专题05 三角形的再认识

专题05三角形的再认识【专题解读】在平面几何中，三角形是一种最简单、最基本的图形．我们知道，任何多边形都可分割成若干个三角形．由此可见三角形的基础性：借助三角形的学习我们可以了解到多边形的相关知识．所以说，对三角形的认识，既是几何学习的入门，也是进一步学习其他几何知识的基础．为此，我们有必要牢固掌握三角形的有关特征．思维索引例1．在△ABC中，∠BAC＝α°，BD、CE是△ABC的高，BD、CE所在直线交于点O（点O与A、B、C都不重合），根据题意画出图形，并求∠DOE的度数．（用含α的代数式表示）例2．如图1，一副三角板的两个直角重叠在一起，∠A＝30°，∠C＝45°，△COD固定不动，△AOB绕着O点顺时针旋转α°（0°＜α＜180°）（1）若△AOB绕着O点旋转图2的位置，若∠BOD＝60°，则∠AOC＝；（2）若0°＜α＜90°，在旋转的过程中∠BOD＋∠AOC的值会发生变化吗？若不变，请求出这个定值；（3）若90°＜α＜180°，问题（2）中的结论还成立吗？说明理由；（4）将△AOB绕点O逆时针旋转α度（0＜α＜180°），问当α为多少度时，两个三角形至少有一组边所在直线垂直？（请直接写出所有答案）．图1图2 例3．如图1，D为直线AB上一点，∠ADC＝120°．将一把直角三角尺的直角顶点放在点D处，一边DE在射线DB上，另一边DF在直线AB的下方，其中∠DFE＝30°．（1）将图1中的三角尺绕点D逆时针旋转至图2，使一边DE在∠BDC的内部，且恰好平分∠BDC，则∠CDF的度数为；（2）将图1中的三角尺绕点D按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边EF恰好与直线DC垂直；在第秒时，直线DF恰好平分∠ADC．（3）将图1中的三角尺绕点D逆时针旋转，使DF在∠ADC的内部，请探究∠ADE与∠FDC之间的数量关系式．并说明理由．图1图2备用图素养提升1．等腰三角形的两边长分别为2和4，则该等腰三角形的周长为（）A．8或10B．8C．10D．6或122．两根木棒长分别为5cm和7cm，要选择第三根，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，则组成方法有（）A．3种B．4种C．5种D．6种3．给出下列4个条件：①∠A＋∠B＝∠C；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A＝∠B＝∠C；④∠A：∠B：∠C＝1：2：3，其中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简│a－b－c│－│b－c－a│＋│a＋b－c│的结果是（）A．a＋b＋cB．－a＋3b－cC．a＋b－cD．2b－2c5．如图，△ABC的角平分线BD、AE相交于F，∠C＝90°，EG//AB，且BG⊥EG于G，下列结论：①∠BEG＝2∠DBA；②BC平分∠ABG；③∠CDB＝∠GBD；④∠DFA＝∠BGE．其中正确的结论是（）A．①③B．②④C．①③④D．①②③④第5题图第10题图6．已知三角形的三边长为整数，且周长为12cm，则符合条件的三角形的个数是个．7．在△ABC中，AD、CE分别是△ABC的高，且AD＝2，CE＝4，则AB:BC＝．8．一个三角形的两边长为8和10，则它的最短边a的取值范围是；它的最长边b的取值范围是．9．已知在△ABC中，∠A＝45°，高线BD和高线CE所在的直线交于点H，则∠BHC的度数是．10．阅读材料，并填表：在△ABC中，有一点D1，当D1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其它条件不度，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？完成下表：△ABC内点的个数123…1008构成不重叠的小三角形的个数35…11．如图，小明欲从A地去B地，有三条路可走，①A→B②A→D→B③A→C→B．（1）在没有其他因素的情况下，我们可以肯定小明会走路线①，理由是；（2）小明是不会走路线③，因为路线③路程最长，即AC＋BC＞AD＋BD，你能通过推理加以说明吗?第11题图 12．在△ABC中，AB＝AC，P是BC上任意一点．（1）如图①，若P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，请探求PE，PF与BD之间的数量关系；（2）如图②，若P是BC的延长线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，CD是△ABC的高线，请探求PE，PF与CD之间的数量关系．图①图② 13．在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，P是射线AC上任意一点（不与A、D、C三点重合），过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E．（1）如图①，当点P在线段AC上时，说明∠PDE＝∠PED．（2）作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系?画出图形并说明理由． 图①．图②14．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ENM＝30°，∠ECD＝45°.（1）将图①中的三角尺ECD沿AB的方向平移至图②的位置，使得点E与点N重合，CD与MN相交于点F，则∠CFN＝；（2）将图①中的三角尺ECD绕点E按顺时针方向旋转，使一边ED在∠MEN的内部，如图③，且ED恰好平分∠MEN，CD与MN相交于点F，求∠CFN的度数；（3）将图①中的三角尺ECD绕点E按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第秒时，边CD恰好与边MN平行；在第秒时，直线CD恰好与直线MN垂直.图①图②图③

专题05三角形的再认识【思维索引】例1．∠DOE＝α°或180°－α°．例2．(1)120°；(2)∠BOD＋∠AOC＝180°；(3)结论还成立；(4)α＝45°、60°、90°、105°、135°、150°例3．(1)120°；(2)①9；②3或21；(3)∠ADE＋∠FDC＝30°；∠FDC－∠ADE＝30°．【素养提升】1．C；2．B；3．B；4．B；5．C；6．3；7．1