专题01 分式的运算 带解析

2022-2023学年华师大版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题01分式的运算试卷满分：100分考试时间：120分钟评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2023秋·江苏镇江·八年级校联考期末）下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【思路点拨】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可．【规范解答】解：A、，本选项错误，不符合题意；B、，本选项错误，不符合题意；C、，本选项正确，符合题意；D、，本选项错误，不符合题意．故选：C．【考点评析】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键．2．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）关于式子，下列说法正确的是（）A．当时，其值为2B．当时，其值为0C．当时，其值为正数D．当时，其值为正数【答案】D【思路点拨】先根据分式的四则运算法则化简分式并确定x的取值范围，然后根据x的取值范围和分式的性质逐项排查即可解答．【规范解答】解：＝＝，∵，∴或，，∴A．由，故A说法错误，不符合题意；B．由，故B说法错误，不符合题意；C．当时，，故C说法错误，不符合题意；D．当时，，故D说法正确，符合题意．故选：D．【考点评析】本题主要考查了分式的四则混合运算、分式有意义的条件、分式的意义等知识点，明确分式有意义的条件是解答本题的关键．3．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）一块麦田m亩，甲收割完这块麦田需n小时，乙比甲少用0.5小时就能收割完这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要的时间是（

）A． B． C． D．【答案】A【思路点拨】先得到乙收割完这块麦田需要的时间，根据工作总量÷工作时间=工作效率，分别求出甲、乙的工作效率，再用工作总量÷甲、乙的工作效率和求出两人一起收割完这块麦田需要的工作时间．【规范解答】乙收割完这块麦田需要的时间是小时，甲的工作效率是（亩/小时），乙的工作效率（亩/小时），故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为小时，答：两人一起收割完这块麦田需要小时．故选A．【考点评析】考查了列代数式（分式），解题的关键是熟悉工作总量、工作时间和工作效率之间的关系．4．(本题2分)（2023秋·河北唐山·八年级统考期末）下面是甲、乙、丙三位同学在黑板上计算的做法：则关于这三位同学的做法，你认为（

）A．甲同学的做法正确 B．乙同学的做法正确C．丙同学的做法正确 D．三位同学的做法都不正确【答案】D【思路点拨】异分母分式加减，先通分，分子加减，约分化简．【规范解答】解：，∴三位同学的做法都不正确，故选：D．【考点评析】此题考查了异分母分式的加减，解题的关键是熟悉异分母分式加减的步骤，即先通分，分子加减后再约分．5．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）下列运算正确的是（）A． B．C． D．【答案】D【思路点拨】根据分式运算法则，逐项验证即可得到答案．【规范解答】解：A、，选项A不符合题意；B、，选项B不符合题意；C、，选项C不符合题意；D、，选项D符合题意；故选：D．【考点评析】本题考查分式运算，涉及通分、分式加减运算法则等知识，熟练掌握分式相关运算法则是解决问题的关键．6．(本题2分)（2023春·八年级单元测试）已知，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【思路点拨】先利用倒数关系求出的值，进而得出答案．【规范解答】解：，的值为，故选：C．【考点评析】本题考查分式的值，掌握是解决问题的关键．7．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）对于任意的x值都有，则M，N值为（）A．M＝1，N＝3 B．M＝﹣1，N＝3 C．M＝2，N＝4 D．M＝1，N＝4【答案】B【思路点拨】先计算=,根据已知可得关于M、N的二元一次方程组，解之可得．【规范解答】解：==∴=∴，解得：，故选B．【考点评析】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减法则，并根据已知等式得出关于M、N的方程组．8．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）当分别取值，，，，，1，2，，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于A．1 B． C．1009 D．0【答案】D【思路点拨】先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，然后把代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和．【规范解答】解：设，将和代入代数式，，∴，则原式=，故选：D．【考点评析】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，原式即为代入代数式后的值．9．(本题2分)（2021秋·湖南邵阳·八年级邵阳市第六中学校考阶段练习）若，，则与的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【答案】A【思路点拨】用作差法比较大小即可．【规范解答】∵，，∴===＞＞0，∴．故选A．【考点评析】本题考查了作差法比较代数式的应用、因式分解的应用，以及放缩法的应用，作差法是是比较代数式大小常用的方法，要求学生掌握．10．(本题2分)（2022秋·八年级课时练习）设，，当时，和的大小关系是（

）A． B． C． D．不能确定【答案】A【思路点拨】用差值法比较大小，，进行通分，由可判断M、N的大小.【规范解答】

.∵x>y>0∴x(x+1)>0，x−y>0∴M−N>0故M>N.选A.【考点评析】本题考查分式加减的实际应用.异分母分式相减，先通分，再按照同分母分数减法法则进行计算.还需注意本题最终计算结果是分式，可分别判断分子和分母的符号，根据两数相除，同号为正，异号为负判断结果的符号.评卷人得分二、填空题(每题2分，共18分)11．(本题2分)（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）已知，且，则___________．【答案】【思路点拨】根据求出的值，上下同时除以，整理代入解方程即可．【规范解答】解：上下同时除以得：，将，代入以上式子得：，解得：．故答案为：【考点评析】本题考查了分式的化简求值，相关知识点有：完全平方公式，整体思想的利用是解题关键．12．(本题2分)（2023秋·湖北武汉·八年级统考期末）已知，则的值是______．【答案】##【思路点拨】先计算括号内的，再计算乘方，然后计算除法，将式子化简，最后把已知整体代入计算即可．【规范解答】解：∵，∴，故答案为：．【考点评析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键，注意整体思想的运用．13．(本题2分)（2023春·八年级单元测试）化简___；已知3，则分式的值为___．【答案】

【思路点拨】①将的分子、分母分别因式分解，再约分即可；②将3化为3，进而得到，然后整体代入求解．【规范解答】解：①；②∵3，∴3，即，则，．故答案为；【考点评析】本题考查了分式的化简求值，解题关键是学会因式分解及约分．14．(本题2分)（2021春·四川成都·八年级校考期中）已知，其中A、B是常数，则__________．【答案】##【思路点拨】将分式方程转化为整式方程，再由等式的性质得到，，分别求出、即可．【规范解答】解：分式的最简公分母是，方程两边同时乘以最简公分母，得，，，，，，故答案为：．【考点评析】本题考查分式加减法；熟练掌握分式加减法运算，同时能结合二元一次方程组求解与．15．(本题2分)（2023·全国·九年级专题练习）若，则______.【答案】【思路点拨】由得出，，将分式变形为，代入求值即可．【规范解答】解：∵，∴，，∴，∴，∵，∴．故答案为：．【考点评析】本题考查了分式的混合运算，完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式和分式的基本性质是解题的关键．16．(本题2分)（2022秋·全国·八年级专题练习）若，，都有意义，下列等式①；②；③；④；中一定不成立的是_______．【答案】②【思路点拨】根据分式的基本性质逐项进行判断即可．【规范解答】解：∵，，都有意义，∴，，，当时，①，④，∴①④可能成立，∴①④不符合题意；根据分式的基本性质可得，∴③不符合题意；若成立，则有，∴，关于m的一元二次方程，，∴不存在这样的m、n的值使原式成立，∴②一定不成立；故答案为：②．【考点评析】本题考查了分式的加减、分式有意义的条件、分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质及加减运算法则是解题关键．17．(本题2分)（2022秋·河南信阳·八年级统考期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．同时我们也可以将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，如：，那么若分式：的值为整数．则整数取值为：___________．【答案】##【思路点拨】由题意直接根据“和谐分式”的定义将分式化简变形即可．【规范解答】解：原式为整数，当或时，分式的值为整数，此时或或1或．又分式有意义时，，．故答案为：【考点评析】本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解．18．(本题2分)（2022·浙江宁波·校考模拟预测）已知，则的值为_____．【答案】##【思路点拨】根据题意得出，再代入求值即可．【规范解答】解：∵，∴，∵，∴，∴，原式，故答案为：．【考点评析】本题考查了分式的加减法以及分式有意义的条件，把条件变形得出是解本题的关键．19．(本题2分)（2022秋·山东淄博·八年级统考期中）已知，，那么______．【答案】【思路点拨】由，，得出，进一步得到；再由原式的倒数的值求解即可．【规范解答】解：∵，∴两边同时平方得：整理得：∵∴故答案为：【考点评析】本题考查了分式的值；熟练运用整体代入法、倒数法求分式的值是解题的关键．评卷人得分三、解答题(共62分)20．(本题6分)（2023秋·四川南充·八年级统考期末）先化简，再求值：，其中满足，取一个整数即可．【答案】；时，【思路点拨】根据分式混合运算顺序和法则先把原分式化简，再取满足题意的值代入计算即可．【规范解答】解:原式．∵，且，∴符合条件的整数的值只能取2或-2．当时，原式．或当时，原式．【考点评析】此题考查分式的计算与化简求值，解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．21．(本题6分)（2023秋·山东泰安·八年级统考期末）先化简，再求值：(1)先化简，再求值：，其中满足．(2)先化简，再求值：，在2，3，4中选一个合适的数作为的值代入求值．【答案】(1)，；(2)，当时，原式；【思路点拨】（1）将括号内通分，然后运用平方差公式和完全平方公式进行分式化简，再代入计算即可；（2）将括号内通分，然后运用平方差公式和完全平方公式进行分式化简，由，确定的值再代入计算即可．【规范解答】（1）解：，，，当时，原式；（2），，，，，当时，原式．【考点评析】本题考查了分式的化简求值；灵活运用公式正确化简求值即可．22．(本题8分)（2023秋·四川广元·八年级统考期末）计算：(1)(2)【答案】(1)；(2)【思路点拨】（1）利用完全平方公式以及平方差公式计算即可求解；（2）先把分子分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分后进行通分进行分式的减法运算．【规范解答】（1）解：；（2）解：．【考点评析】本题考查了整式的乘法运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键．23．(本题8分)（2023秋·湖南长沙·八年级校联考期末）由完全平方差公式可知，，而，所以，对所有的实数都有：，且只有当时，才有等号成立：．应用上面的结论解答下列问题：(1)计算，由此可知（填不等号）；(2)已知为不相等的两正数，试比较：与的大小；(3)试求分式的最大值．【答案】(1)，(2)(3)【思路点拨】（1）根据资料提示的算法即可求解；（2）分别按多项成乘法运算方法展开与，再根据资料提供的方法即可求解；（3）根据分式的运算方法，计算，再根据资料提供的解题方法即可求解．【规范解答】（1）解：，，∵，∴，故答案为：，．（2）解：，∵又∴．（3）解：，当时，原式；当时，，∵（当时，等号成立）∴，当时，的最大值为．【考点评析】本题主要考查分式的运算，理解题干意思，掌握分式的混合运算是解题的关键．24．(本题8分)（2022秋·河北承德·八年级统考期末）（1）根据图形（1）的面积写出一个公式：___________图二是两块试验田，“丰收1号”小麦的试验田是边长a米、b米两个正方形，“丰收2号”小麦的试验田是边长为a米、米的长方形，（）两块试验田的小麦都收获了．（2）哪种小麦的单位面积产量高？（请说明理由）（3）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？【答案】（1）；（2）丰收2号亩产量高；（3）【思路点拨】（1）用面积公式以及割补法两种方法表示出大阴影正方形的面积即可得解；（2）分别用总产量除以两块试验田的面积，求出两块试验田的单位面积产量，再进行比较即可；（3）用高的单位面积产量除以低的单位面积产量，即可得解．【规范解答】解：（1）由图可知：；故答案为：；（2）丰收2号亩产量高，理由：丰收1号亩产量为：，丰收2号亩产量为：，，，即：，；丰收2号亩产量高．（3）解：；∴高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍．【考点评析】本题考查完全平方公式的几何背景，以及分式的的运算．正确的识图，利用割补法求出图形的面积，是解题的关键．25．(本题8分)（2023秋·山西忻州·八年级统考期末）（1）先化简，再求值：，其中；（2）学习了分式运算后，老师布置了这样一道计算题：，小明同学的解答过程如下：①②③④①请你分析小明的解答从第______步开始出现错误（填序号），错误的原因是______；②请写出正确解答过程，并求出当时此式的值．【答案】（1），4；（2）①：③，同分母相减时，约分时将分母全部约去了；②，【思路点拨】（1）根据分式乘除的运算法则，结合因式分解对原式进行化简，再将的值代入化简后的式子进行计算即可解答；（2）①根据异分母分式加减法法则结合分式的基本性质进行解答即可；②根据异分母分式加减法法则进行计算，然后再将的值代入化简后的式子进行计算即可解答．【规范解答】（1），，，，将时，原式（2）①：③，同分母相减后的结果，约分时将分母全部丢了；②，，，，，将时，原式【考点评析】本题主要考查分式的混合运算，分式的基本性质，熟练掌握因式分解，分式的基本性质是解题的关键．26．(本题8分)（2022秋·贵州铜仁·八年级统考期中）定义：如果一个分式能化成一个非零整式与一个分子为非零常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．例如：，，则和都是“和谐分式”．(1)下列分式：①，②，③，其中属于“和谐分式”的是__________（填序号）；(2)分式是否为“和谐分式”，请说明理由；(3)当整数取多少时，的值为整数？【答案】(1)①③(2)是，理由见解析(3)【思路点拨】（1）根据题干“和谐分式”定义，逐个化简变形即可得