2025年新高考数学一轮复习：极化恒等式与等和（高）线定理【四大题型】解析版

极化恒等式与等和（高）线定理重难点【四大题型】

►题型归纳

【题型1利用极化恒等式求值】.................................................................3

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】......................................................5

【题型3利用等和线求基底系数和的值】........................................................8

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】.............................................11

►命题规律

1、极化恒等式与等和（高）线定理

极化恒等式是平面向量中的重要等式，是解决平面向量的数量积问题的重要工具，有平行四边形模型

和三角形模型两大重要模型，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系；等和（高）线定理是平面向量

中的重要定理，由三点共线结论推导得出，在求基底系数和的值、最值（范围）中有着重要作用.

►方法技巧总结

【知识点1极化恒等式】

1.极化恒等式的证明过程与几何意义

（1）平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和:

D_________________C

------B

|a+S|2+|a-S|2=2（|a|2+|S|2）.

证明：不妨设4B=a,AD=石,则4c=a+B,DB=a-b,

明2=AC=（a+b^=@+2a-b+件①，

国2=丽JR-自叩卜2鼠5+W②,

①②两式相加得:

国2+|国2=2（同②+用）=2（网2+国2）.

（2）极化恒等式：

上面两式相减，得：a-b=l[p+q2-（a-S）2]--------极化恒等式

平行四边形模式：a-/J=|[|^C|2-|£>5|2].

2.几何解释：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平

方差的

4

（1）平行四边形模型：向量的数量积等于以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差对角

线长”平方差的L即>刃=U（z+禧t伍一研[（如图）.

（2）三角形模型：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差，即瓦•就=

---2---?

AM-MB一（M为2c的中点）（如图）.

极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系.

【知识点2等和（高）线定理】

1.等和（高）线定理

（1）由三点共线结论推导等和（高）线定理：如图，由三点共线结论可知，若赤=23+〃无«,〃eR）,

则%+〃=1,由△0/2与△0/3'相似，必存在一个常数左，在R,使得苏=左苏，则加=左5?=奴53+k/j.OB,

又OP=xO/+（x”eR）,.,・田^=以+切=左；反之也成立.

B'

⑵平面内一个基底｛况,无｝及任一向量加，OP'^AOA+//5s（/,/zeR）,若点尸在直线N8上或在平

行于的直线上，则%+“=-定值)；反之也成立，我们把直线N8以及与直线N8平行的直线称为等和(高)

线.

①当等和线恰为直线N2时，k=l；

②当等和线在。点和直线之间时，住(0,1)；

③当直线48在。点和等和线之间时，住(1,+8)；

④当等和线过O点时，*=0；

⑤若两等和线关于。点对称，则定值肩，心互为相反数；

⑥定值k的变化与等和线到。点的距离成正比.

►举一反三

【题型1利用极化恒等式求值】

【例1】(2024・贵州毕节•三模)如图，在△4BC中，。是BC边的中点，E,尸是线段4D的两个三等分点,

若瓦？•g5=7,BE-CE^2,则丽•次=()

【解题思路】利用几何关系将瓦斯左而，区均用品,而表示出来，进而将丽•西,丽•疗表示成与丽，品相

关，可以求出而2=1,阮2=8,同时前，疗的数量积也可用而，就表示，即可求出结果.

【解答过程】依题意，。是BC边的中点，E,歹是线段2D的两个三等分点，

则丽-CA=QfiC-AD)\-^BC-诙)=逊严=36咒-3=7,

BE-CE=(^BC-^AD)•(-|BC-|ZP)=痴2_翘浮=16而：而z=2,

因此而2=1,阮2=8,==4而:配2=4x1-8=_1

故选：B.

【变式1-1](23-24高三上•福建厦门•期末)如图，BC、是半径为1的圆。的两条直径，BF=2FO,

则而•丽=()

a

【解题思路】根据题意，得到丽•族=-（亦+赤）・（反-9），进行求解即可.

【解答过程】因为圆半径为18c是直径，BF=2F0,

所以|0尸|=2,

根据向量加法和减法法则知：FD=OD-OF^FE^OE-OF-,

又DE是直径，所以而=-OE,\OD\=\0E\=1,

则丽•~FE=（0D-OF）•（OF-OF）=（--OF）­（OF-OF）

=-（OE+OF）-（OE-OF）=|OF|2-|O£|2=1-1=-1.

故选B.

【变式1-2］（2024高三・江苏•专题练习）如图，在平面四边形/BCD中，。为2。的中点，且。/=3,OC

【解题思路】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用荏♦而=（而+而）♦（而+而）,求出|而|=|

前1=4,再利用前•沆=（前+瓦）・（前+觉），运算可求出结果.

【解答过程】在平面四边形48CD中，。为3。的中点，且。A=3,OC=5,.•・砺+彷=6,

若南•而=一7,

贝心而+砺）.（而+彷）^AO2+Ad-OD+AO-OB+OB-OD=XO2+OX-（OD+OB）-OB2=32-

OB2=-7,

•••OB2=16,\OB\=\OD\=4,

•••BC•DC=（BO+OC）-（DO+OC）^BO-DO+BO-OC+OD-OC+OC2^-BO2+OC-（BO+OD

）4-OC2=-42+0+52=9.

故答案为：9.

【变式1-3]（23-24高二下•湖南长沙•开学考试）如图，在平行四边形N5CD中，4B=1,AD=2,点、E,

F,G,〃分别是48,BC,CD,AD边上的中点，则而•丽+而・薜等于_1_

【解题思路】在平行四边形/3CD中，取HF的中点。根据相等向量和向量的加法运算法则及数量积运算

求解.

在平行四边形中，取“F的中点O,

则丽.丽=丽•丽=（F0+0F）-（E0+0H）=E02-OH2=1一度=*丽.砒=和/=

（GO+O77）-（GO+OF）==GO2-OH2=1-@2=p

则而-FG+GH-HE=l.

故答案为：

【题型2利用极化恒等式求最值（范围）】

【例2】（2024高三・全国・专题练习）半径为2的圆。上有三点4B、C满足m+南+*=。，点P是圆内

一点，则西•丽+丽•西的取值范围为（）

A.[-4,14）B.[0,4）C.[4,14]D.[4,16]

【解题思路】设04与BC交于点D,由D1+荏+左=0得四边形。B4C是菱形，。是对角线中点，PA^O^B

，定用丽和其他向量表示并计算数量积后可得同•丽+丽•玩=2|两『—4,由点与的位置关系可得|PO|的

取值范围，得结论.

【解答过程】如图，。4与BC交于点O,由a+荏+前=。得：OB+AC^O,

所以四边形。B4C是菱形，且。4=。8=2,则力。=。。=1,BD=DC=遮,

由图知丽=丽+丽，PC=PD+DC,而丽=一瓦，

■.PBPC=7D2-DB2=\PD\2-\DB\2=|西2—3,

同理西=丽+9，PO=^PD+DO,而用=一前，

.-.R4-P0=PD2-DO2=\PD\2-\D0\2=\PD\2-1,

■^A-PO+PB-PC=2\PD\2-4,

•・•点P是圆内一点，则0W|而|<3,;.—4W西•丽+丽•玩<14,

故选：A.

【变式2-1]（23-24高一下•江苏南通•期中）正三角形ABC的边长为3,点。在边4B上，且丽=2瓦?，三

角形力BC的外接圆的一条弦MN过点D,点P为边BC上的动点，当弦MN的长度最短时，丽•丽的取值范围

是（）

A.[—1,5]B.[—1,7]

C.[0,2]D.[1,5]

【解题思路】设。为△4BC外接圆的圆心，结合垂径定理和正弦定理，可得MN=2四,再由极化恒等式推

出丽•丽=丽2—河之，于是问题转化为求|而|的取值范围，然后结合三角函数知识与余弦定理，即可

得解.

【解答过程】解：设。为△力BC外接圆的圆心，

因为而=2瓦5,所以。。=1（7=1,

当弦MN的长度最短时，MNLOD,

在△力BC中，由正弦定理知，外接圆半径R=9.黑=/=遮，即。M=叵

所以MN=2MD=270M2一。。2=2（V3）2—了=2鱼，

因为（而+丽）2=（PM-而）2+4PM-丽，即（2万）2=丽2+4PM•丽,

所以丽•丽=PD2-^NM2=PD2-1-(2V2)2=RD2-2,

因为点P为线段上的动点，

所以当点P与点Q重合(DQ1BC)时,IP^Imin=\DQ\=|BD|sin60°=2x^=V3；

当点P与点C重合时,|而Imax=\CD\,

在△BCD中，由余弦定理知，

1

\CD\2=\BC\2+\BD\2-2\BC\­\BD\cos^ABC=9+4—2x3x2X]=7,

所以I而lmax=|CD|=V7,

综上，I而|e[6,V7],

-----»----->-----»2

所以PM•PN=PD-2e[1,5].

【变式2-2］（2024•重庆•模拟预测）己知△。48的面积为1,AB=2,动点P,Q在线段AB上滑动，且|PQ|

=1,则M•丽的最小值为

【解题思路】根据题意，记线段PQ的中点为从由S404B=1且42=2,可得点。到直线48的距离为d=1,

由m•OQ=i［（OP+OQ）2-（OP-曲内，根据向量的运算代入求解即可.

【解答过程】记线段PQ的中点为H,点。到直线力B的距离为d,

则有S^CMB=夕8,d=1,解得d=l,

由极化恒等式可得：

1

OP-OQ--［（OP+丽广-（OP-而）2］

4

=OH2-PH2=OH2-^>=

444

故答案为：不

【变式2-3］（23-24高三上•上海浦东新•阶段练习）在面积为2的平行四边形中4BCD中，ND4B=*点尸

是4D所在直线上的一个动点，则丽之+玩2而同的最小值为2M.

【解题思路】取BC的中点Q,连接PQ,利用极化恒等式可得丽2+12-丽•丽=|而『+||瓦

结合基本不等式与四边形面积可得最小值.

【解答过程】取BC的中点Q,连接PQ,虹丽+而=2万，而同=9［（而+而」-（而-1）2］=/4|对'-I函2）,

PB2+PC2-PSPC=（PB+PC）2-3PB-PC=4|PQ|2-J（4|PQ|2-|CB|2）,

232^3

=|可+-|BC|>2\PQ\--\BC\=y/3\PQ\-\BC\>y/3SABCD=2y/3

4Z

当且仅当|PQ|=苧|BC|且PQ1BC时取等号，

故答案为：28.

【例3】（2024•四川成都・模拟预测）如图，在平行四边形2BCD中，BE=|BC,DF=^DE,若丽=4万+4

AD,则4+〃=()

B

3

A-CO

2D.

【解题思路】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.

【解答过程】在平行四边形4BCD中，BE=（BC,DF=^DE,

所以而=AD+~DF=AD+^DE=AD+沆+函

=南+9（荏*通）=涧+诃，

若ZF=XAB+11AD,则a=〃=*贝ija+/z=-|.

故选：A.

【变式3-1](2023•河北沧州・模拟预测)在△ABC中，战=次,而=*瓦？+近)，点「为/£与8尸的交点，

AP=XAB+/MC,则2+〃=()

113

A.0B.C.-D.

74Z74

【解题思路】禾ij用平面向量基本定理得到而=(1-k)荏+/幅AP=lmAC+lmAB,从而列出方程组,

求出得到4=暴=求出答案.

【解答过程】因为而=*瓦？+近)，所以尸为AC中点，

B,P,F三点共线，故可设丽=卜而，即万一9=k(而—而)，

整理得Q=卜赤+(1—k)葡=(1-k)AB+^kAC,

因为近=界，所以版一同=冠_近，即族=次+萍,

4PE三点共线，

可得AP—mAE=m(^AC+|AB)=^mAC+|mXB,

(网=1—(k=工

所以3i,，解得马，

—m=-km=-

v324

可得4P=^AB+；4C,贝!u=*〃=；，4+4=*

故选：D.

【变式3-2](23-24高一上•江苏常州•期末)在平行四边形48CD中，E为8C的中点，F在线段DC上，且

CF=2DF.若就=2屈+〃而，尢〃均为实数，则4+〃的值为

【解题思路】设近=五,而=刃，结合几何性质用人办表示荏,Q,结合已知条件，构造方程组，即可求解4分

的值，即可求解.

【解答过程】解：设荏=a^D=b,

・••在平行四边形ABC。中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF,

■■.AE=Z+^b,AF=^a+b,

■.■AC=AAE+nAF,4,”均为实数，AC=a+b,

.'.AC=a+6=A(a+|h)4-〃(家+fo),

4+4=143

••也+1，解得认=g,〃=g,

2-

7

•••A+jtz=-.

故答案为：卷.

【变式3-3］（23-24高一上・江苏苏州•期末）如图，在矩形力BCD中，M,N分别为线段BC,CD的中点，若

加=入丽+入2丽,4146R,则心+肌的值为_|.

【解题思路】利用向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解.

【解答过程】因为M,N分别为线段BC,CD的中点，

所以丽=河=；（而—丽）=■!而一冠，

AM=AB+^M=AB+|ZD,

JN=BC+CN=AD-^AB,

所以丽=+入廊=%（同+|XD）+A2（AD-|AB）

=（%-孤）而+（孤+22）M

入1=-3

所以，解得｛1_35,

42=/

11?

所以%+A2=

7

所以%+%2的值为丁

故答案为：

【题型4利用等和线求基底系数和的最值（范围）】

【例4】（2024•山东烟台•三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,P为圆。上任一点，若Q=x

AB+yAC,贝|2光+2y的最大值为（）

4

C3D.1

【解题思路】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.

【解答过程】

作8c的平行线与圆相交于点尸，与直线48相交于点E,与直线NC相交于点尸,

设而=4荏+“而，贝+

.BC//EF,...设若=笫=匕贝批6[0总

/\,DAt,S

：.AE=kAB,AF=kAC,AP=XAE=AkAB+〃fc4c

.,.x=Ak,y=

o

：.2x+2y=2（a+〃）k=2k<-

故选：A.

【变式4-1]（23-24高三上•河北沧州•期中）如图，△BCD与△ABC的面积之比为2,点P是区域4BCD内

任意一点（含边界），且而=4同+〃尼贝IM+〃的取值范围是（）

/D

A.[0,1]B.[0,2]C.[0,3]D.[0,4]

【解题思路】根据题意，将图形特殊化，设4。垂直平分BC于点。，的。。=240,当点P与点4重合和点P与

点。重合时，分别求得;1+〃的最值，即可求解.

【解答过程】根据题意，将图形特殊化，设4。垂直平分BC于点0,

因为△BCD与△4BC的面积之比为2,则。。=24。，

当点P与点4重合时，可得Q=6,此时4=〃=0,即2+〃的最小值为0；

当点P与点D重合时，可得而=3而=3X（冠+家）=|9+1就，

此时2=〃=5，即2+此时为最大值为3,

所以4+〃的取值范围为[0,3].

故选：C.

【变式4-2]（23-24高一下•福建泉州•阶段练习）在△4BC中，M为3c边上任意一点，N为线段上任

意一点，若丽=4四+〃而（4,46R）,则4+4的取值范围是—但JJ一.

【解题思路】根据题意，设丽=t前，然后分t=0与0<tWl讨论，结合三点共线定理代入计算，即可得

到结果.

【解答过程】

当t=0时，AN=0,所以/I同+〃尼=6,

所以a=〃=o,从而有a+〃=o；

当0<tW1时，因为丽=AAB+IIAC（A,4eR）,

所以必而=%荏+〃荔，即丽？=厢+尔，

因为M、B、C三点共线，所以（+3=1,即2+〃=te（o,l].

综上，2+〃的取值范围是[0,1].

故答案为：[0,1].

【变式4-3]（23-24高一下•广西桂林・期末）已知。为△ABC内一点，且4瓦？+8而+5沆=6,点M在△OBC

内（不含边界），若前=4荏+〃记贝IM+4的取值范围是

【解题思路】设而=mAB+nAC,根据题意结合平面向量基本定理可得而=^AB+^-AC,设而=xOB+y

o<X+y<

砒

且>o

X整理可得AM=+信—卷x+^|y）4C,进而可得结果.

y>o+~x—

【解答过程】设2。=mAB+nAC,m,nER,即。4=-AO=-mAB-nAC,

可得方=ol+AB=(1-m)XB-nAC^OC=OA+AC=-mAB+(1-n)AC,

因为4方+80B+50C=0,

即4(-mAB-nAC)+8[(1-m)AB-nAC]+5[-mAB+(1-ri)AC]=0,

整理可得(8-17m)AB+(5-17n)^4C=0,且荏，而不共线，

则8-17m=5-17n=0,解得m=

即方=今而十卷前，OB=^AB-^-AC^OC=-^AB+^AC,

o<X+y<

X>o

又因为点M在△OBC内（不含边界），^,OM=xOB+yOC,x,y6R,y>o

可得丽=荏+（一5x+||y）北

则俞=而+而=++(A__Lx+l|y)^C,

8,98

A=——x------y134

可得_?V,也可得4+//=—+—(x+y),

u,-------xH---y

V171717z

且0<%+y<l,可得a+〃=<+.(％+')W1)，

所以4+4的取值范围是(1|,1).

故答案为：倍,1).

►过关测试

一、单选题

1.(2024・四川绵阳•三模)如图，在△/孔中，AF=BF=6fEF=5,则瓦I•布=()

-13C.-15D.15

【解题思路】根据极化恒等式，结合已知数据，直接求解即可.

【解答过程】因为3•b=(乎?一(信丫，

故襦・四=(^^)2一=说2—加2=25—36=—11.

故选：A.

2.(2024•陕西西安•一模)在△4BC中，点。是线段北上一点，点P是线段BD上一点，且而=瓦?，AP=

+AAC,贝状=()

A-IB-IC-ID-I

【解题思路】依题意可得前=2而，即可得到而=|同+2%而，再根据平面向量共线定理的推论得到|

+22=1,解得即可.

【解答过程】因为而=瓦?，所以前=冠，即尼=2前,

又Q=I荏+4尼，所以Q=|屈+22而，

因为点P是线段BD上一点，即8、P、。三点共线,

所以■|+24=1,解得4=：

36

故选：A.

3.（2024高三•全国•专题练习）在△ABC中，。是BC边上的中点，且标=|■而，AF=2AE,AB-AC=6,

丽•斤=一2,则丽•丽=（）

1

A.-1B.2C.--D.1

【解题思路】

利用向量的线性运算及向量的数量的运算律即可求解.

【解答过程】

同.而=（前+函.（前一函=|XD|2-|函2=6,

同理可得丽•后=|FO|2-\DB\2=-2,

又族=|AD,AF=2AE,

所以而『=9|而『，所以|而『=1,|而『=3,

222

丽•丽=[ED\-|函2=4|FD|一\DB\=4x1-3=1.

故选：D.

4.（2024•陕西榆林三模）在△ABC中，E在边BC上，且EC=3BE,D是边4B上任意一点，AE与CD交于点

P,若而=贝i」3x+4y=（）

33

A.74B.-47C.3D.-3

【解题思路】利用向量的线性运算，得而=方+加=｛乙？+6—而，再利用平面向量基本定理，可

得x=t,y=9—%,然后就可得到结果.

【解答过程】•••&P、E三点共线，设丽=tEA[G<t<1),

则而=CE+EP=^CB+tEA=^CB+t(cl-^CB)=tCA+g-2t)CB,

又CP=xCA+yCB,所以x=t,y=|—，即3x+4y=3.

故选：C.

5.(23-24高三下•湖南长沙•阶段练习)向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和

对角线”与“差对角线”平方差的四分之一，即如图所示，a-b=^(jAD\2-\BC\2),我们称为极化恒等式.已

知在△4BC中，M是BC中点，AM=3,BC=10,则诟•标=()

A.-16B.16C.-8D.8

【解题思路】可以把三角形补形为平行四边形，府=|•而，利用已知条件求解即可.

【解答过程】由题设，aABC可以补形为平行四边形4BDC,

由已知得|通|=3,|SC|=10,AB-AC=^4|XM|2-|fiC|2)(36-100)=-16.

故选：A.

6.(2024•全国•模拟预测)如图，在△ABC中，AN=tWC(t>0),BP=APN(A>0),若行=萍一)

BC,则％+t的值为()

【解题思路】表达出族，利用平面向量基本定理求出尢t,即可求出；l+t的值.

【解答过程】由题意及图可得，

•.丽=APN,

.•前=荏+丽=四+/丽=荏+/(—同+砌=组+绥，

A+lA+lv71+A1+2

■：AN=tNC（t>0）,

••前=后立而=普+tA

（i+t）（i+Ay-Zc.

•••Q=/-次=/-；（—通+尼）=那+家,

"I^A=4'（i+t）（i+4=2解得：'=3，t=2,"+t=5，

故选：C.

7.（23-24高三上•山东潍坊・期末）已知正方形48co的边长为2,是它的内切圆的一条弦，点尸为正

方形四条边上的动点，当弦儿W的长度最大时，丽•利的取值范围是（）

A.[0,1]B.[0,V2]

C.[1,2]D.[-1,1]

【解题思路】作出图形，考虑P是线段4B上的任意一点，可得出|而|€[1,或],以及两=所+的，PN=

PO-OM,然后利用平面向量数量积的运算律可求得两­西的取值范围.

【解答过程】如下图所示：

考虑P是线段48上的任意一点，PM=PO+OM,PN=PO+ON=PO-OM,

圆。的半径长为1,由于P是线段48上的任意一点，则|丽

所以，丽,丽=（而+丽）•（丽一丽）=丽2一的2

故选：A.

8.（2024•河北沧州・三模）对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分

支中，在数学史上，数学美是数学发展的动力.如图，在等边△A8C中，48=2,以三条边为直径向外作三

个半圆，M是三个半圆弧上的一动点，若前=4刀+〃尼，贝U+〃的最大值为（）

A

M

A.|B.苧C.1D.|

【解题思路】过点M作MP〃BC,设Q=kAB,AQ=kAC,得到丽=(kx-1)AB+kyAC,再由前=AAB

+fiAC,求得4+〃=k—1,结合圆的性质，当PM与半圆BC相切时，k最大,分别求得AB,4E的长，即可求

解.

【解答过程】如图所示，过点M作MP〃BC,交直线4B/C于点P,Q,

设4M=xAP+yAQ,可得x+y-1.

设而=kAB,AQ=kAC,则前=AM-AB=(fc%-1)AB+kyAC,

因为BM=+〃4C,所以4+〃=for—1+ky=k—1,

由图可知，当PM与半圆BC相切时，k最大,

又由AB=2,BE=^=乎，可得4E=2+竽=瞥巨，

3333

所以k=等=苧，即k最大为。，所以4+4的最大值为喙

AB333

故选：B.

9.(23-24高一下•江苏南京•期中)在△力BC中，点。是线段BC上任意一点，点M是线段4D的中点，若存

在九〃eR使前=XAB+〃就，贝优〃的取值可能是()

331

AA.X=--，ii=-B.a=g

9273

c-2]=一而〃=gD-2=g

【解题思路】令丽=小近且me[0,1],根据向量对应线段的位置、数量关系用荏，而表示前，进而得到加

与4/关系，最后求尢四范围和数量关系，即可得答案.

[解答过程]令丽=痴?且m£[0,1],而前=l（BA+而）=l（BA+mBC）,

又阮=BA+AC,则前=+m(BA+4C)]=-^AB+yZc,

rQ_1+m

则46[—1,—1],flG[0,且4+〃=—,

所以｛H,

故A、C满足，B、D不满足.

故选：AC.

10.（23-24高一下•四川成都•阶段练习）如图，正方形48CD中，E为48中点，M为线段4D上的动点，若

前=4丽+〃丽，贝M+”的值可以是（）

31

A.-B.-C.1D.2

【解题思路】设.=kAD,其中0<k<l,利用平面向量的线性运算可得出，屋上）,求出几+〃的

取值范围，即可得出合适的选项.

【解答过程】因为M在线段4。上，设询=k前，其中OWkWL则前一瓦？=k（丽一瓦I）,

所以，=（1-k）BA+kBD,

因为E为瓦1的中点，则瓦？=2近，所以，前=2（1—k）盛+k丽，

又因为前=2靛+〃丽且靛、而不共线，则｛'=：9[的，

所以，Z+/z=2(1-fc)+/c=2-fc£[1,2],故ACD选项满足条件.

故选：ACD.

11.（23-24高一下•陕西西安•阶段练习）（多选）如图，在四边形4BCD中，NB=60。，4B=3,BC=6,

且丽=4丽QCR）,而•同=一|,贝|（

AB-BCB.实数4的值为:

A.=9O

C.四边形4BCD是梯形D.若M,N是线段BC上的动点，且|而|=1,则而•丽的

最小值为差

【解题思路】利用数量积的定义，结合已知条件，计算判断AB；取2=1说明判断C；取MN的中点E,利

用数量积的运算律建立函数关系并求出最小值.

【解答过程】对于A,AB-BC=|AB||BC|cosl200=3x6x（-1）=-9,A错误；

对于B,由而=ABC,得力D〃BC,乙4=120°,此时2>0,

---->---->----♦----»---->Q---->1----»1

AD-AB=|/l£）||4B|cos/l=3|/lD|cosl20o=-贝i]|4D|=1=即4=jB正确；

对于C,由选项B得筋=：病，即有<BC,则四边形4BCD是梯形，C正确；

对于D,取MN的中点E,连接DE,则而•丽=（方+前）•（反+丽）

=DE-EM=DE由4D〃BC,得点D到直线BC距禺等于点4到直线BC距禺4Bsin60。=乎,

即I函min=竽，所以丽•丽的最小值为（竽）2—；=?D正确.

三、填空题

12.（2024•新疆・二模）在等腰梯形2BCD中，AB=2DC,点E是线段BC的中点，若荏=4四+〃前，则

a+〃=

5

-5—■

【解题思路】

连接CF,依题意可得口4FCD,利用平面向量基本定理，将AE用4B和4D表示出来即得.

【解答过程】

如图，取28的中点F,连接CF,则由题意可得CFIIAD,且CF=4D.

■■AE-AB+BE^AB+^BC^AB+1（FC-FB）=AB+^（A0-=|同+痴，

"%=*〃=/+〃=*

故答案为：T.

13.（23-24高一下•黑龙江大庆•期末）如图，在aABC中，。是BC的中点，E,F是4。上的两个三等分点

~BA-~CA=S,JF-CF=-2,则前•无的值是|.

---O---

【解题思路】将反红X前，序均用品,而表示出来，进而将瓦TD5,前•次表示成与丽，府相关，可以求出

FD2=JSC2=同时而•在可用而，就表示，即可求出结果.

oZ

【解答过程】因为说•委=（|FC-ZD）■（-^BC-AD）=吟里=还产=5,

NZ44

BF-CF=（次—辆）.（一次—河=迹产=一2,

因此前2=］前2=奈BE-CE^（家—前）.（—次—前）=4轿-阮2=16.-阮2=,

ozL2.448

5

答案为

故-

8

14.（23-24高三•广东阳江•阶段练习）在面积为2的平行四边形ABCD中，点P为直线2D上的动点，则PB♦PC

+阮2的最小值是2V3.

【解题思路】根据向量的数量积运算律，可得而•而+就2=所2+.2,进而根据基本不等式即可求解

4

最值.

【解答过程】取BC的中点Q,连接PQ,

因为平行四边形4BCD,面积为2,所以国|函22,PC+PB=2PQ^PB-PC=i[(PC+PB)2-(PC-PB)2],

■■.PB-PC+BC2=i[(?C+而甘-(PC-而I]+BC2=PQ2+1BC2>2J河2.阮222后此时所1

BC,且西|=日西，

故答案为：2g.

四、解答题

15.(23-24高一下•甘肃白银•阶段练习)如图，在平行四边形4BCD中，AC与BD相交于点0.E是线段。。

的中点，AE的延长线与CD交于点F.

(1)用标，前方表示族；

(2)若赤=%同+〃而，求2+〃的值.

【解题思路】(1)根据平面向量的线性运算即可得解;

(2)由三角形相似得而=冠，再根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可得解.

【解答过程】⑴由题意得，ED=；BD,

-

1

所以aE=4D+DE=AD4-£)5=AD+^AB-AD)=%B+

(2)如图，因为DC〃4B,

所以DF〃/IB,

所以△DEF与△BE4相似,

所以竺=竺=工

^ABBE3'

所以赤=冠，

所以而=而+而=而+期,

因为而=2AB+nAD,

所以a=1，

所以4+〃=(

16.(23-24高一下•江苏苏州•期中)阅读一下一段文字：Q+=*+2小区+京，(a-B)2-a2-2a-b

+b2,两式相减得(方+b)2-(a-b)2=4a-b^a-b=3①+b)2-(a-b)2］我们把这个等式称作“极化恒等

式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下

问题：如图，在A42C中，。是2C的中点，E,尸是40上的两个三等分点.

(1)若4D=6,BC=4,求丽•尼的值；

(2)若荏•衣=4,FB-FC^-1,求丽•前的值.

【解题思路】(1)根据“极化恒等式”列出式子计算即可

(2)设=3m,BC=2n(m>0,n>0),根据题目所给条件和“极化恒等式”列出关于小刀的方程组，解

出科几，再根据“极化恒等式”计算出丽♦前的值

【解答过程】(1)AB-AC=i[(ZB+AC)2-(AB-AC)2]=而2一癖2=36—4=32

(2)设AD=3m,BC=2n（m>0,n>0）

2

■■AB-AC=4,由（1）知AD一癖2=4,即97n2-九2=4①

vFB-FC=-1,同理可得前2_癖2=_1,gpm2_n2=_1②

由①②解得m2=1,712=y

•••1B-EC=ED2-7BC2=4m2-n2=

4888

17.（23-24高一上•辽宁大连•期末）在三角形ABC中，AB=a,AC=b,BE=2EC,D为线段AC上任意一

点，BD交4E于0.

⑴若丽=2DA.

①用五书表示2E；

②若而=4族，求2的值；

⑵若丽=xBA+yBC,求左+康的最小值.

【解题思路】⑴①利用向量的几何运算求解；②设丽=tBD{0<t<1),然后用同，前表示而，然通

过刀=2荏，将近也用同，就表示，然后利用系数对应相等列方程组求解；

(2)设而=mAE[Q<m<1),将访用瓦?，丽表示，然后利用系数对应相等将x,y用m表示，然后利用基本

不等式求最值.

【解答过程】(1)①因为旗=2前，所以而=|品，

故在448后中,荏=荏+福=荏+|正=荏+|(左—荏)=四一萍+|照=瓶+|前=家+壬；

②因为B,0,。三点共线，设丽=1而(0<[<1),

所以万=AB+SO=AB+tBD=AB+t(AD-AB)=(1-t)AB+tAD,

因为而=2方，所以前=次，所以而=(1—t)同+次

(l-t=-

又由①及已知，AO=AAE=^AB+^AC：,所以£=£,

3-T

解得2=I;

(2)因为前=2瓦，又40,E三点共线，设同=小荏(0＜小＜1),

所以丽=~BA+~AO=~BA+mAE=~BA+m(B£-~BA)=~BA+m(^BC-瓦?)=(1-m)BA+号前,

―>―>—>(x=1—m

=xBA+yBC,所以1丫=网，

11111r11

五+罚=^^+^m=Efcr^+^m"2(l