2025年中考数学教材考点复习：二次函数的面积问题（二阶）（学生版+教师版）

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

二次函数的面积问题(二阶)学生版

考法探究突破

考法一表示三角形面积

平面直角坐标系中的面积问题，方法见提分微专题2.

考法二表示四边形面积

1.求四边形面积，通常利用割补法将四边形转化为几个三角形面积的

和.

2.当四边形的两边在坐标轴上，常见的求面积的方法有：

(1)如图1,连接0尸，S四边形OCP~\~SkOBP；

(2)如图2,连接BC,过点尸作x轴的垂线交于点。,S四边形05PC

=S&OBC~\~SABCP=S&OBC+SACPD~\~S&BPD,

题型分类•过关,

类型一面积求值

1.(2023历下三模节选)如图1,抛物线C：y=%2+"+c过A(6,

0),B(0,-3)两点，将抛物线。绕点O旋转180°,得到新的

抛物线C,抛物线。交入轴的负半轴于点。，作直线3D

(1)求抛物线。的表达式和点。的坐标；

(2)如图2,过点O作EE〃BD,交抛物线。于点E和尸，交抛物

线。于点？和一,求尸5的面积.

类型二面积平分

2.（2024天桥二模节选）已知抛物线G：y=—%2一m；+6M交工轴

于点4,B,交y轴于点C

TTV

（1）如图，当点4坐标为（一3,0）时，求抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下，点。是第二象限内抛物线上的一点，连接

BD,若5。将四边形平分成面积相等的两部分，求点。的横

坐标.

类型三面积最值

3.(2024长清一模节选)如图，直线尸一权+3交y轴于点A,交％

轴于点C,抛物线y=—9+〃%+c经过点A,点C,且交工轴于另一

点B.

(1)求抛物线的表达式;

(2)在直线AC上方的抛物线上有一点求四边形A5cM面积的

最大值及此时点M的坐标.

类型四面积比值定值

4.(2023长清东片区一模节选)已知抛物线>=以2+加;+3经过点A

(1,0)和点8(-3,0),与y轴交于点。，点P为第二象限内抛

物线上动点.

(1)抛物线的表达式为y=—%2—2%+3=—(％+1)2+4,抛物

线的顶点坐标为(一1,4)；

(2)如图1,是否存在点P,使四边形50C尸的面积为8?若存在，

请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,连接OP交于点Q,当:SABPD=1:2时，请

求出点。的坐标.

类型五面积比值最值

5.(2024章丘二模节选)抛物线y=a%2+2%+c与％轴交于A(—1,

0),5两点，与y轴交于点。(0,3).

(1)求抛物线的表达式.

(2)点尸为第一象限抛物线上的一点，连接0尸，交5。于点。，连

接CP,求^CPQ与4OCQ面积的比值的最大值.

达标演练检测

1.(2023历城一模)抛物线,=依2+匕%+3过点A(―1,0),点8

(3,0),顶点为C,与y轴相交于点D.点尸是该抛物线上一动点,

设点尸的横坐标为机(0<m<3).

(1)求抛物线的表达式及点。的坐标；

(2)如图，连接瓦)，PB,PD,若△P8。的面积为3,求小的值.

2.(2023历下九校联考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a%2

+bx~A(QWO)与次轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交

于点C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)直线/为该抛物线的对称轴，点。与点。关于直线/对称，点

厂为直线下方抛物线上一动点，连接E4,FD,求△E4O面积的

最大值.

3.如图，二次函数yuV+Zur+c的图象与％轴交于A,5两点，与y

轴交于点C,其中5(1,0),C(0,3).

(1)求二次函数的表达式；

(2)在二次函数图象上是否存在点尸，使得S"AC=&ABC?若存在,

请求出点尸坐标；若不存在，请说明理由.

2025年山东济南中考数学一轮复习教材考点复习

二次函数的面积问题(二阶)教师版

考法探究突破

考法一表示三角形面积

平面直角坐标系中的面积问题，方法见提分微专题2.

考法二表示四边形面积

1.求四边形面积，通常利用割补法将四边形转化为几个三角形面积的

和.

2.当四边形的两边在坐标轴上，常见的求面积的方法有：

(1)如图1,连接0尸，S四边形OCP~\~SkOBP；

(2)如图2,连接BC,过点尸作x轴的垂线交于点。,S四边形05PC

=S&OBC~\~SABCP=S&OBC+SACPD~\~S&BPD,

题型分类•过关,

类型一面积求值

1.(2023历下三模节选)如图1,抛物线C：y=%2+"+c过A(6,

0),B(0,-3)两点，将抛物线。绕点O旋转180°,得到新的

抛物线C,抛物线。交入轴的负半轴于点。，作直线3D

(1)求抛物线。的表达式和点。的坐标；

(2)如图2,过点O作EE〃BD,交抛物线。于点E和尸，交抛物

线。于点？和一,求尸5的面积.

解：（1）二•抛物线丁=42+法+。经过4和两

-4(6,0)5(0,-3)

-f9+6b+c=0,（b=一1,

点，解得，

、c=13,、c=13,

・•・抛物线。的表达式为y=%2—x—3.

•••抛物线。绕点。旋转180。，得到新的抛物线C,

..•点A与点。关于原点对称，.•.点。的坐标是（一6,0）.

（2）设直线BD的表达式为y=H+”.

将5(0,—3),0(—6,0)分别代入得

-3=n,Egk=1L,i

斛得

、0=—6k~\~n,

'.'EE7/BD,直线即的表达式为尸一%.

y-x2—x—3,

4=

联立1解得Xl=l+V13,%21—V13・=%?=1+

—?

y2

V13,XF,=1—y[13.

\.抛物线。绕点。旋转180°,得到新的抛物线C,

'.XE=-1—V13>5AEF'B=S&EOB-S&F'OB=|OJ?-QXF，一XE)

iX3X（1-VT3+1+V13）=3.

类型二面积平分

2.（2024天桥二模节选）已知抛物线。1：y=一/―小+6相交工轴

于点A,B,交y轴于点C

AO\

II

(1)如图，当点A坐标为(一3,0)时，求抛物线的表达式；

(2)在(1)的条件下，点。是第二象限内抛物线上的一点，连接

BD,若50将四边形平分成面积相等的两部分，求点。的横

坐标.

解：(1)将A(—3,0)代入y=一必一7nx+6加中，得-9+3加+

6m—0,解得m=1,.'.y=—x2—%+6.

(2)设。(a,一屋一。+6),y轴与直线BD交于点石，

当y=0时，0=­/—4+6,

解得％=—3(舍去)，x—2,

：.B(2,0).

设直线BD的表达式为y=kx-\-b,

,(2k+b=0,

(fca+b=—a2~a+6,

解得尸一(。+3),

力=2a+6,

・•・直线8D的表达式为y=—(a+3)x~\~2a~\~6.

令％=0得，y=2a+6,：.E(0,2a+6),

CE=6-2a—6=-2a.

-i-1

=2

***5ABCD5AABD9/.-X(一2a)X(2—a)=-X5X(一a—a+6),

:.ct=2或a=——・

丁。是第二象限内抛物线上的一点，，。=2(舍去)，，点。的横

坐标是一，.

类型三面积最值

3.(2024长清一模节选)如图，直线y=—%+3交y轴于点A,交工

轴于点C,抛物线yu—k+fot+c经过点A,点C,且交工轴于另一

点B.

(1)求抛物线的表达式;

(2)在直线AC上方的抛物线上有一点V,求四边形A5cM面积的

最大值及此时点M的坐标.

解：(1)令X=0,得丁=一］XO+3=3,AA(0,3),令y=0,得

y=—|x+3=0,解得，x=6,.,.C(6,0),把A,。两点代入产

c=3,5=1

2

--x+Z?x+c得,1解得•••抛物线的

4--X36+6&+3=0,。=3

4

表达式为y=—"+%+3.

(2)连接OM,如图,

设M^x,—1%2+x+3),

令y=0,得y=—%2+%+3=0,解得％=—2,或％=6,

：.B(—2,0).

贝I1S四边形ABo+SAAO"+SAOCM

=-X3X2+-X3x+-X6xf-i%2+%+3)

222\4J

=--x2+-x+12=--(%—3)2+—.

4244

•••—：＜0,.•.当％=—/=3时，四边形A5CM的面积最大，其最大

42a

值为,，此时一%2+x+3=f,...止匕时点M的坐标为(3,Y)-

类型四面积比值定值

4.(2023长清东片区一模节选)已知抛物线y=Qf+fct+3经过点A

(1,0)和点5(-3,0),与y轴交于点。，点尸为第二象限内抛

物线上动点.

(1)抛物线的表达式为y=—2%+3=—(%+1)2+4,抛物

线的顶点坐标为(一1,4)；

(2)如图1,是否存在点P,使四边形50C0的面积为8?若存在，

请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)如图2,连接OP交5。于点。，当SACPD:SABPD=1：2时，请

求出点。的坐标.

解：(2)不存在，理由：如图，连接5C,过点尸作y轴的平行线交

5C于点”.令二次函数X=0,解得y=3,(0,3).设直线

’3=5

的表达式为y="+b,把C(0,3),5(—3,0)代入得

、0=-3/c+b,

解得｛,3：・.•直线3c的表达式为尸叶3.

设点尸(工,—x1—2%+3),点、H(%,%+3),则S四边形BOCP=S八OBC

+SAPSC=|X3X3+|(-^-2X+3-X-3)X3=8,整理，得3_?

+9x+7=0,A<0,故方程无解，则不存在满足条件的点P.

(3)，：OB=OC,：.ZCBO=45°,：.BC=JBO2+CO2=

3V2.VSACPD:SxBPD=1：2,：.BD=-BC=-X3y[2=242,：.y=

33,D

BDsinZCBO=2V2X^=2,代入直线5。得2=%+3,解得％=—1,

：.D(-1,2).

类型五面积比值最值

5.(2024章丘二模节选)抛物线y=aX2+2x+c与X轴交于A(—1,

0),5两点，与y轴交于点。(0,3).

(1)求抛物线的表达式.

(2)点尸为第一象限抛物线上的一点，连接0尸，交5。于点。,连

接CP,求^CPQ与AOCQ面积的比值的最大值.

解：(1)\,抛物线y=a%2+2%+c与x轴交于A(―1,0),5两点，

与y轴交于点C(0,3),

a-2+c=0,

...把A(—1,0)，C(0,3)代入y=a%2+2%+c,得，

、c=3,

(n=—1

解得’.••抛物线的表达式为y=—%2+2%+3.

、c=3,

(2)如图，过点尸作尸交于点。,

Q

/)f\

,抛物线的表达式为yu—f+Zx+B,与x轴交于A(—1,0)、B

两点，，令y=0,则一%2+2%+3=0,解得％i=—1(为点A横坐标)，

X2=3,：.B(3,0),OB=3,设直线5。的表达式为丁=履+。，把

QZz—I-h—Q'k-1

解得’

{b=3,(5=3,

直线BC的表达式为y=—%+3...•点P为第一象限抛物线上的一点,

29

，设点尸(根，-m+2m+3)(0<m<3).：PD//OB9交5C于点

D,•*yD=yp=-m2+2m+3?•・不巴>=-m2+2m+3代入y=—x+3,

得—x+3=一根？+2根+3,整理，得工=加2-2m?•\xo=m2—2m,；・PD

=xp—XD=m—(m2—2m)=—苏+3zn.丁△CPQ的边P。上的高与

△OC0的边0。上的高相同，.-.£-^=££,-PD//OB,ZPDQ=

SQOCQ°Q

ZOBQ,ZDPQ=ZBOQ,：.^PDQ^/\OBQ,•嚼=*=一.13nl

—"+加,；•寰=一刎+加,；.当加

。尸。与△OC。面积的比值

达标演练检测

1.(2023历城一模)抛物线丁=以2+"+3过点A(-1,0),点B

(3,0),顶点为。，与y轴相交于点D.点尸是该抛物线上一动点,

设点尸的横坐标为机(0<m<3).

(1)求抛物线的表达式及点。的坐标；

(2)如图，连接5。，PB,PD,若△尸瓦)的面积为3,求加的值.

解：(1)将点A(-1,0),点5(3,0)代入丁=依2+旅+3,得

a~b+3=0,(a=—1,

解得

、9a+3b+3=0,{,b=2,

抛物线的表达式为＞=—•?+2x+3.

=

y—X2+2%+3=—(x—1)2+4,J顶点。(1,4).

(2)设直线的表达式为y=H+A.

b=3

•.•点O(0,3),点5(3,0),代入表达式，得

、3k+b=0,

(k=—1

解得直线BD表达式为y=-x+3.过点尸作尸。〃y轴

、b=3,

交BD于点。，设点尸(m,—m2+2m+3),点。(加，—m+3),

1

PBD=~XPQXOB

-1

=-X3(——3)

2

=1△PBD的面积为3,12

22-2m~\-2-m=3,m\=l,

根2=2.

2.(2023历下九校联考)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a%2

+法一4(aWO)与龙轴交于点A(-1,0),B(4,0),与y轴交

于点C.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)直线/为该抛物线的对称轴，点。与点。关于直线/对称，点

厂为直线AD下方抛物线上一动点，连接E4,FD,求AFA。面积的

最大值.

解：(1)将A(-1,0),B(4,0)代入丁=加+法一4,得

(a—b—4=0,

\••y—AJ人r・

116a+4b—4=0,lb=13,

(2)当％=0时，丁=一4,.,.点。(0,-4),

二•点。与点C关于直线/对称，且对称轴为直线％=|，

：.D(3,-4).

VA(-1,0),.••直线AZ)的函数关系式为y=一%—1.

设方(m,m2—3m—4),

作FH//y轴交直线AD于点H,

:・H(m,—m—1)，

/.FH=-m—1—(m2—3m-4)=-m2+2m+3,

1c

SAAFD=SAAFH+SAFHX4=2(—m2+2m+3)=—2m2+

4m+6=—2(m—1)2+8,当机=1时，SAAFD最大为8.

3.如图，二次函数丁=_?+法+。的图象与％轴交于4,5两点，与y

轴交于点C,其中5(1,0),C(0,3).

(1)求二次函数的表达式；

(2)在二次函数图象上是否存在点尸，使得SV=&ABC?若存在,

请求出点尸坐标；若不存在，请说明理由.

1A—I—r*=Q

解:⑴将点5—(03代入『入+c得-

解得f=一%

、c=3,

•••抛物线表达式为y=/—4x+3.

(2)\'y=x2—4x+3=(%—2)1,顶点坐标为(2,—1).

当y=0时，%2—4x+3=0,解得％i=l,%2=3,

AA(3,0),则OA=3.

VC(0,3),则OC=3,...△