2025年新高考数学一轮复习：离散型随机变量及其分布列、数字特征【七大题型】解析版

离散型随机变量及其分布列、数字特征【七大题型】

►热点题型归纳

【题型1离散型随机变量的判断】..............................................................3

【题型2分布列的性质】.......................................................................5

【题型3分布列的求法】.......................................................................7

【题型4离散型随机变量的均值】..............................................................11

【题型5离散型随机变量的方差】..............................................................14

【题型6均值与方差中的决策问题】...........................................................17

【题型7离散型随机变量与其他知识综合】.....................................................22

►考情分析

1、离散型随机变量及其分布列、数字特征

考点要求真题统计考情分析

2023年新高考I卷：第21题，

12分

从近几年的高考情况来看，本节是

2023年全国甲卷（理数）：

⑴理解取有限个值的离高考的重点、热点内容，主要考查离散

第19题，12分

散型随机变量及其分布列型随机变量的分布列、期望与方差等，

2023年北京卷：第18题，13

的概念主要以解答题的形式考查，有时会与概

分

⑵理解并会求离散型随率、统计、独立性检验等结合考查，难

2024年新高考II卷:第18题，

机变量的数字特征度中等，复习时需要加强这方面的练习，

17分

灵活求解.

2024年北京卷：第18题,13

分

►知识梳理

【知识点1离散型随机变量及其分布列】

1.随机变量与离散型随机变量

⑴随机变量

①定义：一般地，对于随机试验样本空间。中的每个样本点都有唯一的实数X（。）与之对应，我们

称X为随机变量^

②表示：通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值.

2.离散型随机变量的分布列

(1)定义

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为七,XV…，％,我们称X取每一个值%的概率P©%)=

Pi，z-L2,…，”为X的概率分布列，简称分布列.

(2)分布列的表格表示

X修

PP\P2Pn

分布列也可以用等式形式表示为P(X=Xi)=Pi,i=\,2,…，n,还可以用图形表示.

⑶离散型随机变量分布列具有的两个性质

①pt^0,z=l,2,…，n；

@p,+p2+---+p„=l.

3.离散型随机变量分布列的性质的应用

⑴利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.

4.离散型随机变量分布列的求解步骤

第一步，明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义；

第二步，求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率；

第三步，画表格：按规范要求形式写出分布列；

第四步，做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确.

【知识点2离散型随机变量的数字特征】

1.离散型随机变量的均值

⑴定义

一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示:

X工2

PP\P2Pn

则称E(X)=XlPl+x2p2+-+XiPi+-+xn”,为离散型随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称

期望，它反映了随机变量取值的平均水平

⑵对均值(期望)的理解

求离散型随机变量的期望应注意

①期望是算术平均值概念的推广是概率意义下的平均

②E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E⑶是

不变的，它描述X取值的平均状态

③均值与随机变量有相同的单位.

2.离散型随机变量的方差、标准差

(1)定义

设离散型随机变量X的分布列为

XX1%2Xi

PPiP2PiPn

则称。(田=(西一E(X)y一E(X))2n+…+(x“一E(X))2—E(X))2“为随机变量X

的方差，并称，。(方)为随机变量X的标准差，记为＜7(X).

(2)意义

随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程

度.方差或标准差越小，随机变量的取值越集中，方差或标准差越大，随机变量的取值越分散.

3.均值与方差的性质

(1)均值的性质

若离散型随机变量X的均值为£(X),Y=aX+b,其中a,6为常数，则丫也是一个离散型随机变量，且

E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b.

特别地，当a=0时,E(b)=b；

当a=\时，E(X+b)=E(X)+b；

当6=0时，E(aX)=aE(X).

(2)方差的有关性质

当a,6均为常数时，随机变量Y=aX+b的方差D(Y)=D(aX+b)=a2D(X).

特别地，当a=0时,D(b)=0；当a=\时,D(X+b)=D(X)；

当6=0时，D(aX)=a2D(X).

4.求离散型随机变量。的均值与方差的步骤

(1)理解。的意义，写出。可能的全部值.

(2)求。取每个值的概率.

(3)写出忑的分布列.

(4)由均值的定义求£(今

(5)由方差的定义求。©.

【方法技巧与总结】

1.E(k)=k,D⑻=0,其中左为常数.

2.E(XI+X2)=E(XI)+E(X2).

3.。⑶=风相)-(E(X))2.

4.若X”必相互独立，则夙石氏尸夙乂)•E(%).

►举一反三

【题型1离散型随机变量的判断】

【例1】(23-24高二下•重庆・期中)下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是()

①某食堂在中午半小时内进的人数Zi；②某元件的测量误差Z2；

③小明在一天中浏览网页的时间Z3;④高一2班参加运动会的人数Z4;

A.①②B,③④C,①③D.①④

【解题思路】根据给定条件，利用离散型随机变量的定义分析各命题，再判断作答.

【解答过程】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数Zi可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对

于②，某元件的测量误差Z2不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；

对于③，小明在一天中浏览网页的时间Z3不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2

班参加运动会的人数Z4可以一一列举出来，故④是离散型随机变量；

故选：D.

【变式1-1](23-24高二下•江苏•课前预习)下列随机变量是离散型随机变量的个数是()

①掷一颗骰子出现的点数；

②投篮一次的结果；

③某同学在12：00至12：30到校的时间；

④从含有50件合格品、10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数.

A.1B.2

C.3D.4

【解题思路】根据离散型随机变量的定义逐个分析即可.

【解答过程】①中骰子出现的点数为1,2,3,4,5,6,可以一一列举出来.

②中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，

则也可以一一列举出来.

④中所取3件产品的合格品数可能为0,1,2,3,共4种情况，

可以一一列举出来.

③中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，

不能一一列举出来，因此③不是离散型随机变量，

故只有①②④满足.

故选：C.

【变式1-2]（23-24高二下•福建福州•期中）下列叙述中，是离散型随机变量的是（）

A.某电子元件的寿命

B.高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数

C.某人早晨在车站等出租车的时间

D.测量某零件的长度产生的测量误差

【解题思路】根据离散型随机变量的定义直接求解.

【解答过程】某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；

一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；

等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；

测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量.

故选：B.

【变式1-3]（23-24高二下•河南周口•期中）下面给出四个随机变量：

①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数f;

②一个沿x轴进行随机运动的质点，它在x轴上的位置5

③某派出所一天内接到的报警电话次数X；

④某同学上学路上离开家的距离「

其中是离散型随机变量的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【解题思路】根据离散型随机变量的定义判断即可.

【解答过程】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；

对于②，沿x轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；

对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；

对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机

变量，

所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③.

故选:B.

【题型2分布列的性质】

【例2】(23-24高二下•云南保山•阶段练习)随机变量f的分布列如下表所示，且2机+n=1.2,则m—n=

()

0123

P0.1mn0.1

A.-0.2B.0.4C.0.2D.0

【解题思路】根据分布列的性质即可求解.

【解答过程】由分布列的性质可得，0.1+m+ri+0.1=1,即m+n=0.8,=1.2,m=n=0.4,

■,-m—n=0,

故选：D.

【变式2-1](23-24高二下•重庆长寿•期末)设实数a>0,随机变量f的分布列是：

A.1B.—2C.—3D.—6

【解题思路】利用分布列中，概率之和为1求解.

【解答过程】解：因为1+5+(=1,

所以。=1,

故选：A.

【变式2-2](2024・安徽滁州•模拟预测)泊松分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家泊松

首次提出，泊松分布的概率分布列为P(X=k)=杳eT(k=0,l,2,-“)，其中e为自然对数的底数，4是泊松分

布的均值.已知某线路每个公交车站台的乘客候车相互独立，且每个站台候车人数X服从参数为4(4>0)的泊

松分布，若该线路某站台的候车人数为2和3的概率相等，则该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的

概率为()

1499

A•彘B./C.而D.最

【解题思路】根据候车人数为2和3的概率相等求出参数，再利用泊松分布的概率分布列即可得出答案.

【解答过程】由题意可知P(X=2)=P(X=3),即紧t=普e-“解得2=3,

所以P(X=k)=亲—也=0,1,2,-),

从而p(x=1)=*-3=2,

故该线路公交车两个站台各有1个乘客候车的概率为p=(I)2=

故选：D.

【变式2-31(23-24高二下•全国•期末)离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失,丢失数据以x,y{x,yGN)

代替，分布列如下：贝iJP(|<X</)=()

X=i123456

P(X=o0.210.200.10。.加0.10

A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65

【解题思路】根据概率之和为1得到方程组，求出*=2,y=4,得到答案.

【解答过程】由题意得l+0+5+0+y+0=10,解得y=4,

2+2+x+l+l+l=9,解得x=2,

故P(|<X<9=0.20+0.25=0.45.

故选：B.

【题型3分布列的求法】

【例3】(2024•湖北黄冈•二模)某校高三年级拟派出甲、乙、丙三人去参加校运动会100m跑项目.比赛分为

初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为;；乙在

第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为I和*丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为P和l—p,其中3

3

<P<4

(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；

(2)若甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为,，求P的值；

(3)在(2)的条件下，设进入决赛的人数为f,求f的分布列.

【解题思路】(1)利用相互独立事件的概率公式分别求出甲乙丙进入决赛的概率，再比较大小即可.

(2)利用互斥事件的加法公式及相互独立事件的概率公式，列式解方程即得.

(3)利用(2)的结论，求出f的可能值及对应的概率列出分布列.

【解答过程】⑴甲进入决赛的概率为P1=《Q)2=卷Q乙进入决赛的概率为P2=■7|><??=也1

丙进入决赛的概率为P3=p(1—p)=—3一|)2+是而，p<%则,<、3<|，

所以甲进入决赛的可能性最大.

(2)甲、乙、丙三人中恰有两人进入决赛的概率为

2一P(|—P)]+?(1—)P(|—P)+(1一金=H'

__1o2

整理可得18P2—27p+10=0,而5Vp<力所以P=£.

N4D

(3)依题意，甲、乙、丙进入决赛的概率分别为

随机变量f的可能取值有0,1,2,3,

、、、

C,oC)=-7x-1x-4=-7,P(^C2)=-29,P(f-c3)=-9x-1x-5=-5,

P(f=1)=2•(1"),(1一》+(1一得",(1一|)+(1-书・(1")[=

所以随机变量f的分布列为：

0123

711295

P

72327232

【变式3-1](2024•浙江•模拟预测)现有一抛硬币游戏机制：假设抛中正、反面可能性均为去若抛中的是

正面，则收益80%的手中金额；否则亏损50%的手中金额.甲同学按此规则进行多组模拟，抛硬币100次，发

现最终亏损的次数多于盈利的次数.假设初始金额为100元，记》为抛硬币次数，y为经历x次抛硬币后手中的

金额.

V八

100------------------------

----------------------1—I——I----------------------------->

0123x

(1)若久=2,求y的分布列；

(2)如图，横坐标表示x,纵坐标表示y,在图中描出所有可能取值对应的(%,y),并求出当x=0、1、2、3时

盈利的概率；

(3)综合(1)(2)数据，简要说明形成甲同学的实验现象的原因(直接写结论).

【解题思路】(1)根据条件知y的可能取值为25,90,324,再求出相应的概率，即可求出结果；

(2)通过取一些特殊值，即可得到部分图象，再根据条件，即可求出x=0、1、2、3时盈利的概率;

(3)根据题设条件，即可写出结果.

【解答过程】(1)易知y的可能取值为25,90,324,

P(y=25)=|X|=iP(y=90)=X|X|=I，

P(y=324)=jx1=p

所以y的分布列为

y2590324

111

p

424

(2)当x=0时，y=100,当尤=1时，丫=50或丫=180,

当x=2时，y的可能取值为25,90,324,…，所以图象如下图

h・

100------・-------------

方比一

易知P(x=0)=0,P(x=1)=I，P(x=2)=|x|=p=3)=|X|X|+C3X|X|X|=1.

(3)x越大，最终手中金额大于初始金额的概率会越小，则最终亏损的可能性越大，最后亏损的组数多于

盈利的组数，即甲同学实验现象(答案不唯一).

【变式3-2](2024•河南•二模)盒中装有大小相同的7个小球，其中2个黑球，3个红球，2个白球.规定:

取到1个黑球得0分，取到1个红球得1分，取到1个白球得2分.现一次性从盒中任取3个小球.

(1)求取出的3个小球中至少有2个红球的概率；

(2)用随机变量X表示取出的3个小球得分之和，求X的分布列.

【解题思路】(1)根据古典概型的概率公式可得N=35,即可利用超几何分布的概率公式求解；

(2)利用超几何分布的概率公式求解概率，即可得分布列.

【解答过程】（1）共有0=35种不同的取法，事件2表示取出3个小球中至少有2个红球，包含两种

◎+C禺_13_

P⑷G—35；

（2）随机变量X的可能取值为1,2,3,4,5,

P(X=D=噜M

P(X=2)=鎏浮8

,

L735

禺禺禺十/.

P(X=3)6—35?

P(X=4)=生泮8

,

L735

P(X=5)=譬

L<7

则随机变量X的分布列为:

X12345

381383

P

3535353535

【变式3-3］（2024•辽宁•一模）在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称

为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计

学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，

箱型图中，，箱体，，的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数,

已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.

（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）

（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？

（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中

来自乙班的人数为X,求X的分布列.

【解题思路】（1）根据甲乙两班成绩箱型图中的中位数，第三四分位数和第一四分位数的位置可以判断结

果；

(2)依题知这是条件概率问题，分别设出从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件4',“该同学分

数低于128分为事件B”，则需要求PQ4|B)和P0B),而这需要先求P(B|A)和P(B|Z),再根据全概率公式

求出P(B),最后用贝叶斯公式求解即得；

(3)先求出X的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每个值对应的概率，即得X的分布列.

【解答过程】(1)由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128,而乙班的第三四分位数使128,

同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高.

(2)由图可知，甲班中有［的学生分数低于128分；

乙班中有油学生分数低于128分

设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件4',“该同学分数低于128分为事件B”,

则PQ4)=5P(B\A)=l，P(B区)=|，

___11315

：•P(B)=PQ48)+P(丽=P(B\A)-+P(B\A)-=-x-+-x-=-

ZZ4Zo

11

P⑷3)=迪=铝"纳-2X2_2

一5一5

8

13

P(川p(砧)=p(z)p®z).2X4„3

1

1)P(B)P(B)~5-5

8

所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为:

(3)依题X的所有可能取值为0,1,2,3

P(X=0)=警=P(X=1)=警1

^106。102

P(X=2)=^=而，P(X=3)=常1

30

所以X的分布列为:

X0123

1131

p

62To30

【题型4离散型随机变量的均值】

【例4】(2024•全国•模拟预测)从1-20中随机抽取3个数，记随机变量f为这3个数中相邻数组(a,a+1)

的个数.如当这三个数为11,12,14时，f=l；当这三个数为7,8,9时，f=2.则E(f)的值为()

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

【解题思路】随机变量f的取值为0,1,2,结合变量对应的事件写出概率，算出期望.

【解答过程】随机变量f的取值为0,1,2,

当，=1时，所取的三个数中仅两个数相邻，其中取1,2和19,20,对应取法为17种，其余17情况取法为16

种，

2x17+17x16306

；•P（f=1）=京=M40'

当f=2时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，.•.P&=2）=段=马*，

所以当f=0时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有1140—18—306=798种，

•."低=。）=鬻

••・E⑹=。*鬻+1义普+2X瑞=0.3.

故选：B.

【变式4-1]（2024•全国•模拟预测）已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选

对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.若选项中有i（其中i=2,3,4）个选项符合题目要求,

记随机作答该题时（至少选择一个选项）所得的分数为随机变量§々=2,3,4）,则（）

A.2E&）〉钻&）〉E（n）

B.4E&）＞E（打）＞2E&）

C-2E&）＞仅n）＞4E&）

D-4E（f2）＞2E（G）＞E（n）

【解题思路】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有24-1=15（种）可能，根据期望的定义分别求

E&），/&*&），进而分析判断.

【解答过程】由题意可知：当至少选择一个选项时，共有24—1=15（种）可能，

因为七可取0，2,5,

11+121+24

且P(f2=5)=云,片2=2)=方=-,P(G=0)=1--=?

所以£&)=誉=(

又因为心可取0,2,5,

且P&=5)=白P(f3=2)=誓="(&=0)=1—詈=W

所以仅f3)=詈=£♦

-1-1-1A

而已可取2,5,且P(64=5)=记，则P(§4=2)=1_云=正

所以即4)=鬻*;

即4E&)=y,2£(f3)=葛所以4E&)>2E&)>5(n)，故D正确.

故选：D.

【变式4-2](2024•贵州•模拟预测)某学校举行数学学科知识竞赛，第一轮选拔共设有4B,C,D,E五

道题，规则为每位参赛者依次回答这五道题，每答对一题加20分，答错一题减10分；若连续答错两道题

或五道题全部答完，则第一轮选拔结束.假设参赛者甲同学答对4B,C,D,E的概率分别为|

且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(1)记X为甲同学本轮答题比赛结束时已答题的个数，求X的分布列及数学期望;

(2)第一轮比赛结束后，若参赛者在第一轮出现过连续答对三道题或总分不低于70分，则可进入下一轮选拔,

求甲同学能进入下一轮的概率.

【解题思路】(1)根据题意列出甲同学本轮答题比赛结束时已答题的个数X的可能取值，然后分别算出其

概率，即可得出X的分布列和数学期望;

(2)依据题意，列举甲同学能进入下一轮的情况，然后利用相互独立事件的概率公式分别算出其概率，即

可得出答案.

【解答过程】(1)由题可得X可能取值为：2,3,4,5

111

=2)=-x-=—

i74312

3111

^=3)=ix-x-=-

〜/、

^n=4)=3-x2-x1-x1-+,1-x2-x1-x1-=-1

111155

P(X=5)=-

,)1286248

X的分布列如下:

X2345

1115

P

12868

所以E(X)=2x0+3X9+4X：+5X||=^

(2)设4B,C,D,E分别代表第1,2,3,4,5个问题,

用=1,2,3,4,5)表示甲同学第i个问题回答正确；

用=1,2,3,4,5)表示甲同学第i个问题回答错误；

,27111

由题意得P(M1)=*P(M2)=-,P(M3)=1,P(M4)=-,P(M5)=I，

记甲同学能进入下一轮为事件K

则P(K)=P(%M2M3M4M5)+P(M1M2M3M4国+尸(M1M2M3%M5)+尸(M1M2M3m4m5)

+P(M1M2M3M4M5)+P(Mi祈2M3M4M5)+P(欣2M3M4M5)+P(M1M2M3M4M5)

-3211131111,121111211137

=5x-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x-x-+-x-x-x-x-=—.

4322243222432224322296

【变式4-3](2024•海南•模拟预测)某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱、箱中放有8折、8.5折、

9折、9.5折的奖券各3张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取3张奖券，最终餐厅将在结账

时按照3张奖券中最优惠的折扣进行结算.

(1)求一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率；

(2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X,求X的分布列及数学期望E(X).

【解题思路】(1)利用古典概型概率公式可求解；

(2)X的所有取值为80,85,90,95,利用古典概型概率公式可求分布列，进而可求期望.

【解答过程】(1)从12张中任选3张有C%=220种方法，

取到的折扣均不相同的取法有第禺的最=108,

所以一位顾客抽到的3张奖券的折扣均不相同的概率券=||；

(2)X的所有取值为80,85,90,95,

prv_am-1组—184-34P(Y-AR-纤髭二+雷6416

-80)-1--1---P(X-85)-C3222055,

P(x=90)=Cc党HC=蒜P(X=95)

Cj2~220’

所以X的分布列为

X80859095

3416191

P

5555220220

伙X)=80x葭+85xIf+90x蒜+95x嬴=181253625

22044,

【题型5离散型随机变量的方差】

【例5】(2024•陕西西安•模拟预测)已知某随机变量X的分布列如图表，则随机变量X的方差D(X)=

()

X02040

Pm2mm

A.120B.160C.200D.260

【解题思路】根据概率和为L求得m,再根据分布列求E(X),再求D(X)即可.

【解答过程】由题可知：m+2m+m=1,解得m=：,贝UE(X)=0Xm+40m+40nl=80m=20；

故。(X)=；(0-20)2+1(20-20产+l(4o_20)2=100+0+100=200.

故选：C.

【变式5-11(2024•广东广州•二模)设104%1<冷<-3<X4<%5450,随机变量取值久3/4,久5的

概率均为0.2,随机变量&取值空空警■，竽至尹的概率也均为0.2,若记。记1)刀代2)分别为狗六2的

方差，贝U()

A.0(G)<0«2)

B-。&)=

C.

D.。(打)与。(。)的大小关系与犯，*2,尤3,血,%5的取值有关

【解题思路】根据期望的公式推出E(fi)=E($2),再根据方差的计算公式可得D(fi),D($2)的表达式，结合

基本不等式，即可判断。(右)浦(§2)的大小，即得答案.

【解答过程】由题意得E(fi)=0.2(%1+x2+X3+%4+久5)，

E(f2)=。2x=62(X1+x2+x3+必+&)，

故E©)=E⑤)，

记匹=E©)=E&)

222

则。(打)=0.2[(xt-%)+(x2-x)++(x5-x)]

=0.2[(%1+必4---1■点+5%2)—2(%1+%2+%3+%4+%5)用I

=0.2(%i+。+…+蛙—5x2)

同理D(f2)=0.2[(空)2+(弩[+…+(空)2_5-2]

因为1OWX1<X2<X3<X4<X5W5O,贝I](誓)2(弩1,…，(誓<雪，

故(空)2+(空?+”•+(誓¥<妊+石+…+痣

即得D&)>。任2)，。(0)与。(。)的大小关系与打占2/3，孙，出的取值无关，

故选：C.

【变式5-2](2024•河南郑州•模拟预测)某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包.在一个不透

明的袋子中装有几个形状大小相同的标有面值的球，每位员工从球袋中一次性随机摸取仅个球(mWm，摸

完后全部放回袋中，球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额.

(1)若n=4,m=2,当袋中的球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元时，在员工所获得的红

包数额不低于90元的条件下，求取到面值为60元的球的概率；

(2)若n=5,m=4,当袋中的球中有1个所标面值为10元，2个为20元，1个为30元，1个为40元时，求

员工所获得红包数额的数学期望与方差.

【解题思路】(1)记事件4员工所获得的红包数额不低于90元，事件B：取到面值为60元的球，根据条

件先求PQ4),PQ42),再利用条件概率公式，即可求解；

(2)由题知X可能取值为80,90,100,110,再求出对应的概率，利用期望和方差的计算公式，即可求解.

【解答过程】(1)记事件4员工所获得的红包数额不低于90元，事件B：取到面值为60元的球，

因为球中有2个所标面值为40元，1个为50元，1个为60元，且

40+50>90,40+60>90,50+60>90,所以P(O)=©喟最=\

C46

又PG4B)W=|=T，所以P(BM)=制=g=|.

(2)设X为员工取得的红包数额，贝吠可能取值为80,90,100,110,

1111

所以P(X=80)=^4=-,P(X=90)=

2211

P(X=100)=^4=-,P(X=110)=^4=-,

1121

所以E(X)=80x-+90x-+100x-+110x--96,

1171

D(X)=(80-96)2X-+(90-96)2X-+(100-96)2x-+(110-96)2x-=104.

【变式5-3](2024・湖南长沙•三模)开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学

生困难的重要举措是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程.某校为

确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两个方案的支持情况，对学生进

行简单随机抽样，获得数据如表:

男女

支持方案一2416

支持方案二2535

假设用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立.

(1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为抽出两人中女生的个数，求X的分布列

与数学期望；

(2)在(1)中丫表示抽出两人中男生的个数，试判断方差0(X)与D(y)的大小.

【解题思路】(1)记从方案一中抽取到女生为事件4从方案二中抽取到女生为事件氏根据已知条件求出

PQ4),P(B),X的可能取值为0,1,2,求出相应的概率，从而可求得X的分布列与数学期望；

(2)根据方差的性质判断即可.

【解答过程】(1)记从方案一中抽取到女生为事件4从方案二中抽取到女生为事件8.

rt/c/4、162c/c、357

人J⑷=24+16=3P⑻=25+35=12，

则X的可能取值为0、1、2.

所以尸(X=0)=(1—x(1—卷)=

P(X=1)=(1-|)x^+|x(1-^)=|i,

P(X=2)=|x《=(,

所以X的分布列为:

(2)依题意可得y=2—X,

所以。(丫)=。(2—X)=(―1)2D(X)=D(X),

即D(r)=o(x).

【题型6均值与方差中的决策问题】

【例6】(2025•甘肃张掖•模拟预测)为增加学生对于篮球运动的兴趣，学校举办趣味投篮比赛，第一轮比

赛的规则为：选手需要在距离罚球线1米，2米，3米的4B,C三个位置分别投篮一次.在三个位置均投进得

10分；在C处投进，且在4B两处至少有一处未投进得7分；其余情况(包括4、B、C三处均不投进)保底得4

分.已知小王在三处的投篮命中率分别为看*，且在三处的投篮相互独立.

(1)设J为小王同学在第一轮比赛的得分，求f的分布列和期望；

(2)若第二轮比赛中设置两种参赛方法.方法1：按第一轮比赛规则进行比赛；方法2：选手可以选择在C处

缩短投篮距离0.5米，但得分会减少a(lWaW3)分.选手可以任选一种规则参加比赛.若小王在C处缩短

投篮距离0.5米后，投篮命中率会增加6(0<b<乡.请你根据统计知识，帮助小王同学选择采用哪种方法

参加比赛更好.

【解题思路】(1)根据相互独立事件概率乘法公式求f的分布列，利用公式求得数学期望；

(2)先求选取方法2参加比赛，则小王同学得分〃的数学期望，再进行比较.

【解答过程】(1)§的可能取值为4,7,10,

4313

^=10)=?xzx-=-

=7)=|xix|+|xix|+|x|x|=1,P(^=4)=|

所以分别列为:

11222

所以E©=4x^+7*三+10*元=予

(2)如果选取方法2参加比赛，则小王同学得分〃的可能取值为4—a,7—a,10—a,

3

/(77=10-a)=^Xjxg+/?)=^+y,

PS=7—a)=(X；X0+b)+gx；x0+3+打PG+b)=(+|b,

W="a)=l-七+3—("令方再

所以E(〃)=(4—d)X+(7—a)x(1+y)+(10—a)x(^+y)=。+争—a,

当E8)<EG)时，即政+gb—a<.,即a>gb时,选择方法1,

当E(〃)>E©时,即告+gb—a>.,即a<gb时,选择方法2,

当E8)=E(f)时,即油+争一a=|,即a=3时，选择两种方法都一样.

【变式6-1](23-24高二下•福建泉州•阶段练习)2024年九省联考后很多省份宣布高考数学采用新的结构,

多选题由4道减少到3道，分值变为一题6分，多选题每个小题给出的四个选项中有两项或三项是正确的，全

部选对得6分，有错选或全不选的得0分.若正确答案是“两项”的，则选对1个得3分；若正确答案是“三项”的,

则选对1个得2分，选对2个得4分.某数学兴趣小组研究答案规律发现，多选题正确答案是两个选项的概率为p,

正确答案是三个选项的概率为1—P(其中0<p<1).

(1)在一次模拟考试中，学生甲对某个多选题完全不会，决定随机选择一个选项，若「=求学生甲该题

得2分的概率；

(2)针对某道多选题，学生甲完全不会，此时他有三种答题方案：

I：随机选一个选项；II：随机选两个选项；III：随机选三个选项.

①若p=且学生甲选择方案I,求本题得分的数学期望；

②以本题得分的数学期望为决策依据，p的取值在什么范围内唯独选择方案I最好？

【解题思路】(1)由全概率公式求解即可；

(2)①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，求出X的可能取值及其概率，即可求出X的分布列，

再由期望公式求出；

②记xyz分别为“从四个选项中随机选择一个选项、两个选项和三个选项的得分“，求出xyz的数学威望,

[2-P<|

由题意可得J|(l—p)<|,解不等式即可得出答案.

I0<p<1

【解答过程】(1)记事件4为“正确答案选两个选项”，事件B为“学生甲得2分”.

P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B\A)=(x0+1x曰=；,

即学生甲该题得2分的概率为今

(2)①记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，贝吠可以取0,2,3,

1211a11cl3

P(X=0)=-XET+-X^=-,P(X=2)=-XO+-XZ|=-,

P(X^3)=|xf+1xO=i

所以X的分布列为

X023

331

P

884

则数学期望E(X)=0x1+2x|+3xi=|.

②记X为“从四个选项中随机选择一个选项的得分”，

则P(X=O)=px^+(l—p)x^=苧，

P(X=2)=px0+(l—p)x^=-(1—p),

P(X=3)=px+(1-p)x0=

所以E(X)=0x与+2x：(l_p)+3x]=|；

记丫为“从四个选项中随机选择两个选项的得分”，

则P(y=0)=px+(1-p)x=|p+1，

P(y=4)=pX0+(1—p)XW=-(1_p),

11

P(Y=6)=px曰+(1—p)x0=%P，

所以