值，N有最大值D.“有最小值，N有最小值

2.在矩形A3co中，AB=2,AD=3,P为矩形A3CD所在平面内的动点，且24=1,则PBJC的最大

值是（）

A.9B.10C.11D.12

3.（2024・湖北黄冈.二模）已知e为单位向量，向量。满足=3,|右-0=1,则的最大值为（）

A.9B.3C.亚D.10

4.已知e为单位向量，向量4满足e-a=3,|4e-耳=1,则时的最大值为（）

A.9B.2GC.V10D.8

5.如图，在等腰梯形A3CQ中，AB//CD,AB=5,AD=4,DC=1,点E是线段A3上一点，且满足

AE=4EB,动点P在以E为圆心的半径为1的圆上运动，则。PAC的最大值为（）

V21C.2A/3-6D.布

6.（2024・四川成都•模拟预测）在矩形A3CD中，AB=5,A£>=4,点石是线段A8上一点，且满足

AE=4EB.在平面A3CD中，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上运动，则。P.AC的最大值为（）

A.741+4B.741-6C.2713+4D.2^/13-6

7.（2024.贵州贵阳•三模）已知I”|=6|=l,a=0,|c+a|+1c-a|=4,屋-66M+5=0,贝!l|c-d|的最

大值为（）

A.+2B.4C.6D.^^-+2

33

8.已知非零平面向量a,。的夹角为三，且卜-囚=1,则。-（a+Zb）的最大值为（）

A.垣B.毡+1C.回D.3+2

3366

9.如图，在矩形A5CD中，43=23。=4,AC与3D的交点为为边A8上任意一点（包含端点），则

A.2B.4C.10D.12

一21

10.如图所示，ABC中，点。是线段3c的中点，石是线段AD上的动点，若5石=xA4+y8C,贝卜+一

的最小值（）

11.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.如图甲是一张由卷曲纹和回纹构成

的正六边形剪纸窗花，如图乙所示其外框是边长为4的正六边形ABCD吹，内部圆的圆心为该正六边形的

中心O,圆。的半径为2,点P在圆。上运动，则PEOb的最小值为（）

乙

A.-8B.-4C.0D.4

12.已知点A、方在圆一+,2=4上，且=。为圆O上任意一点，则AB.取的最小值为（）

A.0B.—4C.-6D.—8

13.已知.ABC是边长为4的等边三角形，P为平面A3C内一点，贝1]%・（刊?+/^）的最小值是（）

A.—2B.—8C.—3D.—6

14.已知向量26的夹角为与，且卜|=2忖=4,则k+仍|（feR）的最小值是（）

A.73B.3C.2GD.275

15.扇形493的半径为1,ZAQB=120。，点。在弧A与上运动，则CAC3的最小值为（）

A.—B.0C.—D.-1

22

16.（多选题）在.Q4B中，。4=1,。5=2,44。5=120。，点尸是等边.ABC（点。与C在A5的两侧）边

上的一动点，^OP=xOA+yOB,则有（）

1Q

A.当犬=1时，点?必在线段A5的中点处B.1+丁的最大值是]

「77一

C.OP.Q4的最小值是-1D.PAPB的范围是一二二

B.CECF的最大值为18

41

c.CE.EF的最大值为-1D.△。丁的面积的最大值为弁

O

21.（多选题）（2024•山东潍坊・二模）己知向量a,b，c为平面向量，W=l,可=2,。%=0,

5_。卜1，则（）

A.l^|c|<|B.(c-a)•(c-b)的最大值为1+：君

D.若；=〃+/,则X+〃的最小值为1-4

C.-1</?•(?<1

22.（2024•甘肃•一模）已知单位向量满足%-叫="?,则加的范围是.

23.（2024.高三.上海闵行.开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的

点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点48间的距离为3,动点尸满足高丁=2,

rD

则的范围为.

2

24.在.MC中，AB=3fAC=2,NBA。=60°,点尸是.ABC内一点（含边界），^AP=-AB+XAC,

则网的最大值为一.

25.（2024•天津河西•三模）如图，动点C在以AB为直径的半圆。上（异于A,B）,DCLBC,

DC=BC,\AB\=2,|CA-BC|=_；OCOD的最大值为一.

9

26.如图所示，在边长为3的等边三角形A3C中，AD=-AC,且点尸在以AD的中点。为圆心、OA为

半径的半圆上，若BP=x54+yBC,则下列说法正确的是.

①%)=抑+：8。②x+y的最大值为1+亭

③2pBe最大值为9@BODO=1

.7-

27.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，AD=-AC,且点P在以AD的中点。为圆心，Q4为

半径的半圆上，则8P.3c的最大值为一.

拔高点突破01一网打尽平面向量中的范围与最值问题

_____________________——目录一―.———————

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................5

题型一：利用三角向量不等式.....................................................5

题型二：定义法.................................................................6

题型三：基底法.................................................................7

题型四：几何意义法.............................................................7

题型五：坐标法.................................................................8

题型六：极化恒等式.............................................................9

题型七：矩形大法..............................................................10

题型八：等和线'等差线'等商线................................................10

题型九：平行四边形大法........................................................12

题型十：向量对角线定理........................................................14

03过关测试....................................................................14

亡法牯自与.柒年

//\\

技巧一.平面向量范围与最值问题常用方法：

(1)定义法

第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系

第二步：运用基木不等式求其最值问题

第三步：得出结论

(2)坐标法

第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标

第二步：将平面向量的运算坐标化

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解

(3)基底法

第一步：利用其底转化向量

第二步：根据向量运算律化简目标

第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论

(4)几何意义法

第一步：先确定向量所表达的点的轨迹

第二步：根据直线与曲线位置关系列式

第三步：解得结果

技巧二.极化恒等式

(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：

|a+邸+|a_b|2=2(|a/+|邸)

证明：不妨设AB=a,AZ)=6,贝!]AC=a+6,DB=a—b

|/ic|=AC~=(a+b)=|fl|+2«-Z?+|z?|①

|DB|2=DB2=(a-b'f二,『-2a-b+\b^②

①②两式相加得：

|AC|2+|DB|2=+w[=2(kd+网]

(2)极化恒等式：

上面两式相减，得：--6)2]------------极化恒等式

①平行四边形模式：a-b=^\AC^-\DB^

几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方

差的L

4

②三角形模式：a-b=\AM[-^DB^(〃为8。的中点)

A

BMC

技巧三.矩形大法

矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点,

证明：0/3+OC2=OB2+OD1.

【证明】(坐标法)设钻=a,AD=b,以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系必》

则8(a,0),D(0,6),C(a,6),设0(尤,y),则

0A2+0C2=(x2+/)+[(x-a)2+(y—bf]

OB2+OD2=[(x-a)2+y2]+[x2+(y-b)2]

OA"+OC-=OB2+OD1

技巧四.等和线

(1)平面向量共线定理

己知。4=208+〃OC,若几+〃=1,则AB,C三点共线；反之亦然.

(2)等和线

平面内一组基底0A及任一向量OP,OP=/L04+〃OB(4〃eR),若点P在直线AB上或者在平行

于AB的直线上，则彳+〃=左(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线相平行的直线称为等和

线.

①当等和线恰为直线TW时，％=1；

②当等和线在。点和直线之间时，左e(O,l)；

③当直线AB在点。和等和线之间时，左e(l,+w)；

④当等和线过。点时，笈=0;

⑤若两等和线关于。点对称，则定值上互为相反数；

技巧五.平行四边形大法

1,中线长定理

2AO=\ABf+\ADf~^\DBf

2、P为空间中任意一点，由中线长定理得:

-21

2PO=|PA|+|PC|-||AC|

31

2PO=|PD|2+|PB|2--|DB|2

两式相减：|尸4『+|PC|2-(|PD|2+|PB|2)=M一版=2AB-AD

技巧六.向量对角线定理

.2.2.2.2

(A£)+BC)—(AB+C£))

ACBD=

2

D

题型一：利用三角向量不等式

【典例1-1】已知,+可=2,,一.=4,则同+网的范围是—.

【答案】［4,2石］

【解析】设同=机，卜卜〃，

|o+/?|=2,;.（a+b）=|a「+2a-b+W=m2+n2+2«-&=4...（T）；

|a—Z?|=4,.，.（。―6）=|a|~-2a-b+|/?|=m2+n2—2a-b=16..

①+②得：2（/，+"2）=20,.•.M+“2=io,

.'.（m+zi）2=10+2m〃W10+2x［l3）（当且仅当根="=・石时取等号），

贝I］（7"+"）2<20,m+n<2\/5;

|4+W=/"+〃/+可=4（当且仅当a与万同向时取等号），

二同+1|的取值范围为［4,2石］.

故答案为：［4,2如］.

【典例1-2］（2024•浙江杭州•模拟预测）已知|a-2e|=|b-e|=l,|e|=l,则向量a-b的范围是

【答案】-:,6

【解析】=a-2e,d=b-e,\c\=\d\=lf

所以〃•/?=(c+2e)・(d+e)=c-d+e-(2d+c)+2①，

~，c・d+e,(2d+c)+2Wc，d+|2d+c|+2=l+3+2=6,

当且仅当e与d同向，&与(2d+c)同向时取得最大值，

11Q1

另一方面，c-d+e•(2d+c)+2>c-d—\2d+c\+2=—(t2—5\—t+2=—t2—t+—>——,

114V7444

其中—2d+c|e[0,3],当且仅当|21+。|=2,6与(2"0)反向时取得最小值.

故〃•/?£一!,6.

4

故答案为：

【变式1-1】已知,1=1,忖=2,卜1=3且°仍=,贝4+6+。］的最大值为（）

A.5.5B.5C.6.5D.6

【答案】A

2l+4+9+；+2c.(a+6)：,

【解析】\a+baJ(-b+|c|+2a-b+2c-(d+b

又c.（q+Z?）4卜|卜+可=3x+2q.）=3^1+4+-|=?,当且仅当d与a+b同向时取得等号;

故,+b+c|4Jl+4+9+；+24=^^=9=5.5.

故选：A.

【变式1-2］（2024・高三・浙江金华・开学考试）已知向量。石满足|"+引=4,|。-切=3,则|。|+|加的范围是

A.[3,5]B.[4,5]C.[3,4]D.[4,7]

【答案】B

[解析],|+W2max,卜_囚｝=4,

由于：(忖+,/=〃2+//+2忖.忖，

25=|«+Z?|+卜-0=2(a+b)=〃+b+a+b>a+b+2|^|-|z?|,

当且仅当口=M时等号成立.

所以(口+,卜？+,一q=25,

所以忖+忖05,

所以44卜|+忖45.

故选：B

【变式1-3］（2024•河北保定•二模）如图，圆。I和圆。2外切于点p，A,8分别为圆。1和圆。2上的动点,

已知圆。1和圆。2的半径都为1,且尸A.尸5=-1，则PA+PB\的最大值为()

B

一

A.2B.4C.2A/2D.2石

【答案】D

[解析1PAPB=^POl+O]A)\PO2+O2B)=PQ-PO2+PO1-O?B+O]A,PO?+O[Z,0,8

=-1+PO,-(O2B-QA)+O]A-O2B=-1,

所以。A。2与=尸。「(CB_o,A)<O2B-qA,

2

所以OjAOzdWO*『+°同2_20140*，即5|+2O1A-O2B-2<0,

解得T-君W0Aa34T+百.

2222

PA+PB=PQ+OtA+PO2+O2B=0,4+0^=\O2B+2QA-O2B

=2+2O1A-O2B<2+2X(-1+73)=2A/3.

故选：D

【变式1-4]已知平面向量q©满足2e2-e；|=2,设。=9+402,^=9+02，若14a.万42，贝”a1的取值范

围为________•

【答案】[有-1,君+1]

【解析】设c=6—202,贝Ij)=；(a+C),则由条件%V2知24a<a+W)44,

所以2V5,所以A/5<a+—<A/5,|—|=1

9

又。+小曰卜同

所以山-100区6+1.

故答案为：［声-1,百+1］.

题型二：定义法

【典例2-1】已知向量a、匕满足：|"W=4,忖=阀“设与a+b的夹角为（9,贝（jsind的最大值为

【答案】巫仔近

33

【解析】设［卜乙则忖=0乙设向量°、b的夹角为a,

若卜一@=4,则J-Za-b+z/=3产-2"2cosa=16，可得cosa=g应

由题意可得-14至君41，解得4（0-1修44（虎+1）,

2V2?

所以，,+0=a+2a-b+b=3r+2y/2t2cosa=6t2-16,.,.卜+.=&r-16,

cos”"+5"叫「1

所以,\a+b\.\a-b\~^6r-16

当务得时，即当「空时，cos。取得最小值g,止匕时sin。取得最大值，

且（si"%」「用=半

故答案为：述.

3

【典例2-2】八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的

上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成,

黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在

长江以南的时间稍晚的糅泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的

图形，在图2中，圆中各个三角形（如△ACD）为等腰直角三角形，点。为圆心，中间部分是正方形且边

长为2,定点A,B所在位置如图所示，则AB-AO的值为（）

图1图2

A.14B.12