专题01 含30°角的直角三角形

2022-2023学年湘教版八年级数学下册精选压轴题培优卷专题01含30°角的直角三角形姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、选择题(每题2分，共20分)1．(本题2分)（2022秋·重庆江北·八年级重庆十八中校考期末）图1是一个地铁站入口的双翼闸机，如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为（

）A． B． C． D．2．(本题2分)（2023春·八年级课时练习）如图，在等边中，，分别为，边上的两个动点，且总使，与交于点F，于点，则以下结论：①；②；③．其中正确的结论有（）A．3个 B．2个C．1个 D．0个3．(本题2分)（2021秋·河南信阳·八年级校考期末）如图，已知，点P在边OA上，，点M，N在边OB上，，若，则OM的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．64．(本题2分)（2023秋·湖北鄂州·八年级统考期末）如图，边长为的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到，连结．则在点运动过程中，线段长度的最小值是（

）A．6 B．3 C．1 D．5．(本题2分)（2022秋·河北保定·八年级统考期中）如图，在中，平分交于点M，过点M作交于点N，且平分．若，则的长为（

）A．6 B．8 C．10 D．126．(本题2分)（2023秋·湖南长沙·八年级统考期末）如图，为等边三角形，相交于点于的长是（

）A． B． C． D．7．(本题2分)（2022秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在中，，，为的中点，为上一点，为延长线上一点，且.有下列结论：①；②为等边三角形；③；④.其中正确的结论是（

）A．①②③④ B．①② C．①②④ D．③④8．(本题2分)（2023春·八年级单元测试）如图，在中，，平分交与点G，平分交于点D，、相交于点F，交的延长线于点E，连接，下列结论中正确的是（

）①若，则；②；③；④．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个9．(本题2分)（2022·全国·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，点D、E分别在边AC、AB上，P是边BC上一动点，P、D不与C重合，当AE＝13时，求PD＋PE的最小值（

）A．24 B．25 C．26 D．10．(本题2分)（2022秋·山东德州·八年级统考期末）如图，点M在等边△ABC的边BC上，BM＝8，射线CD⊥BC垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点N是线段AB上一动点，当MP+NP的值最小时，BN＝9，则AC的长为（

）A．15 B．12 C．13 D．10评卷人得分二、填空题(每题2分，共20分)11．(本题2分)（2023秋·天津·八年级统考期末）如图，已知是等边三角形，点D为的中点，于点E，作，交于点F，若，则________．12．(本题2分)（2023秋·福建福州·八年级统考期末）如图，Rt△ABC中，，，，点D在边上运动，以为边向右边作等边三角形，连接，以下结论正确的有_____________．（填序号即可）①；②；③当时，；④CE长度的最小值为1.25．13．(本题2分)（2023秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考期末）等边的边长为，点、分别是边、上的动点，点、分别从顶点、同时出发，且速度都是，则经过______秒后，是直角三角形．14．(本题2分)（2022秋·福建福州·八年级福建省福州第十九中学校考期末）如图，是边长为6的等边三角形，E，F分别是边，上的动点，若，则周长的最小值为__________．15．(本题2分)（2023秋·山西大同·八年级统考期末）在等边中，，点是上一点，过点作于点，交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接、，若，则的长为______．16．(本题2分)（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，边长为6的等边三角形中，若点是高所在直线上一点，连接，以为边在直线的下方画等边三角形，连接，则长度的最小值为________．17．(本题2分)（2023秋·湖南长沙·八年级湖南师大附中统考期末）如图，已知平分，若，则________．18．(本题2分)（2023秋·浙江宁波·八年级统考期末）如图，，点D为平分线上一点，的垂直平分线交分别于点P，O，点E是上异于点P的一点，且，则的面积为___________．19．(本题2分)（2023秋·江西宜春·八年级统考期末）如图所示，在等边中，，点P与点Q分别从点B，C同时出发，沿三角形的边运动，已知点P的速度为，点Q的速度为，设点P与点Q运动的时间为．当时，点P与点Q运动_________s后，可得到．20．(本题2分)（2023秋·北京·八年级校联考期末）如图所示，是以A为公共端点的两条线段，且满足，，作线段的垂直平分线l交于点D．点P为直线l上一动点，连接，以为边构造等边，连接．当的周长最小时，，则周长的最小值为_________．（用含有a、b的式子表示）评卷人得分三、解答题(共60分)21．(本题6分)（2023秋·天津西青·八年级统考期末）如图，等边的边长为3，点D是延长线上的一个动点，以为边在上方作等边，过点A作，连接并延长，交于点N．(1)求证：；(2)当时，求的度数；(3)在点D的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，则求出的长度；若变化，请说明理由．22．(本题6分)（2022秋·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期末）如图，在等边中，厘米，厘米．如果点以3厘米/秒的速度运动．(1)如果点在线段上由点向点运动，点在线段上由点向点运动．它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等．经过2秒后，和是否全等？请说明理由．(2)在（1）的条件下，当两点的运动时间为多少时，是一个直角三角形？(3)若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿三边运动，经过25秒点与点第一次相遇，请直接写出点的运动速度是多少厘米/秒？23．(本题8分)（2023春·八年级课时练习）如图，已知等边的边长为，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为，已知点M的速度，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．(1)当点N第一次到达B点时，点M的位置在；当M、N运动秒时，点N追上点M；(2)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间．(3)当为直角三角形时，运动时间t的值是24．(本题8分)（2023秋·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，在中，，，cm，动点、同时从、两点出发，分别在、边上匀速移动，它们的速度分别为cm/s，cm/s，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为ts.(1)当t为何值时，为等边三角形？(2)当t为何值时，为直角三角形？25．(本题8分)（2023秋·福建泉州·八年级期末）阅读材料：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．如图①，等腰和等腰中，，将绕点A旋转，连接，利用上面结论或所学解决下列问题：(1)若，求证：；(2)连接，当点D在线段上时．①如图②，若，则的度数为；线段与之间的数量关系是；②如图③，若，为中边上的高，判断的度数及线段之间的数量关系说明理由．26．(本题8分)（2023秋·福建龙岩·八年级统考期末）在中，，是中线，以为边在右侧作等边三角形．(1)如图（1），连接，交于点F．①若，求；②求证：．(2)如图（2），当时，以为边在下方作等边三角形，连接交于点P．求证：点P是的中点．27．(本题8分)（2023秋·山西吕梁·八年级校考期末）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：(1)当点Q到达点C时，与的位置关系如何？请说明理由．(2)在点P与点Q的运动过程中，是否能成为等边三角形？若能，请求出t，若不能，请说明理由．(3)则当t为何值时，是直角三角形？28．(本题8分)（2022秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图1，在边长为4cm的等边△ABC中，点P从点A出发沿着AB以2cm/s的速度向点B运动