2025年中考数学复习：一元二次方程（考点解析+试题讲义）（原卷版）

第二章方程（组）与不等式（组）

第2讲一元二次方程

N。考向解读

❹专题精练

第2讲一元二次方程

一❶考点精析一

一❷真题精讲一

考向-----元二次方程的解

考向二解一元二次方程

考向三一元二次方程根的判别式

考向四含参问题

考向五根与系数关系

考向六一元二次方程在实际问题中的应用

第2讲一元二次方程

本考点内容以考查一元二次方程的相关概念、解一元二次方程、根的判别式、韦达定理（根

与系数的关系）、一元二次方程的应用题为主,既有单独考查,也有和二次函数结合考察最值

问题,年年考查,分值为20分左右,预计2024年各地中考还将继续考查上述的几个题型,为避

免丢分,学生应扎实掌握.

一❶考点精析一

一'一元二次方程的概念

1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二

次方程.

2.一般形式：ax2+bx+c=0（其中。，“。为常数，awO）,其中"2/x,c分别叫做二

次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数.

注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意aw0,因为当a=0时，不含有二次项，

即不是一元二次方程；（2）一元二次方程必须具备三个条件：①必须是整式方程；②必须

只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2.

二、一元二次方程的解法

1.直接开平方法：适合于（》±。）2=/?（。20）或（办±6）2=3±1）2形式的方程.

2.配方法：（1）化二次项系数为1;（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右

边为常数项；

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；（4）把方程整理成（x±a）2=b（b>0）的

形式；

（5）运用直接开平方法解方程.

3.公式法：（1）把方程化为一般形式，即办2+桁+°=0；（2）确定见“C的值；（3）

求出4ac的值；（4）将凡“c的值代入X=一&♦—4竺即可.

2a

4.因式分解法：基本思想是把方程化成（QX+力3+d）=0的形式，可得QX+b=O或

cx+d=0.

三'一元二次方程根的判别式及根与系数关系

1.根的判别式：一元二次方程办2+陵+。=0(。70)是否有实数根，由〃-4ac的符号来

确定，我们把〃—4四叫做一元二次方程根的判别式.

2.一元二次方程根的情况与判别式的关系

(1)当4ac〉0时，方程"2+及+。=0(。/0)有两个不相等的实数根；

(2)当4ac=0时，方程"2+乐+C=03/0)有1个(两个相等的)实数根；

(3)当/-4ac<0时，方程ax?+bx+c=0(aw0)没有实数根.

3.根与系数关系：对于一元二次方程办2+法+°=0(其中a,"c为常数，。/0),设

bc

其两根分别为苞，X,则可+々=一一，X[X=—.

2a2-a

四、利用一元二次方程解决实际问题

列一元二次方程解应用题步骤和列一元一次方程(组)解应用题步骤一样，即审、设、歹h解、

验、答六步.列一元二次方程解应用题，经济类和面积类问题是常考内容.

1.增长率等量关系

(1)增长率=增长量-基础量.(2)设a为原来量，加为平均增长率，〃为增长次数，b为

增长后的量，则a(l+M"=b；当加为平均下降率时，则有a(l-加)"=b.

2.利润等量关系：(1)利润=售价一成本.(2)利润率=雾*100%.

成本

3.面积问题

(1)类型L如图1所示的矩形/BCD长为。，宽为b,空白“回形”道路的宽为x,则

阴影部分的面积为(«-2x)3-2%).

(2)类型2：如图2所示的矩形45CD长为a,宽为6,阴影道路的宽为x,则空白部分

的面积为(a—x)(b-x).

(3)类型3:如图3所示的矩形/BCD长为a,宽为b,阴影道路的宽为X,则4块空白

部分的面积之和可转化为(«-X)(b-X).

4.碰面问题(循环问题)

(1)重叠类型(双循环)："支球队互相之间都要打一场比赛，总共比赛场次为m。

「I支球队要和剩下的(n-1)支球队比赛，支球队需要比(n-1)场

・•・存在"支这样的球队，，比赛场次为：n(n-1)场

.:A与B比赛和B与A比赛是同一场比赛，..・上述求法有重叠部分.

-'-m=-n61—1?

2

(2)不重叠类型(单循环)：n支球队，每支球队要在主场与所有球队各打一场，总共比赛

场次为mo

「I支球队要和剩下的(n-1)支球队比赛，・・・1支球队需要比(n-1)场

・「存在"支这样的球队，，比赛场次为：n(n-1)场.

・・乂与8比赛在人的主场，B与八比赛在8的主场，不是同一场比赛，..・上述求法无重叠.

.,.m=n6i—1)

一❷真题精讲一

考向-----元二次方程的解

紧扣一元二次方程的概念，方程的解直接代入方程中，等式成立，化简变形求解。

1.(2020•甘肃金昌•中考真题)已知％二1是一元二次方程(加一2)/+4%-加2=。的一

个根，则加的值为()

A.T或2B.-1C.2D.0

考向二解一元二次方程

一元二次方程的常见解法及适用情形:

一般形式：ax1+&r+c=0(Qw0)

形如（x+加）2=n（n>0）的方程，可直接开方求解，则再=一加+6,

直接开平

方法M=-m-

因式分解可化为a（x+冽）（％+〃）=0的方程，用因式分解法求解，贝！J演=—m,

法再=-n

若不易于使用分解因式法求解，可考虑配方为a（x+/z）2=左，再直接开方

配方法

求解

公式法利用求根公式：x=一""（/=/-4ac>0）

2a

2.（2023秋•辽宁沈阳•九年级统考期末）解方程：X2-3X+2=0.

3.（2020•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）解方程：5x+6=0

4.（2020•山东聊城•中考真题）用配方法解一元二次方程2必—3x-1=0,配方正确的

5.（2020•四川乐山•中考真题）已知ywO,且3町—4产=0.则I的值是.

考向三一元二次方程根的判别式

对于方程。/+6%+。=0（4/0）,A=b2-4ac,①若/>0,方程有两个不相等的实数

根；②若4=0,方程有两个相等的实数根；③若/<0,方程没有实数根.

6.（2023・四川泸州・统考中考真题）关于x的一元二次方程*+2"+/_1=0的根的情况是

（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.实数根的个数与实数。的取值有关

7.（2023•浙江杭州•统考中考真题）设一元二次方程X2+6X+C=0.在下面的四组条件中选

择其中：组上c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程.

①b=2,c=l；②6=3,c=l；@b=3,c=-l；④b=2,c=2.

注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分.

考向四含参问题

8.（2023・四川眉山・统考中考真题）关于x的一元二次方程/-2x+优-2=0有两个不相等

的实数根，则m的取值范围是（）

3

A.^<-B.m>3C.m<3D.m<3

2

9.（2023•山东聊城•统考中考真题）若一元二次方程//+2x+l=0有实数解，则加的取值

范围是（）

A.m>-1B.m£1C.冽»一1且加D.加£1且加

10.（2023•山东枣庄•统考中考真题）若x=3是关x的方程依2_乐=6的解，则2023-6。+26

的值为.

11.（2023・湖北荆州•统考中考真题）已知关于x的一元二次方程发一。左+4）x+»6=0有

两个不相等的实数根.

⑴求上的取值范围；

（2）当％=1时，用配方港解方程.

12.（2020•四川南充•中考真题）已知占，%是一元二次方程_2x+左+2=0的两

个实数根.

11,C

（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k,使得等式一+一=左-2成立？如果存在，

国x2

请求出k的值，如果不存在，请说明理由.

考向五根与系数关系

bc

设一元二次方程a*+区+。=0（a。0）的两根分别为西，则、1+、2=——，玉%2二一・

一aa

13.（2023・四川乐山・统考中考真题）若关于'的一元二次方程――8x+冽=0两根为4x2,

且玉=3X2,则m的值为（）

A.4B.8C.12D.16

14.（2020•河南中考真题）定义运算：加☆〃=加〃2—加〃—1.例如

:4^2=4X22-4X2-1=7.则方程=0的根的情况为（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.只有一个实数根

15.（2023・天津•统考中考真题）若不凡是方程/-6x-7=0的两个根，则（）

7

再+%2=6%1,x=—

A.B.xx+x2=-6C.2D.x^x2=7

16.（2023・湖北宜昌•统考中考真题）已知为、巧是方程2f-3x+l=0的两根，则代数式

芭十12

的值为_________

1+x1x2

17.（2023・湖北•统考中考真题）已知关于x的一元二次方程x?-（2加+l）x+"，+〃7=o.

（1）求证：无论加取何值时，方程都有两个不相等的实数根；

（2）设该方程的两个实数根为。，b,若（20+6）伍+26）=20,求加的值.

考向六一元二次方程在实际问题中的应用

列一元二次方程解实际问题的关键是找出题中的等量关系，利用等量关系列出方程.其中分

析实际问题是解决问题的前提和基础，解一元二次方程是重要方法和手段，并注意解出的方

程的解是否符合实际问题.

18.（2023・广西•统考中考真题）据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公

报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020

年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x,依题意可列方程为（）

A.3.2（1-x）2=3.7B.3.2（1+x）2=3.7

C.3.7（1-%）2=3.2D.3.7（1+x）2=3.2

19.（2023•黑龙江•统考中考真题）如图，在长为100m,宽为50m的矩形空地上修筑四条宽

度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600m,则小路的宽是（）

A.5mB.70mC.5m或70mD.10m

20.（2020•辽宁大连•中考真题）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》

中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.意

思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，间宽和长各几步.若设长为x步，则可列方

程为.

21.（2023・重庆・统考中考真题）某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1501个，并按计

划逐月增长，预计八月份将提供岗位1815个.设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均

增长率为x,根据题意，可列方程为.

22.（2023・辽宁大连•统考中考真题）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分

资金用于购买书籍.已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元