2025年中考数学一轮复习：等腰三角形与直角三角形（解析版）

考点四等腰三角形与直角三角形

知识点整合

一、等腰三角形

1.等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）.

推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、

底边上的中线、底边上的高重合.

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。.

2.等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等

边）.这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.

推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形.

推论2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.

二、等边三角形

1.定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.

2.性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。.

3.判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60。的等腰三角形是等边三角

形.

三、直角三角形与勾股定理

1.直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

性质：（1）直角三角形两锐角互余；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么,它所对的直角边等于斜边的一半;

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

2.勾股定理及逆定理

（1）勾股定理:直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即：〃+加=，.

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边°、6、c有关系：/+/=?,那么这个三角形

是直角三角形.

考向一等腰三角形的性质判定

1.等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴.

2.等腰直角三角形的两个底角相等且等于45。.学-科网

3.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.

b

4.等腰三角形的三边关系：设腰长为a,底边长为6,则上<a.

2

5.等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为NA,底角为/B、ZC,则/4=180。-2/2,Z

6.等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要依据，是把三角形中的角的相等关系

转化为边的相等关系的重要依据.

7.底角为顶角的2倍的等腰三角形非常特殊，其底角平分线将原等腰三角形分成两个等腰

三角形.

典例引领

1.如图，边长为12的等边AABC,F是边AC的中点，点。是线段上的动点，连接

AD,在的右侧作等边VADE,连接CD、CE、EF,下列说法正确的有（）个.

®BF±AC-,②/DEC=ZDCE；（3）AE=CD；④VADE的周长最小值为18；⑤

/ACE的大小随着点D的移动而变化.

【答案】B

【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角

形的性质与判定等.根据三线合一定理即可判断①；证明防是线段AC的垂直平分线，

得至UAD=CD,再由等边三角形的性质证明M=E£>=CD,即可判断②③；根据点到直

线的距离垂线段最短可知当AD_L所即。与尸重合时，AD最小，即此时VADE的周长最

小，即可判断④；证明ABAZ泾ACAE,得到NACE=/ABD=30。即可判断⑤.

【详解】解：回AABC是等边三角形，尸是边AC的中点，

SBFJ.AC,故①正确;

0BF是线段AC的垂直平分线,

^\AD=CD,

EIVADE是等边三角形，

^AD=ED=AE,

^\AE=ED=CD,故③正确；

SZDEC=ZDCE,故②正确；

回。在线段的上，

团当即。与b重合时，AD最小，即此时'VADE的周长最小,

回等边三角形"LBC的边长为6,歹是边AC的中点，

0AD最小=AF=3,

EIVADE的周长的最小值为">+£>£+A£=3AD=9,故④错误；

回AABGAADE都是等边三角形，

^AB=AC,AD=AE,ABAC=ZDAE=60°,

S\ZBAD=ZCAE,

0△54。丝△CAE(SAS),

EZACE=ZABD=30°,故⑤错误；

团正确的一共有3个，

故选：B.

2.如图，在等腰三角形A3C中，AB=AC,NB=50°,。为BC的中点，点E在AB上,

ZAED=69°,若点尸是等腰三角形ABC的边AC上的一点，则当△£»尸为等腰三角形

时，/EDP的度数是（）

A.100°B.142°C.100°减142°D.142°或69°

【答案】C

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是

解题的关键.过。作OH_LAC,DG.LAB,易证区以。石6g1<3。£",

RUDEG^RUDP.H,再根据四边形内角和360。即可得到答案.

【详解】解：连接相>,

团AB=AC,ZB=50。,

团ZBAC=180°-50°-50°=80°,

回点尸是等腰AABC的腰AC上的一点，AB=AC,。为3c的中点，

^\ZBAD=ZCAD,

过0作。〃_LAC,DG±ABf

©DG=DH,

在RtVDEG与R3DP2H中，

[DE=DP2

[DG=DHf

回R3D£GgR3Q£H(HL),

O

^\ZAP2D=ZAED=69,

0ZBAC=8O°,

^\ZEDP2=142。，

同理可得也,

⑦/EDG=/PQH,

团ZEDF[=ZGDH=360°-2x90°-80°=100°,

故选C

二、填空题

3.如图，在融。中，AC=BC,ZB=30°,。为A5中点，P为。。上一点，E为BC延

长线上一点，且~4=尸£.有以下结论：①NR1D+N尸E1C=3O。；②AZV1E为等边三角

形；③CE—CP=2PD；④S四边形皿,=S“BC.其中正确的结论有（填序号）

E

【答案】①②③④

【分析】本题考查垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，根

据。为中点，AC=BC得到CO垂直平分A3,即可得到丛=尸3,结合F4=PE,即

可得到上4=依=尸£,从而得到ZR4D=ZPBD,ZPEB=ZPBE,即可判断①，结合内外

角关系即可判断角②，作尸关于AB的对称点证明AE4C*qAC即可判断③，过A

作A尸上3C,在BC上截取CG=CP,证明APEC会△尸3G,结合面积公式即可得到答案；

【详解】解：连接5P,延长交AE于F,

团£）为A8中点，AC=BC,

回8垂直平分A3,

SPA=PB,ZCBD=90°

SPA^PE,

SPA=PB=PE,

@ZPAD=ZPBD,ZPEB=ZPBE,

0ZABC=3O°,

0ZPAT)+ZPEC=30°,故①正确，

由①得，

ZAPE=ZAPF+ZFPE=ZPEB+ZPBE+APBD+/PAD=60°,

^PA=PE,

回为等边三角形，故②正确，

作P关于的对称点如图所示

回为等边三角形，

0PA=EA,E4P=60。，

^\ZEAC=ZEAP-ZCAP=6Q°-ZCAP,

回尸关于A5的对称点是《，

团PA=《A,ZPAD=ZP{AD,DP=DP、,

团EA=《A,N片AC=2ZPAD+2ZCAP-ZCAP=60°-/CAP

团NE4c=N《AC,

又回EA=《A,AC=AC,

团zkEACg△片AC(SAS),

⑦EC=P1C,

国CE—CP=2PD,故③正确，

过A作在5c上截取CG=CP,连接依，

国NCDB=90。,ZABC=30°f

^ZBCD=60°,AF=-AB=AD

2f

@CG=CP,

团aPCG是等边三角形，

^\ZPCG=ZPGC=60°,

团ZPCE=NPGB=120。,

⑦ZPEB=ZPBE,PE=PB,

0APEC^APBG(AAS),

⑦CE=GB,

回AC—BC,

⑦BG+CG=EC+CP,

0^ACB=^CB-AF=^EC+CP).AF=S四边形AECP，故④正确，

故答案为：①②③④.

4.如图，在AABC中，/A3C与/AC3的平分线交于点。，过点。作。E〃3C,分别交

AB、AC于点。、E.若AB=6,AC=4,则VADE的周长是.

【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质.先根据角

平分线的定义及平行线的性质证明ADOB和△EOC是等腰三角形，再由等腰三角形的性质

得BD=DO,CE=EO,从而得出答案，有效的进行线段的等量代换是正确解答本题的关

键.

【详解】解：-：DE//BC,

ZDOB=ZOBC,ZEOC=ZOCB,

-,­/ABC与NAC3的平分线交于点0,

NDBO=ZOBC=ZDOB,NECO=ZOCB=ZEOC,

DO=DB,OE=EC,

.•.VADE的周长为AD+DO+OE+AE=AD++AE+EC=AB+AC=10,

故答案为：10.

5.如图，。为AABC内一点，CO平分/ACB,BD±CD,ZA=ZABD,若AC=2.8,

BC=1.6,则8。的长为.

【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质

等知识，正确作出辅助线是解题关键.延长交AC于点E,首先证明

ABDC^AEDC,由全等三角形的性质可得3C=EC,进而可得EC=1.6,AE=1.2,再结

合NA=NABD,可得3E=AE=1.2,然后根据三角形"三线合一”的性质，即可获得答案.

【详解】解：延长BD,交AC于点以如下图,

回CD平分/ACB,

⑦NBCD=NECD,

⑦BDLCD,

⑦ZBDC=/EDC=90。,

在△比心和△EDC中,

ZBDC=ZEDC

<CD=CD,

ZBCD=ZECD

⑦八BDC'EDC(ASA),

国BC=EC,

团AC=2.8,BC=1.6,

aEC=BC=1.6,

^\AE=AC-CE=2.8-1.6=1.2,

团NA=NAB。，

团BE-AE=1.2,

又国BC=EC,BD±CDf

SBD=ED=~BE=0.6.

2

故答案为：0.6.

变式拓展

6.(1)【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了这样的问题：如图1,AABC中，若AB=8,AC=6,

求2C边上的中线AZ)的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延长AD到点E,使

DE=AD,连结8E.请根据小明的方法思考：

如图2,由已知和作图能得到△ADCZAED3的理由是_选填(SSS,SAS,AAS,ASA)

(2)【问题解决】

根据图2,求出中线AD的取值范围.

【感悟】

解题时，条件中若出现"中点"、"中线"字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散

的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.

(3)【拓展延伸】

如图3,AD是AABC的中线，BE交AC于点、E,交AD于R且AE=EF.求证：

AC=BF.

【分析】本题主要考查全等三角形与等腰三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性

质与判定是解题的关键；

(1)根据题意可直接进行求解；

(2)由(1)及全等三角形的性质可进行求解；

(3)延长AD到点X,使得=连接3",易得AADC%HDB(SAS),

ZFAE=ZAFE=ZBFH,则有AC==/ZMC,然后问题可求证.

【详解】(1)解：如图2,延长AD到点E,使DE=AD,连结8E.

E

图2

回点。是BC的中点，

0BD=CD,

在△ADC和AEDB中,

'AD=ED

</ADC=/EDB,

CD=BD

aAADC^AEDB（SAS）；

故答案为SAS；

（2）由（1）可知：AADC均EDB（SAS）,

团AC=EB=6,

团AB+BE>A£,AB—BE<A,E,

02<AE<14,BP2<2AD<14,

町<AD<7；

（3）证明：延长AD到点H,使得AD=HD,连接跳f,如图所示:

同理（1）可得△ADCg”flM（SAS）,

®AC=HB,/H=NDAC,

^\AE=EF,

^\ZFAE=ZAFE=ZBFH,

国NH=NBFH,

©BF=BH,

^AC=BF.

7.(1)阅读理解

如图1,在44BC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此问

题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,连接CE,利用三角形三边的关系即可

判断中线AD的取值范围是—.这种方法叫做倍长中线法.

（2）问题解决：

如图2,BD=CD,Z1=Z2,此时£B=AC成立吗？请说明你的理由.

（3）问题拓展：

如图3,已知：AD=AB,AD.LAB,AC=AE,AC^AE,AM为AABC的中线，反向

延长AM交£）£于点N,求证：ANLDE.

【答案】（1）2<AD<8；（2）=成立，理由见解析；（3）证明见解析.

【分析】（1）延长AD至E,使DE=4D，连接CE,由SAS证明ACDE丝,得出

CE=AB=XQ,在△ACE中，由三角形的三边关系求出AE的取值范围，即可得出AD的取

值范围；

（2）延长AD至尸，使人。=田，连接所，证明AADC丝AFDB,可得到AC=FB,

ZF=Z2,再证明所=8E,可得E3=AC.

（3）延长AM到尸，使得W=首先证明四边形ABC尸是平行四边形，再证明

AADE%ACFA,推出NE=NC4/，由NC4F+NE4N=90。，推出NE4N+NE=90。，推出

ZANE=90。,即可解决问题；

【详解】（1）解：延长AD至E,使DE=AD,连接CE,如图1所示：

:.AE=2AD,

・・・AD是边上的中线，

:.BD=CD,

在△CD£和△5DA中，

CD=BD

</CDE=/ADB,

DE=AD

/.△CDE^ABDACSAS),

..CE=AB=10,

在“。石中，由三角形的三边关系得：CE-AC<AE<CE+AC,

/.10-6<AE<10+6,BP4<AE<16,

:.2<AD<8；

故答案为：2<AD<8；

(2)解：石B=AC成立.

理由：延长AD至/，使FD=AD,连接所，如图2所示：

在△ADC和ZXFDB中，

AD=FD

<ZADC=ZFBD,

DC=DB

:公ADC沿AFDB(SAS),

:.AC=FB,Z2=/F,

・.・N1=N2,

.\ZF=Z1,

:.BF=BE,

:.EB=AC.

(3)证明：如图，延长AM到尸，使得=

\-AM=MF,BM=CM,

••・四边形AB尸。是平行四边形,

:.AB=CF,AB//CF,

/.Z^4C+ZACF=180°,

-,•ZBAD=ZEAC=90°,

/.ZBAC+Z2ME=180°,

/DAE=ZACF,

AD=CF,AE=AC,

「.△ADE也△CTX(SAS),

：.ZE=ZCAF,

ZCAF+ZEAN=90°,

NEAN+NE=90。,

：.ZANE=90°,

.\AN±DE.

【点睛】

本题是三角形的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角

的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

8.如图，在AABC中，DE、分别为8C、AB边的垂直平分线，连接AD、CD.

AB

⑴求证：DC=DA；

（2）若/3=30。，AC=5,则AACD的周长为

【答案】①见解析

（2）15

【分析】本题考查垂直平分线性质，三角形内角和定理，等边三角形判定及性质.

（1）根据题意连接8。，利用垂直平分线性质即可得到本题答案；

（2）利用角平分线性质可得/3=/公旬+/及第=30。，利用三角形内角和得

Z^4C+ZBC4=180o-30o=150°,再得NCD4=60。，可知AACD为等边三角形，继而得

到本题答案.

【详解】（1）解：连接8D,

团。£、分别为BC、A3边的垂直平分线，

回AD=BD,CD=BD,

^\DC=DA；

(2)解:回。£\D尸分别为BC、A3边的垂直平分线,

团AD=BD,CD=BD,

0ZABC=3O°,

团NASC=ND4B+/BCD=30。，

团ABAC+ZBCA=180°-30°=150°,

Z£>C4+ZZMC=120°,

0ZCZM=6O°,

团DC=D4,

团AACD为等边三角形，

EAC=5,

EIAACD的周长：5+5+5=15,

故答案为：15.

9.如图所示，在“BC中，CB1AB,ZBAC=A5°,尸是AB延长线上一点，点E在3C

上，且5£=防.

(1)AABE/ACBF；

⑵判断AE、CF的关系，并证明.

【答案】⑴见解析

(2)AE=CF,证明见解析

【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质.

(1)先判断AABC为等腰直角三角形得到AS=C3,然后根据“SAS"即可证明

△ABE之ACBF；

由(1)知△ABE/ACBP,根据全等三角形的性质即可得到AE=CF.

【详解】(1)证明：0CBXAB,

^\ZABE=ZCBF=90°,

EZa4C=45°,

回AABC为等腰直角三角形，

^AB=CB,

BE=BF

在“BE和VCB歹中，＜ZABE=ZCBF^9Q°,

AB=CB

0AAB£^ACBF(SAS)；

(2)AE=CF,

证明：由(1)知丝△CBR,

AE=CF.

考向二等边三角形的性质与判定

1.等边三角形具有等腰三角形的一切性质.

2.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴.

3.等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合.

4.在等腰三角形中，只要有一个角是60。，无论这个角是顶角还是底角，这个三角形就是等

边三角形.

典例引领

1.如图，等边AABC与正方形。E7P的重叠，其中E两点分别在AB、8c上，且

BD=BE,若AB=3,DE=1,则AEFC的面积为.

【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质；过歹作

BC于。，根据等边三角形的性质和判定和正方形的性质求出座=1,/BED=60°,

ZDEF=90°,EF=1,求出N尸EQ,求出CE和FQ,即可求出答案.

【详解】解：过尸作于。，

•.•△ABC是等边三角形，AB=3,

BC=AB=3,4=60°,

­.BD=BE,DE=1,

.•△曲是等边三角形，且边长为1,

:.BE=DE^1,NBED=60°,

:.CE=BC-BE=2,

,•・四边形。EFG是正方形，DE=\,

.-.EF=DE=1,ZDEF=90。,

NFEC=180°-60°-90°=30°,

..△EEC的面积=CE*2义工=」，

一2222

故答案为：—.

二、解答题

2.如图，C为线段AE■上一动点，(不与点A、E重合)，在AE同侧分别作正AABC和正

△CDE,AD与8E交于点。，AD与BC交于点尸，BE与CD交于点Q,连接PQ.

(1)求证：AD=BE；

⑵求证：VCQP是等边三角形；

⑶若改变C的位置，其余条件都不变，点尸恰好为5c的中点时，请问。是否也为C。的中

点，并说明理由.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶是，理由见解析

【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角

形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键.

(1)结合等边三角形的性质，利用"SAS"证明△ADC丝ABEC,即可证明结论；

(2)首先证明NPCQ=60。，再利用〃ASA〃证明△APC丝△3QC,由全等三角形的性质

可得CP=CQ,即可证明结论；

(3)首先根据等腰三角形〃三线合一〃的性质可得即NAPC=90。，再结合全等

三角形的性质可得N5QC=NAPC=90。，即3ELCD,然后利用等腰三角形〃三线合一〃的

性质即可证明。为中点.

【详解】(1)证明：回国。和△€?£>£是正三角形，

国AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

田NACB+/BCD=NDCE+/BCD,即ZACD=N3C£,

在八位)。和△BEC中，

AC=BC

<ZACD=/BCE,

CD=CE

团AADC也AB石C(SAS),

国AD=BE;

(2)^ZACB=ZDCE=60°f

团ZPCQ=180。一ZACB-ZDCE=60°,

回NAC5=ZBCQ=60。，

国AADC沿&BEC,

^\ZCAP=ZCBQ,

在△ACP和△5CQ中，

ZCAP=ZCBQ

<AC=BC,

ZACB=ZBCQ

回△APC/45QC(ASA),

国CP=CQ,

又回NPCQ=60。,

团VC。尸是等边三角形；

(3)团尸为5c中点，融。为等边三角形，

0AP1BC,

0ZAPC=9O°,

由(2)可知，△APC之△BQC,

SZBQC=ZAPC=90°,BPBE1CZ),

回ACDE为等边三角形，

回。为。中点.

3.已知：如图，点。在等边三角形4BC的边AB上，延长BC至点E使CE=AD,连接

DE交AC于点F.求证：FE=FD.

【答案】见详解

【分析】本题主要考查等边三角形的性质与判定、平行线的性质及全等三角形的性质与判

定，熟练掌握等边三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；过点。作

DH//BC,交AC于点H,由题意易得DH=EC,NHDF=NE,NDHF=NECF,然后可证

△DHF^AECF(ASA),进而问题可求证.

【详解】证明：过点D作。H//BC,交AC于点女，如图所示：

团AABC是等边三角形，

EIZA=ZB=ZACB=60o,

SDH//BC,

团ZADH=ZB=60°,ZAHD=ZACB=60°,ZHDF=ZE,ZDHF=NECF,

EIAADH是等边三角形，

0AD=DH,

0CE-AD,

回CE=HD,

EA£>/7F^AECF（ASA）,

0FE=FD.

4.如图，已知等腰“IBC中，ABAC=30°,AB=AC,NB43=e,点8关于直线AP的

对称点为点。，连接AD,连接8。交互于点G,连接C£＞交AP于点E,交4B于点尸.

图1

⑴如图1,当&=15。时，

①补全图形；

②探究DE与所的数量关系，并说明理由；

⑵在直线AP绕点A顺时针旋转的过程中（。。＜«＜75。），当尸为等腰三角形时，利用

备用图直接求出。的值为.

【答案】（1）①图形见详解，@DE=2BF,理由见详解

（2）30°或52.5°

【分析】（1）①根据题意直接进行作图即可，②连接EB,由题意可得田=£B,

AD=AB,N1=N2=15。进而可得ZADB=75。，ADAC=Z1+Z2+ABAC=60°,

Z5=3O°,证明ABLOC,最后利用30。直角三角形的性质得出EB=2防，即可得出DE

与M的数量关系.

（2）如图2,求得△血€：是等腰三角形，求出NADC=75。-a,NAE产=75。，然后进行

分类求解即可.

【详解】（1）解：①如图1：

A,

7

图1

②DE=2BF,

连接班，

回点3关于直线AP的对称点为点O,a=15°

团AP垂直平分30,

由ED=EB,AD=AB,Z1=Z2=15°

团N3=N4,ZADB=75°9

0ZBAC=3O°,

团ZDAC=N1+N2+ABAC=60°,

BAC=AB,

0AC=AD,

团△ACO为等边三角形，

0ZADC=6OO,

^\Z3=Z4=ZADB-ZADC=15°,

0Z5=3O°,

又AD=AC,AB平分/DAC,

团AB_LOC,

0ZBfE=9O°,

出EB=2BF,

©DE=2BF.

(2)如图2,

D、

A

BC

图2

0AD=AC,

回AD4c是等腰三角形,

0ZAPC=(180°-26Z-30°)-2=75°-6Z,

^\ZAEF=ZADC+ZDAE=75°-a+a=15°,

当AE=AF时,NEAF=。=180°—75°x2=180°—150°=30°；

当AE=EF时,NEAF=tz=(180°-75°)+2=52.5°；

当EF=4F时,ZAEF=ZEAF=a=75°(舍去).

故答案为：30。或52.5。.

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形内角

和定理、轴对称的性质，30。直角三角形的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质与判

定及等边三角形的性质与判定是解题的关键.

5.在等边413C中，。为边AC的中点，点N在边3c的延长线上，且NMDN=120。.

图1图2图3

⑴如图1,点M在边AB上，求证：DM=DN；

⑵如图2,点M在边A3的延长线上，试探究BM,3N与等边AABC边长BC的数量关

系：

【答案】⑴见解析

3

(2)BN-BM=-BC

【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行线的性

质：

(1)作DE〃3c交AB于E,根据等边三角形的判定及性质可证得VADE是等边三角

形，再利用ASA证得GCN、DEM即可求证结论；

(2)作。E〃3c交A2于E,由(1)同理可证△OOV丝ADEM,得出EM=CN,进而可

3

求得BN—BM=—BC,即可求解；

2

根据相关知识证明△DCNg△的/是解题的关键.

【详解】(1)证明：作。石〃3C交A5于£,如图：

♦.•△ABC是等边三角形，

：.AB=AC=BC,ZA=ZB=ZACB=60°,

。为边AC的中点，

;AD=DC=-AC,

2

-DE//BC,

:.ZAED=ZB=ZADE=ZACB=6Q0,

「.VAD£是等边三角形，

:.AE=DE=AD,ZAT«=60。，

:.DE=DC,ZEDC=180°-ZADE=120°,

/MDN=120。,

:./EDM+ZMDC=/CDN+ZMDC=nG0,

:.NEDM=NCDN,

在△DOV和△£＞石”中,

ZDCN=/DEM

<DC=DE,

ZCDN=/EDM

.'^DCN^DEM(ASA),

:.DN=DM.

3

(2)解：BN-BM=—BC,理由如下:

2

作DE〃BC交AB于E,如图：

由(1)同理可证四A£>CN,

:.EM=CN,

3

;.BN-BM=BC+CN-EM+BE=BC+BE=-BC.

变式拓展

6.综合与探究

【问题情境】在等边ULBC中，P是边AC上的一个定点，M是2C上的一个动点，以尸M

为边在尸河的右侧作等边APMN,连接CN.

【特例研究】

如图1,当点M在BC边上时，过点尸作PH〃AB交BC于点

图1

①此时VPHC的形状是」与PC的数量关系是一.

②试猜想CP,CN,CM之间的数量关系，并说明理由.

【拓展探究】

（2）如图2,当点加在8C的延长线上时，（1）中的猜想是否依然成立？若成立，请说

明理由；若不成立，请写出正确的猜想并说明理由.

图2

【答案】（1）①等边三角形，PH=PC；®CM=CN+CP,理由见解析；（2）（1）中

的猜想不成立，正确的猜想是CN=CM+CP,理由见解析.

【分析】（1）①由和APMN是等边三角形可得NA=NABC=ZACB=60。，由

尸”〃AB可得NCPH=NPHC=NPCH=60°,即可得到VPHC是等边三角形，进而可得

PH=PC；

②CM=CN+CP.由SAS可证ZWW丝ZWC,可得CN=MH,利用等量代换即可求

证；

（2）过点P作尸“〃/1B,交BC于H,先证VPHC是等边三角形，可得

PH=PC=CH,由SAS可证△MP"可得CN=MH,利用等量代换即可求

解；

本题考查了全等三角形判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，添加恰当

辅助线构造全等三角形是解题的关键.

【详解】解：①回AABC和APMN是等边三角形，

SZA=ZABC=ZACB=60°,PM=PN,ZMPN=60°,

^PH//AB,

回NA=NCPH=60°,ZABC=ZPHC=60°,

ElZCPH=ZPHC=ZPCH=60°,

回VP"C是等边三角形，

SPH^PC,

故答案为：等边三角形，PH=PC；

②CM=CN+CP,理由如下：

回/CPH=/MPN=60。,

国/MPH=NNPC,

在ZxMPH和ANPC中，

PM=PN

<ZMPH=NNPC,

PH=PC

团也AAPC(SAS),

⑦CN=MH,

由CM=MH+CH=CN+CP

即CM=OV+CP；

(2)(1)中的猜想不成立，正确的猜想是CN=CM+CP,理由如下:

如图，过点。作交BC于H,

BHCM

图2

团AABC和△PACV是等边三角形，

^ZA=ZABC=ZACB=60°,PM=PN,ZMPN=60°,

^\PH//AB,

团NA=NCP"=60°,ZABC=ZPHC=60°,

团ZCPH=ZPHC=ZPCH=60°,

团VPHC是等边三角形，

出PH=PC=CH,

a/CPH=ZMPN=60。,

^1ZMPH=ZNPC,

在△MPH和ANPC中,

PM=PN

<ZMPH=ZNPC,

PH=PC

回AMPH丝ANPC(SAS),

SCN=MH,

BCN=MH=CM+CH=PC+CM,

^CN=CM+CP.

7.如图，在RtsABC中，ZBAC=90°,ZABC=30°,。是3c的中点，。是0c的中

点，连接A。并延长至E,使OE=Q4,连接BE,AD.

(1)若AC=4,则OD=；

⑵求证：AABE是等边三角形.

【答案】⑴2；

⑵见解析.

【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定、垂直平分线

的判定及性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关

键.

(1)由题意可知/C=60。，AD为RSABC的斜边中线，故AD=CD,所以AACE＞是等边

三角形，根据等边三角形的性质可求解；

(2)由(1)知AACD是等边三角形，然后可得8O_LAE,可知8。是AE的垂直平分线，

即BA=3E,rfUZBAE=90°-ZABD=60°,最后问题可求证.

【详解】(1)解：•.♦/54C=90。，ZABC=30°,

ZC=60°,

•.•点。为3C的中点，ABAC=90°,

AD=CD,

.•.△ACD是等边三角形,

：.CD=AC=4,

•・•点。为。。的中点，

.•.OD=LCD=2,

2

故答案为：2；

(2)证明：由(1)知，△ACD是等边三角形，点。为CO的中点，

:.BOLAE,

\OE=OA,

：.30是AE1的垂直平分线，

:.BA=BE，

•<-ABAE=9Q°-ZABD=60。，

:.^ABE是等边三角形.

8.如图，在等边三角形A3C中，点M为A3边上任意一点，延长BC至点N,使

CN=AM,连接跖V交AC于点尸，MW_LAC于点

(1)求证：MP=NP；

⑵若AB=a,求线段PH的长.(结果用含。的代数式表示)

【答案】⑴见解析

(2)PH=1(Z

【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质

等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.

(1)过点M作/Q〃BC,交AC于点。，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得

ZAMQ=ZAQM=ZA=60°,可得是等边三角形，易证AQMP%CWP(AAS),即可得

证；

(2)根据等边三角形的性质可知=根据全等三角形的性质可知QP=PC,即可

表示出"尸的长.

【详解】（1）证明：过点M作MQ〃5C,交AC于点Q,如图所示:

在等边AABC中，ZA=ZB=ZACB=60°,

MQ//BC,

:.ZAMQ=ZB=60°,ZAQM=ZACB=60°,ZQMP=ZN,

「.△AM。是等边三角形，

/.AM=QM,

♦：AM=CN,

QM=CN,

在△QMP和CNP中,

ZQPM=ZCPN

<ZQMP=ZN,

QM=CN

...△QMP丝△CNP(AAS),

:.MP=NP；

(2)解：•・・△AMQ是等边三角形，且M/LAC,

/.AH=HQ,

:LQMP”4NP,

：.QP=CP,

:.PH=HQ+QP=^AC,

,/AB=a,AB=AC,

:.PH=-a.

2

9.如图，“IBC中，AB=ACfAD是3c边上的中线，以AB为边向外作等边,

CE与AD交于点F.

⑴求证：ADJ.BC；

(2)若NB4c=20。，求NDCF的度数；

⑶在(2)的条件下，若DF=1,求EF-AF的值.

【答案】(1)证明见解析；

(2)30°；

(3)2.

【分析】(1)根据等腰三角形三线合一的性质即可求证；

(2)先由N54c=20。，旗=4。求出48=80。，再根据△AEC是等腰三角形即可求

出ZACE=50。即可求出NDCF；

(3)在所上取一点G,使得FG=AF,即可得出是等边三角形，易证

^AEG^AACF,EG=CF,则EF-AF=EF-GF=EG=CF,由(2)知ZDCF=30。，

CF=2Db=2即可解答；

本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，含

30。的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

【详解】⑴回AB=AC,AD是BC边上的中线，

BADJ.BC-,

(2)5iAB=AC,NB4c=20°,

0ZACB=80°,

回AABE1是等边三角形，

EIZE4B=60o,AE=AB^AC,

EZEAC=60°+20°=80°,

0ZACE=5O°,

0NDCF=ZACB-ZACE=80°一50°=30°；

(3)在即上取一点G,使得尸G=AF,

0ZZ)CF=3OO,ADIBC,

^\ZAFE=ZCFD=60°.

团AAGb是等边三角形，

0AF=AG,ZGAF=60°,

团NE4G=NC4F=10。，

团AE=AC,

回^AEG^ACF(SAS),

国EG=CF,

0ZDCF=30°,ZFDC=90°,

0CF=2DF=2,

^EF-AF=EF-GF=EG=CF=2.

10.如图，在等边△ABC中，点。、点石分别在5C、AC上，且BD=CE,连接A。、

应;相交于点F.

⑴求NAFE的度数；

⑵连接此，若NAFC=90。，BF=3,求AF的长.

【答案】⑴NAFE=60。

(2)AF=6

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质：等边三角

形的三个内角都相等，且都等于60。；三条边相等.

(1)因为AABC为等边三角形，所以NABD=NBCE=60。，AB=AC=BC,又

BD=CE,所以用“SAS〃可判定△ABZ法/CE,根据全等三角形的性质得出

ZBAD=ZCBE,利用三角形外角性质解答即可；

(2)利用等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质进而解答即可.

【详解】(1)♦:△ABC为等边三角形，

,.AB=AC=BC,ZABD=/BCE=60。,

在△ABD和△BCE中，

AB=BC

<ZABD=/BCE=60°,

BD=CE

「.△ABD也△6C£(SAS)；

.•.NBAD=NCBE,

•・•ZADC=Z.CBE+Z.BFD=ZBAD+ZB,

:.ZBFD=ZB=ZAFE=60。；

(2)延长班至H,使FH=AF,连接AH、CH,

由(1)知NAFE=60。，NBAD=NCBE,

:.^AFH是等边三角形，

.•.NE4H=60。，AF=AH,

:.ZBAC=ZFAH=60°,

:.ZBAC-ZCAD=ZFAH-ZCAD,

即NBAF=NC4H,

在△功小尸和△C47/中，

・・・AB=AC,ZBAF=ZCAH,AF=AH,

/.△BAF^AG4H(SAS),

:.ZABF=ZACHfCH=BF=3；

又・.•ZABC=NBAC,ZBAD=ZCBE,

.ZABC—NCBE=ZBAC—ZBAD,

即NABb=NC4F,

:.ZACH=Z.CAF,

.-.AF//CH,

vZAFC=90°,ZAFE=60°,

:.CF±CH,NCFH=30。,

：.FH=2CH=6f

.\AF=FH=6f

即AF的长为6

考向三直角三角形与勾股定理

1.在直角三角形中，30。的角所对的直角边等于斜边的一半，这个性质常常用于计算三角形

的边长，也是证明一边（30。角所对的直角边）等于另一边（斜边）的一半的重要依据.当

题目中已知的条件或结论倾向于该性质时，我们可运用转化思想，将线段或角转化，构造直

角三角形，从而将陌生的问题转化为熟悉的问题.

2.应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆。2+按=/时，斜边只能是C.若b

为斜边，则关系式是。2+02=62；若a为斜边，则关系式是炉+02口2.

3.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、

一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解.

典例引领

1.如图，25米长的梯子A3,斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足5到墙底端C的距离为

7米，若梯子的顶端沿墙下滑4米，那么梯足将向左移（）

A.4米B.6米C.8米D.10米

【答案】C

【分析】本题考查的是勾股定理的应用；在直角AABCC中，已知AB,BC根据勾股定理即

可求AC的长度，根据ACuM+a,即可求得CA]的长度，在直角中，已知

A4=AB,CA即可求得C4的长度，根据B4=C4-CB,即可求得8月的长度.

【详解】解：在直角中，己知AB=25米，BC=1米,

则由勾股定理得4。=后方=24（米）.

^\AC=AA[+4,

0C4=24-4=20（米）.

团在直角AA4c中，A4=AB,且A4为斜边，

回由勾股定理得CBi=,252-2（）2=15（米），

回2片=CB]-CB=15-7=8（米）,

故选：C.

二、填空题

2.如图，“1BC中，ZB=ZC=75°,BC=2,尸、。分别是A3、AC边上的两个动

点，满足ZBPQ=75。，求线段依的取值范围.

【分析】本题考查等腰直角三角形，含30。角的直角三角形及等腰三角形的知识.欲求PB

的取值范围即要找到最小值和最大值时点尸的位置，最小值即点。与点C重合时，最大即

点尸在A处，关键还要作辅助线构造直角三角形，具体见详解.

【详解】解：如图，当。与C重合时，PB的值最小，过点尸作尸于H,

•••ZB=ZACB=75°

ZA=180°-75°-75°=30°

•••ZCPB=15°,AC^AB

：.NCPB=NB

..CP=CB=2

NCPB=ZA+ZACP

ZACP=45°

•••PHIAC

..NPHC=ZAHP=90°

•••PH=CH=y/2

:.PA=2PH=2叵,AH=-J3PH=y/6

AC=AB=娓+五

PB=A/6+A/2-2V2=A/6-A/2

娓-屈<PB<娓+日

故答案为：A/6-V2<PB<V6+A/2.

3.如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A,

B,C的面积依次为6,10,7,则正方形。的面积为.

【答案】23

【分析】本题考查的是勾股定理，根据勾股定理可得正方形A、B的面积之和等于正方形E

的面积，正方形C、E的面积之和等于正方形。的面积，即可得到结果.

由题意得，正方形E的面积为6+10=16,

则正方形。的面积16+7=23.

故答案为：23.

4.等腰三角形的腰长10cm,高是8cm,则这个三角形的底边cm.

【答案】12

【分析】本题考查等腰三角形的底长问题，勾股定理，掌握等腰三角形的两腰相等的性

质，同时注意三线合一.根据勾股定理求出3。，再根据勾股定理三线合一求出结果即

可.

【详解】解：根据题意可得：AB=AC=10cm,AD1BC,AD=8cm,

根据勾股定理得：BD=y/AB2-AD2=A/102-82=6(cm),

BAB=AC,ADIBC,

0BC=2BD=12cm,

即这个三角形的底边长为12cm.

5.如图，在RtaABC中，ZACB=90°,AB=10厘米，AC=6厘米，点。从点5出发，

以1厘米/秒的速度在射线BC上匀速运动，当△油£＞为等腰三角形时，点。运动的时间为

秒.

【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质.分AD=BD,AB=BD,AB=AD三种

情况讨论求解即可.

【详解】解：由NACB=90。，AB=10厘米，AC=6厘米，

由勾股定理，可得3C=JAB2_AC2=8(厘米).

设点。运动时间/秒.

①当AD=30时，r=62+（8-/）2,解得"1；

②当时，r=10；

③当AB=AD时，7=2x8=16.

综上所述，点。运动—25秒或10秒或16秒时，△ABD为等腰三角形.

4

故答案为：子25或10或16.

4

6.如图，403=45。，点P是/AO5内的定点且。尸=1,若点M、N分别是射线。4、

。8上异于点。的动点，则APMN周长的最小值是.

【答案】g

【分析】本题考查了轴对称的性质，勾股定理；

作点尸关于。4的对称点凡关于。8的对称点E,连接E尸交Q4,OB于点N,连接

PM,PN,求出APMN的周长=R0+EN+MN2EF,再根据轴对称的性质得出

ZEOF=90°,OF=OP=OE